1. El rompecabezas de Chéjov
Ahora veremos un ameno problema aritmético, tal y como lo planteó el estudiante de séptimo año, Ziberov, del cuento de Chéjov, "El Preceptor".
"Un comerciante compró 138 arshins (1 arshin = 80 cm) de tela negra y azul por 540 rublos. Me pregunto, ¿cuántos arshin compró de cada una, si la tela azul costaba 5 rublos por arshin, y la negra, 3 rublos?"
Con gran humor, Chéjov relata cómo trabajaron sobre este problema tanto el preceptor de séptimo grado como su alumno Pedrito, de 12 años, sin que este fuera ayudado por su padre:
"Pedrito observó el problema y, sin decir una palabra, empezó a dividir 540 entre 138.
- ¿Para qué divide? ¡Deténgase! O… siga… ¿Aparece un residuo? Aquí no puede haber residuo. ¡Permíteme!
- Probablemente no se trate de un problema aritmético, pensó, y vio la respuesta: 75 y 63.
- ¡Hmm!, dividir 540 entre 5 + 3? no, no.
- Bien, ¡resuélvalo ya! - le dijo a Pedrito, con voz de mando.
- ¿Qué tanto piensas? Ese problema te quitará todo el tiempo - dijo a Pedrito su padre, Udonov.
- ¡Qué tontería! Egor Aliéksevich, resuélvalo usted esta vez.
Egor Aliéksevich, coge el pizarrín [2] y se dispone a resolverlo; tartamudea, enrojece. Palidece.
- Este problema debe ser algebraico - dijo. Se puede resolver con ayuda de la x y de la y. También se puede resolver de otra forma: Yo aquí he dividido… ¿Comprende? Ahora es necesario restar. ¿Entiende?… o si no… Lo mejor será que me lo traiga resuelto mañana… ¡Píenselo!
Pedrito sonrió. Udonov también sonrió. Ambos comprendían la confusión del maestro. El estudiante de séptimo grado se confundió aún más, y empezó a pasearse de un lado a otro de la habitación.
Al fin, Udonov dijo:
- Sin álgebra también se puede resolver - y agregó dirigiéndose hacia un ábaco- helo aquí, mira…
Utilizó el ábaco [3], y obtuvo 75 y 63, que era la respuesta correcta.
- Lo he resuelto a mi modo… no tiene nada de ciencia".
Esta historia del problema que confundió al preceptor, plantea tres nuevos problemas, a saber:
1. El preceptor, ¿cómo hubiera resuelto el problema algebraicamente?
2. ¿Cómo resolvió el problema Pedrito?
3. ¿Cómo lo resolvió el padre de Pedrito, sin ninguna ciencia, empleando el ábaco?
Podemos responder fácilmente las dos primeras preguntas. La tercera no es tan simple. Pero vamos en orden.
El preceptor del alumno de séptimo año hablaba de resolver el problema "con la ayuda de la x y de la y", y decía que el problema debía ser "algebraico". Fácilmente se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, para el problema; helo aquí:
donde x es el número de arshins de tela azul, e y, el de tela negra.
Sin embargo, se resuelve fácilmente mediante un procedimiento aritmético. Suponiendo que toda la tela hubiera sido azul, los 138 arshins de tela azul hubieran costado 5 x 138 = 690 rublos; esto es, 690 - 540 = 150 rublos más del costo real. Para que el precio sea 150 rublos menor, basta considerar que la diferencia de precios entre un arshin de tela azul y uno de tela negra es de 5 - 3 = 2 rublos. Dividiendo 150 entre 2, obtenemos 75 arshins de tela negra; restándolos de los 138 originales, obtenemos 138 - 75 = 63 arshins de tela azul. Así debió haber resuelto el problema Pedrito.
Queda aún la tercera pregunta: ¿Cómo resolvió el problema Udonov?
El relato, dice muy poco al respecto: "Utilizó el ábaco, y obtuvo 75 y 63, que era la respuesta correcta.".
¿Cuáles son los métodos de resolución de un problema con la ayuda del ábaco?
El ábaco sirve para efectuar operaciones aritméticas tal como se hacen en el papel (fig. 13).
Figura 13. Abaco ruso.
Udonov conocía muy bien el ábaco y pudo hacer las operaciones muy rápido, sin la ayuda del álgebra como quería el preceptor, sin "la ayuda de la x y de la y". Veamos ahora las operaciones que el padre de Pedrito debió hacer en el ábaco.
La primera operación que efectuó, debió haber sido la multiplicación de 138 por 5. Para eso, conforme a las reglas de las operaciones en el ábaco, primeramente multiplicó 138 por 5, es decir, simplemente movió el número 138 una hilera hacia arriba (ver las figuras 14, a y b) y luego dividió este número entre dos, sobre el mismo ábaco. La división se empieza por abajo: se separan la mitad de bolitas colocadas en cada alambre; si el número de bolitas es impar en un alambre dado, se resuelve esta dificultad, "partiendo" una bolita de este alambre en 10 inferiores.
En nuestro caso, por ejemplo, 1380 se divide por la mitad de la siguiente manera: en el alambre inferior, donde existen 8 bolitas, se separan 4 bolitas (4 decenas), en el alambre intermedio de las 3 bolitas se separa 1, pero se conserva una, y la otra se substituye mentalmente por 10 bolas inferiores y se dividen a la mitad, añadiendo las decenas a las bolitas inferiores; en el alambre superior se "divide" una bolita agregando 5 centenas a las bolitas del alambre intermedio. En consecuencia, en el alambre superior no hay bolitas, en el intermedio 1 + 5 = 6 centenas y en el inferior 4 + 5 = 9 (Fig. 14, c). En total 690 unidades. Todo esto se efectúa rápida y automáticamente.
Figura 14. Primero se muestra, en el ábaco, 138 x 10, es decir el número 138 (a), sometido a la operación (b), y luego se muestra el resultado anterior dividido entre dos (c)
Luego, Udonov debió restar 540 de los 690. Sabemos cómo se hace en el ábaco.
Finalmente sólo le quedaba dividir la diferencia por la mitad, obteniendo: 150; Udonov apartó 2 de las 5 bolitas (decenas), entregando 5 unidades a la fila inferior de bolitas; después de 1 bolita en el alambre de las centenas, entregó 5 decenas a la fila inferior: obtuvo 7 decenas y 5 unidades, es decir, 75.
Naturalmente, estas sencillas operaciones se efectúan con mayor rapidez en el ábaco, que en esta descripción que acabamos de dar.