Apéndice A:
Reescalado conforme, 2-espinores, teoría de Maxwell y Einstein

Muchas de las ecuaciones detalladas que doy aquí se aprovechan del formalismo de los 2-espinores. Este formalismo no es estrictamente necesario, puesto que la más familiar descripción mediante 4-tensores habría ofrecido una buena alternativa. Sin embargo, el formalismo de 2-espinores no solo es más simple cuando se trata de expresar propiedades de invariancia conforme (véase A6), sino que también proporciona una visión de conjunto más sistemática cuando se trata de entender la propagación de campos sin masa y la correspondiente ecuación de Schrödinger para sus partículas constituyentes.

Los convenios aquí utilizados, incluido el uso de índices abstractos, son los de Penrose y Rindler (1984, 1986),^[A.1] salvo que Λ denota aquí la constante cosmológica, en lugar de la «λ» de aquel trabajo, y la magnitud de curvatura escalar «Λ» que allí aparece sería ¹/₂₄R, que en lo que sigue se expresará como ¹/₆Λ. Referencias a ecuaciones que empiezan con «P&R» remiten a dicho trabajo, y de hecho todas las ecuaciones necesarias pueden encontrarse en el volumen 2 de 1986. El tensor de Einstein E_ab aquí utilizado es el negativo del «tensor de Einstein» R_ab − ¹/₂Rg_ab utilizado allí (con el mismo signo del tensor de Ricci R_ab que se adoptó allí), de modo que las ecuaciones de campo de Einstein se convierten en (como en §2.6 y §3.5)

A1. La notación 2-espinorial: ecuaciones de Maxwell

El formalismo 2-espinorial utiliza cantidades con índices espinoriales abstractos (para el espacio de espín 2-dimensional complejo) para los que uso letras latinas mayúsculas en itálica, ya sea no primadas (A, B, C, …) o primadas (A′, B′, C′, …), que se intercambian bajo conjugación compleja. El espacio tangente (complejificado) en cada punto espaciotemporal es el producto tensorial del espacio de espín no primado por el primado. Esto nos permite adoptar la identificación de índices abstractos

a = AA', b = BB', c = CC', …

donde los índices en letras latinas minúsculas en itálica se refieren a los espacios tangentes espaciotemporales. Más concretamente, los índices en posición superior se refieren a espacios tangentes y los índices en posición inferior a espacios cotangentes.

El tensor de campo de Maxwell antisimétrico F_ab (= −F_ba) puede expresarse en forma 2-espinorial en términos de un 2-espinor de 2 índices simétrico φ_AB (= φ_BA) por

donde es la cantidad que define la estructura simpléctica compleja del espacio de espín y está relacionada con la métrica por la ecuación de índices abstractos

g_ab = ε_AB ε_A'B',

donde los índices espinoriales son elevados o descendidos de acuerdo con las siguientes prescripciones (¡donde el orden de los índices en los epsilones es importante!)

Las ecuaciones de campo de Maxwell denotadas colectivamente por ∇F = 4πJ en §3.2, con fuente en el vector de carga corriente J_a, son

(donde los paréntesis cuadrados alrededor de los índices denotan antisimetrización, y los paréntesis redondos, simetrización), siendo la ecuación de conservación de carga-corriente

∇_aJ^a = 0.

Estas toman las respectivas formas 2-espinoriales (P&R 5.1.52, P&R 5.1.54)

Cuando no hay fuentes (J^a = 0), obtenemos las ecuaciones de Maxwell libres (denotadas por ∇F = 0 en §3.2)

∇^AA' φ_AB = 0.

A2. Ecuación (de «Schrödinger») de campo libre sin masa

Esta última ecuación es el caso n = 2 de la ecuación de campo libre sin masa (P&R 4.12.42), o «ecuación de Schrödinger»^[A.2] para una partícula sin masa de espín ¹/₂n (> 0):

∇^AA' φ_{ABC … E} = 0,

donde φ_{ABC … E} tiene n índices y es totalmente simétrico

φ_{ABC … E} = φ_{(ABC … E)}.

En el caso n = 0, es habitual considerar que la ecuación de campo es □φ = 0, donde el operador d’alembertiano □, está definido por

□ = ∇_a∇^a,

pero en un espacio-tiempo curvo necesitamos el operador ∇_a para denotar la derivada covariante, y aquí se preferirá la forma de la ecuación (P&R 6.8.30)

que es conformemente invariante, en el sentido al que pronto llegaremos (A6), siendo R = R_a^a la curvatura escalar.

A3. Cantidades de curvatura espaciotemporal

El tensor de curvatura (de Riemann-Christoffel) R_abcd tiene las simetrías

y se relaciona con los conmutadores de las derivadas a través de (P&R 4.2.31)

(∇_a∇_b − ∇_a∇_b)V^d = R_abc^dV^c

Esto fija la elección de convenio de signo para R_abcd. Aquí definimos los tensores de Ricci y de Einstein y el escalar de Ricci, respectivamente, por

y el tensor conforme de Weyl C_abcd se define por (P&R 4.8.2)

que tiene las mismas simetrías que R_abcd pero, además, todas las trazas se anulan

En términos espinoriales encontramos que podemos escribir (P&R 46.41)

donde el espinor conforme ψ_ABCD es totalmente simétrico

Ψ_ABCD = Ψ_(ABCD).

La información restante en R_abcd está contenida en la curvatura escalar R y la parte libre de traza del tensor de Ricci (o de Einstein), este último codificado en la cantidad espinorial Φ_ABC′D′ con simetrías y hermiticidad

donde (P&R 4.6.21)

A4. Fuentes gravitatorias sin masa

En el apéndice B estaremos particularmente interesados en las ecuaciones de campo de Einstein cuando el tensor fuente (simétrico) T_ab es libre de traza

puesto que éste es adecuado para fuentes sin masa (es decir, de masa en reposo cero), lo que nos dice que la cantidad con índices espinoriales T_ABA′B′ = _A′B′AB = T_ab tiene la simetría

T_ABA'B' = T_(AB)(A'B').

La ecuación de la divergencia ∇^aT_ab = 0, es decir, ∇^AA′T_ABA′B′ = 0 puede reexpresarse como

Las ecuaciones de Einstein anteriores son ahora (P&R 4.6.32)

Cuando hay presente masa en reposo, de modo que T_ab tiene una traza

entonces las ecuaciones de Einstein toman la forma

A5. Identidades de Bianchi

La identidad de Bianchi general ∇_[aR_bc]de = 0, en forma de índices espinoriales, se convierte en (P&R 4.10.7, 4.10.8)

Cuando R es constante —una situación que se da con las ecuaciones de Einstein cuando las fuentes son sin masa— tenemos

donde a la derecha está implicada la simetría en BCD. Incorporando la ecuación de Einstein, con fuentes sin masa, obtenemos

(véase P&R 4.10.12). Nótese que cuando T_ABC′D = 0, obtenemos la ecuación (P&R 4.10.9)

∇^AA' Ψ_ABCD = 0,

que es la ecuación de campo libre sin masa en A2, en el caso n = 4 (es decir, para espín 2).

A6. Reescalados conformes

De acuerdo con el reescalado conforme (con Ω > 0 variando suavemente)

adoptamos las relaciones de índices abstractos

El operador ∇_a debe transformarse ahora

de modo que la acción de ∇_a sobre una cantidad general escrita con índices espinoriales está generada por

donde

ϒ_AA' = Ω⁻¹ ∇_AA'Ω = ∇_a log Ω

y el tratamiento de una cantidad con muchos subíndices se elabora a partir de estas reglas, un término por cada índice. (Los superíndices tienen un tratamiento correspondiente, pero esto no será necesario aquí).

Escogemos el escalado para un campo sin masa φ_ABC…E como

y, aplicando las prescripciones anteriores, encontramos que

de modo que la anulación de uno cualquiera de los miembros implica la anulación del otro, de donde se sigue que la satisfacción de las ecuaciones de campo libre sin masa es conformemente invariante. En el caso de las ecuaciones de Maxwell con fuentes, encontramos que la invariancia conforme del sistema total ∇^A′Bφ^A_B = 2πJ^AA′, ∇_AA′J^AA′ = 0 (P&R 5.1.52, P&R 5.1.54 en A2) se conserva con los escalados

puesto que encontramos

A7. Campos de Yang-Mills

Es importante observar que las ecuaciones de Yang-Mills, que son la base de nuestra comprensión actual de las fuerzas fuerte y débil de las interacciones entre partículas, son también conformemente invariantes, siempre que podamos ignorar la introducción de masa que puede considerarse que se produce por la actuación posterior del campo de Higgs. Las intensidades de campo de Yang-Mills pueden describirse por una cantidad tensorial (una «curvatura fibrada»)

F_abΘ^Γ = −F_baΘ^Γ

donde los índices (abstractos) Θ, Γ, … se refieren al grupo de simetría interna (U(2), SU(3), o cualquiera que sea) de relevancia para las simetrías de las partículas. Podemos representar esta curvatura fibrada en términos de una cantidad espinorial φ_ABΘΓ (P&R 5.5.36) por

donde, en el caso de un grupo interno unitario, el complejo conjugado de un subíndice interno se convierte en un superíndice interno, y viceversa. Las ecuaciones de campo reflejan los de las ecuaciones de Maxwell, donde añadimos los índices internos adicionales como se ha indicado. Por consiguiente, la invariancia conforme de la teoría de Maxwell se aplica también a las ecuaciones de Yang-Mills, puesto que los índices Θ, Γ, … no se ven afectados por el reescalado conforme.

A8. Escalado de tensores de energía de masa en reposo cero

Hay que señalar que para un tensor de energía T_ab que es libre de traza (T_a^a = 0), encontramos que el escalado (P&R 5.9.2)

preserva la ecuación de conservación ∇_aT_ab = 0, puesto que encontramos

En la teoría de Maxwell tenemos una expresión para el tensor de energía en términos de F_ab que se traduce en forma espinorial como (P&R 5.2.4)

En el caso de la teoría de Yang-Mills, simplemente tenemos índices extra

Para un campo escalar sin masa, sujeto a la ecuación (□ + R/6)φ = 0 antes considerada (P&R 6.8.30), tenemos la invariancia conforme (P&R 6.8.32)

donde

y entonces su tensor de energía (a veces llamado «nuevo tensor mejorado»)^[A.3] (P&R 6.8.36)

siendo C una constante positiva, satisface las condiciones requeridas

A9. Escalados conformes del tensor de Weyl

El espinor conforme Ψ_ABCD codifica la información de la curvatura conforme del espacio-tiempo, y es conformemente invariante (P&R 6.8.4)

Advirtamos la curiosa (pero importante) discrepancia entre esta invariancia conforme y la necesaria para preservar que se satisfagan las ecuaciones de campo libre sin masa, donde habría un factor Ω⁻¹ a la derecha. Para acomodar esta discrepancia podemos definir una cantidad ψ_ABCD que es en todas partes proporcional a ψ_ABCD, pero que escala de acuerdo con

y encontramos que nuestra «ecuación de Schrödinger» para gravitones^[A.4] (P&R 4.10.9)

∇^AA' ψ_ABCD = 0,

en el vacío (T_ab = 0) es conformemente invariante. En §3.2, la ecuación anterior se escribe

∇K = 0

y correspondiente al tensor de Weyl C_abcd anterior (A3, P&R 4.6.41) podemos definir

y encontramos los correspondientes escalados (escritos C = Ω²C y K = ΩK en 3.2)