1. Cálculo del seno.

En este capitulo vamos a enseñar, como calcular los lados del triángulo con una precisión hasta 2% y los ángulos con una precisión hasta 1º, usando únicamente el concepto del seno , sin apelar a tablas ni fórmulas. Esta simplificación trigonométrica puede ser útil durante un paseo, cuando no se tienen tablas y se han olvidado las fórmulas. Robinson Crusoe en su isla, pudo usar exitosamente este procedimiento trigonométrico.

Imaginemos, que todavía no conocemos la trigonometría o que la hemos olvidado. ¿No es difícil de imaginar, verdad? Empezaremos a estudiar desde el principio. ¿Qué es el seno del ángulo agudo? Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo cortado por la perpendicular trazada desde el vértice de un ángulo hasta uno de sus lados. Por ejemplo, el seno del ángulo α(figura 87) es:

Se observa que, por semejanza de triángulos, todas esas razones son equivalentes entre sí.

¿Cuánto valen los senos de diversos ángulos entre 1º y 90º? ¿Cómo saberlos sin usar tablas? Es fácil: se necesita crear nuestra propia tabla de senos. Eso es lo que vamos a hacer ahora.

Empezaremos por aquellos ángulos, donde ya conocemos los senos, a partir de la geometría.

Primero, el ángulo de 90º, su seno es 1. Luego el de 45º, su seno se calcula fácilmente mediante el teorema de Pitágoras; equivale a:

es decir, que vale 0,707. Luego averiguamos el seno de 30º; como el cateto, opuesto a este ángulo, equivale a la mitad de la hipotenusa, entonces, el seno de 30º = ½.

Figura 87. ¿Cuál es el seno de un ángulo agudo?

O sea, que sabemos los senos (se denotan con sen ) de los tres ángulos:

sen 30º = 0,5

sen 45º = 0,707

sen 90º = 1

Evidentemente, esto no es suficiente; debemos conocer los senos de todos los ángulos intermedios, por lo menos los de cada número entero de grados. Para buscar el seno de ángulos muy pequeños podemos utilizar, en vez de calcular la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, la razón entre el arco y el radio: en la figura 87 (a la izquierda), vemos que la razón:

no tiene gran diferencia con:

Esta última es fácil de calcular. Así, por ejemplo, para ángulo de 1º, el arco:

y, por lo tanto, para el sen 1º podemos tomar el equivalente a:

De esta manera encontramos:

sen 2º = 0,0349

sen 3º = 0,0524

sen 4º = 0,0698

sen 5º = 0,0873

Pero debemos cerciorarnos hasta qué punto podemos elaborar esta tabla, sin cometer errores significativos. Sí, por ejemplo, buscamos de esta forma el sen 30º, obtendremos 0,524 en vez de 0,500: El error es de 24/500, es decir, 5%. Es un error bastante grande, aunque solo en nuestro caso. Para hallar el límite, hasta el que podemos aplicar este método para calcular los senos, intentaremos hallar el sen 15º de una forma más exacta. Para esto utilizaremos la siguiente construcción, no muy complicada (figura 88).

Sea,

Prolongamos BC hasta D ; unimos A con D , así obtenemos dos triángulos iguales: ADC y ABC , y el ángulo BAD equivale a 30º. Bajamos hasta AD la perpendicular BE ; se ha construido un triángulo rectángulo BAE con un ángulo de 30º (∠BAE), entonces:

Luego se calcula AE en el triángulo ABE por medio del teorema de Pitágoras:

Entonces,

ED = AD - AE = AB - 0,866 x AB = 0,134 x AB .

Ahora del triángulo BED calcularemos BD :

BC es la mitad de BD , es decir que BC es 0,259 x AB , de aquí se deduce que el seno buscado es:

Este es el valor de sen 15º con tres cifras significativas. Su valor se aproxima al encontrado por nosotros, 0,262.

Comparando los valores 0,259 y 0,262 y vemos que si limitamos su valor a dos cifras significativas, obtendremos:

0,26 y 0,26

es decir, que los resultados son idénticos. El error del resultado más exacto (0,259) al aproximarlo a 0,26, se calcula como 1/1000, es decir, 0,4%. Este error es aceptable para los cálculos durante el viaje, y por lo tanto, podremos calcular los senos de los ángulos de 1° hasta 15º con el procedimiento descrito.

Para ángulos entre 15° y 30º, podemos calcular los senos con ayuda de las proporciones. Vamos a discurrir así: la diferencia entre sen 30° y sen 15° es 0,50 - 0,26 = 0,24. Asumiendo que con cada aumento de un grado en el ángulo, su seno aumenta, aproximadamente, en 1/15 de esta diferencia, es decir, en:

0,24/15=0,016.

En realidad no es así, pero se presenta el error en la tercera cifra significativa, la que nosotros hemos suprimido. Añadiendo 0,016 al sen 16°, obtenemos los senos de 16°, 17°, 18° , etc.:

sen 16° = 0,26 + 0,016 = 0,28

sen 17° = 0,26 + 0,032 = 0,29

sen 18° = 0,26 + 0,048 = 0,31

…

sen 25° = 0,26 + 0,16 = 0,42, etc.

Figura 88. ¿Cómo calcular el seno de 15°?

Todos estos senos son correctos en las primeras cifras decimales, es decir, son suficiente para nuestros objetivos.

De la misma manera se calculan los senos de los ángulos entre 30º y 45° .

La diferencia es: sen 45° - sen 30° = 0,707 - 0,5 = 0,207.

Dividiendo este valor por 15, tenemos 0,014. Este resultado se le añade al sen 30° ; obtenemos:

sen 31° = 0,54 - 0,014 = 0,51

sen 32° = 0,54 - 0,028 = 0,53

…

sen 40° = 0,5 + 0,14 = 0,64 y etc.

Solo nos queda encontrar los senos de los ángulos agudos mayores de 45° . Para esto nos servimos del teorema de Pitágoras. Sí queremos encontrar, por ejemplo, el sen 53° , es decir, (figura 90) la razón:

Como el ángulo B = 37°, entonces podemos calcular su seno con base en el anterior: es equivalente a 0,5 + 7 x 0,014 = 0,6. Por otra parte sabemos, que:

Donde AC = 0,6 x AB . Sabiendo AC , resulta fácil calcular BC . Este segmento es:

En principio el cálculo no es tan difícil; solo es necesario calcular las raíces cuadradas.

Figura 89. Cálculo del seno de ángulos mayores de 45°