10. Acción y cálculo

Frente a ustedes se tienen ocho círculos iguales (figura 126). Los siete sombreados están fijos, el octavo (sin sombrear) se mueve sobre ellos sin deslizarse. ¿Cuántas vueltas daría este, al dar una vuelta alrededor de los círculos fijos?

Ahora mismo podrán comprobarlo en la práctica: Coloquen sobre la mesa ocho monedas del mismo tamaño, como se muestra en la figura y fijen las siete monedas sobre la mesa, dejando girar la octava moneda. Para calcular el número de vueltas observen, por ejemplo, la posición del número sobre la moneda. Cuando el número vuelva a la posición inicial, la moneda habrá dado un giro alrededor de su centro.

Hagan la prueba en el mundo real, no en la mente, y verán, que la moneda solo dará cuatro vueltas.

Ahora vamos a tratar de obtener la misma respuesta con ayuda de análisis y cálculos.

Vamos a encontrar, por ejemplo, el arco que describe el círculo móvil sobre un círculo fijo. Con base en esto, imaginemos el movimiento del círculo móvil desde la "cresta" (la mayor distancia al centro del círculo central) y en el siguiente "valle" (espacio entre dos círculos) entre dos círculos fijos (figura 126 la línea discontinua).

En la figura no es difícil establecer, que el arco AB , que corre el círculo entre una "cresta" y el siguiente "valle", es de 60º. Hay dos arcos similares en la circunferencia de cada círculo fijo; juntos forman un arco de 120º ó sea 1/3 de circunferencia.

Por lo tanto, cuando el círculo móvil da 1/3 de vuelta, cruza 1/3 de vuelta de un círculo fijo.

Uniendo los seis círculos fijos; se llega a este resultado: el círculo fijo solo da 1/3 x 6 = 2 vueltas.

¡Obtuvimos un resultado diferente al que encontramos antes por simple observación! Pero "la acción es engañosa". Si la observación no confirma los cálculos, se ha presentado un error.

Ustedes tendrán que encontrar el error con base en el siguiente razonamiento.

Lo que pasa es que cuando el círculo se mueve, sin deslizarse, sobre un segmento recto que tiene la mitad de la longitud de la circunferencia del círculo móvil, da ½ vuelta alrededor de su centro. Esta conclusión es errónea, no corresponde a la realidad, cuando el círculo se desplaza sobre el arco de una línea curva. En el problema examinado, el círculo móvil que recorre el arco formado, por ejemplo, por 1/3 longitud de su circunferencia, no da ½ vuelta, sino 2/3 de vuelta y por lo tanto, al recorrer los seis arcos se obtienen:

6 x 2/3 = 14 vueltas

Podemos comprobar el resultado por simple observación. La línea punteada de la figura 126, refleja la posición del círculo móvil después de recorrer el arco AB (= 60º) del círculo fijo, o sea, el arco formado por 1/6 longitud de la circunferencia. En la nueva posición del círculo, el sitio más alto de su circunferencia no es el punto A , sino el punto C ; esto, como vemos, corresponda a un giro de 120º de cada punto de la circunferencia, es decir, 1/3 de vuelta completa. Al "camino" de 120º le corresponden 2/3 de vuelta completa del círculo móvil.

Entonces, el círculo móvil dará una cantidad diferente de vueltas sobre una línea curva de las que da sobre un camino recto de igual longitud.

Nos detendremos un poco sobre la parte geométrica de este curioso fenómeno, además, la explicación habitual no siempre es cierta.

Sea el círculo de radio r que se desplaza sobre la recta. Este da una vuelta sobre el segmento AB , cuya longitud es equivalente a la longitud de circunferencia del círculo móvil (2π r ).

Doblemos el segmento AB por la mitad (figura 127) y formemos con CB un ángulo á , proporcional a la posición inicial.

Figura 127. Como se observa la vuelta suplementaria al desplazar el círculo sobre la curva.

Ahora, cuando el círculo da media vuelta sobre el segmento AB , su parte superior llega al punto C , y para conservar la posición en la que el círculo toca al punto C , luego de girar sobre la recta CB , rote su centro un ángulo equivalente al ángulo á (estos ángulos son iguales, porque tienen sus lados perpendiculares).

Al efectuar el giro, el círculo se desplaza sobre el segmento. Esto es lo que genera la parte suplementaria de la vuelta completa comparada al giro del círculo sobre la recta.

La curva suplementaria corresponde a una fracción de vuelta completa, cuyo ángulo es á . Luego, el círculo recorre media vuelta más desde C hasta B . completa, 2π, es decir, otra media vuelta , entonces, cuando el círculo se desplaza entre A y C , sobre la línea quebrada ACB da 1 + á/2π vueltas.

Ahora no resulta difícil imaginar, cuantas vueltas dará el círculo, al moverse sobre el exterior del hexágono (figura 128).

Figura 128. ¿Cuántas vueltas más dará el círculo, si se mueve sobre los lados del polígono, pero no sobre su perímetro extendido en línea recta?

Evidentemente las vueltas que dará sobre en línea recta, equivalen al perímetro (suma de los lados) del hexágono, más la cantidad de vueltas que da en los vértices del polígono, equivalente a la suma de los ángulos exteriores del hexágono, dividida por 2π. Como la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo es exacta y equivalen a 4 d , ó 2π, entonces 2π /2π = 1.

De modo que, al rodear un hexágono y también cualquier polígono convexo, el círculo dará siempre una vuelta más que al desplazarse sobre el segmento recto, equivalente al perímetro del polígono.

Si se duplican una y otra vez hasta el infinito, los lados del polígono convexo, hasta acercarse a la circunferencia, todo lo dicho aplica para la circunferencia. Sí, por ejemplo, de acuerdo con el problema inicial, el círculo se mueve sobre un arco equivalente a 120º de su circunferencia, entonces, queda clara a la luz de la geometría, la aseveración de que al girar dicho círculo, no da 1/3, sino 2/3 de vuelta.