XXIV

Loom rekte het Pracça do Comércio zich uit in de kalmte van de ochtend. De zon liet de witte gevels en de Franse balkonnetjes van de oude gebouwen rond het plein schitteren, alleen het geelbruin van de oude romaanse Sao Tiago-kerk stak erbij af. Kraampjes verlevendigden het plein met vrolijke kleding, blauwe faience uit de regio en eenvoudige sieraden. Het terras lag er uitnodigend bij, dus vader en zoon namen plaats aan een tafeltje, strekten hun benen en keerden hun gezicht naar de stralende ster, blij met de heerlijke warmte die hun huid koesterde.

De ober verscheen met een notitieblokje in zijn hand, en op zijn vragende blik bestelden de klanten twee espresso. Toen de jongen wegliep, keek Tomas zijn vader traag aan. 'Je zei net dat de onbepaalbaarheid niet beperkt bleef tot de kwantumwereld...'

'Ja.'

'Maar als ik me niet vergis is dat in strijd met alles wat er daarvoor werd beweerd. Waren de relativiteitstheorie en de klassieke fysica van Newton niet deterministisch?'

'Dat waren ze, en dat zijn ze nog steeds.'

'En die theorieën stellen allebei dat het gedrag van de materie voorspelbaar is...'

'Niet helemaal.'

'Dat snap ik niet. Volgens wat ik laatst heb gehoord kan ik, als ik de positie, de snelheid en de richting van de maan ken, al haar bewegingen in verleden en toekomst precies berekenen. Is dat geen voorspelbaarheid?'

'Zo zit het niet helemaal. Er zijn latere ontdekkingen geweest die alles hebben veranderd.'

'Wat voor ontdekkingen?'

De ober kwam eraan en zette de kopjes op tafel. Manuel Noronha ging rechtop zitten, nam een voorzichtig slokje en liet zijn blik door de lucht gaan, waar schapenwolkjes zachtjes door het helderblauw gleden.

'Vertel me eens een ding, Tomas. Hoe komt het dat we niet precies kunnen voorspellen wat voor weer het wordt?'

'Hè?'

De wiskundige wees naar de lucht. 'Hoe komt het dat het weerbericht op de tv voor vandaag een wolkeloze lucht boven Coimbra heeft voorspeld en ik nu die wolken voorbij zie trekken, geheel in tegenspraak met de vooorspelling?'

'Weet ik veel,' lachte Tomas. 'Omdat onze weerkundigen een stelletje sukkels zijn?'

Zijn vader strekte zich weer uit in zijn stoel, zijn gezicht naar de zonnewarmte gekeerd. 'Fout geantwoord,' zei hij. 'Het probleem zit in de vergelijking.'

'Hoezo?'

'In 1961 ging een meteoroloog genaamd Edward Lorenz voor een computer zitten en begon meteorologische voorspellingen over het gedrag van het klimaat op lange termijn te testen, met als uitgangspunt slechts drie variabelen: de temperatuur, de luchtdruk en de windsnelheid. Het experiment zou niets noemenswaardigs hebben opgeleverd als hij niet bij toeval een bepaalde sequentie wat meer in detail had willen bekijken. Het was iets kleins, bijna onbetekenend. In plaats van een bepaald gegeven nogmaals vanaf het begin in te voeren, keek hij op een afgedrukte kopie van het originele experiment en nam het getal over dat hij daar zag staan.' Hij haalde een pen uit zijn jaszak en pakte een papieren servetje, dat hij op het tafeltje uitspreidde. 'Als ik me goed herinner was het... eh...'

Hij schreef vier cijfers op.

'Het was 0,506.'

'Zo, wat een geheugen,' merkte zijn zoon op.

'Ach ja, dat heb je als je een wiskundige bent.' Hij glimlachte en wees naar de dampende kopjes op tafel. 'Welnu, net zoals wij nu, ging Lorenz een kop koffie drinken en liet de gegevens door de computer verwerken. Maar toen hij terugkwam, kon hij zijn ogen niet geloven. Hij ontdekte dat de nieuwe meteorologische voorspelling van de computer totaal anders was dan de vorige. Totaal. Hij werd nieuwsgierig en ging kijken wat hij had veranderd.' Hij tikte met het puntje van zijn pen op de vier cijfers die hij op het servetje had gekrabbeld. 'Nadat hij alles had uitgeplozen zag hij dat hij bij het invoeren van dat gegeven alleen de eerste vier cijfers van een langere reeks had overgenomen.'

Hij noteerde de complete cijferreeks.

'Dit was de hele oorspronkelijke reeks. Toen hij hiermee werd geconfronteerd, besefte hij dat een wijziging van een miljoenste in de gegevens, iets oneindig kleins, bijna onbetekenends, de voorspelling totaal veranderde. Het was alsof een onvoorzien zuchtje wind het vermogen bezat om de weerssituatie op de hele planeet te veranderen.' Hij liet een dramatische stilte vallen. 'Lorenz ontdekte de chaos.'

'Hoe zeg je?'

'De chaostheorie is een van de fascinerendste wiskundige modellen die er bestaan en helpt veel gedragingen van het universum te verklaren. De gedachte die aan de chaotische systemen ten grondslag ligt, is gemakkelijk te omschrijven. Kleine veranderingen in de beginvoorwaarden leiden tot ingrijpende veranderingen in het eindresultaat. Oftewel: kleine oorzaken, grote gevolgen.'

'Geef eens een voorbeeld.'

Zijn vader wees opnieuw naar de lucht en naar de oneindige reeks wolken die zo nu en dan hinderlijke schaduwen op het Praça do Comércio wierpen. 'Het weer,' zei hij. 'Het beroemdste voorbeeld is het zogenaamde vlindereffect. Als een vlinder hier in Coimbra met zijn vleugels wappert, verandert dat de luchtdruk om hem heen een ietsiepietsie. Die minieme verandering brengt een domino-effect teweeg onder de luchtmoleculen, zodanig dat er na enige tijd een gigantische storm in Amerika van komt. Dat is het vlindereffect. Als je nu het effect van dat ene kleine vlindertje transponeert naar het effect van alle vlinders ter wereld, van alle dieren, van al wat leeft en ademhaalt, wat krijg je dan?' Hij opende zijn handen, als om te zeggen dat dat nogal logisch was. 'Onvoorspelbaarheid.'

'Die weer verwijst naar het indeterminisme.'

'Nee,' riep de wiskundige uit. 'Onvoorspelbaarheid verwijst niet naar indeterminisme, maar naar onbepaalbaarheid. Het gedrag van de materie blijft deterministisch. Wat er gebeurt, is dat de materie zich op zodanige wijze organiseert dat het niet mogelijk is het gedrag ervan op de lange termijn te voorspellen, hoewel dat al vastligt. Als je wilt zou je kunnen zeggen dat het gedrag van chaotische systemen causaal is, maar toevallig lijkt.'

'Hmm,' mompelde Tomas. 'Denk je dat dit, omdat het voor de meteorologie geldt, ook op andere gebieden van toepassing is?'

'Tomas, de chaostheorie is overal aanwezig. Overal. Misschien slagen we er in de kwantumwereld niet in om met zekerheid het gedrag van de microdeeltjes te voorspellen om de simpele reden dat het chaotisch is. Dat gedrag is al gedetermineerd, maar de schommelingen in de beginvoorwaarden zijn zo miniem dat we de evolutie ervan onmogelijk kunnen voorzien. Daardoor komt de kwantumwereld ons praktisch gezien inde-terministisch voor. In werkelijkheid vertonen microdeeltjes deterministisch gedrag, maar is het nu eenmaal zo dat we het niet kunnen bepalen. Ik geloof dat dat te wijten is aan de invloed van de waarneming, zoals aanvankelijk door het onzekerheidsprincipe werd vastgesteld, maar ook aan de onbepaalbaarheid die inherent is aan chaotische systemen.'

'Oké, maar dat heb je alleen met minuscule dingen, zoals atomen of moleculen...'

'Ie vergist je,' hield zijn vader vol. 'De chaos is overal, ook in grote objecten. Zelfs het zonnestelsel, dat voorspelbaar gedrag lijkt te vertonen, is in werkelijkheid een chaotisch systeem. Alleen merken we daar niets van omdat we bewegingen heel langzaam waarnemen. Maar het zonnestelsel is chaotisch. Aan de hand van een computerprojectie is bijvoorbeeld berekend dat de aarde, als ze ook maar honderd meter verderop rond de zon was begonnen te draaien dan de feitelijke plaats, na honderd miljoen jaar veertig miljoen kilometer van de oorspronkelijke baan zou zijn afgeweken. Kleine oorzaken, grote gevolgen.'

'Hmm.'

'Zelfs ons leven wordt door chaos beheerst. Stel je bijvoorbeeld eens voor dat je in je auto stapt en voor het wegrijden merkt dat de slip van je jas tussen de deur zit. Wat doe je? Je opent het portier, trekt je jas goed, maakt het portier weer dicht en rijdt weg. Dat heeft je vijf seconden gekost. Als je bij de eerste hoek komt, word je aangereden door een vrachtauto. Als gevolg daarvan ben je voor de rest van je leven verlamd aan armen en benen. Stel je nu eens voor dat je jas niét tussen het portier van je auto is gekomen. Wat gebeurt er? Je rijdt meteen weg en komt vijf seconden eerder bij het kruispunt, nietwaar? Je kijkt naar rechts, ziet de vrachtwagen aankomen, wacht tot hij voorbij is en vervolgt je weg. Dat is de chaostheorie. Vanwege de jas die tussen het portier van je auto komt, heb je vijf seconden verloren die het verschil uitmaken voor de rest van je leven.' Hij maakte een gebaar van berusting. 'Kleine oorzaken, grote gevolgen.'

'En dat alles door zoiets kleins?'

'Ja. Maar pas op: het stond al vast dat jij met je jas tussen het portier van je auto zou komen. Want je had die jas die ochtend niet goed aangetrokken. En dat had je niet gedaan omdat je met een slecht humeur was wakker geworden. En je was met een slecht humeur wakker geworden omdat je te weinig slaap had gehad. En je had te weinig slaap gehad omdat je te laat naar bed was gegaan. En je was te laat naar bed gegaan omdat je nog werk te doen had op de faculteit. En je had nog werk te doen omdat zus of zo. Alles is de oorzaak van alles en brengt gevolgen met zich mee die weer de oorzaak worden van andere gevolgen, in een eeuwig domino-effect waarin alles vastligt maar toch onbepaalbaar blijft. De chauffeur van die vrachtwagen had nota bene op tijd kunnen remmen, maar dat deed hij niet omdat hij een mooi meisje voorbij zag komen en opzij keek. En dat meisje kwam daar op dat moment voorbij omdat ze te laat was. En ze was te laat vanwege een telefoontje van haar vriendje. En haar vriendje had haar gebeld om de een of andere reden. Alles is oorzaak en gevolg.'

Tomas haalde zijn hand door zijn haar terwijl hij probeerde zijn gedachten te ordenen. 'Wacht even,' zei hij. 'Stel nu dat het mogelijk is alle gegevens van het universum in een supercomputer te stoppen. Zouden we dan het hele verleden en de hele toekomst kunnen voorspellen?'

'Ja, dan zou de demon van Laplace van toepassing zijn. Het hele verleden en de hele toekomst bestaan al, en als we alle wetten zouden kennen en exact en tegelijkertijd snelheid, richting en positie van alle materie zouden kunnen definiëren, zouden we het hele verleden en de hele toekomst kunnen zien.'

'Dus in theorie is dat mogelijk...'

'Nee, in theorie is dat niet mogelijk.'

'Sorry, maar in theorie is dat mogelijk,' corrigeerde Tomas hem. 'Alleen in de praktijk niet.'

Zijn vader schudde zijn hoofd. 'Dat is weer zo'n subtiliteit van het universum,' zei hij. 'Als we alles te weten zouden kunnen komen over de huidige toestand van het universum, zouden we het verleden en de toekomst kunnen bepalen, aangezien alles al vastligt. Maar zelfs vanuit een theoretisch standpunt is het niet mogelijk alles te weten te komen over de huidige toestand van het universum.'

'O? Hoezo niet?'

'Vanwege een ander geraffineerd trekje van het universum,' antwoordde de wiskundige. 'Het oneindige.'

Tomas trok een gezicht. 'Het oneindige?'

'Ja. Heb je nooit van de paradox van Zeno gehoord?'

'Eh... jawel.'

'Omschrijf die eens, als je wilt.'

'Zeg, is dit soms een tentamen?'

'Kom op! Geef eens een omschrijving.'

Tomas vernauwde zijn ogen en zocht in zijn geheugen. 'Nou... eh... als ik me goed herinner is het dat verhaal van die race tussen een schildpad en een haas, niet? De schildpad start als eerste, maar de haas, die veel sneller is, haalt hem al gauw in. Het probleem is dat volgens Zeno de haas de schildpad nooit kan verslaan, omdat de ruimte tussen hen oneindig deelbaar is. Dat is het toch?'

'Ja,' bevestigde zijn vader. 'De paradox van Zeno illustreert het mathematische probleem van het oneindige. Om een meter te rennen moet de haas eerst de helft van die afstand rennen. En die helft kun je weer doormidden delen, en die helft kun je opnieuw doormidden delen en ga zo maar door.'

'Maar pap, wat wil je daarmee bewijzen?'

'Wat ik wil bewijzen is dat het oneindige een onoverwinnelijk probleem is voor de kwestie van de voorspelbaarheid.' Opnieuw gebaarde hij in de richting van de lucht. 'Laten we teruggaan naar het voorbeeld van de weersomstandigheden. Voorspellingen op lange termijn worden door twee soorten factoren onmogelijk gemaakt. De ene is heel praktisch. Zelfs al weet ik welke factoren het weer beïnvloeden, dan zou ik met al die factoren rekening moeten houden. De ademhaling van elk dier, de beweging van ieder levend wezen, de zonneactiviteit, een vulkaanuitbarsting, de rook uit alle auto's, elke schoorsteen, elke fabriek, alles. Nou, praktisch gezien gaat het me niet lukken om met al die factoren tegelijkertijd rekening te houden, of wel soms?'

'Nee, dat is natuurlijk onmogelijk.'

'Maar de tweede soort factor houdt verband met het probleem van het oneindige. Laten we ons bijvoorbeeld voorstellen dat ik de wereldtemperatuur op een gegeven moment zou moeten meten om extrapolaties te kunnen maken. Stel dat ik de thermometer hier in Coimbra zou neerzetten en om twaalf uur 's middags een waarde zou meten van... eh... weet ik veel, noem maar wat.'

'Twintig graden?'

Zijn vader haalde opnieuw zijn pen uit zijn jasje en krabbelde wat cijfers op hetzelfde servetje waarop hij de waarde had

'Oké, twintig graden,' zei de wiskundige. 'Maar in werkelijkheid is die meting onvolledig, nietwaar? Ik heb alleen de eenheden gemeten. Nu weten we dat kleine veranderingen in de begin-voorwaarden leiden tot grote veranderingen in het eindresultaat. Als dat zo is, is het van fundamenteel belang te weten wat de decimale, centisemale en millesimale meting oplevert, vind je niet?'

'Goed, schrijf die er dan maar bij.'

Manuel voegde drie cijfers toe.

'Maar... hoe zit het met de volgende waarden? Zouden die ook niet van belang zijn? Volgens de chaostheorie wel. Dus we moeten ook de volgende waarden erbij zetten, hoe klein ze ook zijn, aangezien elke kleine verandering gigantische effecten kan bewerkstellingen.'

'Hmm.'

De wiskundige schreef er nog meer cijfers bij.

'Maar zelfs dat is niet genoeg,' zei hij. 'Want het cijfer na al deze cijfers kan ook van cruciaal belang zijn.' Hij glimlachte. 'Wat ik wil zeggen is dat de meting een oneindig aantal cijfers zou moeten bevatten. Maar dat is niet mogelijk, hè? Dus hoeveel cijfers we ook neerzetten, we kunnen nooit exact de temperatuur op een bepaalde plaats en een bepaald tijdstip weten, aangezien we een berekening zouden moeten maken die oneindige gegevens met zich meebrengt.'

'Aha, ik begrijp het.'

'Maar het probleem is nog complexer.' Hij klopte op het tafeltje. 'Want de temperatuur die hier op deze tafel wordt gemeten kan een klein beetje afwijken van de temperatuur daar, op slechts een meter afstand.' Hij wees opzij. 'Dus we zouden metingen moeten doen op alle plaatsen in Coimbra. Maar dat kan niet, of wel? Net als in de paradox van Zeno valt gemakkelijk vast te stellen dat elke meter oneindig deelbaar is. Ik zou de temperatuur moeten meten op alle bestaande plaatsen om te kunnen weten wat de begintoestand is. Maar omdat de afstand tussen twee plaatsen, hoe klein ook, altijd doormidden gedeeld kan worden, zou ik nooit de hele ruimte kunnen meten. En hetzelfde geldt voor de tijd. Het verschil tussen de ene en de andere seconde is oneindig deelbaar, nietwaar? Welnu, tussen het ene en het andere moment kunnen er subtiele temperatuursverschillen optreden die gemeten moeten worden. Maar aangezien de tijdschaal eveneens oneindig is, volgens het principe dat is vervat in de paradox van Zeno, zal ik die meting nooit voor elkaar kunnen krijgen. Vergeet niet, de redenering achter de paradox van Zeno laat ons zien dat er in een meter evenveel ruimte zit als in het hele universum, dat er in een seconde evenveel tijd zit als in de eeuwigheid. Dat is een mysterieuze eigenschap van het universum.' 'Oké...'

Manuel pakte zijn kopje en dronk het leeg. Hij haalde diep adem, ontspande zich op zijn stoel en sloot zijn ogen, genietend van de aangename warmte van de zon. 'Herinner je je dat ik je laatst vertelde over de onvolledigheidsstellingen van Gödel?'

'Ja.'

'Laat eens kijken of je dat goed hebt onthouden,' zei hij. 'Waaruit bestaan die stellingen?'

Tomas schudde boos zijn hoofd. 'Hallo, weet ik veel...'

Zijn vader opende één oog en tuurde naar Tomas. 'Weet je het niet meer?'

'Echt niet!'

'Maar weet je dan niet meer dat ik zei dat de onvolledigheidsstellingen aantonen dat een mathematisch systeem niet alle beweringen daarvan kan bewijzen?'

'O ja.'

'Dat was een heel belangrijk inzicht, begrijp je?'

'Maar waarom? Wat is daar zo bijzonder aan?'

'Heel simpel,' zei Manuel. 'De onvolledigheidsstellingen onthulden een nieuwe mysterieuze eigenschap van het universum. Door die twee stellingen vertelt het universum ons het volgende: er zijn bepaalde dingen waarvan jullie, mensen, weten dat ze waar zijn, maar die jullie nooit kunnen bewijzen vanwege de grandioze manier waarop ik, het universum, de ultieme rest van de waarheid heb verborgen. Jullie kunnen een groot deel van de waarheid kennen, maar de dingen zitten zo in elkaar dat jullie die nooit in haar geheel kunnen leren kennen. Snap je het nu?'

'Ja.'

De wiskundige hield zijn handpalmen naar boven in dat typische gebaar dat hij maakte telkens wanneer hij iets had bewezen. 'Voila!' riep hij uit. 'Het onzekerheidsprincipe, de chaotische systemen en de onvolledigheidsstellingen hebben een diepere betekenis, want ze tonen ons ongelooflijke subtiliteiten in het functioneren van het universum.' Hij maakte een weids gebaar. 'De hele kosmos berust op wiskunde. De fundamentele wetten van het universum komen tot uiting in wiskundige vergelijkingen en formules, de wetten van de natuurkunde zijn algoritmen voor de verwerking van informatie en het geheim van het universum is gecodificeerd in wiskundige taal. Alles houdt verband met alles, zelfs datgene wat nergens mee verbonden lijkt. Maar zelfs de wiskundetaal slaagt er niet in die code helemaal te ontcijferen. En dat is de raadselachtigste eigenschap van het universum: de manier waarop dat universum de finale waarheid verbergt. Alles is gedetermineerd, maar alles is indetermineerbaar. Wiskunde is de taal van het universum, maar dat kunnen we niet buiten alle twijfel bewijzen. Als we bij de kern van de dingen komen, vinden we steeds een vreemde sluier die de allerlaatste facetten van het raadsel verhult. Daar zit de verborgen handtekening van de Schepper. De dingen zijn zo geraffineerd gecreëerd dat het niet mogelijk is hun diepste geheim te ontsluieren.' 'Hmm.'

'De grondslag van het universum zal altijd een mysterie blijven.'