8. Cálculo del ángulo sin ningún tipo de medición.

Para medir los ángulos de un terreno necesitamos por lo menos una brújula; sin embargo, a veces basta con usar los dedos o una caja de cerillas. Pero se puede presentar el caso extremo de medir los ángulos en un mapa o en un plano.

Evidentemente, si tenemos transportador, entonces se resuelve el problema fácilmente. ¿Y si no se tiene? Un geómetra no se pierde en este caso. ¿Cómo se soluciona este problema?

En la figura 96 hay un ángulo AOB , menor que 180° . Encuentren su valor sin efectuar ninguna medición.

Desde un punto cualquiera del lado BO se puede trazar una perpendicular al lado AO , en el triángulo rectángulo obtenido, se miden los catetos y la hipotenusa, se encuentra el seno del ángulo, y luego el valor de dicho ángulo (veamos el apartado "Encontrar el ángulo conociendo el seno"). Pero esta solución no corresponde a nuestras difíciles condiciones: ¡Sin efectuar ninguna medición!

Empleamos entonces la solución que propuso Z. Rupeyka, de la ciudad Kaunas, en el año 1946

Figura 96. ¿Cómo encontrar el valor del ángulo AOB, utilizando solo el compás?

Desde el vértice O , como centro, con una abertura arbitraria del compás, trazamos una circunferencia. Por sus puntos de intersección, C y D , trazamos el segmento entre los lados del ángulo.

Ahora con centro en el punto C y con radio CD , trazamos con el compás otra circunferencia. Repetimos el procedimiento, en el mismo sentido, con la misma apertura del compás, tomando como centro el punto de intersección entre la circunferencia con centro en O y la última circunferencia trazada, hasta que al trazar una nueva circunferencia, esta pase de nuevo por el punto C .

Después de esto, contamos cuantas vueltas dimos alrededor de la circunferencia y cuantas cuerdas tendimos sobre la circunferencia inicial.

Supongamos, que dimos n vueltas alrededor de circunferencia y tendimos S cuerdas de longitud CD . Entonces, el ángulo buscado será:

En realidad, se aprecia mejor el ángulo de x °; tendiendo la cuerda CD sobre la circunferencia, S veces, como si aumentáramos S veces el ángulo de x °, pero como dimos n vueltas alrededor de la circunferencia, entonces el ángulo se calcula sobre una distancia de 360° x n , es decir que, x ° x S = 360°; de aquí se obtiene la expresión:

Si se tiene un ángulo con, n = 3, S = 20 ; este medirá, ∠AOB = 54° (¡Compruébenlo!) . A falta de compás, podemos circunscribir la circunferencia con ayuda de un alfiler y una tira de papel; trazamos la cuerda, utilizando también la tira de papel.

Encuentren mediante el método descrito, los ángulos del triángulo de la figura 95.