1. El camino más corto: en la Tierra y en el mapa

La maestra dibuja con tiza dos puntos en la pizarra. Le pregunta a un pequeño alumno que hay frente a ella si sabe cuál es la distancia más corta entre esos dos puntos.

El chico vacila un momento y después dibuja con cuidado una línea curva.

- ¿Ese es el camino más corto? -le pregunta la maestra sorprendida.- ¿Quién te lo enseñó?

- Mi Papá. Es taxista.

Figura 1. Las cartas náuticas no designan el camino más corto del Cabo de Buena Esperanza a la punta sur de Australia por una línea recta (“loxodrómica”) sino por una curva (“ortodrómica”).

El relato sobre el dibujo del ingenuo colegial es, por supuesto, un chiste. ¡Pero supongo que también sonreirás con incredulidad, cuando te digan que la línea discontinua y arqueada de la Fig. 1 representa el camino más corto desde el Cabo de Buena Esperanza hasta la punta sur de Australia!

¡Te asombrarás aún más, al saber que el camino más corto desde Japón hasta el Canal de Panamá, es la línea curva que se muestra en la Fig. 2, y no la línea recta entre estos dos lugares trazada en el mismo mapa!

Podrás pensar que se trata de un chiste, pero lo antedicho es totalmente cierto, hecho que todos los cartógrafos atestiguarían.

Para dejar las cosas claras debemos decir unas palabras sobre los mapas en general y sobre las cartas náuticas en particular. No resulta fácil dibujar una sección de la superficie de la Tierra, porque esta tiene forma esférica.

Figura 2. Parece increíble que la curva que une Yokohama con el Canal de Panamá es más corta en la carta náutica que la línea recta entre estos dos puntos.

Nos guste o no tenemos que aceptar las inevitables distorsiones cartográficas. Se han desarrollado muchos métodos para trazar los mapas, pero todos presentan defectos en un sentido u otro.

Los marinos usan mapas trazados al modo de Mercator[1], cartógrafo y matemático flamenco del siglo XVI. Este método se conoce como la Proyección de Mercator. Las cartas marinas se reconocen fácilmente por su red de líneas entrelazadas; tanto meridianos como paralelos y latitudes, se indican con líneas rectas; paralelos y latitudes son horizontales y forman ángulos rectos con los meridianos cuyo trazo es vertical[2].

Imagina que ahora debes encontrar la ruta más corta entre un puerto y otro, ambos situados sobre el mismo paralelo. Podrás navegar en el mar en cualquier dirección, siempre que sepas hallar el camino más corto. Quizás pienses que viajas por el camino más corto, navegando sobre el paralelo que une ambos puertos, una línea recta en nuestro mapa. Después de todo, que puede ser más corto que una línea recta. Pero cometes un error; la ruta a lo largo del paralelo no es la más corta. De hecho, el camino más corto entre dos puntos sobre la superficie de una pelota, es el arco de confluencia del círculo máximo[3]. Sin embargo, la latitud es un círculo menor.

El arco del círculo máximo es menos curvado que el arco de cualquier círculo menor que pase por esos dos puntos; el radio más grande pertenece a la curva más pequeña. Coge un trozo de hilo y estíralo a través del globo entre los dos puntos que hayas elegido (ver Figura 3): notarás que no sigue la línea del paralelo. Nuestro trozo de hilo incuestionablemente nos muestra la ruta más corta, así que si no coincide con el paralelo, lo mismo sucederá en las cartas náuticas, donde los paralelos están indicados como líneas rectas. La ruta más corta no será una línea recta, así que solo puede ser una línea curva.

Figura 3. Una manera simple de encontrar el camino más corto entre dos puntos es estirar un trozo de hilo entre los puntos dados en un globo.

Según nos cuenta la historia, los ingenieros no conseguían ponerse de acuerdo para elegir una ruta para el ferrocarril entre San Petersburgo y Moscú. El Zar Nicolás I resolvió la situación dibujando una línea recta entre los dos puntos. Si se hubiera empleado un mapa con la proyección de Mercator, el resultado habría sido embarazoso. La vía férrea hubiera resultado curva y no recta.

Mediante un cálculo simple, se puede ver que una línea curva en un mapa es, de hecho, más corta que una línea recta. Imaginemos que nuestros hipotéticos puertos están en la misma latitud que Leningrado, aproximadamente en el paralelo 60 y separados unos 60º entre sí.

En la Figura 4, el punto O designa el centro del globo y AB el arco de 60º de la línea latitudinal donde se encuentran los puertos A y B. El punto C designa el centro de ese círculo latitudinal.

Figura 4. Cómo calcular las distancias entre los puntos A y B de una esfera, a lo largo de los arcos del paralelo y el círculo máximo.

Al dibujar a través de los dos puertos un gran arco del círculo imaginario con su centro en O, el centro del globo, su radio resulta OA = OB = R, aunque no coincida exactamente con el arco AB, su valor será bastante aproximado.

Calculamos ahora la longitud de cada arco. Como los puntos A y B están a 60º de latitud, los radios OA y OB forman un ángulo de 30º con OC, siendo este último el eje terrestre imaginario. En el triángulo rectángulo ACO, el lado CA (= r), adyacente al ángulo recto y opuesto al ángulo de 30º, es igual a la mitad de la hipotenusa AO, de modo que r = R/2.

Como la longitud del arco AB es una sexta parte de la longitud del círculo latitudinal, esa longitud es la siguiente:

Para determinar la longitud del arco del mayor de los círculos, debemos encontrar el valor de ángulo AOB.

Como la cuerda del arco AB, es el lado de un triángulo equilátero inscrito en el mismo pequeño círculo, AB = r = R/2. Si dibujamos una línea recta OD, uniendo el punto O, el centro del globo, con el punto medio D, de la cuerda del arco AB, obtenemos el triángulo rectángulo ODA.

Si DA es ½ AB y OA es R, entonces el seno ÐAOD = AD ÷ AO = R/4 ÷ R = 0,25.

Encontramos (de las tablas trigonométricas) que ÐAOD = 14º 28’ 40” y que ÐAOB = 28º 57’.

Ahora será fácil encontrar el camino más corto, tomando la longitud de un minuto del gran círculo del globo como una milla náutica[4], más o menos 1,85 kilómetros. Por lo tanto,

28º 57’ = 1.737’ y 3.213 km.

De este modo hemos encontrado que la ruta a lo largo del círculo latitudinal, indicada en las cartas náuticas mediante una línea recta, es de 3.333 km., mientras que la ruta a lo largo del círculo máximo, una línea curva en el mapa, es de 3.213 km., es decir que la trayectoria curva es 120 km. más corta que la trayectoria recta sobre el mapa.

Con un trozo de hilo y un globo terrestre de escuela, podrás comprobar que nuestros dibujos son correctos y verás que los arcos de circunferencia son iguales a los que hemos mostrado. La ruta marítima “recta”, trazada en la Figura 1, desde África hasta Australia, es de 6.020 millas, en tanto que la ruta curva es de sólo 5.450, es decir, que esta última mide unas 570 millas (1.050 km.) menos que la primera.

En la carta de navegación la línea aérea “recta” que une Londres con Shangai pasa a través del Mar Caspio, teniendo en cuenta que el camino más corto es el norte de Leningrado. Podemos imaginar cuán importante resulta la elección de la trayectoria curva y no la recta, desde el punto de vista de ahorro de tiempo y combustible.

En la era de los grandes veleros, el hombre no apreciaba la relación entre el tiempo y el dinero. Sin embargo, con la llegada del buque de vapor, cada tonelada extra de carbón que se emplea para mover el barco, se traduce en una pérdida de “dinero”. Eso explica por qué los barcos toman el camino más corto, y en lugar de confiar en los mapas de la Proyección de Mercator, se ciñen a los mapas de Proyección “Central”[5] que indican los grandes arcos del círculo mediante líneas rectas. ¿Entonces por qué los marineros de antiguos tiempos usaron esos mapas engañosos y se introdujeron en rutas poco ventajosas? Si crees que los marineros de antiguos tiempos no conocían nada sobre las propiedades específicas de las Cartas de Navegación que acabamos de mencionar, estás en un error. Naturalmente, esa no es la verdadera razón. El caso es que, pese a presentar algunos inconvenientes, los mapas con la Proyección de Mercator poseen varias ventajas para los marineros. En primer lugar, estos mapas conservan los contornos, sin distorsiones, dentro de cada fracción del globo, encerrado entre líneas longitudinales y latitudinales adyacentes. Este resultado no se ve afectado por el hecho de que cuanto mayor es la distancia desde el Ecuador, más alargados son los contornos. En las latitudes altas la distorsión es tan grande que una persona que no conozca los rasgos característicos de las Cartas de Navegación creerá que Groenlandia es tan grande como África, o Alaska más grande que Australia; realmente Groenlandia es 15 veces más pequeña que África, mientras que Alaska y Groenlandia juntos, no son mayores que la mitad de Australia. Esa persona tendrá por lo tanto, una concepción completamente errónea del tamaño de los diversos continentes. Pero el marinero avezado, al corriente de estas particularidades, no estará en desventaja, porque como ya hemos dicho, dentro de cada pequeña sección del mapa, la Carta de Navegación proporciona un cuadro exacto (Figura 5).

La Carta náutica es un recurso para resolver tareas prácticas de navegación. Es a su modo, el único mapa en el que se indica el verdadero curso recto de un navío, mediante una línea recta. Seguir un curso recto significa mantener la misma dirección, a lo largo del mismo rumbo; en otras palabras, cruzar todos los meridianos con el mismo ángulo.

Figura 5. Una carta náutica o proyección de Mercator del mundo. Estos mapas dilatan enormemente los contornos de los territorios alejados del Ecuador. Cuál es más grande: ¿Groenlandia o Australia? (Vea la respuesta en el texto)

Este rumbo, conocido como línea loxodrómica, solo puede indicarse como una línea recta, en un mapa donde los meridianos sean líneas rectas paralelas. Puesto que los meridianos se cruzan con las latitudes en ángulos rectos sobre el globo, este mapa también debe mostrar las latitudes como líneas rectas, perpendiculares a los meridianos.

Ahora entiendes por qué los marineros se sienten tan atraídos por la Proyección de Mercator. Para trazar el rumbo hacia el puerto de destino, el navegante une los puntos de salida y destino con una regla, y calcula el ángulo entre esa línea y el meridiano. Siguiendo este curso en el mar, el navegante llevará su nave infaliblemente a su meta. Por consiguiente, se verá que mientras que el “loxodromo” no es el camino más corto o el modo más económico, en cierto modo, es un rumbo muy conveniente para el marino. Para alcanzar, por ejemplo, el extremo sur de Australia partiendo del Cabo de Buena Esperanza (ver Figura 1), debemos seguir, sin desviaciones, el rumbo S 87º50’. Pero si queremos llegar allí por el camino más corto, conocido como “ortodromo”[6], nos vemos forzados a cambiar el rumbo continuamente, como puede verse en el dibujo, iniciando con rumbo S 42º50’ y terminando con rumbo N 53º50’ (esto sería intentar lo imposible ya que nuestro rumbo más corto nos llevaría hacia las paredes de hielo del Océano Antártico).

Los dos rumbos, el “loxodrómico”, y el “ortodrómico”, coinciden con una línea recta cuando el desplazamiento se realiza a lo largo del ecuador o de cualquiera de los meridianos que se indican en el mapa náutico. En los restantes casos siempre divergen.