11. La chica sobre la cuerda

Cuando gira un círculo sobre una línea, situada en su mismo plano, cada punto del círculo se mueve sobre el plano, describiendo una determinada trayectoria.

Figura 129. Cicloide, es la trayectoria descrita por el punto A , del disco que gira sin deslizamiento sobre la línea recta

Si se fijan en la trayectoria de cualquier punto del círculo, que se mueve sobre una línea o sobre de una circunferencia, verán curvas distintas.

Se muestran algunas de ellas en los figuras 129 y 130.

Surge la pregunta: ¿Podrá un punto del círculo, corriendo por la "parte interna" de la circunferencia de otro círculo (figura 130), trazar una línea recta y no una curva? A simple vista parece imposible.

Sin embargo esto lo vi con mis propios ojos. Es un juguete: "la chica sobre la cuerda" (figura 131). Ustedes podrán construirlo también sin ninguna dificultad. En un trozo de cartón dibujan un círculo de 30 cm de diámetro, dejan espacio en el papel, y prolongan uno de los diámetros por ambos extremos.

Figura 130. Hipocicloide, la trayectoria del punto de la circunferencia del disco, corriendo por el dentro de una circunferencia más grande, además R = 3r

En los extremos del diámetro prolongado colocan dos agujas que sostienen un hilo, lo estiran horizontalmente y fijan sus extremos sobre el cartón. Cortan el círculo y dentro del círculo hueco que queda, colocan otro círculo de cartón, de 15 cm de diámetro.

Colocan una aguja sobre el borde del círculo pequeño, como se muestra en la figura 131, cortan del papel la figura de la chica y pegan una de sus piernas a la cabeza de la aguja.

Ahora traten de rodar el círculo menor, contra el borde del hueco circular. La cabeza de la aguja, junto con la figura de la chica, se desliza hacia adelante y hacia atrás, a lo largo del hilo tirante.

Figura 131. "La chica sobre la cuerda". En el círculo móvil hay unos puntos que se mueven en línea recta.

Esto explica por que el punto del círculo móvil, en el que se fijó la aguja, se mueve justamente a lo largo del diámetro del hueco circular. ¿Pero por qué en el caso análogo, mostrado en la figura 130, el punto del círculo móvil no describe una recta sino una curva (se llama hipocicloide)? Todo depende de la proporción entre los diámetros de ambos círculos.

Demostrar, que si dentro de un círculo mayor se mueve un círculo cuyo diámetro es la mitad del diámetro del círculo mayor, al efectuarse el movimiento, cualquier punto sobre la circunferencia del círculo menor se moverá sobre una línea recta, que corresponde al diámetro del círculo mayor.

Si el diámetro del círculo O ₁ es la mitad del diámetro del círculo O (figura 132), al moverse el círculo O ₁ , en todo momento uno de sus puntos se encuentra en el centro del círculo. O

Figura 132. Explicación geométrica de "la chica sobre la cuerda"

Observemos el movimiento del punto A . Supongamos que el círculo menor ha recorrido el arco AC .

¿Dónde se encuentra ahora el punto A del círculo O ₁ ?

Evidentemente, se debe encontrar en el punto B de su circunferencia, para que los arcos AB y BC tengan igual longitud (el círculo se mueve sin deslizarse).

Sea OA = R y π AOC = á .

Luego AC = Rá ; por lo tanto, BC = Rá , pero como O ₁ C = R /2, entonces

πBO₁ C = R x α/( R /2) = 2α ;

Luego el ángulo inscrito π BOC es 2α / 2α = , es decir, que el punto B se encuentra sobre la recta OA .

El juguete descrito aquí representa un mecanismo primitivo para transformación del movimiento giratorio en rectilíneo.

La construcción de estos mecanismos (llamados inversores) resulta de sumo interés a los técnicos mecánicos desde que el inventor ruso I. I. Polzunov, desarrolló la primera maquina a vapor.

Normalmente estos mecanismos, que transmiten al punto un movimiento rectilíneo, se construyen con bielas.

El matemático ruso P. L. Chebyshev (1821 - 1894), (figura 133), hizo un valioso aporte a las matemáticas de los mecanismos. Chebyshev no solo era un gran matemático, sino también un aventajado mecánico. Construyó un modelo de silla: la "cicleta", inventó el mejor mecanismo para máquinas contables de aquel tiempo: el "aritmómetro", etc.

Figura 133. P. L. Chebyshev (1821 - 1894)