3. Las trayectorias de los planetas con el compás

De las tres leyes de los movimientos planetarios arrancadas a la naturaleza con gigantesco esfuerzo por el genio de Kepler, la primera puede ser la menos comprensible para muchos.

Esta ley afirma que los planetas se mueven describiendo elipses. ¿Por qué precisamente elipses? Uno pudiera pensar que si se hace sentir por todas partes la misma fuerza en torno al Sol y ésta disminuye con el alejamiento en igual medida, los planetas deberían dar vuelta alrededor del Sol siguiendo círculos y no trayectorias cerradas y estiradas, en las cuales el Sol no ocupa una posición central. La cuestión queda perfectamente clara luego de estudiar matemáticamente el problema. Pero sólo algunos de los aficionados al estudio del cielo poseen los conocimientos de matemática superior necesarios para afectar dicho análisis. Intentaremos hacer comprensible la validez de las leyes de Kepler para aquellos lectores que sólo conocen las matemáticas elementales.

Figura 87. La fuerza de atracción del planeta por el Sol aumenta con la disminución de la distancia

Armados de un compás, una regla graduada y una hoja grande, de papel, vamos a construir nosotros mismos las órbitas de los planetas y a comprobar así gráficamente que esas trayectorias resultan tal como deben ser, de acuerdo con las leyes de Kepler.

El movimiento de los planetas está gobernado por la fuerza de la gravitación. Estudiemos esto. El circulito de la derecha en la figura 87 representa un Sol imaginario; a la izquierda de él está un planeta también imaginario. La distancia entre ambos, que suponemos de 1.000.000 km, está representada en el dibujo por 5 cm; la escala es, pues, de 200.000 km por 1 cm.

La flecha de 0,5 cm de longitud representa la fuerza con que el Sol atrae a nuestro planeta (figura 87). Supongamos que bajo la acción de esta fuerza, el planeta se acerca al Sol, y se encuentra á 900.000 km de distancia de él, es decir, 4,5 cm en nuestro dibujo.

Se intensifica entonces la atracción del planeta por el Sol, de acuerdo con las leyes de la gravitación, en:

(10/9)²

o sea, 1,2 veces. Si antes se representaba la atracción con una flecha de 1 unidad de longitud, ahora deberá darse a la flecha una longitud de 1,2 unidades. Cuando la distancia disminuye a 800.000 km, es decir, a 4 cm en nuestro dibujo, la fuerza de la atracción crece

(5/4)²

es decir, 1,6 veces y se representa con una flecha de 1,6 unidades. Para posteriores aproximaciones del planeta al Sol, hasta las distancias de 700, 600 y 500 mil kilómetros, la fuerza de atracción se representará respectivamente con flechas de 2, de 2,8 y de 4 unidades de longitud.

Se puede suponer que las flechas representan no sólo las fuerzas de atracción, sino también los desplazamientos que el cuerpo sufre bajo la influencia de estas fuerzas, en la unidad de tiempo (en este caso los desplazamientos son proporcionales a las aceleraciones, y por consiguiente, también a las fuerzas). En nuestras construcciones posteriores vamos a utilizar este esquema como patrón de los desplazamientos del planeta.

Figura 88. Cómo hace el Sol S que el camino WKPR del planeta, sea curvo

Procedamos ahora a la construcción de la trayectoria de un planeta que gira alrededor del Sol. Supongamos que se trata de un planeta de la misma masa que el anteriormente considerado, que se mueve en la dirección WK con velocidad de 2 unidades de longitud y se encuentra en el punto K, a 800.000 km de distancia del Sol (figura 88). A esta distancia la atracción del Sol actuará sobre el planeta con una fuerza tal, que lo obligará a desplazarse en una unidad de tiempo en dirección al Sol 1,6 unidades de longitud; en el mismo espacio de tiempo el planeta se adelanta 2 unidades en la dirección original WK. Como resultado de ambos movimientos se desplazará según la diagonal KP del paralelogramo construido con los desplazamientos K1 y K2, diagonal que es igual a 3 unidades de longitud (figura 88).

Encontrándose en el punto P, el planeta tratará de moverse más lejos en la dirección KP con una velocidad de 3 unidades.

Pero al mismo tiempo, por efecto de la atracción del Sol a la distancia SP = 5,8, deberá efectuar en la dirección SP el camino P4 = 3. Como resultado, recorre la diagonal PR del paralelogramo.

Figura 89. El Sol desvía al planeta P de su trayectoria recta original y lo obliga a describir una línea curva

No nos detendremos en llevar más adelante la construcción en el mismo dibujo: la escala es demasiado grande. Se comprende que cuanto menor es la escala, tanto mayor es la parte de la trayectoria del planeta que se puede representar en el esquema y tanto menor la variación brusca de los ángulos que alteran el parecido de nuestro esquema con la trayectoria real del planeta. En la figura 89 se muestra el mismo esquema, con una escala mucho menor, para el caso imaginario del encuentro del Sol con un cuerpo celeste de masa igual a la del planeta considerado antes. Se ve claramente que el Sol desvía al planeta extraño de su trayectoria inicial y lo obliga a seguir la curva P-I-II-III-IV-V. Los ángulos de la trayectoria trazada aquí no son tan bruscos y no resulta difícil unir las posiciones sucesivas del planeta, mediante una línea curva suave.

¿Qué curva es ésta? La geometría nos ayuda a contestar esta pregunta. Pongamos sobre el dibujo (figura 89) una hoja de papel transparente y calquemos en ella seis puntos, elegidos arbitrariamente, del camino del planeta.

Figura 90. Demostración geométrica de que los planetas se mueven alrededor del Sol, siguiendo una sección cónica. (Detalles en el texto)

Numeramos los seis puntos elegidos (figura 90) en cualquier orden y los unimos entre sí en ese mismo orden con segmentos rectos. Nos resultará una figura hexagonal inscrita en el camino del planeta, algunos de cuyos lados se cruzan.

Prolonguemos ahora la recta 1-2 hasta la intersección con la línea 4-5 en el punto I. Del mismo modo, tendremos el punto II en la intersección de las rectas 2-3 y 5-6, y después el punto III en las intersecciones 3-4 y 1-6. Si la curva examinada es una de las llamadas “secciones cónicas”, es decir, una elipse, una parábola o una hipérbola, los tres puntos I, II y III deben estar en línea recta. Este teorema geométrico se denomina “hexágono de Pascal”.

Con una ejecución cuidadosa del dibujo, los puntos de intersección indicados quedan siempre en línea recta. Esto demuestra que la curva examinada es una elipse, una parábola o una hipérbola. La curva de la figura 89, evidentemente, no puede ser una elipse (la curva no es cerrada), y esto quiere decir que el planeta se movería en tal caso por una parábola o por una hipérbola. La relación entre la velocidad inicial y la fuerza de la atracción es tal que el Sol sólo desvía al planeta de su trayectoria en línea recta, pero no es capaz de hacerlo girar a su alrededor, dicho de otro modo, no es capaza de “prenderlo”, como dicen los astrónomos.

Intentemos ahora aclarar por un procedimiento similar la segunda ley del movimiento de los planetas, la llamada ley de las áreas. Examinemos atentamente la figura 21 (Ver capítulo 1. “14. Si la trayectoria de la Tierra fuera más pronunciada”). Doce puntos marcados en ella la dividen en doce partes de diferente longitud, pero ya sabemos que el planeta las recorre en tiempos iguales.

Uniendo los puntos 1, 2, 3, etc. con el Sol, se obtienen 12 figuras cuyas superficies son aproximadamente iguales a las de los triángulos que resultan si se unen esos puntos con cuerdas. Midiendo las bases y las alturas, puedes calcular las áreas. Comprobarás que todos los triángulos tienen la misma área. En otras palabras, has verificado la segunda ley de Kepler:

“Los radios vectores de las órbitas de los planetas barren áreas iguales en períodos de tiempo iguales.”

Así, pues, el compás, hasta cierto punto, ayuda a comprender las dos primeras leyes de los movimientos de los planetas. Para aclarar la tercera ley cambiemos el compás por la pluma y efectuemos algunos ejercicios numéricos.