Navigare nell’oceano dei primi e cadere dall’orlo

Probabilmente avete visto da qualche parte la dimostrazione di Euclide del teorema dell’infinità dei numeri primi; in caso contrario, vi siete persi uno dei più fondamentali pilastri della conoscenza umana che siano mai stati eretti. Sarebbe, nella vostra esperienza di vita, una lacuna tanto deplorevole quanto non avere mai assaggiato cioccolato o non avere mai ascoltato un brano musicale. Poiché non posso tollerare una simile fondamentale lacuna nella conoscenza dei miei lettori, proverò a colmarla!

Supponiamo che P, il Grande Ultimo Primo Lassù nel Cielo, esista davvero, e vediamo dove ci conduce questa ipotesi. Perché P esista, occorre che ci sia un Club Finito ed Esclusivo di Tutti i Primi, club del quale P è il glorioso, supremo e ultimo membro. Bene, moltiplichiamo ora coraggiosamente fra loro tutti i primi del Club Esclusivo per ottenere un numero deliziosamente enorme che chiameremo Q. Questo numero Q è quindi divisibile per 2, nonché per 3, 5, 7,11 e così via. Per definizione, Q è divisibile per ogni numero primo del Club, vale a dire per ogni primo dell’universo! E ora, per uno squisito ultimo tocco, come nelle feste di compleanno, aggiungiamo ancora una candelina, per ottenere Q + 1. Ecco così un numero colossale che, ne siamo certi, non è primo, dato che P (ovviamente insignificante rispetto a Q) è il Grande Ultimo Primo, il maggiore di tutti. Tutti i numeri maggiori di P sono, per la nostra ipotesi iniziale, composti. Pertanto Q + 1, ben maggiore di P e dunque composto, deve avere un divisore primo. (Tenetelo in mente, per favore.)

Quale potrebbe essere questo sconosciuto divisore primo? Non può essere 2, perché 2 divide Q, che è esattamente un’unità in meno di Q +1, e due numeri pari non si trovano mai a distanza di 1 tra di loro. Non può nemmeno essere 3, perché anche 3 divide Q, e i numeri divisibili per 3 non si trovano mai uno vicino all’altro! Di fatto, qualunque primo p scegliamo fra i membri del Club, scopriamo che p non può dividere Q + 1, perché p divide il suo vicino inferiore Q (e i multipli di p non sono mai uno vicino all’altro - ne arriva uno soltanto ogni p numeri). E così il ragionamento ci ha mostrato che nessuno dei membri del Club Esclusivo e Finito dei Primi divide Q + 1.

Tuttavia, prima ho osservato (e vi ho chiesto di ricordare) che Q + 1, essendo composto, deve avere un divisore primo. Ahi! Siamo finiti in una trappola, ci siamo infilati in un vicolo cieco. Abbiamo inventato un numero assurdo - un numero che da un lato deve essere composto (cioè avere un qualche divisore primo più piccolo) e, dall’altro, non ha alcun divisore primo più piccolo. Questa contraddizione deriva dal nostro assunto che ci fosse un Club Esclusivo e Finito dei Primi, gloriosamente coronato da P, sicché non c’è altra scelta che fare marcia indietro e cancellare tutta questa divertente, ma sospetta, ipotesi.

Non può esserci un «Grande Ultimo Primo Lassù nel Cielo»; non può esserci un «Club Finito ed Esclusivo di Tutti i Primi». Sono invenzioni. La verità, come abbiamo appena dimostrato, è che l’elenco dei numeri primi prosegue senza fine. Non ci capiterà mai e poi mai di «cadere giù dalla Terra», non importa quanto lontano ci spingiamo. Di questo siamo ora certi in virtù di un ragionamento ineccepibile, e nessuna quantità finita di navigazione computazionale tra mari di numeri avrebbe mai potuto farcene diventare certi allo stesso modo.

Se per caso l’arrivare a comprendere perché l’ultimo primo non esiste (piuttosto che sapere soltanto che è così) è stata per voi una nuova esperienza, spero che l’abbiate gustata tanto quanto un pezzo di cioccolato o di musica. E come per quelle esperienze, seguire questa dimostrazione è una fonte di piacere a cui si può ritornare e in cui ci si può reimmergere più volte, trovandola ogni volta rigenerante. Inoltre, questa dimostrazione è una ricca fonte di altre dimostrazioni - Variazioni su un tema di Euclide (che però non esploreremo qui).⁷