La portentosa potenza dei numeri primati
Supponiamo che qualcuno vi dica di aver costruito una macchina - la soprannominerò «Guru» - che risponda sempre correttamente a ogni domanda del tipo «n è un numero primo?», dove n è un intero qualunque a vostro piacere. Quando le si chiede: «641 è un numero primo?», Guru farebbe girare le sue rotelle per un po’ e poi direbbe «sì». Quanto a 642, Guru ci «penserebbe» per un po’ e poi direbbe «no». Immagino che non sareste terribilmente sorpresi da una macchina del genere. Che sia possibile realizzare una simile macchina, con la tecnologia dei circuiti di silicio o con quella delle catene di tessere del domino, non è cosa da far sbalordire nessuno al giorno d’oggi.
Ma supponiamo che qualcuno vi dica di aver costruito un’analoga macchina - la soprannominerò «Gòru» - che risponda sempre correttamente a ogni domanda del tipo «n è un numero primato?». Questa dichiarazione - in tutto analoga alla precedente - vi sembrerebbe altrettanto banale? Se sì, mi permetto rispettosamente di suggerirvi che vi state sbagliando.
Ecco perché. Se credete che Gòru sia affidabile e credete anche nel Credo del Matematico (versione dei Principia Mathematica), allora potreste concludere che il vostro piccolo Gòru, facendo tutto da solo, potrebbe rispondere a qualunque domanda di teoria dei numeri che vi interessi, proprio come il genio della lampada. Come mai? Che cosa rende Gòru un genio magico?
Be’, supponiamo che vogliate sapere se l’enunciato X è vero o falso (per esempio, la famosa asserzione «Ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due primi» - che, come detto in precedenza, rimane ancor oggi irrisolta, dopo quasi tre secoli di lavoro).46 Vi basterebbe scrivere X nella notazione formale di PM, quindi convertire in maniera meccanica quella formula nel suo numero di Godel x, e dare quel numero in pasto a Gòru (chiedendogli, quindi, se x è primato o no). Senza dubbio, x sarebbe un intero gigantesco, dunque ci vorrebbe probabilmente un bel po’ di tempo prima che Gòru vi desse una risposta, ma (ammesso che Gòru non sia una bufala) prima o poi sputerebbe fuori un «sì» o un «no». Nel caso Gòru dicesse «sì», sapreste che x è un numero primato, il che significherebbe che la formula che codifica è dimostrabile, il che significherebbe a sua volta che l’enunciato X è vero. Viceversa, se Gòru vi dicesse «no», allora sapreste che l’enunciato X non è dimostrabile, e quindi, credendo nel Credo del Matematico (versione dei Principia Mathematica), concludereste che è falso.
In altre parole, se solo avessimo uria macchina in grado di distinguere infallibilmente i numeri primati da quelli non primati (chiamiamoli «piumati»), e dato per scontato che la versione del Credo del Matematico alla base dei Principia Mathematica sia valida, allora potremmo distinguere infallibilmente gli enunciati veri da quelli falsi. In breve, avere un Gòru ci darebbe una chiave d’oro per aprire tutte le porte della conoscenza matematica.
Sembrerebbe, quindi, che i numeri primati potessero contenere, dissimulata e celata in sé stessi, tutta la conoscenza matematica! Nessun altro prima di Godel aveva mai sognato una successione di numeri dotata di qualcosa di simile a questa sorta di qualità magicamente oracolare. Sembrerebbe allora che questi stupefacenti numeri valgano tanto oro quanto pesano! Ma, come vi ho detto, i numeri primati sono elusivi, perché talvolta numeri piccoli finiscono per far parte del club in fasi molto avanzate, quindi distinguere i numeri primati da quelli piumati non è un’impresa facile, come non lo è costruire un Gòru. (Tutto ciò vuole essere una premonizione di cose che verranno.)