3.2. La estructura de la CCC

Hay varios aspectos de esta propuesta que requieren una atención mucho más detallada que la que les he prestado antes. Una cuestión clave concierne a cuáles podrían ser los contenidos totales del universo en el futuro muy remoto. La exposición anterior se ha centrado principalmente en el considerable fondo de fotones que estaría presente, procedente de la luz estelar, del CMB y de la evaporación de Hawking de los agujeros negros. También he considerado que habría una contribución significativa de gravitones, por los que entiendo los constituyentes (cuánticos) básicos de las ondas gravitatorias, que son «rizos» de la curvatura del espacio-tiempo que aparecen básicamente de colisiones entre agujeros negros extremadamente grandes en centros galácticos.

Tanto fotones como gravitones carecen de masa. Por ello, no parece irrazonable adoptar la siguiente filosofía, relevante para el futuro muy remoto: puesto que en una etapa muy tardía en la historia del universo sería imposible en principio construir un reloj con dicho material, entonces el propio universo, en el futuro remoto, «perdería la pista de la escala de tiempo» y por eso la geometría del universo físico se hace realmente geometría conforme (es decir, geometría de conos nulos), en lugar de la plena geometría métrica de la relatividad general de Einstein. De hecho, pronto veremos que hay sutilezas en relación con el campo gravitatorio que nos obligan a moderar un poco esta filosofía. Pero por el momento, tratemos otra dificultad con este punto de vista filosófico que es necesario afrontar.

Al considerar cuáles podrían ser los contenidos principales del universo en las últimas etapas de su existencia, he ignorado el hecho de que habría mucho material dentro de cuerpos que no se encuentran dentro de un agujero negro por haber sido expulsado de sus galaxias madres por procesos aleatorios, y que en algunos casos el cuerpo también habría escapado del cúmulo galáctico dentro del cual había residido originalmente; y también habría mucha materia oscura que nunca habría caído en un agujero negro. ¿Cuál sería, por ejemplo, el destino de una estrella enana blanca que hubiera escapado de esta manera y se hubiese enfriado hasta convertirse en una enana negra invisible? A veces se ha sugerido que los protones podrían desintegrarse finalmente, aunque las observaciones imponen cotas muy bajas a la velocidad a la que esto podría suceder.^[3.13] En cualquier caso, habría algún tipo de productos de la desintegración, y aunque buena parte del material de la enana negra podría colapsar finalmente a un agujero negro mediante tales procesos, quedarían probablemente muchas partículas masivas «solitarias» que, de alguna forma, habrían escapado de los cúmulos de galaxias a los que habían estado unidas originalmente.

Mi interés se centra particularmente en los electrones —y también en sus antipartículas, los positrones— porque ellos son las partículas menos masivas de entre las eléctricamente cargadas. Que protones, y otras partículas cargadas más masivas que electrones y positrones, pudieran desintegrarse finalmente, al cabo de vastos períodos de tiempo, en partículas menos masivas no es una idea descartable. Cabría imaginar que todos los protones podrían desintegrarse finalmente de esta manera, pero si aceptamos la visión convencional de que la carga eléctrica debe ser absolutamente conservada, entonces los productos finales de la desintegración de un protón deben contener una carga neta positiva, de modo que cabría esperar al menos un positrón entre los supervivientes. Un argumento similar se aplicaría a las partículas cargadas negativamente, y es difícil escapar a la conclusión de que tendría que haber también numerosos electrones presentes, acompañando a estos positrones. También podría haber partículas cargadas más masivas tales como protones y antiprotones, si estos no se desintegran finalmente, pero el problema clave está en los electrones y positrones.

¿Por qué es esto un problema? ¿No podría haber otro tipo de partícula cargada (tanto con carga positiva como con carga negativa) que realmente carezca de masa, de modo que electrones y positrones podrían desintegrarse finalmente en éstas y se mantuviese el punto de vista filosófico anterior? Parece que la respuesta es «no». En efecto, la mera existencia de tal partícula cargada sin masa en el zoo de partículas que hoy participan en las actividades físicas se habría hecho manifiesta en abundancia en muchos procesos de partículas.^[3.14] Pero lo que se observa realmente es que estos procesos tienen lugar sin la producción de tales partículas cargadas sin masa. Por consiguiente, actualmente no hay partículas cargadas sin masa. ¿Tendrán entonces que existir los electrones y protones (masivos) por toda la eternidad, en contradicción con el punto de vista filosófico sugerido?

Una posibilidad de mantener este punto de vista la plantea la idea de que los electrones y positrones remanentes pudieran buscarse y aniquilarse mutuamente por completo para producir meramente fotones, que entonces serían inocuos para esta filosofía. Pero, por desgracia, en el futuro extremadamente remoto muchas partículas cargadas individuales se encontrarán aisladas dentro de sus horizontes de sucesos cosmológicos, como se muestra en la Fig. 3.4 (véase también la Fig. 2.43 en §2.5), y cuando eso sucede, como debe hacerlo a veces, se elimina cualquier posibilidad de tal aniquilación de carga final. Una posible solución sería debilitar algo nuestro punto de vista filosófico, y argumentar que el electrón o el positrón singular, atrapado dentro de su horizonte de sucesos, difícilmente sería de mucho uso para la construcción de un reloj real. Por mi parte, me siento insatisfecho con esta línea de razonamiento, pues para mí carece del tipo de rigor que deberían exigir las leyes físicas.

Fig. 3.4. Habrá el ocasional electrón o positrón «solitario», finalmente atrapado dentro de su horizonte e incapaz de perder su carga eléctrica mediante aniquilación de pares.

Una solución más radical sería suponer que la conservación de carga no es realmente uno de los requisitos obligados de la naturaleza. Si así fuera, podría suceder que, en momentos extremadamente ocasionales, una partícula cargada pudiera desintegrarse en otra que no tenga carga eléctrica, y en los abismos de la eternidad toda la carga eléctrica podría desaparecer. Entonces, electrones y positrones podrían convertirse finalmente en uno de sus parientes sin carga, digamos un neutrino, en cuyo caso se requeriría también que entre los tres tipos conocidos de neutrinos haya uno sin masa en reposo.^[3.15] Al margen de que no haya por el momento ninguna evidencia de violación de la conservación de carga, semejante posibilidad es extremadamente desagradable desde un punto de vista teórico, y también parecería exigir que el propio fotón adquiera una pequeña masa, lo que en sí mismo anularía la posición filosófica propuesta.

La otra posibilidad que se me ocurre, y que creo que es algo que hay que considerar seriamente, y no meramente un mal menor, es que la noción de masa en reposo no sea la constante absoluta que pensamos que es. La idea es que en los abismos de la eternidad, las partículas masivas supervivientes —los electrones, positrones, neutrinos, y también protones y antiprotones, si finalmente no se desintegran— experimentarían un desvanecimiento muy gradual de sus masas en reposo, llegando a un valor cero en el límite final. Una vez más, no hay por ahora absolutamente ninguna evidencia observacional de tal violación de las nociones ordinarias sobre la masa en reposo, pero en este caso el respaldo teórico de las ideas convencionales es mucho menos sustancial que en el caso de la conservación de carga. En el caso de la carga eléctrica, tenemos una cantidad aditiva, en el sentido de que la carga total de un sistema es siempre la suma de todos sus constituyentes individuales, pero con la masa en reposo no es así. (La E = mc² de Einstein nos dice que la energía cinética de los movimientos de los constituyentes contribuirá al total). Además, aunque el valor real de la carga eléctrica elemental (digamos la del anti-quark-down, que es un tercio de la del protón) sigue siendo un misterio teórico, los valores de todas las demás cargas que encontramos en el universo son múltiplos enteros de este valor. Nada parecido ocurre con la masa en reposo, y se desconoce por completo la razón subyacente para que los diferentes tipos de partículas tengan los valores concretos de masas en reposo que medimos. De modo que parece que sigue habiendo libertad para que la masa en reposo de una partícula fundamental no sea una constante absoluta —como de hecho no lo es, según la física de partículas estándar, en el universo muy primitivo, como se ha comentado antes, en §3.1— y pueda desvanecerse y hasta reducirse a cero en el futuro muy remoto.

En relación con esto, puede hacerse un último comentario técnico concerniente al estatus de la masa en reposo en física de partículas. Un procedimiento estándar para abordar la idea de una «partícula elemental» es buscar las que se conocen como «representaciones irreducibles del grupo de Poincaré». Se supone que cualquier partícula elemental va a describirse de acuerdo con una de tales representaciones irreducibles. El grupo de Poincaré es la estructura matemática que describe las simetrías del espacio de Minkowski , y éste es un procedimiento natural en el contexto de la relatividad especial y la mecánica cuántica. El grupo de Poincaré posee dos cantidades conocidas como operadores de Casimir,^[3.16] que son la masa en reposo y el espín intrínseco, y en consecuencia se estima que masa en reposo y espín son «buenos números cuánticos», números que permanecen constantes mientras la partícula sea estable y no interaccione con nada. No obstante, este papel de parece menos fundamental cuando hay una constante cosmológica Λ positiva presente en las leyes físicas (pues Λ = 0 para ); y parece que, cuando nos interesamos en materias relacionadas con la cosmología, debería ser el grupo de simetría del espacio-tiempo de De Sitter , y no el de , el que finalmente debería interesarnos (véase §2.5, Fig. 2.36(a), (b)). Sin embargo, resulta que la masa en reposo no es exactamente un operador de Casimir del grupo de De Sitter (pues hay un pequeño término adicional que incluye a Λ), de modo que su estatus final es más cuestionable en este caso, y una desintegración muy lenta de la masa en reposo no me parece descartable.^[3.17]

No obstante, la desintegración muy gradual de la masa en reposo, según esta propuesta, tiene curiosas implicaciones con respecto al esquema general de la CCC, porque plantea una nueva cuestión en relación con la medida del tiempo. Recordemos que hacia el final de §2.3 se ha utilizado la masa en reposo de una partícula para proporcionar una escala de tiempo bien definida, pues dicho reescalado es todo lo que se necesita para que podamos pasar de una estructura conforme a una métrica plena. Si, como parece exigido por la argumentación anterior, necesitamos que las masas de las partículas desaparezcan, aunque de forma extraordinariamente lenta, entonces nos vemos llevados a un dilema. ¿Seguimos adoptando esta idea de utilizar masas en reposo de partículas para definir de forma precisa la métrica de nuestro espaciotiempo, cuando todavía hay partículas masivas aunque con masas que se desintegran lentamente? Si tratamos de fijar un tipo de partícula concreto, digamos un electrón, para que nos proporcione el patrón de tiempo, entonces, dados los ritmos de desintegración que serían requeridos para que los electrones sean considerados aceptablemente «sin masa» cuando se llega a ⁺ (véase el apéndice A2), resultaría que ⁺ no está en el infinito en absoluto, y la expansión del universo, de acuerdo con esta «métrica de electrón», tendría o bien que frenarse hasta detenerse, o bien invertirse hacia un colapso. No parece que este comportamiento fuera compatible con las ecuaciones de Einstein. Más aún, si en lugar de una «métrica de electrón» utilizáramos una «métrica de neutrino» o una «métrica de protón», pongamos por caso, entonces es probable que el comportamiento geométrico detallado del espaciotiempo difiriera del comportamiento correspondiente que se obtendría con el uso de electrones (a menos que en el escalado a cero todos los valores de las masas mantuvieran exactamente sus proporciones iniciales). Para mí, esto no es muy satisfactorio.

Así pues, parece que para conservar una forma apropiada para las ecuaciones de Einstein —con Λ constante— a lo largo de la historia entera del eón, tenemos que utilizar otra propuesta para escalar la métrica. Lo que podríamos hacer, aunque esto difícilmente sería una solución «práctica» para el propósito de construir un reloj, es utilizar la propia Λ para determinar una escala; o, lo que parece estar íntimamente relacionado con esto, podríamos utilizar el valor efectivo de la constante gravitatoria G. Entonces se mantendría la imagen de un universo que evoluciona y se expande indefinidamente de forma exponencial hasta su futuro remoto, pero sin perturbar seriamente la filosofía según la cual el universo perderá finalmente la pista de la escala de tiempo.

Esta cuestión está íntimamente relacionada con otra que he pasado por alto hasta ahora, a saber, el hecho de que mientras que hay invariancia conforme para el campo gravitatorio libre, descrito por el tensor conforme de Weyl C (puesto que C describe la curvatura conforme), el acoplamiento del campo con sus fuentes no es conformemente invariante. Esto es muy diferente de lo que sucede en la teoría de Maxwell, en la que hay invariancia conforme tanto para el campo electromagnético libre F como para el acoplamiento entre F y sus fuentes descritas por el vector carga-corriente J. Entonces, una vez más, cuando introducimos la gravedad en la imagen de una forma seria, la filosofía básica de la CCC se enturbia un poco. Debemos adoptar el punto de vista de que, en cierto sentido, la filosofía de la CCC afirma que es la física libre de gravedad (y física libre de Λ) la que pierde la pista del tiempo, y no la totalidad de la física.

Tratemos de entender la relación entre la teoría de Einstein y la invariancia conforme. Es una materia un poco delicada. En el caso del electromagnetismo, todas las ecuaciones se conservan bajo el reescalado conforme. Vamos a examinar lo que sucede cuando la métrica g del espacio-tiempo se reemplaza por otra métrica ĝ conformemente relacionada mediante un factor de escala Ω, que es un número positivo que varía suavemente sobre el espacio-tiempo (véanse §2.3 y §3.1):

g → ĝ = Ω²g

Para ver la invariancia conforme de la teoría de Maxwell adoptamos reescalados para el -tensor F, que describe el campo, y para el -tensor J, que describe la fuente (carga-corriente), dados por

Las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse simbólicamente

∇F = 4πJ

donde ∇ representa un conjunto específico de operadores diferenciales^[3.18] determinado por la métrica g. Cuando se aplica el cambio de escala g → ĝ, ∇ debe reemplazarse por un operador , determinado correspondientemente por ĝ, y entonces lo que encontramos es (apéndice A6)

que, al ser exactamente la misma ecuación que antes pero ahora en forma «con gorro», expresa la invariancia conforme de las ecuaciones de Maxwell. En particular, cuando J = 0 todo lo que tenemos son las ecuaciones de Maxwell libres:

∇F = 0,

y cuando se aplica g → ĝ, encontramos invariancia conforme en

Este conjunto de ecuaciones (conformemente invariantes) gobierna la propagación de ondas electromagnéticas (luz) y también puede considerarse como la ecuación de Schrödinger mecanocuántica satisfecha por fotones libres individuales (véanse §3.4, A2 y A6).

En el caso de la gravedad, el -tensor fuente E (tensor de Einstein, que toma el lugar de J; véase §2.6) no tiene un comportamiento de escalado que proporcione invariancia conforme para las ecuaciones, pero hay un equivalente conformemente invariante de ∇F = 0 que gobierna la propagación de ondas gravitatorias y proporciona una ecuación de Schrödinger análoga para gravitones individuales libres. La escribiré simbólicamente (véanse A2, A5 y A9) como

∇K = 0.

Hay, sin embargo, una cuestión sutil: cuando se utiliza la métrica original (de Einstein) g, este -tensor K se toma idéntico al -tensor conforme de Weyl C (de §2.6)

K = C,

pero cuando reescalamos a una nueva métrica de acuerdo con g → ĝ = = Ω²g, encontramos (apéndice A9) que es preciso adoptar escalados diferentes

para conservar el significado de C como algo que proporciona la medida de curvatura conforme, y para conservar la invariancia conforme de la propagación de ondas de K, de modo que obtenemos

Estos escalados nos llevan a^[3.19]

Esto tiene algunas consecuencias curiosas, que son de considerable importancia para la CCC. Cuando nos acercamos a ⁺ desde su pasado, necesitamos utilizar un factor conforme Ω que tiende a cero de forma suave, ^[3.20] pero con una derivada normal no nula. El significado geométrico de esto se ilustra en la Fig. 3.5. La invariancia conforme de la ecuación de propagación de ondas para K implica que alcanza valores finitos, (y normalmente no nulos) en ⁺, valores que determinan la intensidad (y polarización) de la radiación gravitatoria —el análogo gravitatorio a la luz— cuando continúa hasta infinito y con ello deja su marca en ⁺. Véase la Fig. 3.6. Lo mismo se aplica a los valores de F en ⁺, que determinan la intensidad y polarización del campo de radiación electromagnética (luz). Pero debido al hecho de que Ω se hace cero en ⁺, la ecuación antes mostrada, reescrita como Ĉ = Ω, nos dice que la finitud de implica que el propio tensor conforme Ĉ debe hacerse cero en ⁺ (donde utilizamos una métrica ĝ finita en ⁺). Puesto que Ĉ proporciona una medida directa de geometría conforme en ⁺, la demanda de la CCC de que la geometría conforme sea suave sobre la 3-superficie de tránsito de cada eón al siguiente nos dice que la curvatura conforme también debe ser cero en la superficie bigbang ⁻ del eón siguiente. Así pues, frente a la condición de que la curvatura conforme sea meramente finita (que era lo que la propuesta de Tod daba directamente), la CCC proporciona una versión más fuerte de la hipótesis de curvatura de Weyl (HCW, véase §2.6), a saber: que dicha curvatura conforme se anula realmente en el ⁻ de cada eón, de acuerdo con la idea original de la HCW.

Fig. 3.5. El factor de escala conforme pasa limpiamente de positivo a negativo en el tránsito, y la curva tiene una pendiente que no es ni horizontal ni vertical. Aquí «tiempo conforme» se refiere simplemente a la «altura» en un diagrama conforme apropiado.

Fig 3.6. El campo gravitatorio es medido por el tensor K, se propaga de acuerdo con una ecuación conformemente invariante, y así alcanza en general valores finitos no nulos en ⁺.

En el otro lado de la superficie de tránsito, es decir, inmediatamente después del ⁻ del eón siguiente, encontramos un factor conforme que se hace infinito en ⁻, pero de la manera precisa para que Ω⁻¹ se comporte suavemente en ⁻.^[3.21] Así pues, ¡parece ser el caso que Ω tiene que poder ser continuado de algún modo sobre la 3-superficie de tránsito para convertirse, súbitamente, en su recíproco! Una manera de manejar matemáticamente esta situación es codificar la información esencial de Ω de un modo que no lo distingue de su recíproco Ω⁻¹. Esto puede hacerse considerando el -tensor Π (una 1-forma), que los matemáticos escribirían como^[3.22]

Las dos cosas más importantes sobre Π son, primero, que permanece suave sobre la 3-superficie de tránsito y, segundo, que no cambia bajo el reemplazamiento Ω → Ω⁻¹.

En la CCC tratamos de exigir que Π sea una cantidad que varía suavemente en el tránsito, de modo que si consideramos que es Π, y no Ω, el que define la información del escalado requerido, entonces podemos imaginar que el reemplazamiento Ω → Ω⁻¹ en el tránsito puede conseguirse mientras Π permanece suave en el mismo. Esto requiere que el comportamiento de Ω en ⁺ satisfaga ciertas condiciones matemáticas, y hay indicios de que estas pueden conseguirse de forma satisfactoria y unívoca. (Se dan argumentos detallados en el apéndice B.) El resultado de todo esto es que hay un procedimiento matemático preciso y aparentemente único para continuar los campos sin masa en el futuro a través de la 3-superficie de tránsito, suponiendo que sólo hay presentes campos sin masa en el futuro muy remoto del eón previo (es decir, inmediatamente anterior a ⁺).

Con solo campos sin masa presentes, tenemos una particular libertad de escalado en la elección de la métrica reescalada ĝ en la región inmediatamente anterior al ⁺ del eón previo, compatible con su estructura conforme dada. Esta libertad se describe en términos de un «campo fantasma» ϖ, que satisface una ecuación de campo escalar sin masa conformemente invariante y autoacoplada (es decir, no lineal), a la que llamo (en el apéndice B2) la «ϖ-ecuación». Las diferentes soluciones de la ϖ-ecuación nos dan los diferentes escalados métricos posibles que nos llevarían desde nuestra ĝ-métrica escogida a las otras posibles métricas ϖ²ĝ que las ecuaciones de Einstein (con constante cosmológica Λ) nos dirían que se refieren solo a fuentes sin masa. La elección particular de que nos da la métrica física original de Einstein g se conoce como el «campo fantasma» (puesto que desaparece en la g-métrica de Einstein, y toma simplemente el valor 1). El campo fantasma no tiene grados de libertad físicos independientes, en la región previa al ⁺, sino que simplemente sigue la pista de la métrica g, lo que nos dice el escalado que nos devuelve a g desde la ĝ-métrica que se está utilizando.

En el lado opuesto del tránsito, inmediatamente después del big bang del eón posterior, encontramos que la simple continuación de los campos de forma suave lleva a una constante gravitatoria efectiva en este nuevo eón que se ha hecho negativa, con implicaciones no físicas. Por ello se hace necesario adoptar la interpretación alternativa en la que utilizamos la elección alternativa Ω⁻¹, compatible con Π, en el otro lado. Esto tiene el efecto de convertir el campo fantasma ϖ en un campo físico real (aunque inicialmente infinito) en el lado big bang del tránsito. Es tentador interpretar que es este ϖ-campo que sigue a este big bang el que proporciona la forma inicial de materia oscura nueva, antes de que adquiera masa. ¿Por qué hacer esta interpretación? La razón es simplemente que las fuerzas matemáticas van a dar, en el big bang del nuevo eón, alguna nueva contribución dominante, de la naturaleza de un campo escalar, que aparece del comportamiento del factor conforme. Esta contribución es adicional a las contribuciones de fotones (campo electromagnético) o de cualesquiera otras partículas de materia (que se supone que han perdido sus masas en reposo para cuando alcanzan la 3-superficie de tránsito). Tiene que estar allí por consistencia matemática, en cuanto adoptamos la transformación Ω → Ω⁻¹ en el tránsito.

Otra propiedad que encontramos como resultado de las matemáticas es que en el lado big bang del tránsito no se puede mantener estrictamente la condición de que todas las fuentes sean sin masa, aunque una ligadura natural que restringe la libertad indeseada en el factor conforme es que esta aparición de masa en reposo se retrase lo más posible. Así, una componente del contenido de materia post-Big-Bang es esta contribución que lleva masa en reposo. Sería natural suponer que esto tiene algo que ver con el campo de Higgs (o cualquier cosa que pudiera resultar necesaria) en su papel en la aparición de masa en reposo en el universo primitivo.

La materia oscura es la forma de materia dominante que parece estar presente en las etapas iniciales de nuestro propio eón. Comprende aproximadamente un 70 por ciento de materia ordinaria (donde «ordinaria» significa que no cuenta la contribución de la constante cosmológica Π —habitualmente conocida como «energía oscura»—),^[3.23] pero la materia oscura no parece encajar cómodamente en el modelo estándar de la física de partículas, pues solo interacciona con otros campos de materia a través de su efecto gravitatorio. El campo fantasma en las etapas tardías del eón anterior aparece como una componente escalar efectiva del campo gravitatorio, que resulta solo porque estamos permitiendo los reescalados conformes g → Ω²g, y no tiene grados de libertad independientes. En el eón posterior, la nueva materia que resulta inicialmente domina a los grados de libertad presentes en las ondas gravitatorias en el eón anterior. La materia oscura parece haber tenido un estatus especial en el momento de nuestro Big Bang, y éste es ciertamente el caso para ϖ. La idea es que inmediatamente después del Big Bang (presumiblemente cuando el Higgs entra en juego), este nuevo ϖ-campo adquiere una masa, y entonces se convierte en la materia oscura que parece desempeñar un papel tan importante en conformar las distribuciones de materia subsiguientes, con los diversos tipos de irregularidades que se observan hoy.

Es quizá significativo que las dos denominadas magnitudes «oscuras» («materia oscura» y «energía oscura»), que poco a poco se han hecho manifiestas gracias a observaciones cosmológicas detalladas en décadas recientes, parecen ser ingredientes necesarios de la CCC. Este esquema ciertamente no funcionaría sin Λ > 0, puesto que el consiguiente carácter de tipo espacio de ⁺ es necesario para empalmar con el carácter de tipo espacio de ⁻. Además, vemos de lo anterior que el esquema requiere que haya algún tipo de distribución de materia inicial que razonablemente pudiera identificarse con la materia oscura. Será interesante ver si esta interpretación de la materia oscura se va a sostener teórica y observacionalmente.

Con respecto a Λ, lo que más parece intrigar a cosmólogos y a teóricos de campos cuánticos es su valor. La cantidad Λg suele ser interpretada por los teóricos de campos cuánticos como la energía del vacío (véase §3.5). Por razones que tienen que ver con la relatividad, se argumenta que esta «energía de vacío» debería ser un -tensor proporcional a g, pero el factor de proporcionalidad ¡resulta mayor que el valor observado de Λ en un factor del orden de 10¹²⁰, de modo que algo falta claramente en esta idea!^[3.24] Otra cosa que se considera enigmática es que el minúsculo valor observado de Λ es tal que empieza a tener efectos en la expansión del universo que son comparables a la atracción total debida a la materia en el universo precisamente ahora, y no en el pasado, en que la atracción era enormemente mayor, ni en el futuro, en que será enormemente menor. Esta parece ser una extraña coincidencia.

Para mí esta «coincidencia» no es un enigma tan grande, al menos no mayor que algunos enigmas que han estado con nosotros mucho antes de que hubiera pruebas observacionales que indicaran el pequeño valor real de Λ. Ciertamente el valor observado de Λ necesita explicación, pero quizá pueda relacionarse específicamente con la constante gravitatoria G, la velocidad de la luz c y la constante de Planck h mediante una fórmula muy simple, pero con la sexta potencia de cierto número grande N en el denominador

Aquí

es la forma de Dirac de la constante h de Planck (a veces llamada constante de Planck reducida). El número N es del orden de 10²⁰; en 1937 el gran físico cuántico Paul Dirac advirtió que diversos cocientes adimensionales de constantes físicas básicas dan valores que son (aproximadamente) potencias enteras de este número, en particular cuando la gravedad está implicada de alguna manera. (Por ejemplo, la razón de la fuerza eléctrica a la fuerza gravitatoria entre el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno es del orden de 10⁴⁰ ≈ N²). Dirac apuntó también que la edad del universo es del orden de N³, en términos de la unidad de tiempo absoluta que se conoce como tiempo de Planck t_P. Suele considerarse que el tiempo de Planck, y la correspondiente longitud de Planck l_P = ct_P proporcionan un tipo de medida espaciotemporal «mínima» (o «cuantos» de tiempo y espacio, respectivamente), de acuerdo con ideas comunes sobre la gravedad cuántica:

Mediante el uso de estas «unidades de Planck», y también de la masa de Planck m_P y la energía de Planck E_P dadas por

que son unidades determinadas de forma natural (aunque nada prácticas), se pueden expresar muchas otras constantes básicas de la naturaleza simplemente como puros números (adimensionales). En particular, en estas unidades, tenemos Λ = N⁻⁶.

Además, podemos utilizar unidades de Planck para temperatura, haciendo la constante de Boltzmann k = 1, en donde una unidad de temperatura tiene el valor absurdamente grande de 2,5 × 10³² K. Cuando considere las entropías muy grandes implicadas en grandes agujeros negros o con respecto al universo en conjunto (como en §3.4) utilizaré unidades de Planck. Sin embargo, para valores de este tamaño, supone poca diferencia qué unidades se utilicen.

Originalmente Dirac pensó que puesto que la edad del universo está aumentando (obviamente) con el tiempo, entonces N debería estar aumentando con el tiempo o, lo que es equivalente, G debería estar disminuyendo con el tiempo (en proporción inversa al cuadrado de la edad del universo). Sin embargo, medidas más precisas de G que las que estaban disponibles cuando Dirac propuso sus ideas han mostrado que G (o equivalentemente N), si no es constante, al menos no puede variar al ritmo que requerían las ideas de Dirac.^[3.25] Sin embargo, en 1961, Robert Dicke (con un argumento más tarde refinado por Brandon Carter)^[3.26] señaló que, según la teoría aceptada de la evolución estelar, la vida media de una estrella de la «secuencia principal» está relacionada con las diferentes constantes de la naturaleza de tal manera que cualquier criatura cuya vida y evolución dependan de que está existiendo aproximadamente a la mitad del período de vida activa de dicha estrella ordinaria, encontraría probablemente un universo cuya edad, en unidades de tiempo de Planck, es del orden de N³. Si pudiera entenderse teóricamente el valor particular para Λ de N⁻⁶, esto también explicaría el enigma de la aparente coincidencia de una constante cosmológica que entra en juego precisamente ahora. Pese a todo, éstas son claramente materias especulativas, y por supuesto se necesitarán teorías mejores para tener una mejor comprensión de estos números.