[165] R. Goldstein, Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel, W. W. Norton, Nueva York (2005). <<
[166] La suma del 1.º y el 100.º, el 2.º y el 99.º, etc., siempre es 101. Hay cincuenta de esas parejas que suman 101, así que la suma de los 100 primeros números es 50 × 101 = 5050. Por el mismo razonamiento, la suma de los primeros N números es N(N+l)/2. Hay una famosa anécdota que dice que Carl Friedrich Gauss descubrió instantáneamente este hecho cuando tenía 9 años, después de que su maestro pensó que podía tener ocupada a la clase durante un buen rato haciendo esta suma por el método largo. <<
[167] Curiosamente, Straus conservó su correspondencia científica (treinta y tres cartas y quince manuscritos) con Einstein de este período y su familia subastó la colección en la London Antiquarian Book Fair de Olympia en junio de 2006, con un precio de reserva de 1,5 millones de dólares; véase http://www.guardian.co.uk/uk/2006//22/science.research. <<
[168] A. Einstein y E. G. Straus, «The Influence of the Expansion of Space on the Gravitation Fields Surrounding the Individual Stars» («La influencia de la expansión del espacio en los campos gravitatorios que rodean a las estrellas individuales»), Re. Mod. Physics 17, 120 (1945) y 18, 148 (1946). El segundo artículo incluía correcciones y comentarios adicionales sobre el primero. Straus fue coautor de otros dos artículos con Einstein, en 1946 y en 1949, sobre los intentos de Einstein de crear una nueva teoría unificada que generalizase aún más la relatividad general. Todas las publicaciones posteriores de Straus fueron sobre teoría de números. <<
[169] Este era el contenido del telegrama de Marx al Friars Club de Beverly Hills, citado en Groucho and Me, Da Capo Press, Nueva York (1959), pág. 321. <<
[170] «The Adventure of the Empty House» («La aventura de la casa vacía»), en A. Conan Doyle, The Return of Sherlock Holmes (1903). Esta fue la primera historia de Holmes situada después de su supuesto fallecimiento junto con Moriarty en las cataratas de Reichenbach. <<
[171] Para un relato de las experiencias de Vladimir Fock, uno de los más eminentes científicos de la época, que asistió a clases con Friedmann en su época de estudiante y más adelante intentó apoyar la investigación sobre relatividad navegando con dificultades entre los escollos ideológicos, véase G. Gorelik, «Vladimir Fock: Philosophy of Gravity and Gravity of Philosophy» («Vladimir Foch; filosofía de la gravedad y gravedad de la filosofía»), en The Attraction of Gravitation, Birkhäuser, Boston (1993), págs. 308-331. <<
[172] Lamentablemente, ese mismo año sufrió un grave accidente de coche que le dejó inconsciente durante seis semanas; nunca recuperó del todo sus habilidades mentales a pesar de vivir hasta 1968. Landau estaba familiarizado en profundidad con todas las ramas de la física, y era capaz de efectuar nuevos descubrimientos en cualquiera de ellas. <<
[173] Solo cuarenta y tres estudiantes en total pasaron este curso de calificación para investigar con Landau. Ninguno lo hizo con más rapidez que Lifshitz. <<
[174] Necesitaba evitar llamar la atención en los lugares equivocados, y se pasó el período 1938-1939 en una serie de empleos inverosímiles en Moscú y Kharkov, seguidos por tres meses sin trabajo en absoluto en la remota Crimea. <<
[175] E. M. Lifshitz, J. Phys. (USSR) 10, 116 (1946). <<
[176] Las irregularidades de densidad se comportan como si fuesen universos de Friedmann cerrados y más densos incrustados en otro plano e infinito. Se expanden más lentamente porque contienen materia más densa, así que la diferencia de densidad entre el universo cerrado y el fondo plano crece. <<
[177] Citado por Freeman Dyson en J. D. Barrow, P. C. W. Davies y C. L. Harper (eds.), Science and Ultimate Reality, Cambridge University Press, Cambridge (2004), pág. 83. <<
[178] E. Schrödinger, «The Proper Vibrations of the Expanding Universe» («Las vibraciones propias del universo en expansión»), Physica 6, 899-912 (1939). Más adelante amplió su estudio a la ecuación de Dirac para el electrón en Proc. Roy. Irish Acad. A 46, 25-47 (1940). Hay un sondeo en sus dos libros Spacetime Structure, Cambridge University Press, Cambridge (1950), y Expanding Universes, Cambridge University Press, Cambridge (1957). <<
[179] Schrödinger nunca estuvo del todo convencido de la interpretación estándar de la función de onda que su ecuación describe. Se mantuvo fiel a su propio punto de vista de que representaba algún tipo de densidad de carga, en lugar de la interpretación de Born de que era una medida de la probabilidad de medir la aparición de un posible resultado. <<
[180] S. W. Hawking, «Black Hole Explosions?» («¿Explosiones de agujeros negros?»), Nature 248, 30 (1974). <<
[181] Carta a su madre en octubre de 1961. <<
[182] Padecía una acusada paranoia acerca de numerosas cosas; creía que alguien intentaba envenenarlo y se negaba a comer los alimentos más comunes. Cuando murió, en 1978, pesaba 36 kg y, de hecho, se había dejado morir de hambre. Su esposa Adele le hacía de chef probadora de comida y cuidadora en general; su estado se deterioró de forma significativa tras la muerte de ella en 1970. <<
[183] Una solución anterior de las ecuaciones de Einstein, que describía un cilindro en rotación de materia sin presión, contenía también la posibilidad de viajar en el tiempo fuera del cilindro, a causa de la intensa distorsión del espacio y el tiempo causada por la rotación. La solución la halló en primer lugar el brillante físico y matemático húngaro Cornelius Lanczos (que trabajó como asistente de Einstein en el período 1928-1929) en 1924, en Z. f. Physik 21, 73, y luego la redescubrió el matemático holandés Willem Van Stockum en 1937, Proc. Roy. Soc. Edinburgh A 57, 135, que se dio cuenta de que contenía numerosas líneas temporales cerradas. Van Stockum (cuyo padre era primo hermano de Vincent Van Gogh) fue una figura heroica. Había sido estudiante de investigación en la universidad de Edimburgo, y se trasladó al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1939 con la esperanza de estudiar con Einstein. Con el inicio de la guerra, Van Stockum abandonó sus ambiciones y puso todo su empeño en la oposición aliada a Hitler, se alistó en la fuerza aérea canadiense, donde se formó como piloto de bombardero, y luego se unió a la fuerza aérea holandesa en el exilio en 1944. Se convirtió en el único oficial holandés en volar en misiones con el mando de bombarderos de la RAF, y pilotó numerosos bombarderos Handley-Page Halifax sobre Europa. Participó en los raids aéreos del día D contra las posiciones de artillería alemanas. Murió a la pronta edad de treinta y tres años, junto con su tripulación, el 10 de junio de 1944, cuando su avión sufrió el impacto de fuego antiaéreo mientras participaba en un raid de 400 aviones. Para más detalles, véase el escrito de reconocimiento de Erwin Van Loo «Willem Jacob Van Stockum: A Scientist in Uniform» («Willem Jacob Van Stockum: un científico de uniforme»), junio de 2004, traducción inglesa online en http://www.lorentz.leidenuniv.nl/history/stockum/VliegendeHollander.html. <<
[184] Transcripción del programa de radio en http://www.abc.net.au/rn/scienceshow/stories/2006/1807626.htm. <<
[185] K. Gödel, Reviews of Modern Physics 21, 447 (1949). <<
[186] M. MacBeath, «Who was Dr Who s Father?» («¿Quién fue el padre del Doctor Who?»), Synthese 51, 397-430 (1982); G. Nerlich, «Can Time be Finite?» («¿Puede el tiempo ser finito?»), Pacific Phil. Quart. 62, 227-239 (1981). <<
[187] En cambio, el viaje en el tiempo hacia delante no representa problema alguno y se observa habitualmente en los experimentos de física. Es lo que ocurre en la denominada «paradoja de los gemelos» de la teoría de la relatividad. Un gemelo sale en un viaje espacial a alta velocidad y, al regresar, comprueba que ha envejecido menos que su hermano, que se quedó en casa. De hecho, el gemelo viajero ha viajado al futuro del gemelo que se ha quedado en casa. <<
[188] El filósofo norteamericano David Malament, comentando las paradojas del abuelo, habla sobre el punto de vista de que «el viaje en el tiempo […] es simplemente absurdo y provoca contradicciones lógicas. Ya saben cómo funciona el argumento. Si el viaje en el tiempo fuese posible, se podría viajar hacia atrás y cambiar el pasado. Se podría lograr que ambas condiciones, P y no-P, fuesen ciertas en algún punto del espacio-tiempo. Por ejemplo, podría ir hacia atrás y matarme a mí mismo de niño, impidiendo que mi persona anterior creciera para convertirse en mí. Simplemente quiero destacar que este tipo de argumentos nunca me han parecido convincentes […] El problema de estos argumentos es simplemente que no establecen lo que se supone que deben establecer. Desde luego, si pudiese viajar hacia atrás y matarme a mí mismo de niño, surgiría algún tipo de contradicción; pero la única conclusión que se puede extraer de ello es que, si intentase ir hacia atrás y matarme a mí mismo de niño, por algún motivo, no lo lograría. Quizá tropezase en el último momento. Los argumentos habituales no establecen la imposibilidad del viaje en el tiempo, sino que, si se hiciese, algunas acciones no podrían llevarse a cabo», en Proc. Phil. Science Assoc. 2, 91 (1984). Un eminente filósofo que nadó contracorriente y ofreció argumentos a favor de la racionalidad del viaje en el tiempo, a pesar de las paradojas del abuelo, fue el difunto David Lewis. En 1976, escribió en su artículo «The Paradoxes of Time Travel» («Las paradojas del viaje en el tiempo»), Amer. Phil. Quart. 13, 15 (1976), que «Sostengo que el viaje en el tiempo es posible. Las paradojas del viaje en el tiempo son rarezas, no imposibilidades. Esto es lo único que demuestran, algo que pocos habrían puesto en duda: que un mundo posible en el que tuviese lugar el viaje en el tiempo sería un mundo muy extraño, distinto en aspectos fundamentales del mundo que concebimos como nuestro». <<
[189] Los mejores límites obtenidos por Roman Juszkiewicz, David Sonoda y yo mismo en 1985, en el artículo «Universal Rotation: How Large Can It Be?» («Rotación universal: ¿cómo de grande puede ser?»), Mon. Not. Roy. Astr. Soc. 213, 917 (1985). <<