13. Longitud de la correa de transmisión
Cuando los alumnos de escuela profesional terminaron su trabajo, el maestro al despedirse les propuso resolver un ejercicio.
"Para una de las nuevas instalaciones de nuestro taller, dijo el maestro, se necesita ensamblar la correa de transmisión, pero no sobre dos poleas, como es usual, sino sobre tres poleas, y el maestro les enseñó el esquema de la transmisión (figura 138).
Figura 138. Esquema de transmisión. ¿Cómo hallar la longitud de la correa de transmisión, empleando solamente las medidas dadas?
Las tres poleas, continuaba él, tienen las mismas medidas. Sus diámetros y las distancias entre sus ejes se indican en el esquema.
¿Conociendo estas medidas y sin hacer mediciones suplementarias, cómo se puede encontrar rápidamente la longitud de la correa de transmisión?"
Los alumnos empezaron a pensar. De pronto alguno de ellos dijo:
"Pienso que toda la dificultad radica en que no se indican las medidas de los arcos AB , CD , EF , sobre cual rodea la correa cada uno de los rodillos. Para encontrar la longitud de cada arco necesitamos saber el valor de su ángulo central y, a mí me parece que, sin transportador no se puede obtener."
"Podemos calcular los ángulos de los que estás hablando, respondió el maestro, con las medidas indicadas en la figura, mediante la ayuda de las fórmulas y las tablas trigonométricas, pero este camino es muy largo y difícil. Tampoco necesitaremos aquí el transportador, porque no hace falta conocer la longitud de cada arco, es suficiente saber…".
"Su suma, dijeron los chicos, habida cuenta de qué se trata".
"Bueno, pero váyanse ahora a casa y traigan mañana sus soluciones."
No se apresuren por conocer la solución que trajeron los chicos.
Después de todo, con lo que ha dicho el maestro no es difícil solucionar por si mismo.
En realidad, la longitud de la correa se encuentra con extrema facilidad: A la suma de las distancias entre los ejes de los rodillos hay que añadir la longitud de la circunferencia de una polea. Si la longitud de la correa es l , entonces
l = a + b + c + 2πr
Con base en el hecho de que la suma de las longitudes de los arcos con los cuales hace contacto la correa da la longitud total de una polea, todos los alumnos encontraron la clave, pero demostrar la solución resultó difícil para algunos.
De las todas soluciones el maestro ha preferido la más corta el siguiente.
Sea BC , DE , FA , son tangentes a las circunferencias (figura 138). Pasaremos los radios en los puntos del contacto. Como las circunferencias de las poleas tienen mismos radios, entonces las figuras O 1 BCO 2 , O 2 DEO 3 y O 3 FA O 1 , son rectángulos, por lo tanto,
BC + DE + FA = a + b + c .
Deja ver que la suma de las longitudes de los arcos: AB + CD + EF corresponde a la longitud de una circunferencia completa.
Para esto construimos la circunferencia O con el radio r (figura 138, parte superior central). Pasamos OM || O 1 A , ON || O 1 B y OP || O 2 D , luego π MON = π AO 1 B , π NOP = π CO 2 D , π POM = π EO 3 F , por ser ángulos con lados paralelos.
De aquí se deduce, que
AB + CD + EF = MN + NP + PM = 2πr .
De donde, la longitud de la correa es:
l = a + b + c + 2πr .
De igual manera podemos afirmar que no solo para tres, sino para cualquier cantidad de poleas iguales, la longitud de la correa de transmisión es igual a la suma de los intervalos entre sus ejes más la longitud de la circunferencia de una polea.
En la figura 139 se presenta un esquema de transmisión con cuatro ruedas (también hay ruedas intermedias, pero no se indican en el esquema, pues no tienen importancia en la solución de este problema).
Utilizando la escala indicada en la figura, introduzca las medidas necesarias y calcule la longitud de la correa.
Figura 139. Mediante la escala dada se anotan las medidas necesarias, en la figura, y se calcula la longitud de la correa de transmisión.