1. Enigmas matemáticos de la pirámide de Keops
La más alta pirámide del antiguo Egipto, la de Keops, desde hace cinco mil años azotada por el aire tórrido del desierto, representa sin lugar a dudas, la construcción más extraordinaria que se conserva del mundo antiguo (Fig. 51). Con una altura de casi ciento cincuenta metros, cubre con su base un área de 40 mil metros cuadrados y está compuesta de doscientas hileras de gigantescas piedras. Cien mil esclavos, en el curso de 30 años, trabajaron en su edificación, habiendo empleado inicialmente, 10 años en preparar el camino para el transporte de piedras desde la cantera hasta el lugar de la construcción, y posteriormente, 20 años en amontonarlas una sobre otra con ayuda de las primitivas máquinas de ese tiempo.
Sería extraño que tan colosal construcción hubiese sido erigida con el único propósito de servir de tumba para los dirigentes del país. Por tal, razón, algunos investigadores han tratado de descubrir si el misterio de la pirámide puede revelarse por la relación de sus dimensiones.
Estos tuvieron la suerte, conforme a su juicio, de hallar una serie de sorprendentes relaciones que atestigua acerca del hecho de que los sacerdotes directores del trabajo de construcción, poseían profundos conocimientos de matemática y astronomía, los cuales fueron personificados en las formas de piedra de la pirámide.
«Cuenta Heródoto (Famoso historiador griego que visitó Egipto durante el año 300 antes de nuestra era), leemos en el libro del astrónomo francés Maurais ("Enigmas de la ciencia", 1926. Tomo I), que los sacerdotes egipcios le revelaron la siguiente relación entre la base lateral de la pirámide y su altura: el cuadrado de la altura de la pirámide, es exactamente igual al área de cada uno de los triángulos laterales. Esto encaja perfectamente con las más modernas mediciones. He aquí la demostración de que en todo tiempo, la pirámide de Keops se ha considerado como un monumento cuyas proporciones han sido calculadas matemáticamente.
(Aporto la demostración más tardía: sabemos que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una magnitud constante, bien conocida de los escolares actuales. Para calcular la longitud de la circunferencia, basta con multiplicar su diámetro por 3,1416. O sea, por la constante pi ().
Los matemáticos de la antigüedad solo conocían esta relación en una forma aproximada y muy burda.
Pero si se suman los cuatro lados de la base de la pirámide, obtenemos para su perímetro, 931,22 metros. Dividiendo este número entre el doble de la altura (2 x 148,208), tenemos como resultado 3,1416, es decir, la relación de la longitud de la circunferencia a su diámetro. (Otros autores de tales mediciones de la pirámide deducen el valor de aún con mayor precisión: 3,14159. Yakov Perelman).
Este monumento único en su género, representa por lo tanto, una materialización del número, que ha jugado un papel importante en la historia de la matemática. Como vemos, los sacerdotes egipcios tenían representaciones exactas de una serie de temas que se consideran como descubrimientos de siglos posteriores» (El valor de, con la precisión que se obtiene aquí, a partir de las relaciones de las dimensiones de la pirámide, solo fue conocido por los matemáticos europeos en el siglo XVI.).
Existe aún otra relación más sorprendente: si el lado de la base de la pirámide se divide entre la duración exacta del año: 365,2422 días, se obtiene exactamente la diezmillonésima parte del semieje terrestre, con una precisión son la cual rivalizarían con los astrónomos modernos.[1]
Figura 51. ¿Qué misterios matemáticos encierran las pirámides egipcias?
Además la altura de la pirámide constituye exactamente la milmillonésima parte de la distancia de la Tierra al Sol, magnitud que fue conocida por la ciencia europea solo a fines del siglo XVIII[2]. Los egipcios de 5.000 años atrás conocían, como se muestra, lo que no sabían aún ni los contemporáneos de Galileo y Kepler, ni los científicos de la época de Newton. No es de extrañar que las investigaciones de este género originaran en Europa, una extensa literatura.
Sin embargo, todo esto no es más que un juego de cifras. El asunto se presenta en otro aspecto completamente diferente, al abordar la evaluación de los resultados de los cálculos aproximados.
Consideremos en el mismo orden, los ejemplos que hemos presentado.
Sobre el número "Pi". La aritmética de los números aproximados afirma que si en la división deseamos obtener un número con seis cifras exactas (3,14159), debemos tener tanto en el dividendo como en el divisor, por lo menos, las mismas cifras exactas. Esto quiere decir que si se aplica esta regla a la pirámide, para obtener "Pi" con seis cifras, es necesario medir los lados de la base, y la altura de la pirámide, con una precisión de millonésimos en los resultados, es decir, hasta de un milímetro. El astrónomo Maurais indica que la pirámide tiene una altura de 148,208 m, lo que parece haber realizado meticulosamente, con una precisión de 1 mm. ¿Pero quién garantiza tal precisión en la medición de la pirámide?
Recordemos que en los laboratorios del Instituto de Medidas, en donde se efectúan las mediciones más exactas del mundo, la medición de una longitud no puede superar tal precisión (al medir una longitud se obtienen solamente 6 cifras exactas). Se comprende entonces, qué error admite la medición de la mole de piedra en el desierto. En verdad, en los trabajos más exactos de agrimensura (en la medición de las áreas) se puede alcanzar en el campo, la misma precisión que se logra en el laboratorio, es decir, que se pueden garantizar números con 6 cifras exactas. Pero no se puede llevar a cabo tal medición en las actuales condiciones en las que se encuentra la pirámide. Las verdaderas dimensiones iniciales de la pirámide, hace mucho que no existen en la naturaleza, puesto que el revestimiento de la construcción desapareció, y nadie sabe qué espesor tenía. Para ser exactos, es necesario tomar las medidas de la pirámide en metros cerrados; y entonces se obtiene un valor de bastante impreciso, no más exacto que el que se conoce en el papiro matemático de Rhind. Si la pirámide es en efecto, una representación pétrea del número, entonces, como vemos, esta representación está bastante lejos de ser perfecta. Pero es absolutamente admisible, que se haya construido la pirámide, totalmente ajena a esta relación. Dentro de los límites de los números aproximados de tres cifras para las dimensiones de la pirámide, caben muy bien otras suposiciones. Es posible, por ejemplo, que para la altura de la pirámide fuese tomado 2/3 del borde de la pirámide o 2/3 de la diagonal de su base. También es completamente admisible la relación que fue indicada por Heródoto: que la altura de la pirámide es la raíz cuadrada del área de una cara lateral. Son tan probables estas suposiciones, como la "hipótesis de ".
La siguiente suposición se refiere a la duración del año y a la longitud del radio terrestre: si se divide el lado de la base de la pirámide entre la duración exacta del año (un número de siete cifras), obtenemos exactamente una diezmillonésima parte del eje terrestre (un número de 5 cifras). Pero como bien sabemos, en el dividendo no tenemos más de tres cifras exactas, 7 cifras exactas en el divisor y 5 cifras exactas en el cociente. La aritmética, en este caso, solo tiene en cuenta tres cifras en la duración del año y tres cifras en el radio terrestre. Por lo tanto, acá solo podemos hablar del año de 365 días y el radio terrestre de cerca de 6400 kilómetros.
En lo que respecta a la distancia de la Tierra al Sol, existe otro malentendido. Es extraño inclusive, cómo los partidarios de esta teoría no han notado un error lógico, que ellos mismos han admitido. Si en efecto, como ellos afirman, un lado de la pirámide constituye una parte conocida del radio terrestre, y la altura una parte conocida de la base, entonces no es posible decir que la misma altura constituye una determinada parte de la distancia hasta el Sol. Es lo uno o lo otro. Y si se descubre casualmente una correspondencia interesante entre ambas longitudes, esto quiere decir que tal relación siempre ha existido en nuestro sistema planetario; y en esto no puede haber mérito alguno de los sacerdotes.
Los partidarios de esta teoría van aun más lejos: afirman que la masa de la pirámide constituye exactamente una milcuatrillonésima parte de la masa de la esfera terrestre. De acuerdo a su opinión, esta relación no puede ser casual, y testimonia sobre el hecho de que los antiguos sacerdotes egipcios no solo conocían las dimensiones geométricas de nuestro planeta, sino que mucho tiempo antes de Newton y Cavendish calcularon su masa, es decir, que "pesaron" la esfera terrestre.
Aquí existe la misma falta de lógica que en el ejemplo considerado de la distancia de la Tierra al Sol. Es completamente absurdo decir que la masa de la pirámide está "elegida" en una correspondencia determinada con la masa de la esfera terrestre. La masa de la pirámide se determina al momento de escoger su material y de fijar las dimensiones de su base y de su altura. No es posible ajustar simultáneamente la altura de la pirámide, con una base que constituya una determinada parte del radio terrestre, y que independientemente de ello, su masa guarde relación con la masa de la Tierra. Una se determina por la otra. En ese caso, deberán eliminarse todos los conceptos anteriores sobre el conocimiento que poseían los egipcios, de la masa de la esfera terrestre. Esto no es más que un malabarismo numérico. Manipulando hábilmente los números, y apoyándose en coincidencias casuales, se puede demostrar todo cuanto se desee.
Vemos sobre qué bases tan dudosas, reposa la leyenda referente a la inconcebible sabiduría de los sacerdotes arquitectos de la pirámide. Al mismo tiempo, tenemos una clara demostración de las ventajas de esa rama de la aritmética que se ocupa de los números aproximados.