De másféleképp is levezethetjük a hatványozottan exponenciális növekedést. Mint korábban megjegyeztem, a tudás növekedésének üteme (dW/dt) legalábbis arányos a tudás mértékével minden adott időpontban. Ez egyértelműen konzervatív megállapítás, ha figyelembe vesszük, hogy az újítások (a tudásbeli előrelépések) hatása erre az ütemre inkább összeszorzódik, mint összeadódik. De ha exponenciális növekedési rátát veszünk figyelembe:
ahol C > 1, a megoldás:
ahol lassú algoritmikus növekedést láthatunk, ameddig t < 1/lnC, de a t = 1/lnC szingularitáshoz közel hirtelen kirobban.
Még a szerény dW/dt = W2 vége is szingularitás.
Valójában minden képlet, amelyben a növekedés hatványfüggvényt követ, azaz
ahol a > 1, szingularitással rendelkező megoldást eredményez:
mely a T időpontban következik be. Minél nagyobb a értéke, annál közelebb van a szingularitás.
Véleményem szerint nehéz elképzelni a végtelen tudást, véges anyagi és energetikai erőforrások mellett, ám az eddig látott trendek illenek a hatványozottan exponenciális folyamatba. Úgy tűnik, hogy az extra faktor (W-re) a W × log(W) formát veszi fel. Ez a kifejezés a hálózati hatást írja le. Ha létezik az internethez hasonló hálózatunk, meggyőzően megmutatható, hogy annak hatása vagy haszna arányos az n × log(n) értékkel, ahol n a nódusok, csomópontok száma. Minden csomópont (vagy felhasználó) részesül belőle, ezért szorozzuk meg n-nel. Minden felhasználó (csomópont) számára a hálózat haszna = log(n). Bob Metcalfe (az Ethernet feltalálója) egy n csomópontú hálózat hasznát = c× n2-re becsülte, de ez túlzás. Ha az internet mérete megnövekszik, növekszik számomra az értéke, de nem duplázódik meg. Ésszerű becslések alapján az egyes felhasználók számára a hálózat méretének logaritmusával arányos a hálózat értéke. Így a hálózat értéke vagy haszna összesítve arányos az n × log(n)-nel.
Amennyiben a növekedés üteménél inkább a logaritmikus hálózati hatást vesszük figyelembe, a változás ütemére a következőt kapjuk:
Ennek a megoldása egy hatványozott exponenciális, amit korábban az adatokban is láttunk:
