1. Construcción sin compás

Cuando necesitamos resolver problemas en los que se deben realizar construcciones geométricas, usualmente echamos mano de la regla y el compás. Sin embargo, ahora veremos como resolver algunos problemas sin instrumentos suplementarios.

Figura 140. Problema de construcción y solución. Primer caso

Desde el punto A (figura 140, a la izquierda), que se encuentra fuera de la semicircunferencia dada, trazar la perpendicular a su diámetro, sin utilizar el compás. No se especifica donde se encuentra el centro de la semicircunferencia.

Para nosotros resulta útil la propiedad del triángulo que establece que todas sus alturas se cruzan en un punto. Uniendo A con B y A con C , obtenemos los puntos D y E (figura 140, a la derecha).

Las rectas BE y CD , evidentemente, son alturas del triángulo ABC . La tercera altura, que es la perpendicular a BC , tiene que pasar por el punto de intersección de las otras dos, es decir, por el punto M . Con la regla, trazamos una recta a través de los puntos A y M , respondemos a las condiciones del problema, sin utilizar el compás.

Figura 141. El mismo problema. Segundo caso

Si se encuentra el punto de modo que la perpendicular buscada baja sobre la prolongación del diámetro (figura 141), entonces podemos resolver el problema con la condición de que tengamos la circunferencia completa, no la semicircunferencia. La figura 141 indica, que la solución de este problema no difiere de la del anterior, cuyo procedimiento ya conocemos; solo que en este caso las alturas del triángulo ABC se cruzan fuera de él y no dentro del mismo.