8. Un problema que parece fácil

Un recipiente de treinta vasos de capacidad está lleno de agua. Ponemos un vaso debajo del grifo que tiene el recipiente, abrimos y, reloj en mano, observamos cuánto tiempo tarda el vaso en llenarse hasta los bordes. Supongamos que tarda medio minuto. Nos planteamos la pregunta: ¿cuánto tiempo tardará el recipiente en vaciarse por completo, si dejamos el grifo abierto?

Parece que se trata de un problema aritmético para niños pequeños. Si el agua que cabe un vaso tarda en salir 1/2 minuto, los 30 vasos que caben en el recipiente tardarán en salir 15 minutos.

Pero si ustedes hacen este experimento verán que el recipiente no tarda en vaciarse un cuarto de hora, sino media hora.

¿Qué ocurre?

El cálculo que hemos hecho es fácil pero erróneo. El agua no sale con la misma velocidad desde el principio hasta el fin. Después de salir el primer vaso, el chorro de agua tendrá ya menos presión, puesto que el nivel dentro del recipiente habrá bajado, por lo tanto, el segundo vaso tardará más de medio minuto en llenarse. El tercero saldrá aún más despacio y así sucesivamente.

La velocidad con que un líquido sale por el orificio de un recipiente abierto depende directamente de la altura de la columna de agua que hay sobre dicho orificio. El genial Torricelli, discípulo de Galileo, fue el primero que estableció esta dependencia expresándole con la sencilla fórmula siguiente:

v² = 2gh

donde v es la velocidad de salida, g la aceleración de la gravedad y h la altura del nivel del líquido sobre el orificio.

Figura 58. ¿Qué recipiente se vaciará antes, el que tiene mercurio o el que tiene alcohol? El nivel de los líquidos es igual en los dos recipientes.

De esta fórmula se deduce que la velocidad con que sale el chorro no depende en absoluto de la densidad del líquido, es decir, el alcohol, a pesar de ser ligero, y el mercurio, a pesar de ser tan pesado, saldrán a la misma velocidad si están a un mismo nivel (Figura 58). Según esta fórmula, en la Luna, donde la gravedad es seis veces menor que en la Tierra, el vaso del problema anterior tardaría en llenarse dos veces y media más que en nuestro planeta.

Pero volvamos a nuestro problema. Si después de haber salido del recipiente 20 vasos de agua el nivel de ésta en aquél (a partir del orificio del grifo) ha bajado hasta la cuarta parte, el vaso 21° se llenará dos veces más despacio que el 1°. Y si después desciende el nivel hasta la novena parte, los últimos vasos tardarán tres veces más tiempo en llenarse que el primero. Cuando el recipiente está casi vacío el agua sale muy despacio. Resolviendo este problema por los procedimientos que se estudian en matemáticas superiores se puede demostrar que el tiempo que tarda el recipiente en vaciarse por completo es el doble del que tardaría en salir la misma cantidad de líquido si el nivel inicial permaneciera constante.