^[127] G. K. Chesterton, Orthodoxy, Londres (1908). <<

^[128] Tomemos una distribución suave e infinita de materia. Elijamos un valor y una dirección cualesquiera para la fuerza neta de gravedad que queremos que actúe sobre nosotros. Ahora fabriquemos una esfera de materia, con nosotros situados en su superficie y el centro en la dirección de la fuerza que queremos que actúe sobre nosotros, y una masa en el interior de la esfera definida por la intensidad de la fuerza que queremos que actúe. Newton demostró que solo se percibe la fuerza de la gravedad de la materia situada dentro de la esfera en cuya superficie nos hallamos, y no de la materia exterior a ella. Así que hemos demostrado que percibimos la fuerza asumida inicialmente. Esta es la forma de «demostrar» que percibimos cualquier fuerza que queramos. Esto se denominó «Paradoja gravitatoria». <<

^[129] E. E. Fournier d’Albe, Two New Worlds: The Infra World. The Supra World, Longmans, Green & Co., Londres, (1907). Había escrito acerca de su idea en un nivel más técnico en su obra The Electron Theory (1906). <<

^[130] E. A. Poe, Eureka —A Prose Poem, Putnam, Nueva York (1848). Para un comentario sobre el concepto de «otros universos» en Poe, véase E. R. Van Slooten, Nature 323, 198 (1986) y A. Cappi, Quart. J. Roy. Astron. Soc. 35, 177 (1994). <<

^[131] C. Charlier, «How an Infinite World May Be Built Up» («Cómo puede construirse un mundo infinito»), Arkiv f. Matematik och Fysik 16, 22 (1922). <<

^[132] Este problema, observado por primera vez por Edmund Halley, se denominada paradoja de Olbers. <<

^[133] Para una buena crítica, véase J. D. Norton, en The Expanding Worlds of General Relativity, Birkhäuser, Boston (1999), págs. 306-308. <<

^[134] Selety es una persona difícil de rastrear, porque se cambió el nombre por algún motivo después de haberse llamado Franz Josef Jeiteles hasta 1918; véase T. Jung, Acta Historica Astronomiae 27, 125 (2005). Obsérvese que el nuevo nombre no es más que el antiguo al revés; supuestamente, la intención de esta inversión era ocultar sus orígenes judíos, que se ponen de manifiesto en el final «eles» de su apellido original. En aquella época, el antisemitismo tenía mucha fuerza en Austria. <<

^[135] F. Selety, Annalen der Physik 68, 281 (1922). <<

^[136] La densidad promedio cero solo surge en la restrictiva situación de dejar que el tamaño sea infinito. La densidad disminuye con la distancia lo bastante rápido para que, en promedio, sea más pequeña que cualquier cifra elegida si se va lo bastante lejos. <<

^[137] Las velocidades aleatorias, v, están relacionadas con la densidad en la escala r, ρ(r), por ν² ≈ GM/r ∝ Gρ(r)r², y no aumentan con la distancia r si la densidad de materia ρ(r) desciende como ρ(r) ∝ r⁻² o más rápido. Selety prefería la situación especial con ρ(r) ∝ r⁻². <<

^[138] A. Einstein, Annalen der Physik 69, 436 (1922), con una respuesta de F. Selety en Annalen der Physik 72, 58 (1923). <<

^[139] Por desgracia, parece que Einstein estaba influido por la anticuada creencia de que no había pruebas de la existencia de galaxias externas. <<

^[140] El último fue en F. Selety, Annalen der Physik 73, 291 (1924). <<

^[141] G. de Vaucouleurs, Science 167, 1203 (2000); J. R. Wertz, Astrophys. J. 164, 229 (1971); W. Bonnor, Mon. Not. R. Astron. Soc. 159, 261 (1972); C. Dyer, Mon. Not. R. Astron. Soc. 189, 189 (1979). <<

^[142] Para una opinión contraria véase, por ejemplo, F. S. Labini, «Characterising the Large-Scale Inhomogeneity of the Galaxy Distribution» («Caracterización de la inhomogeneidad a gran escala de la distribución de galaxias»), http://arxiv.org/abs/0910.3833. <<

^[143] Véase su relato personal en http://​graphics.stanford.edu/​~dk/​google_name_origin.html. <<

^[144] La expansión de distancias en tres direcciones perpendiculares x, y y z, con el tiempo, t, viene dada por:

R_x = t^p, R_y = t^q, R_z = t^r,

donde las ecuaciones de Einstein exigen que los números p, q y r estén restringidos por las ecuaciones

p + q + r = 1 y p² + q² + r² = 1

Esto significa que p, q y r están restringidos a tres intervalos de valores que no se superponen, gobernados por las desigualdades siguientes:

−1/3 ≤ p ≤ 0 ≤ 1/3 ≤ q ≤ 2/3 ≤ r ≤ 1

El volumen cambia como R_xR_yR_z = t^p+q+r, de modo que aumenta con el tiempo, pero p es negativo, así que el universo de Kasner se contrae en la dirección x mientras que se expande en las direcciones y y z. <<

^[145] Si se intenta forzar el universo de Kasner a que se expanda al mismo ritmo en todas las direcciones, entonces p, q y r tendrían que ser iguales, cosa que no permiten las fórmulas anteriores. De hecho, podemos tomar la opción p = q = 0 y r = 1. Esto resulta ser el espacio-tiempo plano de la teoría especial de la relatividad, o espacio-tiempo de Minkowski, escrito en unas coordenadas poco comunes. Esta solución está permitida, pero no es un universo en expansión. <<

^[146] Este universo lo hallaron Otto Heckmann y Englebert Schücking en 1959 (Handbuch der Physik, vol. 53, Springer, Heidelberg, 1959, págs. 489-519) y tiene

R_x = t^p (t + T)^2/3−p, R_y = t^q (t + T)^2/3−q y R_z= t^r (t + T)^2/3−r

donde T es una constante que puede tomar cualquier valor. De forma aproximada, es el tiempo después del cual la expansión anisótropa de Kasner empieza a hacerse cada vez más isótropa. Vemos que, cuando t << T, la expansión tiene el aspecto del universo de Kasner, pero cuando t >> T, se acerca cada vez más al universo de Einstein-De Sitter, con R_x = R_y = R_z = t^2/3. Cuando se agrega la constante cosmológica, Λ, entonces R_x = [sinh(At)]p × [sinh(At) + Atcosh(At)]^2/3−p, donde T y A = (3Λ)^1/2/2 son constantes. Las fórmulas para R_y y R_z se obtienen sustituyendo p por q y r, respectivamente. Cuando t tiende a cero se recupera de nuevo el universo de Kasner, pero cuando t crece nos aproximamos a un universo de De Sitter, con R_x = R_y = R_z = exp[t (Λ/3)^1/2]. <<

^[147] Comentario de Dirac a J. Robert Oppenheimer, citado en G. Farmelo, The Strangest Man, Faber, Londres (2009), pág. 121. <<

^[148] G. Farmelo, The Strangest Man, Faber, Londres (2009). <<

^[149] Citado en Farmelo, The Strangest Man, pág. 220. <<

^[150] P. A. M. Dirac, Nature 139, 323 (1937) y Proc. Roy Soc. A 165,199 (1938): «Cualesquiera dos grandes números adimensionales de la Naturaleza están conectados por una relación matemática simple, en la que los coeficientes son del orden de la unidad». Los intentos de Eddington para explicar las constantes de la física parecen haber atraído la atención de Dirac hacia algunas misteriosas cifras que caracterizan la estructura del universo y las leyes de la física. <<

^[151] Esta hipótesis de igualdad entre grandes números no es original de Dirac en sí misma. Eddington y otros ya habían escrito antes estas relaciones, pero Eddington no había distinguido entre el número de partículas de todo el universo —que podía ser infinito— y el número de partículas en el universo observable, definido como una esfera que nos rodea, de radio la velocidad de la luz multiplicada por la edad actual del universo. <<

^[152] La conclusión N ∝ t² condujo posteriormente a Dirac a concluir (P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 333, 403 [1973]), erróneamente, que este resultado exigía la creación continua de protones. De hecho, lo único que nos dice es que, a medida que el universo se hace más viejo, podemos ver cada vez más protones dentro de nuestro horizonte visible. <<

^[153] Por supuesto, esta hipótesis explica por qué las diferentes colecciones de constantes N₁, N₂ y √N, son de magnitud similar, pero no por qué esa magnitud es actualmente próxima a 10⁴⁰. <<

^[154] La luminosidad del Sol es proporcional a G⁷ y el radio de la órbita de la Tierra en torno al Sol es proporcional a G⁻¹, así que la temperatura promedio en la superficie de la Tierra es proporcional a G^9/4 ∝ t^−9/4. <<

^[155] E. Teller, Phys. Rev. 73, 801 (1948). Teller, un emigrante húngaro, era un prominente físico que desempeñó un papel importante en el desarrollo de la bomba de hidrógeno. Él y Stan Ulam en Los Alamos fueron las dos personas a quienes se les ocurrió la idea clave (descubierta de forma independiente por Andrei Sakharov en la Unión Soviética y John Ward en el Reino Unido) para demostrar cómo podía detonarse una bomba nuclear. Más adelante, Teller desempeñó un polémico papel en el proceso a Robert Oppenheimer y se convirtió en extremo partidario de la línea dura durante el período de la Guerra Fría. Fue uno de los modelos incorporados en el personaje del Dr. Strangelove, memorablemente interpretado (para irritación de Teller) por Peter Sellers en la comedia negra de Stanley Kubrick Dr Strangelove, or How I Learned to Stop Worrying and Love the Bomb (titulada en España ¿Teléfono rojo? Volamos hacia Moscú) en 1964. <<

^[156] Un cambio en el valor de e no afecta a la órbita de la Tierra alrededor del Sol, mientras que la luminosidad del Sol es proporcional a e⁻⁶, de modo que la temperatura media de la superficie de la Tierra es proporcional a t^−3/4, y la era de los océanos hirvientes quedaría desplazada hacia el pasado demasiado como para ser un problema para nuestra historia biológica. <<

^[157] J. Cornwell, Hitler’s Scientists, Viking, Londres (2003), págs. 186-90. <<

^[158] Esto lo señaló por primera vez Robert Dicke en 1957 en Reviews of Modern Physics 29, 363-376, y en Nature. Marca el principio de los llamados argumentos «antrópicos» en cosmología; para un relato detallado de estos acontecimientos, véase J. D. Barrow y F. J. Tipler, The Anthropic Cosmological Principle, Oxford University Press, Oxford (1986). <<

^[159] J. D. Barrow, The Constants of Nature, Cape, Londres (2003), pág. 111. <<

^[160] W. K. Clifford (1876), «On the Space Theory of Matter» («Sobre la teoría espacial de la materia»), en The World of Mathematics, Simon and Schuster, Nueva York (1956), pág. 568. <<

^[161] Rosen es la R de la famosa paradoja EPR publicada por Einstein, Boris Podolsky y Rosen en 1935 en Physical Review 47, 777. <<

^[162] D. Kennefick, «Who’s Afraid of the Referee? Einstein and Gravitational Waves» («¿Quién tiene miedo del árbitro? Einstein y las ondas gravitatorias»), http://​dafix.uark.edu/~danielk/Physics/​Referee.pdf y Physics Today 58 (9), 43-48 (2005). <<

^[163] A. Einstein y N. Rosen, J. Franklin Inst. 223, 43-54 (1937). Más adelante se apreció que se habían hallado soluciones de las ecuaciones de Einstein con esta forma mucho antes; lo había hecho el matemático Hans Brinkmann en 1925, en H. W. Brinkmann, Math. Ann. 18, 119 (1925). Actualmente se denominan «ondas pp». <<

^[164] R. Feynman, Surely You’re Joking, Mr Feynman!, Norton, Nueva York (1985). G-mu-nu hace referencia al tensor de Einstein o el tensor métrico (G_µν con la G mayúscula el primero, g_µν con la g minúscula el segundo), que aparecen en las ecuaciones de Einstein y estarían en boca de cualquiera que hablase de relatividad general. <<