3. ¿Par o impar?
Sin saber el número, naturalmente resulta imposible saber si es par o impar. Pero desde luego, nos resulta fácil responder a la pregunta una vez conocido el número. Así, por ejemplo, ¿el número 16 es par o impar?
Si sabemos que está escrito en el sistema decimal, es correcto afirmar que dicho número es par. Pero si se ha escrito el número en cualquier otro sistema, ¿se puede afirmar, sin temor a equivocación, que es par?
Evidentemente no. Si, por ejemplo, la base es siete, "16" representa 7 + 6 = 13, un número impar. Esto sucederá también, para toda base impar. (Porque todo número impar + 6 es también es un número impar).
De aquí se concluye que la regla que establece que un número es par si es divisible entre 2 (es decir, cuando el número tiene la última cifra par), bien conocida por nosotros, sólo resulta útil para el sistema de numeración decimal; para otros sistemas no siempre es cierta. A saber, esta norma solo tiene validez para sistemas de numeración con base par: base 6, base 8, etc. ¿Cuándo es divisible un número entre 2 en los sistemas de base impar? Basta con tener presente esta regla: la suma de las cifras del número deberá ser par. Por ejemplo, el número "136" es par en cualquier sistema de numeración, inclusive también en un sistema de base impar; en efecto, en este último ejemplo tenemos el número "136": un número impar[9] + un número impar + un número par = número par.
Con sumo cuidado nos referimos al siguiente problema: ¿El número 25 siempre es divisible entre 5? El número 25 no es divisible entre 5 en el sistema de base 7 ni en el de base 8 (porque 25 en base 7 equivale a 19 en decimal, y en base 8 equivale a 21 en decimal, y ninguno de estos dos números es divisible entre 5). De igual manera, la bien conocida divisibilidad entre 9 (de acuerdo a la suma de las cifras) solo es válida para el sistema decimal. De igual manera, en el sistema quinario se aplica la divisibilidad para el 4, y en el de base siete, por ejemplo, se aplica la divisibilidad para el 6. Así, el número "323" en el sistema quinario es divisible entre 4, porque 3 + 2 + 3 = 8, y el número "51" en el sistema de base siete, es divisible entre 6 (fácilmente comprobable si se transcriben estos números al sistema decimal: obtenemos respectivamente, 88 y 36). El lector puede verificar lo dicho acá, si profundiza en la deducción de la divisibilidad entre 9 y aplica idénticos razonamientos a otros sistemas, realizando las modificaciones del caso. Así, por ejemplo, la deducción de la divisibilidad entre 6 para el sistema de base 7.
Resulta más laborioso aún, demostrar por un medio puramente aritmético, la validez de las siguientes proposiciones para todos los sistemas de numeración (en los que se tengan las cifras correspondientes):
121 / 11 = 11
144 / 12 = 12
21 x 21 = 441
Los entendidos que posean conocimientos de álgebra, pueden hallar fácilmente el principio que explique la validez de estas igualdades. Los otros lectores pueden verificarlas para diversos sistemas de numeración.
Veamos la comprobación algebraica de estas proposiciones:
Proposición 1: Si el número está escrito en una base cualquiera, b, entonces:
Verificando: 121 / 11 = 11, se tiene:
De las ecuaciones [1] y [2], se tiene:
Se observa que: [3] = [2], por lo tanto:
Esta expresión es válida para cualquier valor de b, por lo tanto, es válida para cualquier base.
Proposición 2: Si el número está escrito en una base cualquiera, b, entonces:
Verificando: 144 / 12 = 12, se tiene:
144 = b2 + 4b +4 [1]
12 = b + 2 [2]
De las ecuaciones [1] y [2], se tiene:
Se observa que: [3] = [2], por lo tanto:
Esta expresión es válida para cualquier valor de b, por lo tanto, es válida para cualquier base.
Proposición 3: Si el número está escrito en una base cualquiera, b, entonces:
Verificando: 21 x 21 = 441, se tiene:
21 x 21 = (2b + 1) x (2b + 1) [1]
441 = 4 b 2 + 4 b + 1 [2]
De la ecuación [1], se tiene:
21 x 21 = (2b + 1) x (2b + 1)
21 x 21 = (2 b + 1) 2
21 x 21 = 4b2 + 4b + 1 [3]
Se observa que: [3] = [2], por lo tanto:
Esta expresión es válida para cualquier valor de b, por lo tanto, es válida para cualquier base.