CAPÍTULO 10. NUEVAS DIMENSIONES

^[1] H. Reichenbach, The Philosophy of Space and Time, Dover, Nueva York, 1958, pp. 281-282. <<

^[2] J. W. M. McReynolds, «George’s Problem», Scripta Mathematica 15, (Junio de 1949). <<

^[3] I. Kant, «Thoughts on the True Estimation of Living Forces», en Kant’s Inaugural Dissertation and Early Writings on Space, trad. de J. Handyside, University of Chicago Press, Chicago, 1929. <<

^[4] Retrato de Immanuel Kant, © AKG Londres. <<

^[5] La fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales es proporcional a r⁻², donde r es su separación espacial. <<

^[6] Esto también es verdadero para las fuerzas eléctricas o magnéticas. <<

^[7] Para ver esto, consideremos una masa localizada en un punto. Rodeémosla ahora de una superficie esférica. Las líneas de fuerza que atraen hacia la masa puntual en todas direcciones cortan a todo punto de la superficie esférica. Es el área de esta superficie lo que nos dice que la fuerza obedece a la potencia inversa de la distancia. En el espacio tridimensional la superficie esférica es bidimensional y tiene un área proporcional al cuadrado de su radio. Análogamente, en el espacio N dimensional la esfera tiene un área superficial atravesada por líneas de fuerza que es proporcional a su radio elevado a la (N − 1)-ésima potencia. <<

^[8] I. Kant, citado en C. Pickover, Surfing through Hyperspace, Oxford University Press, Nueva York, 1999, p. 9. <<

^[9] Quizá deberían haber hecho estos descubrimientos mucho antes. Imaginemos que estamos viendo triángulos, líneas y relaciones geométricas en una superficie plana utilizando un espejo curvo. La geometría euclídea quedará distorsionada en la de una superficie curva. Pero seguirá habiendo una correspondencia uno-a-uno entre las reglas que gobiernan la geometría plana y las del espacio distorsionado, garantizada por las leyes de reflexión de la luz. <<

^[10] Criticando el estudio de Mach de las geometrías n-dimensionales. <<

^[11] El reto de imaginar vida en dos dimensiones vino antes del reto de reflexionar sobre cuatro dimensiones. Gauss imaginó criaturas bidimensionales, que él llamó «gusanos de libro», que vivían en hojas infinitas de papel. Helmholtz (1881) puso los gusanos de libro sobre la superficie de una bola, dándoles así un mundo que era finito en extensión pero sin ninguna frontera. <<

^[12] Esta idea ha sido reformulada por varios autores periódicamente desde entonces, añadiendo cada vez más sofisticación geométrica y topológica; por ejemplo, Sphereland (1964) de Dionys Burger, Planiverse de Dewdney (Pan, Londres, 1984) y Flatterland (2001) de Ian Stewart. <<

^[13] En especial Johann Zollner y miembros de la Sociedad Física, que fueron ridiculizados en El fantasma de Canterville de Oscar Wilde. <<

^[14] J. C. F. Zollner, «On Space of Four Dimensions», Quarterly Journal of Science (serie nueva) 8, p. 227 (1878). <<

^[15] B. Stewart y P. Tait, The Unseen Universe, Macmillan, Londres, 1884. Fue el fundador de la teoría de nudos y reconoció que nudos en tres dimensiones podrían desanudarse en una cuarta dimensión. <<

^[16] Para un interesante ensayo sobre la relación entre Conan Doyle y Holmes, ver Martin Gardner, «The Irrelevance of Conan Doyle», Beyond Baker Street, ed. M. Harrison, Bobbs-Merrill, Nueva York, 1976; reimpreso en M. Gardner, Science: Good, Bad and Bogus, Prometheus Books, Nueva York, 1981, capítulo 9. [Hay traducción española: La ciencia: lo bueno, lo malo y lo falso, Alianza Editorial, Madrid, 1988]. <<

^[17] C. Hinton, A Picture of Our Universe (1884), ver Speculations on the Fourth Dimension: Selected Writings of Charles Hinton, ed. R. Rucker, Dover, Nueva York, 1980, p. 41. <<

^[18] James Hinton tenía incluso ideas médicas poco comunes. Escribió un libro titulado El misterio del dolor en el que propone la teoría de que «todo lo que sentimos como doloroso está realmente dando; algo en lo que nuestros colegas son mejor, incluso si no podemos seguirlo». Su hijo Charles trató más tarde de crear una formulación matemática de esta idea utilizando geometría en dimensiones más altas y series infinitas. <<

^[19] C. Hinton, Dublin University Magazine 1880. Fue reimpreso como un panfleto con el título «What is the Fourth Dimension: Ghosts Explained» por Swann Sonnenschein & Co. en 1884. Mr. Sonnenschein era un devoto de las ideas de Hinton y publicó otros nueve de sus panfletos en los dos años siguientes. Luego fueron reunidos y publicados como una colección en dos volúmenes titulada Scientific Romances. Los que presentan dimensiones extra están reimpresos en C. Hinton, Speculations on the Fourth Dimension: Selected Writings of Charles Hinton, ed. R. Rucker, Dover, Nueva York, 1980. <<

^[20] C. Hinton, «A Mechanical Pitcher», Harper’s Weekly, 20 de marzo de 1897, pp. 301-302. <<

^[21] A. L. Miller, Einstein, Picasso: Space, Time and the Beauty that Causes Havoc, Basic Books, Nueva York, 2001. <<

^[22] Pablo Picasso, «Retrato de Dora Maar», 1937, (C) Succession Picasso/DACS 2002. <<

^[23] U. Eco, Foucault’s Pendulum, Seeker & Warburg, Londres, 1989, p. 3. <<

^[24] A. Einstein, Ann. der Physik 35, 687 (1911). <<

^[25] A. Einstein, carta a Ilse Rosenthal-Schneider, 13 de octubre de 1945, traducción inglesa y original alemán en I. Rosenthal-Schneider, Reality and Scientific Truth: Discussions with Einstein, von Laue, and Planck, Wayne State University Press, Detroit, 1980, p. 37. <<

^[26] G. E. Uhlenbeck, American Journal of Physics 24, p. 431 (1956). Uhlenbeck fue alumno de Ehrenfest. <<

^[27] Acuarela original de Maryke Kammerlingh-Onnes, cortesía AIP Emilio Segrè Visual Archives. <<

^[28] Su carta dice lo siguiente: «¡Mis queridos amigos: Bohr, Einstein, Franck, Herglotz, Joffé, Kohnstamm y Tolman! Desconozco absolutamente cómo continuar llevando durante los próximos meses la carga de mi vida que se me ha hecho insoportable… Quizá aún pueda emplear mis últimos cartuchos de energía en Rusia, pero si esa posibilidad no se llegara a confirmar muy pronto, es del todo seguro que me suicidaré. Y si eso llegara a suceder alguna vez, entonces me gustaría saber que os he escrito, tranquilamente y sin agobio, a vosotros cuya amistad ha ejercido un papel tan importante en mi vida… En años recientes se me ha hecho cada vez más difícil comprender los desarrollos de la física. Tras intentarlo, cada vez más abatido y roto, al final he caído en la desesperación. Esto me hace sentir totalmente cansado de vivir… Antes me sentía condenado a vivir principalmente por los cuidados económicos de los niños. He intentado hacer otras cosas sin apenas éxito. Por consiguiente, me concentro cada vez más en los detalles exactos del suicidio. No tengo otra posibilidad práctica que el suicidio, y eso después de haber matado a Wassik. Perdonadme… Os deseo lo mejor para vosotros y vuestros seres queridos». <<

^[29] P. Ehrenfest, «In what way does it become manifest in the fundamental laws of physics that space has three dimensions?», Proc. Amsterdam Academy 20, p. 200 (1917) y Annalen der Physik 61, p. 440 (1920). <<

^[30] Los matemáticos también están acostumbrados a esta peculiaridad. Con frecuencia se da el caso de que una conjetura matemática general se decidirá en un sentido u otro en todas las dimensiones del espacio excepto en tres. Aquí normalmente es especialmente difícil de decidir. <<

^[31] K. Kuh, The Artist’s Voice, Harper & Row, Nueva York, 1962, p. 42. <<

^[32] G. J. Whitrow, Brit. J. Phil. Sci., 6, p. 13 (1955). <<

^[33] G. J. Whitrow, The Structure and Evolution of the Universe, Hutchinson, Londres, 1959. <<

^[34] Ésta es una pregunta bastante natural de hacer porque si la velocidad de la luz es una constante fundamental de la Naturaleza, la misma para todos los observadores independientemente de dónde estén y cómo se estén moviendo, eso significa que existe una conexión profunda y fundamental entre espacio y tiempo. La teoría de la gravedad y el movimiento de Einstein nos ha mostrado las consecuencias de esta conexión. En consecuencia los físicos hablan ahora de espacio-tiempo 4-dimensional antes que de espacio y tiempo. Esta síntesis fue introducida por primera vez por Hermann Minkowski en una conferencia titulada «Espacio y tiempo» para los científicos reunidos en Colonia el 21 de septiembre de 1908. Empezó con el anuncio: «¡Caballeros! Las ideas de espacio y tiempo que deseo presentar ante ustedes han brotado del suelo de la física experimental, y allí reside su fuerza. Son radicales. En lo sucesivo el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo, están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo un tipo de unión de ambos conservará independencia». Imaginan el espacio-tiempo como un bloque 4-dimensional que puede ser seccionado de muchas maneras posibles, cada una de ellas equivalente a una forma diferente de definir el «tiempo». Esta imagen de bloque espacio-temporal es vieja puesto que aparece de forma bastante natural desde un punto de vista divino del mundo. Ya en el siglo XIII, santo Tomás de Aquino escribió: «Podemos imaginar que Dios conoce el vuelo del tiempo en su eternidad, como cuando una persona erguida a lo alto de un campanario ve de una sola vez toda la caravana de viajeros». Tomás de Aquino, Compendium Theologiae, citado en P. Nahin, Time Machines, AIP Press, Nueva York, 1993, p. 103. El término «Universo bloque» fue introducido por el filósofo de Oxford Francis Bradley en su libro Principles of Logic (1883), escrito muchos años antes de la introducción de Minkowski de la descripción matemática del espacio-tiempo y la fantasía wellsiana del viaje en el tiempo. Escribe: «Parece que pensamos que estamos en una barca, y llevados corriente abajo por la corriente del tiempo, y que en la orilla hay una hilera de casas con números en la puerta, y salimos de la barca, y golpeamos en la puerta con el número 19, y al volver a entrar en la barca nos encontramos repentinamente frente al 20, y habiendo hecho entonces lo mismo, pasamos a 21. Y, durante este tiempo, la hilera firmemente fija del pasado y futuro se extiende en un bloque detrás de nosotros y ante nosotros». Parece que Einstein también ha mantenido esta visión, en la que el futuro está ya extendido ante nosotros y cualquier diferencia entre el pasado, el presente y el futuro es mera ilusión. Al escribir a la familia de su más viejo e íntimo amigo, Michele Besso, pocas semanas después de la muerte de Besso en 1955, Einstein señalaba la Naturaleza ilusoria del pasado y del futuro, sabiendo que no se recuperaría de su propia enfermedad: «Y ahora él me ha precedido por poco tiempo en despedirse para siempre de este mundo extraño. Esto no significa nada. Para nosotros, físicos convencidos, la distinción entre pasado, presente y futuro es tan sólo una ilusión, por persistente que sea». Véase B. Hoffman, Albert Einstein: Creator and Rebel, New American Library, Nueva York, 1972, p. 257. [Hay traducción española: Einstein, Salvat, Barcelona, 1982]. <<

^[35] Ver J. D. Barrow y F. J. Tipler, The Anthropic Cosmological Principle, Oxford University Press, Oxford, 1986, capítulo 4 y F. Tangerlini, «Atoms in Higher Dimensions», Nuovo Cimento 27, p. 636 (1963); J. D. Barrow, «Dimensionality», Phil. Trans Roy. Soc. A, 310, p. 337 (1983); I. Freeman, American Journal of Physics 37, p. 222 (1969). L. Gurevich y V. Mostepanenko, Phys. Lett. A 35, p. 201 (1971); I. Rozental, Soviet Physics Usp. p. 296(1981). <<

^[36] De J. D. Barrow, The Book of Nothing, Jonathan Cape, Londres, 2000. [Hay traducción española: El libro de la nada, Crítica, Barcelona, 1996]. Está basado en un diagrama construido por M. Tegmark, Annals of Physics (NY), 270, 1 (1998). <<

^[37] John S. Harris (Brigham Young University) plantea una cuestión general interesante sobre máquinas bidimensionales. Señala la notable similitud entre mecanismos planiversales y diseño de cañones esteriversales. De la pistola militar alemana Mauser escribe: «Esta extraordinaria pistola automática no tiene pivotes ni tornillos en sus partes funcionales. Toda su operación se desarrolla deslizando superficies y pasadores bidimensionales. De hecho, el cierre de muchas armas de fuego, especialmente armas del siglo XIX, sigue esencialmente principios planiversales». Citado en A. Dewdney (ed.), A Symposium on Two-dimensional Science and Technology, sin publicar, 1981, p. 181. <<

^[38] Se ve una manifestación de esto en matemáticas, donde los sistemas dinámicos sólo empiezan a mostrar comportamiento complejo y caótico cuando sus trayectorias se mueven en tres dimensiones. Sólo entonces pueden retorcerse una alrededor de otras de formas complicadas sin cortarse. <<

^[39] J. Dorling, «The Dimensionality of Time», Am. J. Phys., 38, p. 539 (1969). F. J. Yndurain, «Disappearance of matter due to causality and probability violations in theories with extra timelike dimensions», Physics Letters B 256, p. 15(1991). <<

^[40] Ratibor está ahora en Polonia, rebautizada como Raciborz. <<

^[41] T. Kaluza. «Zum Unitätsproblem der Physik», Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaften 96, p. 69 (1921). <<

^[42] O. Klein, Zeit. f. Physik 37, p. 895 (1926) reimpreso y traducido en O. Klein, The Oskar Klein Memorial Lectures, ed. G. Ekspong, World Scientific, Singapur, 1991, p. 103. <<

^[43] P. Candelas y S. Weinberg, Nucl. Phys. B. 237, 397 (1984). <<

^[44] E. Wharton, Vesalius in Zante, citado en C. Pickover, Surfing through Hyperspace, Oxford University Press, Nueva York, 1999, p. 118. <<

^[45] Si hay más de una dimensión extra entonces R es el tamaño medio de todas las dimensiones extra. <<

^[46] Para algunas descripciones sencillas de por qué aparece este problema y por qué se resuelve en teorías de cuerdas ver J. D. Barrow, Theories of Everything, Oxford University Press, Oxford, 1991, pp. 22-223, 80-85 y M. Green, «Superstrings», Scientific American, September issue (1986), p. 48. <<