¿ES EL CONJUNTO DE MANDELBROT SEMEJANTE A LA MATEMÁTICA NO RECURSIVA?

Volvamos ahora a nuestro anterior examen sobre el conjunto de Mandelbrot. Voy a suponer, con propósito de ilustración, que el conjunto de Mandelbrot es no recursivo en un sentido. Puesto que su complemento es recursivamente numerable, esto querría decir que el propio conjunto no sería recursivamente numerable. Es posible que la forma del conjunto de Mandelbrot nos dé algunas lecciones acerca de la naturaleza de los conjuntos no recursivos y las matemáticas no recursivas.

Volvamos a la figura III.2 que ya encontramos en el capítulo III. La mayor parte del conjunto parece estar ocupada por una extensa región en forma de corazón, que he llamado A en la figura IV.13. La forma se conoce como un cardioide y su región interior se define matemáticamente como el conjunto de puntos c del plano de Argand que surgen de la expresión

c = z − z²,

donde z es un número complejo cuya distancia al origen es menor que 1/2. Este conjunto es recursivamente enumerable en el sentido sugerido antes: existe un algoritmo tal que, cuando se aplica a un punto en el interior de la región, verificará que el punto está efectivamente en dicha región interior. El algoritmo real se obtiene a partir de esa fórmula.

FIGURA IV.13. Las partes principales del interior del conjunto de Mandelbrot pueden ser definidas mediante sencillas ecuaciones algorítmicas.

Consideremos ahora la región en forma de disco inmediatamente a la izquierda del cardioide principal (región B en la figura IV.13). Su interior es el conjunto de puntos

c = z − 1

donde z dista del origen menos de 1/4.

Esta región es el interior de un disco. Es decir, se trata del conjunto de puntos dentro de un círculo exacto. De nuevo esta región es recursivamente enumerable en el sentido anterior. ¿Qué sucede con las otras «verrugas» del cardioide? Consideremos las dos verrugas que siguen en tamaño. Estas son las gotas más o menos circulares que aparecen encima y debajo del cardioide en la figura III.2 y que están marcadas como C₁, C₂ en la figura IV.13. Vienen dadas en términos del conjunto

c³ + 2c² + (1−z)c + (1−z)² = 0

en donde z recorre la región que está a una distancia 1/8 del origen.

En realidad, esta ecuación nos da no solamente estas dos gotas (a la vez) sino también la forma «bebé» de tipo cardioide que aparece a la izquierda en la figura III.2 —la región principal de la figura III.1— y es la región marcada C₃ en la figura IV.13 de nuevo, estas regiones (juntas o separadas) constituyen conjuntos recursivamente enumerables (en el sentido sugerido antes), debido a la existencia de la fórmula anterior.

A pesar de la sugerencia en el sentido de que el conjunto de Mandelbrot puede ser no recursivo, ya hemos sido capaces de vaciar las áreas mayores del conjunto con algoritmos definidos y no demasiado complicados. Parece que este proceso continuará. Las regiones más visibles del conjunto —y ciertamente un porcentaje abrumador de su área (si no toda ella)— pueden tratarse algorítmicamente. Si, como estoy suponiendo, el conjunto completo es realmente no recursivo, entonces las regiones que no pueden alcanzarse mediante nuestros algoritmos deben ser muy delicadas y difíciles de encontrar.

Más aún, cuando hayamos localizado una de estas regiones podremos mejorar nuestros algoritmos y llegar incluso a las regiones concretas. Pero entonces habría (si es correcta mi suposición de no recursividad) otras regiones ocultas aún más profundamente, tanto que ni siquiera nuestro algoritmo mejorado sería capaz de llegar. Una vez más, mediante esfuerzos prodigiosos de intuición, ingenio y aplicación, podríamos localizar una de estas regiones; pero todavía habría otras que se nos escaparían. Y así.

Nada de esto es distinto de la manera frecuente en que proceden las matemáticas sobre áreas en las que los problemas son difíciles y presumiblemente no recursivos. Los problemas más comunes pueden ser tratados con sencillos procedimientos algorítmicos, algunos de ellos conocidos durante siglos, pero otros escaparán de la red o requerirán de procedimientos más sofisticados. Por supuesto, los que aún escapen intrigarán particularmente a los matemáticos y les aguijonearán para desarrollar métodos más potentes, basados sobre cada vez más profundas reflexiones en torno a la naturaleza de las matemáticas implicadas.

Hay algo de intuición en nuestra comprensión del mundo. En los problemas de la teselación y de las palabras subyace mucho de todo esto, no importa que se trate de áreas donde la maquinaria matemática no está aún muy desarrollada. Pudimos utilizar un argumento muy sencillo en cada caso particular, a fin de probar que una determinada palabra no puede ser obtenida a partir de otra mediante las reglas permitidas, pero no es difícil imaginar que entrarían en juego líneas argumentales más sofisticadas para los casos complejos. Es muy probable que las nuevas líneas de razonamiento se desarrollen sobre la base de un procedimiento algorítmico.

Sabemos que ningún procedimiento es válido para todos los ejemplos del problema de las palabras, aunque los ejemplos que escapen tendrían que ser construidos con mucho cuidado y sutileza. En la práctica, cuando sepamos cómo se construyen esos ejemplos —cuando sepamos con certeza de un caso particular en que ha sido eludido nuestro algoritmo—, podremos mejorarlo e incluir también ese caso. Solamente pueden escapar pares de palabras que no son «iguales», de modo que en cuanto sepamos que han escapado, sabremos que no son «iguales». Y tal hecho puede ser añadido a nuestro algoritmo. ¡Nuestra reflexión mejorada nos conducirá a un algoritmo mejorado!