Il signor Berry della Bodleiana

Uno di questi stravaganti paradossi era stato architettato da un bibliotecario di Oxford di nome G.G. Berry nel 1904, due anni prima che Godel nascesse.³⁹ Berry era affascinato dalle multiformi possibilità di definire numeri a parole. Si era accorto che, cercando abbastanza in profondità, era possibile trovare una descrizione piuttosto concisa di praticamente qualunque numero intero. Per esempio, l’intero 30 richiede solo 2 sillabe per essere nominato, l’intero 144 si può indicare con solo 6 sillabe («dodici quadrato» oppure «otto per diciotto»), l’intero 1.000.011 è individuabile in sole 7 sillabe («un milione undici»), e così via. Come potete descrivere il numero 1737 con il minor numero di sillabe?

In generale, si potrebbe pensare che quanto più grande è il numero, tanto più lunga debba essere qualunque sua descrizione, ma tutto dipende da quanto facilmente si può esprimere tale numero per mezzo di interi «di riferimento» - quei rari numeri interi che hanno nomi o descrizioni eccezionalmente corti, come per esempio mille alla un triliardo, con la sua descrizione molto economica in 8 sillabe. La maggior parte dei grandi numeri, naturalmente, non sono né numeri di riferimento né numeri a loro vicini. In realtà, la stragrande maggioranza dei numeri sono «oscuri», poiché ammettono solo descrizioni molto lunghe e complesse in quanto, be’, sono proprio «difficili da descrivere»; un po’ come quegli sperduti avamposti situati in remote lande desolate che si possono raggiungere solo percorrendo una lunga serie di stradine secondarie che diventano sempre più strette e sconnesse man mano che ci si avvicina alla destinazione.

Prendiamo in considerazione 777.777, il cui nome standard in italiano, «settecentosettantasettemilasettecentosettantasette», è piuttosto lungo - 20 sillabe, in effetti. Ma questo numero ha una descrizione un po’ più breve: «(9³ + 48) x 1001» («nove al cubo più quarantotto per milleuno»), o anche il nudo e crudo «il numero scritto mettendo sei sette in fila». In entrambi i casi, siamo scesi a 15 sillabe. Un bel risparmio!

Con un po’ di sforzo, potremmo trovare parecchie espressioni italiane che designano il numero 777.777, e alcune di esse, se pronunciate, potrebbero essere composte da veramente poche sillabe. Che dire di «37 per 21 per 1001» («trentasette per ventuno per milleuno»), per esempio? Scendiamo a 13 sillabe! E di «7007 per 111» («settemilasette per centoundici»)? Scendiamo a 12! E di «sette noni di milione, troncato»? Giù a soltanto 11! Ma fino a che punto riusciamo a comprimere le nostre descrizioni di questo numero? Non è affatto ovvio, perché 777.777 potrebbe magari avere una qualche recondita proprietà aritmetica che gli consente di essere espresso in una forma molto concisa. Una descrizione del genere potrebbe persino coinvolgere numeri di riferimento molto più grandi dello stesso 777.777!

Berry il bibliotecario, dopo avere rimuginato un po’ sulla complessa e sfuggente natura della ricerca di descrizioni sempre più brevi, se ne uscì con una diabolica caratterizzazione di un numero molto speciale, che in suo onore chiamerò b: b è il più piccolo intero che, descritto a parole, richiede almeno 30 sillabe. Detto altrimenti, b non ha una caratterizzazione precisa più corta di 30 sillabe. Visto che occorre per forza un così grande numero di sillabe per descriverlo, sappiamo che b dev’essere un intero davvero enorme. Ma quanto sarà grande, più o meno, questo bizzarro b?

Qualsiasi grande numero nel quale possiamo imbatterci in un giornale, in una rivista, o in un libro di astronomia o di fisica, si può quasi certamente descrivere con una dozzina di sillabe, al massimo una ventina. Per esempio, il numero di Avogadro (6 x IO²³) può essere specificato in maniera assai compatta («sei per dieci alla ventitré» - appena 9 sillabe). Non vi sarà facile trovare un numero così grande che, in qualunque modo lo descriviate, richieda almeno 30 sillabe.

A ogni buon conto, il b di Berry è, basandosi sulla sua definizione, proprio il primo intero che non può essere abbreviato sotto le 30 sillabe della nostra bella lingua. È, lo ripeto in corsivo per enfatizzarlo, il più piccolo intero che, descritto a parole, richiede almeno 30 sillabe. Ma aspettate un momento! Quante sillabe ha la mia frase in corsivo? Contatele: 27. Abbiamo in qualche modo descritto b con meno sillabe di quante ne ammetta la sua definizione. Di fatto, la frase in corsivo non descrive banalmente b «in qualche modo»; è proprio la definizione di b! Dunque, il concetto di b si dà la zappa sui piedi da solo. Qui sta succedendo qualcosa di veramente strano.