CAPÍTULO 4. MÁS LEJOS, MÁS PROFUNDO, MÁS SIMPLE: LA BÚSQUEDA DE UNA TEORÍA DE TODO.

^[1] R. P. Crease, «Do physics and politics mix?», Physics World, febrero de 2001, p. 17. <<

^[2] Citado en C. Pickover, The Loom of God, Plenum, Nueva York, 1997, p. 26. <<

^[3] J. D. Barrow, The Universe that Discovered Itself, Oxford University Press, Londres 1990, discute el desarrollo del concepto de «leyes» de la Naturaleza con mayor detalle. <<

^[4] No esperamos que todo resultado posible de las leyes de la Naturaleza exista en realidad. Así, el mundo real es un subconjunto de todos los mundos posibles. Es una cuestión interesante respecto a cuál es la objeción a un mundo en el que hay inconsistencias lógicas en los resultados de las leyes pero que no se manifiestan en ningún resultado real. <<

^[5] Citado en J. A. Paulos, I Think, Therefore I Laugh, Columbia University Press, Nueva York, 1985, p. 35. <<

^[6] Ver, por ejemplo, la moderna reimpresión G. Gamow, Mr. Tompkins in Paperback, Cambridge University Press, Cambridge, 1949. [Hay traducción española: Breviario del Sr. Tompkins, Fondo de Cultura Económica de España, Madrid, 1993]. Una versión actualizada y ampliada de algunas experiencias educativas de Mr. Tompkins puede encontrarse bajo la dirección editorial de Russell Stannard. <<

^[7] La velocidad de la luz fue brillantemente deducida por primera vez por el astrónomo danés Olaf Roemer en 1676. Advirtió que los intervalos de tiempo que transcurrían entre los eclipses de una de las lunas de Júpiter se alargaban cuando la Tierra se estaba alejando de Júpiter pero se acortaban cuando se aproximaba a él. Encontró una diferencia de tiempo promedio de 996 segundos entre eclipses a partir de muchas observaciones hechas en el curso de un año. Roemer atribuyó esta diferencia de tiempo al hecho de que la luz tenía una velocidad finita. Así pues, razonó, la luz debe necesitar 996 segundos para atravesar una distancia igual al diámetro de la órbita de la Tierra. Esta distancia era conocida de forma precisa, ya entonces, y le permitió obtener una muy buena estimación de la velocidad de la luz. <<

^[8] Hay que permitirle aquí a Gamow una licencia artística. Como explicamos en el capítulo anterior, variar simplemente las constantes dimensionales de la Naturaleza, como la velocidad de la luz, no lleva a ninguna diferencia observacional en el comportamiento del mundo si también varían otras constantes de modo que todas las constantes adimensionales sigan siendo las mismas. <<

^[9] Gamow, Mr. Tompkins in Paperback, p. I. <<

^[10] El valor no-nulo de h es importante para la estabilidad de la materia. Si la energía de un átomo pudiera cambiar en una cantidad arbitrariamente pequeña, todos los átomos se harían pronto muy diferentes. Los impactos de otros átomos y de la radiación cambiarían continuamente sus niveles energéticos. La constante h es suficientemente grande para que los átomos necesiten una enorme «patada» antes de que puedan ser desplazados al siguiente nivel permitido. <<

^[11] Según L. B. Okun, esta representación de las constantes fue introducida por primera vez por el físico ruso Matveí Bronstein a principios de la década de 1930. Por desgracia, Bronstein fue asesinado por Stalin en 1938 cuando sólo tenía 32 años. Existe una biografía (en ruso) escrita por G. E. Gorelik y V. Ya. Frenkel, Matveí Petrovich Bronstein, Nauka, Moscú, 1990. <<

^[12] David Singmaster informó de ello en M. Stueben y D. Sandford, Twenty Years before the Blackboard, Math. Assoc. of America, Washington DC, 1998, p. 95. <<

^[13] No es posible por el momento predecir lo que debería quedar tras la explosión final. Se han hecho muchas sugerencias diferentes, que van desde nada en absoluto, a un agujero en el espacio y el tiempo, un agujero de gusano hacia un nuevo Universo, o simplemente una masa estable finita. <<

^[14] No sabemos, por ejemplo, si la constante de estructura fina es un número racional o irracional. <<

^[15] «Aquí yace John Bum / que murió por un disparo de pistola. / Su nombre no era Bum sino Wood / pero Wood no rimaría con pistola / y Bum sí lo haría». Evidentemente la rima se pierde en castellano. (N. del t.) <<

^[16] D. M. Wilson, Awful Ends: The British Museum of Epitaphs, British Museum Publications, Londres, 1992, p. 87. <<

^[17] C. Butler, Number Symbolism, Routledge & Kegan Paul, Londres, 1970. <<

^[18] El enésimo número triangular es igual a n(n + 1)/2. <<

^[19] El término inglés figure tiene también el significado de cifra o dígito. (N. del t.) <<

^[20] En general, n² es igual a la suma de los n primeros números impares, partiendo de 1. <<

^[21] Alejandro de Afrodisias (un comentarista de Aristóteles) en su Metafísica, 38, 10 citado por W. Guthrie, History of Greek Philosophy, vol. 1, Cambridge University Press, Cambridge, 1962, pp. 303-304. [Hay traducción española: Historia de la filosofía griega, Gredos, Madrid, 1999]. <<

^[22] Todos los números perfectos pueden expresarse como 2^N(2^N+1 −1) para valores especiales de N. El gran matemático suizo Leonhard Euler demostró que todos los números perfectos pares tienen esta forma si 2^N −1 es un número primo. Nadie sabe si existen números perfectos impares. <<

^[23] Los números primos, como 7 y 23, no tienen divisores distintos de sí mismo y 1. Euclides demostró que existen infinidad de ellos con un argumento muy bello. Supongamos que hay sólo un número finito de ellos. Multipliquémoslos todos y sumemos 1. Entonces este número no es divisible por ninguno de nuestra supuesta lista finita de primos porque siempre queda un 1 de resto. Por lo tanto, o bien este número es primo o bien es divisible por un número primo que es mayor que el último en nuestra lista original. En cualquier caso, esto contradice la hipótesis original de que la lista de números primos era finita. De ahí que el número de números primos no pueda ser finito. <<

^[24] Se han encontrado más de un millar de números amigos. Los siguientes más grandes son 1184 y 1210, 2620 y 2924, 5020 y 5564, 6232 y 6368, 10 744 y 10 856. <<

^[25] En Génesis 32, versículo 14, aparece el número amigo 220 cuando Jacob hace un regalo de 220 cabras a Esaú. Esto implica una relación que se sellaría mediante el regalo recíproco de 284 objetos. <<

^[26] De Trachtenberg, Jewish Magic and Superstition, citado por C. Pickover, The Loom of God, Plenum, Nueva York, 1997, p. 80. <<

^[27] Teón de Esmirna, «On The Tetraktys and the Dead» citado por C. Butler, Number Symbolism, Routledge & Kegan Paul, Londres, 1970, p. 9. <<

^[28] H. Weber, Lehrbuch der Algebra, vol. 3, Chelsea, Nueva York, 1908, sección 125. Este ejemplo lo cita I. J. Good en un informe técnico inédito del Dept. Statistics, Virginia Polytechnic Inst., Physical Numerology, 30 de diciembre de 1988, p. 1. <<

^[29] Esto formaba parte de una inocentada en la columna de Martin Gardner de la edición de abril de 1975 de Scientific American p. 127. (La broma se reveló en el número de julio de 1975, p. 112). Puede demostrarse que existen números racionales iguales a un número irracional elevado a una potencia irracional, pero por lo que yo sé no se conoce ningún ejemplo explícito. La demostración es un bello ejemplo de demostración no-constructiva. Consideremos el número x = √2 elevado a la potencia de √2. Este número es o racional o irracional. Si es racional hemos demostrado lo que estamos buscando, de modo que supongamos que es irracional. Elevémoslo otra vez a la potencia de √2 y tenemos que x^√2 = (√2)^{√2 × √2} = (√2)² = 2, que es racional e igual a un irracional elevado a una potencia irracional, ¡por hipótesis! <<

^[30] La versión autorizada fue el resultado de la Hampton Court Conference de 1604, que fue convocada por Jacobo I para unir a las diversas fracciones de la Iglesia Alta y Baja. La «versión autorizada» resultante (aunque no estaba realmente «autorizada» de ninguna forma oficial) apareció en 1611. Se basaba fundamentalmente en los textos traducidos de William Tyndale con material de John Wyclif. William Shakespeare vivió de 1546 a 1616. <<

^[31] La primera y última estrofas del salmo 46 se leen (con la 46.ª palabra desde el principio y el final ¡en mayúsculas!):

God is our refuge and strength, / A very present help in trouble. / Therefore will not we fear, though the earth be removed, / And though the mountains be carried into de midst of the sea; / Though the waters thereof roar and be troubled, / Though the mountains SHAKE with the swelling thereof /… / He breaketh the bow, and cutteth the SPEAR in sunder; / He bumeth the chariot in the fire. / «Be still, and know that I am God: /I will be exalted among the heathen, I will be exalted in the earth». / The Lord of hosts is with us; / The God of Jacob is our refuge. <<

^[32] G. N. Lewis y E. Q. Adams, Phys. Rev., 3, 92 (1914). <<

^[33] A. S. Eddington, Proc. Roy. Soc., A 122, 358 (1930). Nótese que Eddington creía en esa época que 1/α era un número entero. En la época esto era una posibilidad dadas las incertidumbres experimentales en su medida. <<

^[34] A. M. Wyler, C. Rendus, Acad. Sci., París, B 269, 743 (1969) y B 271, 186 (1971). <<

^[35] H. Aspden y D. M. Eagles, Phys. Lett., A 41, 423 (1972). <<

^[36] C. Pickover, Computers and the Imagination, St. Martin’s Press, Nueva York, 1991, p. 270. <<

^[37] B. Robertson, Phys. Rev. Lett., 27, 1545 (1971). <<

^[38] T. J. Burger, Nature 271, 402 (1978). <<

^[39] W. Heisenberg, carta a Paul Dirac, 27 de marzo de 1935, citado en H. Kragh, Dirac: A Scientific Biography, Cambridge University Press, Cambridge, 1990, p. 209. <<