2. El sistema de numeración más sencillo

Sin trabajo podemos notar que la mayor cifra que se utiliza en cada sistema es menor en una unidad que el número base del sistema. Así, en el sistema decimal, la mayor cifra es el 9; en el sistema de base 6, el 5; en el sistema ternario, el 2; en el sistema de base 15, el 14, etc.

El sistema de numeración más sencillo es, naturalmente, aquel para el cual se requiere el menor número de cifras. En el sistema decimal son necesarias 10 cifras (considerando, también, al cero), en el quinario, 5 cifras, en el ternario, 3 cifras (0, 1 y 2), en el binario únicamente 2 cifras (1 y 0).

¿Existe un sistema "unitario"? Naturalmente: este sistema es aquel en el cual las unidades de todos los órdenes tienen idéntico valor. Este mismo "sistema" rudimentario lo empleaba el hombre primitivo, efectuando cortes en un árbol de acuerdo al número de objetos contados. Pero entre él y todos los otros sistemas de cálculo existe una enorme diferencia: carece de la principal ventaja de nuestra numeración (el valor posicional de las cifras). En efecto, en el sistema "unitario" un signo que se halle en el 3º ó 5º lugares, tiene el mismo valor que el que se encuentre en el primer lugar. Mientras que, aún en el sistema binario, la unidad en el 3er. lugar (desde la derecha) es 4 (2 x 2) veces mayor que una unidad en el 1er. lugar, y una unidad en el 5º lugar, es 16 veces (2 x 2 x 2 x 2) mayor que la unidad en el 1er. lugar. Para representar cualquier número en el sistema "unitario", se requieren tantos signos como objetos se cuenten: para escribir cien objetos, se necesitan cien signos: en el binario solamente siete ("1100100"); en el quinario, en total, tres ("400").

Por esta razón no es correcto llamar "sistema" al sistema "unitario"; por lo menos, no se le puede colocar junto a los restantes, puesto que difiere fundamentalmente de ellos, en que no proporciona ninguna ventaja en la representación de los números. Si se le descarta, el sistema binario resulta ser el más sencillo de todos los sistemas de numeración; en él se emplean solamente dos cifras: 1 y 0. ¡Por medio de la unidad y del cero se puede representar todo el conjunto infinito de números!

Este sistema es poco conveniente para escribir los números: se obtienen números excesivamente largos[7]. El sistema binario es adecuado para una serie de investigaciones teóricas. En los últimos tiempos el papel del sistema binario ha tomado gran fuerza, puesto que con base en él realizan los cálculos las computadoras electrónicas. Dicho sistema posee ciertas particularidades inherentes, bastante interesantes, que se pueden emplear a propósito, para efectuar una serie de trucos matemáticos, sobre los cuales hablaremos detalladamente en el capítulo "Trucos sin engaños" (Capítulo 6).

Nos hemos habituado a tal grado a las operaciones aritméticas, que las efectuamos automáticamente, casi sin pensar en lo que hacemos. Pero las mismas operaciones exigen de nosotros gran esfuerzo cuando las efectuamos con números escritos en un sistema no decimal.

Intentemos, por ejemplo, efectuar la adición de los dos números siguientes, escritos en el sistema quinario.

Sumamos las cifras según su orden, empezando con las unidades, es decir, con las primeras cifras de la derecha: 3 + 2 es igual a cinco; pero no podemos escribir 5, porque tal cifra no existe en el sistema quinario; el cinco es ya una unidad de orden superior. Es decir, en la suma no hay unidades; escribimos 0, y retenemos en nuestra memoria el cinco, o sea la unidad del siguiente orden. Como, 0 + 3 = 3, al agregar la unidad que memorizamos antes, nos da en total 4 unidades de segundo orden. En el tercer orden obtenemos 2 + 1 = 3. En el cuarto, 4 + 2 es igual a seis, es decir, 5 + 1; escribimos 1, y trasladamos a la izquierda el 5, o sea la unidad de orden superior. La suma será = "11340":

Damos al lector la posibilidad de comprobar esta adición, trasladando, previamente, los números entre comillas al sistema decimal.

Las otras operaciones se efectúan de igual manera. A modo de ejercicio, ofrecemos a continuación siete problemas[8], cuyo número puede aumentar el lector por su cuenta, a voluntad:

En el sistema quinario:

2143 - 334

213 x 3

42 x 31

En el sistema ternario:

212 + 120

122 x 20

220 / 2

201 / 12

Para realizar estas operaciones, primero representamos mentalmente los números dados, en nuestro familiar sistema decimal, efectuamos la respectiva operación y una vez obtenido el resultado, lo representamos de nuevo en el correspondiente sistema no decimal. Pero también se puede proceder de otra forma: se construyen "la tabla de adición" y "la tabla de multiplicación" para los sistemas en los que estén dados los números, y se emplean directamente estas tablas.

Por ejemplo, la tabla de adición en el sistema quinario tiene la siguiente forma:

Por medio de esta tabla podemos sumar los números "4203" y "2132", escritos en el sistema quinario, requiriendo un menor esfuerzo que con el método aplicado anteriormente.

Fácilmente se puede comprender, que también se simplifica la sustracción.

Formemos la tabla de multiplicar ("pitagórica") para el sistema quinario:

Teniendo frente a nosotros esta tabla, podemos simplificar el proceso de multiplicación y división en el sistema quinario, como se puede comprobar, aplicándola a los ejercicios propuestos anteriormente. Por ejemplo, en la multiplicación.

Razonamos así: tres por tres (de la tabla de multiplicar expuesta arriba) da "14", escribimos el "4" y memorizamos el "1" para el siguiente orden. Tres por uno, "3", más "1" del orden anterior, 4; de la tabla, 3 x 2 da "11", con lo cual el resultado final será "1144".

Cuanto menor es la base de un sistema, tanto menores son, también, las correspondientes tablas de adición y de multiplicación. Por ejemplo, las dos tablas para el sistema ternario son:

Dichas tablas se pueden memorizar simultáneamente, y así realizar las operaciones correspondientes en el sistema ternario. Las tablas de adición y multiplicación más breves corresponden al sistema binario.

¡Por medio de estas sencillas "tablas" se pueden efectuar las cuatro operaciones en el sistema binario! Las multiplicaciones como tales, no existen en este sistema, pues multiplicar por la unidad equivale a dejar el número sin modificación; Para multiplicar por "10", "100", "1000" (es decir, por 2, por 4, por 8) basta agregar a la derecha el correspondiente número de ceros. En lo que respecta a la adición, solo basta recordar que, en el sistema binario, 1 + 1 = 10.

¿No es cierto que nosotros, sustentamos ampliamente nuestra afirmación de que el sistema binario era el más sencillo de todos los sistemas posibles? Como vemos, la enorme longitud de los números expresados en este sistema, se compensa con la sencillez para efectuar todas las operaciones aritméticas con ellos.

Si por ejemplo, se desea multiplicar:

El realizar esta operación nos lleva únicamente a una transcripción de los números dados en una disposición ordenada: esto requiere menor esfuerzo mental que si se multiplicaran estos números, en el sistema decimal (605 x 37 = 22 385). Si adoptáramos el sistema binario, los cálculos escritos nos exigirían un menor esfuerzo mental (a cambio de una mayor cantidad de papel y tinta). Sin embargo, en los cálculos mentales, la aritmética binaria cedería en gran medida ante nuestro sistema decimal, dada la comodidad de este último para realizar las operaciones.

Proporcionemos también un ejemplo de división, efectuada en el sistema de numeración binario:

En nuestro familiar sistema decimal, esta operación tendría la siguiente forma:

El dividendo, el divisor, el cociente y el residuo en ambos casos son idénticos, en esencia, aunque los valores intermedios son diferentes.