IV

L'equazione della crescita

O forse no. Forse non siamo tutti pronti. Proprio mentre mi apprestavo a scrivere questo capitolo, mi è capitato tra le mani un articolo di giornale. Si intitolava Cosa succede quando il cervello si imbatte in un'equazione. Spiegava che, di fronte a un'equazione o a una formula, il cervello dei matematici si attiva in modo diverso da quello delle persone normali. Nei matematici e nei soggetti "matematicamente ben istruiti", entra in azione un'area cerebrale speciale, che guida nella corretta lettura dell'espressione matematica, la quale è composta da una sequenza di lettere, numeri, parentesi, segni di operazioni, simboli speciali. In tutti gli altri, i "non matematicamente ben istruiti", la formula viene processata come una normale parola, da sinistra a destra, come una qualsiasi sequenza di caratteri alfanumerici. Forse per questo, perché, letta come fosse una parola, una formula non dice proprio niente, la maggior parte dei lettori, quando incontra un'equazione, semplicemente la salta.

Io ora dovrei presentarvi un'equazione, questa equazione.1

gn = 0,58 Hn + 0,48 Fn + 0,45 In - 0,45 Tn - 1,17 t(yn) + 3,0

Ma vorrei anche pregarvi di non saltarla, nel caso non foste "matematicamente ben istruiti" (piuttosto leggete nelle pagine seguenti la digressione su "che cosa è un'equazione"). Perché questo non è un libro rivolto ai colleghi professori universitari (per questi ci sono le appendici, o meglio le "anatre", come le chiamo io), ma è un libro rivolto alle persone normali, che amano leggere ma non necessariamente di matematica o di economia.

L'equazione che ho appena scritto è la più semplice e concisa fra le equazioni con cui ho provato a risolvere l'enigma della crescita delle economie avanzate nel periodo 1995-2007. In essa compaiono solo le 5 forze fondamentali che governano la crescita: H, F, I, T, t(y). Nel prossimo capitolo impareremo a conoscerla e a capirla, ma per ora cominciate a guardarla. Con calma, pezzo per pezzo, simbolo per simbolo. Perché, fra poche pagine, sapremo esattamente che cosa significa. E, ve lo garantisco, non vi sembrerà astrusa come vi appare ora.

Digressione (per chi non sa o non ricorda più che cosa è un'equazione)

Ma che cosa è un'equazione?

Un'equazione, tanto per cominciare, è un'espressione formata da un insieme di simboli separati dal segno di eguaglianza (=). Essa, in fondo, dice solo che qualcosa è eguale a qualcos'altro. È per questo, perché rappresenta un'eguaglianza, che si chiama equazione.

Per esempio:

y = 7

x = -a

x+a = 0

y = (x2 + a) b

sono tutte equazioni.

Esse risultano costruite con 4 ingredienti fondamentali (oltre al segno di eguale, che ci deve essere sempre, altrimenti non siamo di fronte a un'equazione).

- numeri (7, 0, 2)

- segni di operazioni (+, -)

- lettere dell'alfabeto (y, x, a, b)

- parentesi

La cosa più importante, in un'equazione, sono le lettere dell'alfabeto. Di solito si usa l'alfabeto inglese, che ha più lettere (26), ma alle volte siamo costretti a introdurre altri alfabeti, o perché le lettere dell'alfabeto inglese non ci bastano, o anche, semplicemente, perché vogliamo sottolineare una distinzione. Allora ricorriamo ad altri alfabeti: di solito quello greco, ma talora anche quello ebraico, e persino quello gotico e quello cirillico. Gli statistici, per esempio, usano le lettere greche (a, ß, ...,) per indicare le entità nascoste, o inosservabili, o "latenti". I matematici, a loro volta, ricorrono alla prima lettera dell'alfabeto ebraico (alef, scritta ?) per indicare i primi numeri transfiniti.2

Nella maggior parte dei casi, quando usiamo un'equazione, le lettere indicano delle grandezze numeriche di cui non si conosce o non si intende specificare il valore. Queste grandezze vengono spesso distinte in due gruppi: grandezze fisse, chiamate "parametri" e indicate con le prime lettere dell'alfabeto (a, b, c, ...), e grandezze che cambiano nello spazio o nel tempo, chiamate "variabili" e indicate con le ultime lettere dell'alfabeto (..., x, y, z).

Ed ecco che siamo in grado di capire meglio che cosa fa un'equazione. Abbiamo già visto che, grazie al segno di eguale, l'equazione dice che qualcosa è uguale a qualcos'altro. Ma se a sinistra dell'equazione mettiamo un simbolo di variabile (per esempio y), e a destra uno o più simboli di variabili o di parametri (per esempio a e x), siamo in grado di usare l'equazione per rappresentare una relazione di dipendenza fra grandezze.

Primo esempio: vogliamo dire che l'area di un rettangolo (chiamiamola y) è il prodotto della base (x) per l'altezza (z). Possiamo riassumere il tutto in un'equazione:

y = x z

Secondo esempio: vogliamo dire che l'area di un quadrato (y) è il prodotto della lunghezza del lato (x) per sé stessa, ovvero è "il quadrato" del lato (ecco perché l'elevamento al quadrato si chiama così!). Di nuovo possiamo usare un'equazione:

y = x2

Finora abbiamo usato solo variabili. Introduciamo ora anche un parametro numerico noto.

Terzo esempio: vogliamo dire che l'area di un cerchio (y) è uguale al quadrato del raggio (r) moltiplicato per 3,14. Possiamo scrivere:

y = 3,14 r2

Oppure, se voglio esplicitare che il valore esatto della grandezza che collega y a r2 è il numero irrazionale pi greco (p), posso scrivere:

y = p r2

dove diventa molto chiaro il diverso ruolo delle variabili y e r (che variano) e del parametro p (che resta fisso). La nostra equazione, in altre parole, rappresenta l'area di un qualsiasi cerchio, con un raggio di lunghezza qualsiasi. Ma quali che siano i valori assunti dalle variabili r e y, il parametro p che le collega resta fisso, e varrà sempre 3,14 (più le sue infinite cifre decimali).

Dovremmo essere in grado, a questo punto, di apprezzare l'utilità di un'equazione: un'equazione mi dice come una certa grandezza (y), che mi interessa, dipende da altre grandezze (x1, x2, ..., xk). E me lo dice mediante un'espressione, o forma funzionale, più o meno complessa, che di solito contiene dei parametri fissi ma sconosciuti. Per esempio l'equazione lineare:

y = b0 + b1 x1 + b2 x2

dice che una certa grandezza, denominata "variabile dipendente" (y), dipende da altre due grandezze, denominate "variabili indipendenti" (x1 e x2), secondo un'espressione matematica molto semplice, che contiene un certo numero di grandezze fisse, dette "parametri" (b0, b1, b2). Un'equazione è uno strumento molto generale e potente per specificare come qualcosa dipende da qualcos'altro: uno strumento per descrivere il meccanismo che governa un fenomeno che ci interessa spiegare o capire.