ESPACIO DE HILBERT

Recuérdese que en el capítulo V se introdujo el concepto de espacio de fases para la descripción de un sistema físico. Un punto simple del espacio de fases representaba el estado (clásico) de un sistema físico entero.

En la teoría cuántica el concepto análogo apropiado es el de un espacio de Hilbert.[6.9] Ahora, un simple punto del espacio de Hilbert representa el estado cuántico de un sistema entero. Necesitaremos hacernos una idea de la estructura matemática de un espacio de Hilbert. Espero que el lector no se desanime por esto. No hay nada que sea muy complicado matemáticamente en lo que voy a decir, aunque algunas de las ideas pueden resultar poco familiares.

La propiedad más peculiar de un espacio de Hilbert es que constituye lo que se llama un espacio vectorial —en realidad, un espacio vectorial complejo—. Esto significa que podemos sumar dos elementos del espacio y obtener otro, del mismo espacio; y que también podemos realizar estas sumas con pesos estadísticos complejos. Podemos hacer esto porque estas son las operaciones de la superposición lineal cuántica que acabamos de considerar, a saber, las operaciones que nos dan ψs + ψi, ψs − ψi, ψs + iψi, etc., para el fotón anterior. En esencia, todo lo que queremos decir al utilizar la expresión «espacio vectorial complejo» es que podemos formar sumas ponderadas de este tipo.[6.10]

Será conveniente adoptar una notación (debida a Dirac) que nos sirva para presentar los elementos del espacio de Hilbert —o vectores de estado— mediante algún símbolo en un paréntesis angular tales como |ψ〉, |χ〉, |ϕ〉, |1〉, |2〉, |3〉, |↑〉, |↓〉, |→〉, |↗〉, etc. Así, estos símbolos representarán también estados cuánticos.

Para la operación de suma de dos vectores de estado escribimos

|ψ〉 + |χ〉

y ponderada con, números complejos w y z:

w|ψ〉 + z|χ〉

(donde w|ψ〉 significa w × |ψ〉, etc.). En consecuencia, las combinaciones anteriores ψs + ψi, ψs − ψi, ψs + iψi, se escriben ahora como |ψs〉 + |ψi〉, |ψs〉 − |ψi〉, |ψs〉 + ii〉, respectivamente. Podemos también multiplicar sencillamente un simple estado |ψ〉 por un número complejo w para obtener:

w|ψ〉

(Este es en realidad un caso particular de lo anterior, cuando z = 0).

Ya antes admitimos combinaciones con pesos estadísticos complejos en las que w y z no necesitan ser las amplitudes de probabilidad reales sino que son simplemente proporcionales a dichas amplitudes. En consecuencia, adoptamos la regla de que podemos multiplicar globalmente un vector de estado por un número complejo distinto de cero y el estado físico sigue siendo el mismo. (Los verdaderos valores de w y z cambiarían pero la razón w/z permanecería constante). Cada uno de los vectores

|ψ〉, 2|ψ〉, −|ψ〉, √2|ψ〉, π|ψ〉, (1−3i)|ψ〉, etcétera,

representa el mismo estado físico, como lo hace cualquier z|ψ〉 , con z ≠ 0, y el único elemento del espacio de Hilbert que no tiene interpretación como un sistema físico es el vector nulo 0 (o el origen del espacio de Hilbert).

Para tener algún tipo de representación geométrica de todo esto, consideremos primero el concepto más usual de un vector «real». Normalmente visualizamos este vector simplemente como una flecha dibujada en un plano o en un espacio tridimensional. La suma de dos de estas flechas se obtiene mediante la ley del paralelogramo (véase figura VI.19). La operación de multiplicar un vector por un número (real) se obtiene, en términos de la representación de «flechas», multiplicando simplemente la longitud de la flecha por el número en cuestión y manteniendo constante la dirección de la misma. Si el número por el que multiplicamos es negativo, entonces se invierte su dirección, o si el número es cero, obtenemos el vector 0 que no tiene dirección. (El vector 0 se representa por la «flecha nula» de longitud cero).

FIGURA VI.19. La suma de vectores en el espacio de Hilbert y la multiplicación por escalares pueden representarse normalmente, como en el caso de los vectores en el espacio ordinario.

Un ejemplo de cantidad vectorial es la fuerza que actúa sobre una partícula. Otros ejemplos son las velocidades, aceleraciones y momentos clásicos. También están los cuadrivectores momento, que consideramos al final del último capítulo. Estos eran vectores en cuatro dimensiones en lugar de dos o tres. Sin embargo, para un espacio de Hilbert necesitamos vectores en dimensiones aún mucho mayores (a menudo infinitas, pero ésta no va a ser una consideración importante aquí). Recuérdese que también se utilizaban flechas para representar vectores en el espacio de fases clásico —que ciertamente podían ser de dimensión muy alta—. Las «dimensiones» en un espacio de fases no representan direcciones espaciales ordinarias, y tampoco lo hacen las «dimensiones» de un espacio de Hilbert. En lugar de ello, cada dimensión de un espacio de Hilbert corresponde a uno de los diferentes estados físicos independientes de un sistema cuántico.

Debido a la equivalencia entre |ψ〉 y z|ψ〉, un estado físico corresponde a una línea a través del origen 0, o rayo, en el espacio de Hilbert (descrita por todos los múltiplos de algún vector), y no simplemente a un vector particular en dicha línea. El rayo consiste en todos los múltiplos posibles de un vector de estado particular |ψ〉. (¡Téngase en cuenta que son múltiplos complejos, de modo que la línea es en realidad una línea compleja, pero no nos preocupemos por esto ahora!). (Véase figura VI.20).

FIGURA VI.20. Cada estado cuántico físico está representado por un rayo completo en el espacio de Hilbert.

Más adelante encontraremos una elegante representación de este espacio de rayos para el caso de un espacio de Hilbert bidimensional. Un espacio de Hilbert de infinitas dimensiones aparece incluso en el caso sencillo de la localización de una sola partícula. ¡Existe entonces una dimensión por cada una de las posibles posiciones que pudiera tener la partícula! Cada posición de la partícula define un «eje de coordenadas» en el espacio de Hilbert, de modo que con infinitas posiciones individuales diferentes para la partícula tenemos infinitas direcciones independientes (o dimensiones) diferentes en el espacio de Hilbert. Los estados de momento se representarán también en este mismo espacio de Hilbert y pueden presentarse como combinaciones de estados de posición, de manera que cada estado de momento corresponde a un eje en «diagonal», el cual está inclinado respecto a los ejes del espacio de posición. El conjunto de todos los estados de momento proporciona un nuevo conjunto de ejes, y el paso de los ejes del espacio de posición al de los ejes del espacio de momento implica una rotación en el espacio de Hilbert.

No necesitamos entender esto de manera precisa, pero algunas ideas tomadas de la geometría euclidiana ordinaria nos serán muy útiles. En particular, los ejes que hemos considerado (o bien todos los ejes en el espacio de posición o bien todos los ejes en el espacio de momentos) deben considerarse como mutuamente ortogonales, es decir, que forman «ángulos rectos» entre sí.

La «ortogonalidad» entre rayos es un concepto importante para la mecánica cuántica: rayos ortogonales son estados independientes uno de otro. Los diferentes estados de posición posibles de una partícula son todos mutuamente ortogonales, como lo son todos los diferentes estados de momento posibles.

Pero los estados de posición no son ortogonales a los estados de momento. La situación se ilustra, muy esquemáticamente, en la figura VI.21.

FIGURA VI.21. Estados de posición y estados de momento proporcionan diferentes elecciones de ejes ortogonales en el mismo espacio de Hilbert.

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