9. Con un solo trazo

Copien en un papel las cinco figuras mostradas en la figura 154, y traten de dibujarlas con un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz y sin pasar más de una vez sobre la misma línea.

Figura 154. Intenten dibujar cada una de estas figuras con un solo trazo, sin pasar más de una vez sobre la misma línea.

La mayoría de personas a quienes hemos propuesto la tarea, empiezan por la figura d , ya que parece más fácil a primera vista, sin embargo, han fracasado todos los intentos por dibujar esta figura.

Disgustados y con menor seguridad, prueban con otras figuras, y para su sorpresa, logran trazar, sin grandes dificultades, las dos primeras figuras y también han podido con la tercera, presentada por la palabra tachada "AOM". Pero al igual que la cuarta figura, d , nadie la ha podido trazar la quinta figura, e.

¿Por qué para algunas figuras resulta fácil encontrar la solución, y para otras no? ¿Será que en unos casos hace falta tener ingenio, o será que la tarea no tiene solución para algunas figuras? ¿No se puede establecer una propiedad que nos permita saber si existe o no una solución que permita dibujar una figura con un solo trazo?

Llamaremos nodo a cada intersección, en la que se unan las líneas de la figura.

Llamaremos al nodo: par, si se junta en él, un número par de líneas, e impar, si se une en él, un número impar de líneas. La figura a tiene todos los nodos pares, la figura b , dos nodos son impares (los puntos A y B ); la figura c , los nodos impares en los extremos del segmento que tacha la palabra; Las figuras d y e tienen cuatro nodos impares.

Observemos atentamente una figura, en la que sean pares todos nodos, por ejemplo, la figura. a

Iniciamos el trazo desde cualquier punto S . Pasando, por ejemplo, por el nodo A , trazamos dos líneas: una, acercándonos al nodo A y otra, alejándonos del nodo A . Como en cada nodo par hay igual número de entradas que de salidas, y cada que nos movemos de un nodo a otro quedan dos líneas menos por dibujar (los nodos siguen siendo pares), es posible, recorrerlos todos, y regresar al punto de partida, S .

Pero, supongamos que regresamos al punto de partida, y no podemos salir de él, y que en la figura falta una línea que sale del nodo B , donde estuvimos antes.

Entonces, debemos corregir nuestro camino: Llegamos hasta el nodo B , para dibujar las líneas que faltaron antes, y seguimos el camino.

Supongamos que decidimos trazar la figura a así: Recorremos los lados del triángulo ACE , regresando al punto A , ubicado sobre la circunferencia ABCDEFA (figura 154).

Como nos queda por dibujar el triángulo BDF , entonces, al dejar el nodo, B , por ejemplo, seguimos sobre el arco BC , trazamos el triángulo BDF , y luego completamos la figura.

Por lo tanto, si todos los nodos de la figura son pares, siempre es posible de dibujar la figura con un solo trazo, partiendo de cualquier punto de figura, además, el recorrido de la figura debe terminar en el punto de partida.

Veamos una figura en la que hay dos nodos impares.

La figura b , por ejemplo, tiene dos nodos impares, A y B . Entonces se puede dibujar con un solo trazo. Se debe empezar el dibujo en un nodo impar, N ₁ , y terminar en el otro nodo impar, N ₂ , por ejemplo, desde A hasta el D siguiendo la trayectoria ACB (figura 154).

Al realizar este trazo, se elimina una línea de los nodos impares, entonces, ambos nodos impares se convierten en pares. Como no existen otros nodos impares en la figura, tenemos una figura que solo tiene nodos pares; En la figura b , por ejemplo, después de trazar la línea ACB , queda un triángulo con una circunferencia.

Por lo antedicho, podemos dibujar esta figura con un solo trazo.

Una advertencia suplementaria: Si se comienza el trazo desde un nodo impar N ₁ , y se busca una ruta que lleve al nodo impar N ₂ , tenemos que evitar que queden segmentos aislados dentro de la figura dada. Por ejemplo, no podemos dibujar la figura b (figura 154) si nos trasladamos rápidamente desde el nodo impar A hasta el nodo impar B trazando la recta AB , porque la circunferencia queda aislada del resto de la figura.

En síntesis, si una figura tiene dos nodos impares, el trazo correcto debe comenzar sobre uno de estos nodos y terminar en el otro.

De aquí se deduce que, si la figura tiene cuatro nodos impares, no es posible de dibujarla con un solo trazo, sino con dos, lo que se aparta de las condiciones de nuestra tarea. Ejemplo de este caso son las figuras d y e (figura 154).

Como ven, si tenemos claros los conceptos, podemos prevenir muchas cosas evitando así un trabajo innecesario, que produce el desgaste de fuerzas y tiempo. Hemos visto que, la geometría también nos enseña a orientarnos correctamente.

Tal vez resulten nuestras explicaciones muy pesadas para ustedes, pero vale la pena el esfuerzo, pues el conocimiento prima sobre la ignorancia.

Ustedes siempre podrán saber con antelación, si el problema tiene o no solución para una figura dada, y saben también, desde cuál nodo hay que empezar el trazo.

Ahora ustedes mismos pueden inventar figuras complejas para sus compañeros.

Finalmente, les presento dos figuras más para que se entretengan (figura 155).

Figura 155. Dibuja cada figura de un solo trazo.