11 El movimiento browniano
El botánico del siglo XIX Robert Brown se encontraba examinando unos granos de polen al microscopio cuando se percató de que no estaban inmóviles, sino que se retorcían incesantemente. Por un momento se preguntó si estarían vivos. Evidentemente no, sino que estaban sufriendo las colisiones de las moléculas del agua que Brown había utilizado para cubrir el portaobjetos de vidrio. Las partículas de polen se movían aleatoriamente, unas veces muy poco y otras mucho, y gradualmente se revolvían por el portaobjetos siguiendo trayectorias impredecibles. La comunidad científica quedó asombrada ante el descubrimiento de Brown, que recibió por ello el nombre de movimiento browniano.
Trayectoria aleatoria El movimiento browniano tiene lugar porque las minúsculas partículas de polen experimentan una pequeña sacudida cada vez que una molécula de agua choca contra ellas. Las invisibles moléculas de agua se mueven sin cesar y chocan unas con otras sin descanso, de modo que topan contra el polen regularmente, dándole empujones.
Aunque el tamaño de los granos de polen es cientos de veces más grande que una molécula de agua, como el polen recibe golpes a cada momento por parte de numerosas moléculas, cada una de las cuales se desplaza en una dirección aleatoria, normalmente existe una fuerza de desequilibrio que hace que se mueva un poco. Esto ocurre una y otra vez, de modo que el grano de polen sacudido sigue una trayectoria irregular, un poco como el recorrido de un borracho dando traspiés. El camino del polen no se puede predecir con antelación porque las moléculas de agua colisionan de forma aleatoria y por lo tanto el polen puede salir despedido en cualquier dirección.
El movimiento browniano afecta a cualquier partícula minúscula suspendida en un líquido o gas. También se observa en partículas de mayor tamaño, como las partículas del humo que flotan en el aire si se miran a través de una lente de aumento. La magnitud del choque que recibe la partícula depende del momento de las moléculas. Así que cuando las moléculas del líquido o del gas son pesadas o cuando se mueven con gran rapidez, por ejemplo cuando el fluido está caliente, se aprecian muchos más choques.
La «trayectoria aleatoria» del movimiento browniano
Las operaciones matemáticas que subyacen al movimiento browniano fueron desarrolladas a finales del siglo XIX, pero fue Einstein quien llamó la atención de los físicos sobre ellas en su artículo de 1905, el mismo año en que publicó su teoría de la relatividad y una explicación del efecto fotoeléctrico que le valió el Premio Nobel. Einstein tomó prestada la teoría del calor, que también se basaba en colisiones moleculares, para explicar con éxito los movimientos precisos observados por Brown. Al ver que el movimiento browniano proporcionaba pruebas de la existencia de las moléculas en los fluidos, los físicos se vieron obligados a aceptar la teoría de los átomos, que continuaba siendo cuestionada incluso entrado el siglo XX.
Difusión Con el tiempo, el movimiento browniano puede hacer que las partículas se desplacen a una distancia considerable, pero nunca tan lejos como si avanzaran en línea recta sin encontrar obstáculos. Esto se debe a que es más probable que la aleatoriedad envíe a una partícula de vuelta hacia atrás mientras la mueve hacia delante. Así pues, si tiramos un grupo de partículas en un punto de algún líquido se difundirá hacia fuera incluso aunque nadie lo remueva ni haya corrientes dentro del líquido. Cada partícula rodará siguiendo su propio camino, haciendo que la gota concentrada se extienda en una nube difusa. Esta difusión resulta de gran importancia para la extensión de la contaminación a partir de una fuente, como un aerosol en la atmósfera. Aunque no haya viento en absoluto las sustancias químicas se difundirán debido únicamente al movimiento browniano.
Fractales La trayectoria seguida por una partícula que experimenta el movimiento browniano es un ejemplo de fractal. Cada paso del camino puede ser de cualquier tamaño y en cualquier dirección, pero surge un patrón global. Este patrón contiene en su interior una estructura a todas las escalas, desde los contornos más diminutos a otros de considerables dimensiones. Ésta es la característica definitoria de un fractal.
Los fractales fueron definidos por Benoit Mandelbrot en los años sesenta y setenta como manera de cuantificar las formas autosimilares. Si lo expresamos sintéticamente, los fractales son patrones que tienen esencialmente la misma apariencia en una misma escala. Si hacemos un zoom sobre un pequeño fragmento del patrón es imposible distinguirlo del patrón a gran escala, de tal forma que no se puede decir cuál es el aumento simplemente con mirarlo. Estos patrones repetitivos y sin escala aparecen con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo en las líneas costeras, las ramas de los árboles, las hojas de los helechos o la simetría de seis lados de un copo de nieve.
Las dimensiones fractales surgen porque su longitud o dimensión dependen de la escala a la que se miren. Si medimos la distancia entre dos ciudades por la costa, podemos afirmar que hay 30 kilómetros entre Land’s End y Mount’s Bay, pero si tenemos en cuenta todas las rocas una por una y medimos cada una de ellas con un trozo de cuerda, para poder hacerlo seguramente necesitaremos una cuerda de un centenar de kilómetros. Si fuéramos más lejos y midiéramos cada grano de arena de la costa haría falta un trozo de cuerda de cientos de kilómetros de longitud. De modo que la longitud absoluta en este caso depende de la escala a la que se mida. Si nos alejamos hasta que todo se vuelva borroso, volveremos a los familiares 30 kilómetros. En este sentido, las dimensiones fractales miden el carácter aproximado de algo, ya sea una nube, un árbol o una cadena montañosa. Muchas de estas formas fractales, como el contorno del litoral, son producidas por una serie de fases de un movimiento aleatorio, y de ahí su vínculo con el movimiento browniano.
Las matemáticas del movimiento browniano, o de una secuencia de movimientos, se pueden utilizar para generar patrones fractales que resultan de gran utilidad en múltiples áreas científicas. Se pueden crear paisajes rústicos virtuales con montañas, árboles y nubes para los juegos de ordenador o bien utilizarlos en programas para dibujar mapas espaciales que ayuden a los robots a conducirse por los terrenos rugosos, modelando sus crestas y grietas. Los médicos los encuentran muy útiles para la formación de imágenes médicas cuando necesitan analizar la estructura de partes complejas del cuerpo, como los pulmones, en que las estructuras ramificadas discurren desde una escala bastante grande hasta otra diminuta.
Las ideas sobre el movimiento browniano también son de gran utilidad para predecir riesgos y sucesos futuros que son el resultado final de diversos sucesos aleatorios, como inundaciones o fluctuaciones de los mercados de valores. El mercado de valores cuyos precios varían al azar, igual que el movimiento browniano de un conjunto de moléculas. El movimiento browniano también participa en la configuración de otros procesos sociales como los de manufactura y toma de decisiones. Los movimientos aleatorios del movimiento browniano han tenido una amplia repercusión y han hecho acto de presencia bajo numerosas apariencias, no sólo como un baile de hojas en una agradable taza de té.
Cronología:
aprox. 420 a. C.: Demócrito postula la existencia de los átomos.
1827 d. C.: Brown observa el movimiento del polen y propone el mecanismo.
1905 d. C.: Einstein determina las matemáticas que subyacen al movimiento browniano.
década de 1960 d. C.: Mandelbrot descubre los fractales.
La idea en síntesis: una danza microscópica invisible