^[71] R. W. Clark, Einstein: The Life and Times, World Pub. Co., Nueva York (1971), págs. 385-386. <<

^[72] J. Straw, carta a Lord Goldsmith, citada en la página web de la BBC, http://www.bbc.co.uk, el 26 de enero de 2010. <<

^[73] J. Eisenstaedt, The Curious History of Relativity, Princeton University Press, Princeton (2006), págs. 123-124. <<

^[74] Se ha observado este efecto de arrastre en las proximidades de cuerpos en rotación, como la Tierra. El efecto de las masas y el movimiento no solo afectan a la forma del espacio, sino también al ritmo del flujo temporal. En campos gravitatorios intensos, en los que el espacio está fuertemente curvado, se observará que los relojes marchan más lentamente que si estuvieran lejos de ellos, donde la gravedad es débil y el espacio casi plano. Este efecto se observa también habitualmente en experimentos. <<

^[75] El comentario contemporáneo más visionario sobre esto lo realizó Erich Kretschmann, que explicó cómo se podía llegar a esta democrática propiedad a la que Einstein denominaba «covarianza general» en la formulación de otras teorías utilizando el lenguaje tensorial: E. Kretschmann, Annalen der Physik 53, 575 (1917). Para una esclarecedora explicación del artículo de Kretschmann y de las respuestas de Einstein a él, véase R. Rynasiewicz, «Kretschmann’s Analysis of Covariance and Relativity Principles» («Análisis de Kretschmann de los principios de la covarianza y la relatividad»), en H. Goenner, J. Renn, J. Ritter y T. Sauer (eds.), The Expanding Worlds of General Relativity, Birkhäuser, Boston (1999), págs. 431-462. <<

^[76] J. Church, Corpse in the Koryo, Thomas Dunne, Nueva York (2006), pág. 266. <<

^[77] La mecánica cuántica asigna una cualidad ondulatoria a todos los objetos con masa. La longitud de onda es inversamente proporcional a la masa de la partícula. Así, las masas pequeñas tienen longitudes de onda grandes. Si esa longitud de onda es mayor que el tamaño físico del objeto, este mostrará abiertamente propiedades cuánticas. Pero si la masa es muy grande —como la tuya o la mía—, su longitud de onda cuántica será mucho menor que el tamaño físico del objeto, y se comportará según las predicciones de Newton mientras se mueva lentamente. <<

^[78] N. Coward, Design for Living, acto 3.º, escena 1.^a (1933). <<

^[79] Se han sugerido pequeños cambios en las leyes de Newton o una ligera asfericidad. <<

^[80] A. Einstein, Collected Papers of Albert Einstein, vol. 6, pág. 21, comentario original efectuado en 1915. <<

^[81] O, del mismo modo, se podría decir que todos los puntos son el centro de la superficie. <<

^[82] Si nos preguntamos cuáles son las posibles leyes de la gravedad que garantizan que el efecto gravitatorio externo de una esfera es el mismo que el de un punto de la misma masa situado en su centro, entonces tanto la ley 1/r² como la ley r tienen esta propiedad. La forma general de la ley con esa propiedad las suma en una combinación lineal −A/r² + Br, con A y B constantes. La fuerza total y la aceleración inducida total son cero cuando r³ = A/B. La teoría matemática más elaborada de Einstein da el efecto cuando la gravedad es débil. La constante B es la denominada constante cosmológica multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz. <<

^[83] Esto es t = 2πR/c, donde R es el radio del espacio y c es la velocidad de la luz. <<

^[84] El tiempo de circunnavegación en horas es 2/√ρ, donde ρ es la densidad media en g/cm³. El diámetro del universo de Einstein se da en términos de su masa, M, y de la velocidad de la luz, c, y la constante de gravitación de Newton por R = 2GM/πc². Obsérvese que esto es distinto de la fórmula R = 2GM/c² para el radio de un agujero negro de Schwarzschild en un factor de π, que aparece a causa de la geometría esférica no euclídea del universo estático. Esto significa que su volumen es 2πR³ en lugar de 4πR³/3. <<

^[85] La correspondencia entre Einstein y De Sitter es detallada y fascinante. Se puede encontrar un buen resumen en el artículo de M. Janssen, https://​netfiles.umn.edu/​xythoswfs/​webui/​_xy-15267477​_l-t_yc​AqaW0A, que ofrece un comentario de las cartas. <<

^[86] Llamó a esto simplemente «solución B», para distinguirla del universo estático de Einstein, al que denominó «solución A». <<

^[87] A. Eden, The Search for Christian Doppler, Springer, Nueva York (1992). Este libro contiene una traducción al inglés del innovador artículo de Doppler «On the Coloured Light of the Binary Stars and Some Other Stars of the Heavens». La dependencia de la frecuencia del sonido respecto de la velocidad de su origen fue confirmada experimentalmente en 1845 por el físico holandés Christophorus Buys Ballot, que utilizó una pequeña orquesta que interpretaba una nota calibrada en un tren en movimiento en la línea Utrecht-Amsterdam. <<

^[88] En la literatura hay gran variación en la forma de escribir su nombre: Friedmann, Friedman, Fridman, etc. Adoptaremos la forma más común, Friedmann, pero se debe tener en cuenta que, en la versión publicada de sus artículos en la revista alemana Zeitschrift für Physik, su nombre se imprimió como A. Friedman en el primer artículo, publicado en 1922, y A. Friedmann en el segundo, publicado en 1924. Tanto la transliteración rusa de su partida de nacimiento como la portada de su libro en ruso muestran Aleksandr Aleksandrovich Fridman. <<

^[89] Se le condecoró por su trabajo en la predicción de trayectorias de bombas, que incluyó vuelos en raids de bombardeo para evaluar la precisión de sus predicciones. <<

^[90] No hay pruebas para corroborar la historia que se relata en el libro de George Gamow, My World Line, de que murió como consecuencia de una ascensión en globo. Gamow era estudiante en San Petersburgo en aquel tiempo, y esperaba convertirse en estudiante de investigación con Friedmann hasta que la muerte de este cortó de raíz su ambición. Para una biografía de Friedmann, véase E. Tropp, V. Frenkel y A. D. Chemin, Alexander A. Friedmann: The Man Who Made the Universe Expand, Cambridge University Press, Cambridge (1993). <<

^[91] Estas cifras son muy precisas desde nuestra perspectiva moderna (la edad es de 13 700 millones de años) y no está claro por qué las eligió o si se trató de una suposición fortuita. Él las describe como cifras que «solo pueden tomarse como una ilustración de nuestros cálculos». <<

^[92] H. Nussbaumer y L. Bieri, Discovering the Expanding Universe, Cambridge University Press, Cambridge (2009), citado en la pág. 90. El libro de Friedmann aún está disponible en su traducción alemana. <<

^[93] En su libro, Friedmann hace una afirmación realmente perspicaz. Señala que, aunque el espacio esférico de curvatura positiva crea un universo de volumen finito, el opuesto no es cierto: el universo abierto de curvatura espacial negativa puede tener un volumen infinito, pero no tiene por qué ser así. Eso depende de algo que no controlan las ecuaciones de Einstein: la topología del espacio. Trataremos esto en mayor profundidad en el capítulo 11. Friedmann también incluyó en sus ecuaciones la constante cosmológica de Einstein. <<

^[94] Se pueden hallar traducciones inglesas de los dos artículos de Friedmann, «On the Curvature of Space» y «On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space», junto con las dos respuestas publicadas de Einstein, en J. Bernstein y G. Feinberg, Cosmological Constants, University of Columbia Press, Nueva York (1989), págs. 49-67, y en la revista General Relativity and Gravitation 31, 1991-2000 y 31, 2001-2008 (1999). <<

^[95] V. A. Fock, Soviet Physics Uspekhi 6, 414 (1964), citado en H. Kragh, Cosmology and Controversy, Princeton University Press, Princeton (1996), pág. 27. <<

^[96] G. Lemaître, The Primeval Atom: An Essay on Cosmogony, traducido por B. H. y S. A. Korff, Van Nostrand, Nueva York (1950). <<

^[97] Residencia de estudiantes católica que se convertiría más adelante en el St Edmund’s College, Cambridge. <<

^[98] G. Lemaître, «Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques» («Un universo homogéneo de masa constante y radio creciente que explica la velocidad radial de las nebulosas extragalácticas»), Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, serie A 47, 49 (1927). <<

^[99] Mi difunto colega de la Universidad de Sussex, Sir William McCrea, que conocía bien a casi todos los protagonistas de estos primeros años de la cosmología, me contó una vez que (con la excepción de Einstein) siempre pensó que Lemaître era el mejor científico entre ellos, y que siempre llegaba a los resultados esenciales mediante los métodos más simples. <<

^[100] Este cálculo de una constante de Hubble igual a 575 km/s/Mpc no estaba incluido en la versión traducida de su artículo en 1931. <<

^[101] Carta de Hubble a De Sitter, 1931, citada en Nussbaumer y Bieri, Discovering the Expanding Universe, págs. 130-131. <<

^[102] A. S. Eddington, «On the Instability of Einstein’s Spherical World» («Sobre la inestabilidad del mundo esférico de Einstein»), Mon. Not. R. Astron. Soc. 90, 668 (1930). Einstein visitó a Eddington en Cambridge aproximadamente en la época en la que apareció, así que podemos suponer que supo de él por su propio autor. <<

^[103] G. Lemaître, Mon. Not. R. Astron. Soc. 91, 483 (1931). <<

^[104] Einstein rechazó la constante cosmológica después de abandonar la idea del universo estático y llamó a su introducción «la peor metedura de pata de mi vida»; sin embargo, otros cosmólogos como Eddington, De Sitter y Lemaître la consideraban un ingrediente esencial de la teoría. Lemaître demostraría más adelante que, aunque se la expulsase de la teoría como nueva parte de la fuerza de gravedad, siempre tendría cabida en ella como energía del vacío del universo. Eddington la veía como un medio para conectar la teoría cuántica y las teorías de partículas como protones y electrones con la teoría de la gravedad, y afirmaba que era el ingrediente más importante de la teoría de Einstein. En los últimos años ha pasado de ser una posibilidad teórica a ser un hecho observacional, como veremos en el capítulo 11. <<

^[105] Hasta una muy buena aproximación, se puede pensar que es estático hasta determinado tiempo finito en que empieza a expandirse. El universo de Eddington-Lemaître es cerrado, pero siempre en expansión a partir de un estado estático en un pasado infinito. <<

^[106] A. S. Eddington, The Expanding Universe, Cambridge University Press, Cambridge, pág. 56. <<

^[107] Para una explicación de esta cuestión, véase O. Godart y M. Heller, Pont. Acad. delle Scienze, Commentarii 3, 1-12 (1929, citado por H. Kragh, Cosmology and Controversy) y también O. Godart y M. Heller, Cosmology of Lemaître, Pachart Publ., Tucson (1985). Odon Godart era asistente científico de Lemaître, y Heller, como Lemaître, es sacerdote católico y cosmólogo matemático. Irónicamente, a pesar de su falta de interés en cualquier forma de teología natural o apología religiosa basada en sus ideas cosmológicas, Lemaître vio que otros utilizaban sus ideas en otro sentido. En 1951, el papa Pío XII efectuó un famoso discurso (no escrito por Lemaître) acerca de la creación del universo en la Academia Pontificia, de la que Lemaître era presidente. Utilizó la imagen científica de Lemaître de un universo en expansión a partir de un principio en el tiempo como concepción moderna de la antigua doctrina de la «creación de la nada» por parte de una deidad trascendente. Lemaître había intentado enfriar estas confiadas pontificaciones durante los últimos años de su vida, pero obviamente no tuvo éxito. <<

^[108] E. R. Harrison, Mon. Not. R. Astron. Soc. 137, 69 (1967). <<

^[109] Estos dos divertidos comentarios sobre su artículo en colaboración se los hicieron de forma independiente a Eddington Einstein (en persona) y a De Sitter (por carta) en una conferencia que dio en Cambridge en 1936, y se da cuenta de ellos en el artículo de Eddington «Forty Years of Astronomy» («Cuarenta años de astronomía») en Background to Modern Science, Cambridge University Press, Cambridge (1940). <<

^[110] A. Einstein y W. De Sitter, Proc. Nat. Acad. Sciences 18,213 (1932). <<

^[111] Las distancias siempre aumentan con la potencia 2/3 del tiempo, R ∝ t^2/3. <<

^[112] Esta velocidad crítica, denominada velocidad de escape de la Tierra, viene dada por √(2GM/R), donde M y R son respectivamente la masa y el radio de la Tierra. <<

^[113] Esta frase sobre las leyes de gravedad de Newton apareció publicada por primera vez en F. A. Pottle, The Stretchers: The Story of a Hospital Unit on the Western Front, Yale University Press, New Haven (1929), aunque probablemente se originó oralmente al menos cincuenta años antes. <<

^[114] R. Tolman, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, Clarendon Press, Oxford (1934), pág. 444. <<

^[115] J. D. Barrow y M. Dąbrowski, «Oscillating Universes» («Universos oscilantes»), Mon. Not. R. Astr. Soc., 275, 850 (1995). <<

^[116] La constante cosmológica domina sobre la parte atractiva de la gravedad cuando el universo se hace lo bastante grande. El crecimiento de la entropía hace que cada ciclo sea mayor, hasta que es lo bastante grande para que la constante cosmológica tome el control del comportamiento de la expansión. Cuando eso sucede, la expansión no alcanza nunca un máximo, a pesar de que el espacio es cerrado y se expande eternamente, como los universos de Lemaître. <<

^[117] G. Lemaître, «The Expanding Universe» («La expansión del universo»), Ann. de la Soc. Scientifique de Bruxelles, serie A 53, 51 (1933). Traducción inglesa de M. A. H. MacCallum en Gen. Rel. Gravitation 29, 641 (1997). <<

^[118] R. Tolman, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 20, 169 (1934). <<

^[119] En esta situación extrema decimos que el segmento temporal inicial del universo en el espacio es «similar al tiempo». Esto permite que partes de él se encuentren en el futuro causal de otras partes. Si esto no puede suceder, entonces decimos que la superficie inicial es «similar al espacio». <<

^[120] E. Hubble, «Problems of Nebular Research» («Problemas de la investigación sobre nebulosas»), Scientific Monthly 51, 391-408 (noviembre de 1940); la cita es de la pág. 407 y de una conferencia pública, citada en H. Kragh, Matter and Spirit in the Universe: Scientific and Religious Preludes to Modern Cosmology, Imperial College Press, Londres (2004), pág. 153. <<

^[121] E. A. Milne, Z. f. Astrophysik 6, 29 (1933), reimpreso en Gen. Rel. Gravitation 32, 1939 (2000); W. H. McCrea y E. A. Milne, Quart. J. Math. Oxford 5, 73 (1934), reimpreso en Gen. Rel. Gravitation 32, 1949 (2000). <<

^[122] La escala de la expansión en el tiempo t es R = ct. <<

^[123] Los efectos de la materia y la radiación disminuyen con más rapidez que el efecto de la curvatura negativa con el paso del tiempo, y en última instancia el universo tiene el aspecto del universo especial de Milne. Por ejemplo, si agregásemos radiación del cuerpo negro al universo, su tamaño aumentaría como R² = t − kt², donde k es la curvatura. Si k es negativa, entonces R es proporcional a t cuando t es grande, y la expansión tiene el aspecto del universo de Milne. Si t es pequeño, entonces R es proporcional a la raíz cuadrada de t. Obsérvese que, para los universos cerrados de curvatura positiva, k es positiva (se establece k = +1) y la curva de R(t) es un semicírculo de estado inicial en t = 0, tamaño máximo en t = ¹⁄₂ y estado final en t = 1 unidad de tiempo. <<

^[124] E. A. Milne, Modern Cosmology and the Christian Idea of God, Clarendon, Oxford (1952). También hay un apartado al respecto en su anterior obra Relativity, Gravitation and World Structure, Clarendon, Oxford (1935), pág. 138. Sus puntos de vista son más sutiles de lo que cabría esperar, porque sus modelos cosmológicos no experimentaban una muerte térmica y sostenía que las cuestiones acerca de la edad, el origen, la expansión y el tamaño del universo dependían del sistema de contar el tiempo adoptado, de modo que no tenían propiedades independientes del observador especificado. Algunos observadores podían, por ejemplo, ver cómo la constante de gravitación, G, cambiaba con el tiempo, y otros no. El enfoque de Milne no estaba relacionado con las observaciones, sino que se apoyaba en principios de uniformidad del espacio y el tiempo para deducir el modelo del universo, en lugar de construirlo a base de combinar teoría y observaciones, como en el caso de Lemaître. <<

^[125] Milne murió relativamente joven, a la edad de 54 años, de un ataque cardíaco en septiembre de 1950, mientras asistía a una reunión de la Royal Astronomical Society en Dublín. <<

^[126] Para Milne, las formas de las leyes de la Naturaleza eran verdades necesarias, como el hecho de que los ángulos de un triángulo suman 180 grados en el espacio euclídeo. <<