1. Un cañonazo hacia arriba

¿Dónde caería una granada, disparada verticalmente, hacia arriba, por un cañón situado en el Ecuador? (figura 86).

Figura 86. El problema de la bala de cañón disparada verticalmente

Este problema se debatía veinte años atrás en una revista con referencia a una granada imaginaria arrojada con una velocidad de 8.000 m/seg; esta granada, a los 70 minutos, debería alcanzar una altura de 6.400 km (radio terrestre). He aquí lo que decía la revista:

“Si la granada se arroja verticalmente, hacia arriba, en el Ecuador, al salir del cañón poseerá además la velocidad angular de los puntos del Ecuador en dirección al Este (465 m/s).

La granada se trasladará con esta velocidad, paralelamente al Ecuador. El punto que se encontraba en el momento del disparo, a la altura de 6.400 km, verticalmente sobre el punto de partida de la granada, se trasladará en un círculo de radio doble con doble velocidad lineal. Por consiguiente, dicho punto aventajará a la granada en dirección al Este. Cuando la granada alcance el punto más alto de su trayectoria, se encontrará verticalmente, no sobre el punto de partida del disparo, sino que estará desviada hacia el Oeste de dicho punto. Lo mismo sucede en la caída de retorno de la granada. Como resultado, al cabo de los 70 minutos empleados en el ascenso y el descenso, la granada se habrá atrasado aproximadamente 4.000 km hacia el Oeste del punto de partida.

En este punto es donde se debe esperar su caída. Para hacer que la granada vuelva al punto de partida -es necesario dispararla, no verticalmente, sino en dirección ligeramente inclinada, en nuestro caso con una inclinación de 5º.”

De manera completamente distinta, resuelve Flammarion[1] un problema similar, en su Astronomía.

“Si se dispara un cañonazo verticalmente hacia el cenit, la bala caerá nuevamente en el alma del cañón, aunque durante su elevación y descenso se traslada con la Tierra hacia el Este. La causa es evidente. La bala, elevándose hacia arriba, no pierde nada de la velocidad que el movimiento de la Tierra le comunica. Los dos impulsos recibidos no se oponen: puede ir 1 km hacia arriba y al mismo tiempo hacer, por ejemplo, 6 km hacia el Este. Su movimiento en el espacio seguirá la diagonal de un paralelogramo, uno de cuyos lados es de 1 km y el otro de 6 km. Al caer, por efecto de la gravedad, se moverá según otra diagonal (más exactamente, siguiendo una curva, a consecuencia de la aceleración) y caerá nuevamente en el alma del cañón, el cual, como antes, se encuentra en posición vertical.”

Flammarion añade:

“Realizar con éxito semejante experiencia resultaría, sin embargo, bastante laborioso, porque sería difícil encontrar un cañón bien calibrado y nada fácil ponerlo en posición totalmente vertical. Mersenne y Petit [2] intentaron hacer esto en el siglo XVII, pero ni siquiera encontraron su bala después del disparo.

Varignon [3], en la página inicial de su obra Nuevas conjeturas sobre la gravedad (1.690), insertaba un dibujo relativo a esto. En dicho dibujo, dos observadores -un monje y un militar- están de pie al lado de un cañón que apunta hacia el cenit y miran hacia arriba, como siguiendo la bala disparada. En el grabado está escrito (en francés) ¿Retombera-t-il? (¿Volverá a caer?). El monje es Mersenne; el militar es Petit. Esta peligrosa experiencia la efectuaron varias veces, y como nunca les resultó bastante acertada como para que la bala les cayera en la cabeza, sacaron la conclusión de que el proyectil se quedaba para siempre en el aire. Varignon se sorprende del hecho:

¡Una bala pendiendo sobre nuestras cabezas! Es verdaderamente asombroso. Repitiendo la experiencia en Estrasburgo [4], la bala cayó a varios cientos de metros del cañón. Es evidente que el arma no había sido dirigida exactamente en dirección vertical.”

Las dos soluciones del problema, como vemos, difieren mucho. Un autor afirma que la bala caerá lejos, hacia occidente del lugar del disparo; otro indica que deberá caer en el alma misma del cañón. ¿Quién tiene razón?

En rigor son falsas ambas soluciones, pero la de Flammarion está mucho más cerca de la verdad. La bala debe caer hacia el oeste del cañón; sin embargo, no tan lejos como afirmaba el primer autor y no en el cañón mismo como afirmaba el segundo.

El problema, lamentablemente, no se puede resolver con los recursos de la matemática elemental. Por esta razón nos limitaremos a dar el resultado final[5].

Si llamamos v a la velocidad inicial de la bala, w a la velocidad angular de rotación del globo terrestre y g a la aceleración de la gravedad, la distancia x del punto de caída de la bala al oeste del cañón se obtiene con las expresiones correspondientes, en el Ecuador:

Y en la latitud:

Aplicando la fórmula al problema propuesto por el primer autor, tenemos[6]

v = 8.000 m/s

g = 9,8 m/s²

Sustituyendo estos valores en la primera fórmula, resulta x = 520 km: la bala caerá 520 km al oeste del cañón (y no a 4.000 km, como pensaba el primer autor).

¿Qué resultado da la fórmula para el caso examinado por Flammarion? El disparo no era efectuado en el Ecuador, sino cerca de París, a 48º de latitud. Supondremos la velocidad inicial de la bala del viejo cañón igual a 300 m/s. Sustituyendo en la segunda fórmula:

v = 300 m/s

g = 9,8 m/s², f = 48°

resulta x = 18 m

La bala caerá a 18 m al oeste del cañón (y no en el alma misma, como suponía el astrónomo francés). En estos cálculos, como se ve, no se ha tenido en cuenta la posible acción de las corrientes de aire, capaces de alterar notablemente el resultado.