14. La gravedad en el interior de los planetas

¿Cómo variaría el peso de un cuerpo si fuera transportado a las profundidades de un planeta, por ejemplo, al fondo de una mina de extraordinaria profundidad?

Muchos creen erróneamente que en el fondo de esta mina el cuerpo debería hacerse más pesado, pues está más cerca del centro del planeta, es decir, del punto hacia el cual son atraídos todos los cuerpos. Este razonamiento, sin embargo, no es correcto: la fuerza de atracción hacia el centro del planeta no crece con la profundidad, sino que, a la inversa, disminuye. En mi Física recreativa, podrá encontrar el lector una explicación de este fenómeno, al alcance de todos. Para no repetir lo allí dicho, me limitaré a indicar lo que sigue.

Figura 95. Un cuerpo que se halle dentro de una capa esférica, no tiene peso

Figura 96. ¿De qué depende el peso del cuerpo en el interior del planeta?

Figura 97. Cálculo de la variación del peso de un cuerpo como consecuencia de su acercamiento al centro del planeta

En mecánica se demuestra que un cuerpo situado en la cavidad de una capa esférica homogénea está totalmente desprovisto de peso (figura 95). De donde se deduce que un cuerpo que se encuentra dentro de una esfera maciza y homogénea, sólo está sujeto a la atracción de la porción de materia comprendida en la esfera de radio igual a la distancia del cuerpo al centro (figura 96).

Apoyándose en esto, es fácil deducir la ley según la cual varía el peso de un cuerpo a medida que se aproxima al centro del planeta. Llamemos R al radio del planeta (figura 97); y r a la distancia del cuerpo al centro del planeta. La fuerza de atracción del cuerpo en este punto deberá crecer veces

(R/r)² veces

y al mismo tiempo disminuir

(R/r)³ veces

ya que la parte del planeta que ejerce atracción disminuye este número de veces (R), es decir, r veces. En conclusión, la fuerza de atracción deberá disminuir

(R/r)³ / (R/r)²

es decir,

(R/r) veces

Esto significa que en el interior de los planetas el peso de un cuerpo debe disminuir tantas veces cuantas disminuya su distancia al centro. Para un planeta de las dimensiones de la Tierra, que tiene un radio de 6.400 km, un descenso de 3.200 km debe acompañarse de una reducción del peso a la mitad; un descenso de 5.600 km, de una reducción del peso igual a

6.400/(6.400 - 5.600)

es decir, ocho veces.

En el centro mismo del planeta, el cuerpo debería perder su peso por completo, ya que

6.400/(6.400-6.400) =

Por otra parte, este resultado era de prever sin necesidad de cálculo, puesto que en el centro del planeta el cuerpo es atraído en todos los sentidos con la misma fuerza, por la materia que lo rodea.

Los razonamientos anteriores se refieren a un planeta imaginario homogéneo en cuanto a densidad. A los planetas verdaderos sólo se pueden aplicar con reserva. En particular, para el globo terrestre, cuya densidad en las capas profundas es mayor que cerca de la superficie, la ley de la variación de la gravedad con la aproximación al centro se aparta algo de lo que acabamos de decir: hasta cierta profundidad (relativamente no muy grande), la atracción crece, y sólo para las profundidades siguientes empieza a disminuir.