Die unendliche Küste

Experiment – Küstenberechnungen

Wenn Sie auf einer Insel wie Großbritannien starten, erreichen Sie schon bald die Küste. Betrachten Sie die sichtbare Küstenlinie. Wie lang ist sie Ihrer Schätzung nach? Nehmen Sie erkennbare Objekte, um einen Maßstab zu finden – je nach Ihrer Flughöhe können das Autos, Häuser oder Fabriken sein. Wie zuvor können als Faustregel 4 Meter Länge für Autos, 10 Meter für Einfamilienhäuser und 100 bis 200 Meter für Fertigungshallen oder Supermärkte angenommen werden.

Versuchen Sie, das Verfahren zum Schätzen von Entfernungen auf die Küste anzuwenden (siehe hier), indem Sie ein bekanntes Objekt mit einem auf Armeslänge gehaltenen Gegenstand vergleichen.

Ihre Schätzung der Länge des Küstenstücks, das Sie vom Flugzeugfenster aus sehen können, beruht wahrscheinlich auf einer relativ geraden Linie, die sie an die Strecke angelegt haben. Aber ist das ein realistischer Wert? Was passiert, wenn Sie jede kleine Bucht und Krümmung in der Küstenlinie einbeziehen? Dann wäre die Strecke sehr viel länger.

16. Die komplexe Form einer zerklüfteten Küste (Region Provence-Alpes-Côte d’Azur, Frankreich).

Dies ist eine grobrastrige Variante des alten Problems »Wie lang ist die Küstenlinie von Großbritannien?« Sie können einen Mindestumfang für Großbritannien (und jede andere Insel) bestimmen, indem Sie eine Messgröße definieren, unterhalb derer die Aus- und Einbuchtungen gerade und nicht mehr in ihren Umrissen gemessen werden, doch je mehr Details Sie ausmessen, desto länger wird die Küstenlinie werden. Mathematisch betrachtet kann sie unendlich lang werden.

Experiment – Eine unendlich lange Küstenlinie

Für dieses Experiment benötigen Sie einen Stift und ein Blatt Papier. Wenn Sie keine ruhige Hand haben, könnte es hilfreich sein, einen geeigneten Gegenstand als Lineal zu benutzen. Zeichnen Sie einen großen Kreis (er muss nicht perfekt sein, aber mit Hilfe eines kleinen Tellers geht es einfacher). Setzen Sie nun ein gleichseitiges Dreieck – bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind – so in den Kreis, dass die Dreieckspitzen dicht an der Kreislinie liegen, sie aber nicht berühren. Zeichnen Sie dann an der Mitte einer der Dreieckseiten ein weiteres gleichseitiges Dreieck, das ein Drittel der Größe hat und dessen Spitze nach außen, zur Kreislinie zeigt. (Um die Größe festzulegen, teilen Sie die Seite des großen Dreiecks grob in drei Teile und platzieren das kleine Dreieck auf dem mittleren Abschnitt.)

Machen Sie nun dasselbe an einer Außenseite des kleineren Dreiecks – fügen Sie wiederum ein Dreieck an, das nach außen weist und ein Drittel der Größe seines Vorgängerdreiecks hat. Setzen Sie diesen Vorgang so lange fort, wie Sie mögen.

Um den Effekt zur vollen Entfaltung zu bringen, müssen Sie Dreiecke der zweiten Ebene an allen drei Seiten des ersten Dreiecks hinzufügen und danach Dreiecke der dritten Ebene an allen Außenseiten der Dreiecke der zweiten Ebene und so weiter.

Die Figur, die Sie auf diese Weise erhalten, nennt sich Koch-Kurve. Sie ist interessant, weil sie eine endliche Fläche einnimmt – sie kommt nie über den Kreisumfang hinaus –, aber ihre Umrisslänge mit den hinzugefügten Dreiecken ins Unendliche wachsen kann.

17. Die ersten Konstruktionsschritte einer Koch-Kurve.

Das ist ein bisschen wie bei der Küstenlänge einer Insel. Die Summe der Seitenlängen des ursprünglichen Dreiecks ist kleiner als der Kreisumfang, doch je mehr Winkel wir hinzufügen, desto mehr nähert sich ihre Außenlänge unendlich.

Genau wie die Blatt- oder Baumform junger Bäche und Flüsse ist auch die Koch-Kurve ein Fraktal. Wenn Sie einen Abschnitt der Koch-Kurve betrachten, werden Sie feststellen, dass der auch jedem größeren Teil entspricht. Die Koch-Kurve hat einen unendlich langen Umfang, denn es handelt sich um eine abstrakte mathematische Form. Das ist bei der Küstenlinie von Großbritannien (oder einer beliebigen Insel, die Sie ausgewählt haben) ein wenig anders. Auch wenn Sie im Prinzip immer kleinere Krümmungen in Ihre Messung des Umfangs einbeziehen können, bleibt sie ein physisches Objekt, das aus Atomen besteht. Irgendwann würden Ihre Krümmungen bei der Größe eines Atoms angekommen sein und Sie könnten nicht weiter differenzieren. Also ist die Küstenlinie von Großbritannien nicht wirklich unendlich – aber sie kann immer noch sehr, sehr lang sein.

Am interessantesten ist vielleicht, dass die Länge in diesem Fall willkürlich ist. Wir können nicht absolut sagen, wie lang die Küste von Großbritannien ist. Wir sind es gewöhnt, dass die Wissenschaft uns sehr bestimmte Antworten gibt, aber dies ist ein Fall, in dem eine ganze Reihe von Antworten gleichermaßen korrekt ist – abhängig davon, wozu wir sie benötigen. Es gibt keine einzig richtige Antwort auf die Frage nach der Länge einer Küstenlinie.