XI

L'equazione di Chapman-Richards

Sono stanco di avere o di ascoltare opinioni su opinioni! Voglio che le cose stesse mi diano ragione o torto.

FRIEDRICH NIETZSCHE (1880)

Sì, nel luna park dei demografi esiste almeno un modello capace di generare entrambi i tipi di curve, quella pessimistica e quella ottimistica. Non solo, ma tale modello è così generale e flessibile che, come casi speciali, è in grado di generare non solo le curve di Solow e di Romer, ma anche le curve "miste" Romer-Solow (equazione di Verhulst e simili) e Solow-Romer (equazione anti-Verhulst e simili), nonché infinite forme intermedie fra i vari tipi di curve (vedi figura 19).

Per curva di Solow intendiamo una curva concava pura (senza punti di flesso). Per curva di Verhulst intendiamo una curva sigmoide, non necessariamente dotata di un asintoto inferiore.1 Per curva di Romer intendiamo una curva convessa pura (senza punti di flesso). Per curva anti-Verhulst intendiamo una curva "tangentoide", che va all'infinito ma ha un punto di flesso. È il caso di notare fin d'ora che esistono vari tipi di curve della famiglia Verhulst (simmetriche e non, con o senza pavimento, ma tutte con un soffitto), e che l'equazione di moto del modello di Solow può generare sia una curva di tipo concavo (curva di Solow) sia una curva di tipo sigmoide (curva di Verhulst). Quel che accomuna le due curve è che nel tratto finale sono entrambe curve di Solow, con la concavità rivolta verso il basso.

Figura 19 - Le quattro curve fondamentali

Prima di presentare il modello superflessibile messo a punto dai demografi, tuttavia, dobbiamo fare un passo di lato, e dire qualche cosa sulla cassetta degli attrezzi degli studiosi della crescita. Quando si cerca di individuare la traiettoria nel tempo di una data grandezza, sia essa la numerosità di una popolazione, la lunghezza di una tartaruga o, come nel nostro caso, il reddito per abitante di un'economia, lo strumento fondamentale non è l'equazione che descrive direttamente ed esplicitamente la traiettoria stessa, ossia un'espressione della forma: y = f(t; p), che collega direttamente il livello del reddito (y) al trascorrere del tempo (t) e a un certo numero di parametri (riassunti dalla lettera p).

Tale equazione è utile, ma il suo grafico (d'ora in poi: "diagramma y-t") non è in grado di mostrarci direttamente, ossia in modo immediato e intuitivo, quali sono le caratteristiche qualitative del processo che stiamo studiando. Per cogliere pienamente le caratteristiche di un processo di crescita, accanto al diagramma y-t, che descrive la traiettoria del livello di y nel tempo, dobbiamo introdurre due nuovi strumenti, forse ancora più importanti: il diagramma d-t, che descrive l'evoluzione nel tempo degli incrementi assoluti di y, ossia la velocità con cui cambia y (dove d è il simbolo che, in matematica, indica le variazioni infinitesimali); e il diagramma g-y, che mostra come il tasso di crescita dipende dal livello di y (dove g è il simbolo che, nella letteratura sulla crescita, indica l'incremento percentuale del reddito per abitante). Un quadro completo, insomma, richiede tre diagrammi distinti.

Prima di descriverli in astratto, ossia da un punto di vista matematico, vediamoli subito all'opera su un esempio concreto, quello della classica equazione di Verhulst che, come sappiamo, descrive un processo inizialmente accelerato e poi decelerato (vedi figura 19, in alto a sinistra).

Il primo diagramma (y-t) mostra l'evoluzione nel tempo (t) della grandezza che stiamo studiando (y), evoluzione che nel nostro esempio - quello di una curva di tipo Verhulst - assume la classica forma sigmoide, o "a ogiva": possiamo chiamarlo semplicemente "diagramma della traiettoria".

Il secondo diagramma (d-t) mostra l'evoluzione nel tempo delle variazioni di y, ossia la sua velocità di crescita (matematicamente: la derivata di y rispetto al tempo). In altre parole, ci rivela se il processo è accelerato, decelerato, o alterna fasi di accelerazione e di decelerazione. In quest'ultimo caso la curva presenta un punto di svolta, che indica l'esatto momento del tempo in cui si passa da una fase all'altra. Nel caso del nostro esempio, il processo è prima accelerato, poi decelerato, e il punto di svolta è al tempo tf , indicato da una linea verticale sia nel diagramma y-t sia nel diagramma d-t. Il punto tf , o punto di flesso, è il momento del tempo in cui la curva di crescita (primo diagramma) mostra un cambiamento qualitativo, ossia un passaggio fra due diversi regimi di crescita (in questo caso da accelerazione a decelerazione, ma con altre curve di crescita potrebbe essere il passaggio inverso). Non tutti i processi di crescita hanno un punto di flesso, ma quando questo accade il diagramma d-t lo rivela chiaramente, informandoci anche sul momento (presente, passato o futuro) in cui il modello prevede un cambio di regime. Possiamo chiamarlo "diagramma della velocità", o della crescita assoluta.

Figura 20 - I tre diagrammi fondamentali: traiettoria (y-t), velocità (d-t), accrescimento (g-y)

Il diagramma più importante, però, è forse il terzo (g-y). Esso ci dice qual è, per ogni livello di y, il tasso di crescita relativo (g) che il nostro modello prevede. La crescita relativa, è importante sottolinearlo, è cosa diversa dalla crescita assoluta. Se un dato anno il reddito pro capite aumenta di 1000 dollari e l'anno prima era di 20.000 dollari, la crescita assoluta è 1000, la crescita relativa è 0,05 (il 5%), perché 1000 è il 5% di 20.000. Il diagramma g-y rappresenta la crescita relativa, mentre la crescita assoluta era catturata dal diagramma d-t.

C'è però anche un'altra importante differenza fra gli ultimi due diagrammi, il diagramma d-t della crescita assoluta e il diagramma g-y della crescita relativa. Nel diagramma d-t, sull'asse orizzontale compare il tempo (t), nel diagramma g-y compare invece la grandezza che stiamo studiando (y). Dunque, il diagramma g-y ci informa sul ritmo della crescita non già in funzione del tempo, ma in corrispondenza di diversi livelli di sviluppo. Possiamo chiamarlo "diagramma di accrescimento", o della crescita relativa.

L'inclinazione della curva g-y permette di distinguere, al volo, tre casi fondamentali: se la curva è piatta, y evolve a un tasso costante (crescita esponenziale), come nel modello malthusiano della popolazione, nel modello AK, o nel modello di Solow con progresso tecnico; se la curva è inclinata positivamente (caso rarissimo) y evolve a un tasso sempre più rapido (crescita iperesponenziale) e il sistema tende a esplodere; se, come nel nostro esempio e come quasi sempre avviene, la curva è inclinata negativamente, allora y evolve a un tasso sempre più lento (crescita ipoesponenziale).

Ma il diagramma di accrescimento non ci dice solo questo. Restiamo sul caso di gran lunga più frequente, quello di una crescita ipoesponenziale, come quella della curva di Verhulst. Osservate la retta del diagramma g-y (terzo riquadro della figura 20), e notate che essa attraversa sia l'asse delle ordinate g (nel punto r), sia l'asse della ascisse y (nel punto y*). Ebbene, quando questo accade (non accade sempre), è possibile dare un preciso significato ai due punti r e y*.

Il punto r si chiama "tasso di crescita intrinseco", e rappresenta, per così dire, il ritmo di crescita "alla nascita". Esso, infatti, non è altro che il valore di g quando y è zero, il che in concreto significa: quando le forze frenanti connesse all'aumento di y non hanno ancora fatto la loro comparsa.

Il punto y*, invece, è il punto in corrispondenza del quale la crescita è zero, e quindi il processo si arresta. Il valore assunto da y* è la "capacità portante", e indica il tetto oltre il quale y non può andare: se lo facesse, il tasso di crescita diventerebbe negativo, riportando y al suo valore di equilibrio y*.

Ma l'attraversamento dell'asse delle ascisse è solo un'eventualità. Se il processo di crescita non ha un tetto, o almeno non mostra di averlo nell'intervallo di osservazione, il diagramma g-y assume un aspetto nettamente diverso (figura 21, a destra).

Figura 21 - Diagrammi g-y di processi limitati e illimitati

Ora la curva che collega y e g, pur rimanendo inclinata negativamente, non passa più per l'asse delle ascisse, ma resta stabilmente al di sopra di esso. La curva g-y pare "posarsi" su una retta orizzontale che giace al di sopra dell'asse delle x, e così delimita la regione al di sotto della quale il tasso di crescita g non scenderà mai.

Ogni traiettoria ha la sua curva di accrescimento caratteristica e, simmetricamente, dalla forma della curva di accrescimento (diagramma g-y) si può risalire alla traiettoria corrispondente (diagramma y-t). Un percorso che non è solo intuitivo e visivo, ma riflette relazioni matematiche precise tra le equazioni corrispondenti ai tre diagrammi.2

Ecco perché il diagramma g-y, o diagramma di accrescimento, è così importante. Guardandolo, possiamo capire molto, se non tutto, del processo che governa la crescita.

Nel mondo dei biologi e dei demografi il diagramma di accrescimento è sempre inclinato negativamente, perché - come recita la legge di Minot - l'invecchiamento "comincia alla nascita". E anche noi, prima ancora di introdurre questo strumento, eravamo incappati nello stesso genere di risultato. È successo una prima volta, quando abbiamo stimato l'equazione della crescita scoprendo che, a parità di altre condizioni, più alto è il reddito pro capite iniziale e più basso è il tasso di crescita. Ed è successo una seconda volta quando abbiamo presentato il modello di Solow, e anche in quel caso abbiamo trovato che esso implica una relazione inversa fra reddito per addetto e tasso di crescita.

Quel che cambia fra l'esempio che abbiamo utilizzato per illustrare il diagramma di accrescimento (la curva di Verhulst), e i due casi reali che abbiamo già incontrato (la nostra equazione della crescita "empirica" e il modello teorico di Solow) è solo la forma esatta della relazione fra g e y.

Mentre il diagramma g-y della curva di Verhulst è dato da una retta, i diagrammi corrispondenti ai nostri due casi reali ci mostrano curve sempre discendenti, ma non linearmente. Il diagramma g-y dell'equazione della crescita rappresenta una curva logaritmica, nota come curva di Gompertz, che attraversa anch'essa l'asse delle ascisse (ma non quello delle ordinate). Il diagramma g-y del modello di Solow, a sua volta, rappresenta una curva simile a quella di Gompertz3, generata però da una funzione potenza e dotata di un parametro in più (il parametro a che compare in esponente di y; vedi figura 22).

E ora veniamo al punto. Per quanto siano piuttosto flessibili, né la forma da noi adottata né quella adottata da Solow sono veramente generali. Se la relazione fra tasso di crescita e reddito è inversa, la curva g-y di Gompertz deve per forza attraversare l'asse orizzontale in un qualche punto y*, e quindi vincola il processo di crescita del reddito pro capite ad avere un tetto, un punto oltre il quale y non può andare in quanto al di là di esso la crescita si trasforma in decrescita (quando la curva scende sotto l'asse orizzontale g cambia di segno).

Figura 22 - Diagrammi di accrescimento di Verhulst, Gompertz e Solow

Non molto diversamente vanno le cose con il modello di Solow. Qui è il significato economico dei parametri a e D a costringerci entro uno schema simile al precedente. Basta riandare all'espressione esplicita del modello di Solow per accorgersi che sia il parametro D sia l'esponente di y, ossia (a - 1) / a, sono vincolati a essere negativi, il che obbliga anche la curva g-y di Solow ad attraversare - prima o poi - l'asse delle y.

Conclusione: sia l'equazione di Gompertz, sia l'equazione di Solow obbligano il processo di crescita ad avere un tetto. Dunque, possono generare solo traiettorie concave (alla Solow) o sigmoidali (alla Verhulst),4 ma in nessun modo sono in grado di generare gli altri due tipi fondamentali di traiettorie - la Romer e la anti-Verhulst - che invece un tetto non ce l'hanno. Detto in altre parole: se il processo che governa la crescita del reddito per abitante fosse illimitato, le equazioni di Gompertz e di Solow non riuscirebbero a catturarlo, perché sono tarate per rappresentare processi asintotici, ossia dotati di un tetto.

Ma noi non vogliamo imporre una teoria ai dati, bensì usare i dati per scegliere fra teorie rivali. Dunque abbiamo bisogno di una equazione più generale, una equazione abbastanza flessibile e comprensiva da non escludere nessuno dei quattro tipi di traiettorie possibili. Una equazione il cui diagramma di accrescimento sia libero di attraversare oppure no l'asse delle ascisse, e la cui traiettoria y-t possa assumere ciascuna delle quattro forme base (vedi figura 19).

Siamo arrivati così al punto cruciale. Nel mondo dei demografi un'equazione di tal genere esiste. Anzi ne esistono almeno due: la curva di Schnute e la curva di Chapman-Richards generalizzata. La prima, inventata nel 1981, è l'equazione prediletta degli studiosi "acquatici", che si occupano di pesci, ricci, conchiglie, nonché degli effetti dell'azione dell'uomo sulle specie marine. La seconda, frutto di una vicenda intellettuale durata oltre un secolo, è la prediletta degli studiosi "terrestri", in particolare di quanti si occupano di piante e foreste. Le due equazioni sono sostanzialmente equivalenti quanto a capacità di adattarsi a un insieme di dati, ma sono profondamente diverse per la forma matematica che assumono. Noi adotteremo la seconda, quella terrestre di Chapman-Richards, perché essa non solo è in grado di assumere ciascuna delle quattro forme-base, ma consente di generare direttamente, come casi speciali, tutti e tre i modelli con cui abbiamo lavorato fin qui:

a) il modello di Gompertz, con cui abbiamo costruito la nostra equazione della crescita;

b) il modello di Solow (senza progresso tecnico);

c) il modello AK.

Ciò significa che, adottandola, noi ci mettiamo nella posizione di non scegliere a priori fra il pessimismo dei neoclassici (modelli alla Solow) e l'ottimismo dei teorici della crescita endogena (modelli alla Romer), e anzi ci apriamo a uno spettro virtualmente infinito di ipotesi sulla forma dell'equazione della crescita.

Ed ecco l'equazione "miracolosa", espressa come equazione del diagramma di accrescimento:

gy = B yH + D

Si tratta, a prima vista, di un'equazione molto simile a quella del modello di Solow e abbastanza diversa dalle altre equazioni incontrate fin qui. L'unica differenza evidente è che qui l'esponente di y è denominato H, mentre in Solow era il rapporto (a - 1) / a, ossia una grandezza necessariamente negativa se a è compreso fra 0 e 1.

Ma la somiglianza fra equazione di Solow ed equazione di Chapman-Richards è ingannevole. Per capire come mai, dobbiamo raccontare brevemente la storia di entrambe.

La storia comincia nel 1898, con il filosofo e biologo evoluzionista Herbert Spencer.5 Anche lui si chiede: perché la crescita individuale è limitata? E nella sua opera The Principles of Biology, appoggiandosi in parte nientemeno che a Galileo, abbozza una risposta: i processi anabolici (quelli che sostengono la crescita) si sviluppano a un ritmo proporzionale alla superficie del corpo, mentre quelli catabolici (che frenano la crescita) si sviluppano a un ritmo proporzionale alla massa, e poiché la superficie è una funzione quadratica (esponente 2) della taglia, mentre la massa è una funzione cubica (esponente 3), a prevalere non potranno che essere i processi catabolici, in quanto governati dall'esponente più alto.

Ragionamenti simili a quelli di Spencer riappaiono nel 1920, in un articolo in lingua tedesca di August Pütter, cui si deve una delle prime classificazioni delle curve di crescita. A questo articolo si appoggerà, nel 1957, Ludwig von Bertalanffy, nello scritto in cui formalizza l'intuizione originaria di Spencer e crea quella che, da allora in poi, sarà chiamata l'equazione di von Bertalanffy:

dy / dt = B y2/3 + D y

dove dy / dt è la variazione di y nell'unità di tempo (la derivata di y rispetto al tempo, in termini matematici), mentre B e D sono due parametri, il primo positivo il secondo negativo.

L'equazione, fissando a 2 / 3 il valore dell'esponente di y, formalizza l'intuizione fondamentale - di Spencer e di von Bertalanffy - secondo cui i processi anabolici sono più lenti di quelli catabolici in ragione di 2 a 3, in quanto proporzionali rispettivamente alla superficie e alla massa del corpo.

Apparentemente, l'equazione di von Bertalanffy ha ben poco a che fare con le equazioni di Solow e di Chapman-Richards, ma non è così. Per capire perché basta osservare che l'equazione di von Bertalanffy descrive la variazione assoluta delle dimensioni dell'organismo nell'unità di tempo (dy / dt), mentre l'equazione della crescita descrive la loro variazione relativa (g), ossia il loro incremento percentuale, sempre nell'unità di tempo. Per passare dall'una all'altra basta dunque dividere la prima per y, ottenendo così:

g = B y - 1/3 + D

Ed eccoci tornati a qualcosa che somiglia molto, anzi moltissimo, all'equazione di Solow. Anche nell'equazione di Solow B è positivo. Anche nell'equazione di Solow D è negativo. E anche nell'equazione di Solow l'esponente di y, dato da (a - 1) / a, è necessariamente negativo, dal momento che si assume che a sia compreso fra 0 e 1. La vera differenza è che l'equazione di von Bertalanffy ha due soli parametri (B e D), perché il valore dell'esponente di y è fissato a priori, in base a considerazioni biologiche (H = -1 / 3), mentre Solow lo lascia relativamente libero (H < 0).

Più o meno negli stessi anni in cui von Bertalanffy mette a punto la sua equazione, prendendosi la responsabilità di fissare a priori il valore dell'esponente H, altri autori si muovono in una direzione diversa, più empirista e pragmatica. Anziché cercare di determinare in modo puntuale il valore numerico di H, si accontentano di delimitare il range in cui sia H sia gli altri due parametri (B e D) possono variare.

Un primo esempio lo abbiamo già visto, è quello di Solow, che nel suo articolo del 1956 usa una variante dell'equazione in cui B è positivo, D è negativo, e H può assumere qualsiasi valore negativo. Il risultato è una curva dotata di un tetto, con o senza punto di flesso a seconda del valore del parametro a, che rappresenta la produttività marginale del capitale. Se a è minore di 0,50 la traiettoria è concava (curva di Solow), se a è maggiore di 0,50 è sigmoidale (curva pseudo-Verhulst, con flesso, senza pavimento), ma in entrambi i casi il tratto finale è di tipo Solow.

Un secondo esempio è quello di Richards, che in un celebre articolo del 1959, non solo non fissa il valore del parametro H (come invece aveva fatto von Bertalanffy), ma considera il caso speculare in cui tutti i segni dei parametri sono ribaltati: B negativo, D positivo, H abilitato ad assumere qualsiasi valore positivo. Il risultato è un tipo molto generale di curva di Verhulst, che conserva la forma a S della curva originaria (con un soffitto e un pavimento), ma le consente di assumere un'infinità di profili diversi, spostando in avanti o all'indietro il punto di flesso, ossia il momento in cui la curva passa da una fase di accelerazione a una di decelerazione.

Con queste varianti ed estensioni, l'equazione originaria di von Bertalanffy diventa molto più flessibile e capace di generare traiettorie qualitativamente diverse, e infatti da allora comparirà quasi sempre con nomi composti, che rimandano agli autori che più hanno contribuito alla sua comprensione e diffusione: equazione di Bertalanffy-Richards, di Chapman-Richards, di Bertalanffy-Chapman-Richards. E tuttavia, arrivati a questo punto della nostra storia,6 siamo intorno al 1960, la nostra equazione non è ancora completamente "libera". La curva di crescita può avere due asintoti, uno superiore e uno inferiore, oppure averne uno solo (quello superiore). Può avere o non avere punti di flesso. In sostanza: può generare sia curve di tipo concavo (alla Solow), sia uno spettro molto ampio di curve a S, o sigmoidali (alla Verhulst). Ma c'è una cosa che non può fare: andarsene all'infinito, senza un asintoto che faccia da tetto alla crescita. In poche parole, la curva non può generare traiettorie di tipo Romer o di tipo anti-Verhulst. La curva è costretta ad avere un tetto.

È strano, ma sono dovuti passare altri 40 anni perché qualcuno si rendesse conto che la medesima equazione, se si accettano particolari combinazioni dei parametri, è in grado di generare anche traiettorie di crescita illimitata, senza alcun tetto o asintoto superiore. E non è forse un caso che questa scoperta sia avvenuta in ambito forestale, dove è più comune osservare processi di crescita accelerati e apparentemente illimitati, come quello già ricordato di una foresta che si rigenera dopo una moria di piante.

Nel 1997, in un articolo pubblicato sulla rivista "Forest Ecology and Management", Yuancai, Marques e Macedo distinguono fra il caso standard preso in considerazione nella maggior parte degli studi forestali, ossia quello di una crescita sigmoidale (curva di Verhulst), con un punto di flesso e almeno un asintoto superiore, e due casi speciali, assai meno noti e studiati.

Il primo caso speciale è quello di una crescita con un asintoto superiore ma senza punto di flesso, in breve quello di una curva di crescita concava (alla Solow, secondo la nostra terminologia). Si tratta di un caso poco considerato in scienza forestale ma non privo di interesse, visto che descrive bene sia l'accrescimento di alcune specie vegetali (in particolare gli eucalyptus),7 sia la relazione fra diametro e altezza di alcune piante.8 In realtà il caso è nuovo solo per gli studiosi di scienza forestale, visto che la curva concava è uno dei due tipi di curve che possono essere generati dall'equazione del modello di Solow (l'altra, come sappiamo, è di tipo Verhulst).9

Il secondo caso speciale, invece, è del tutto inedito, e si ha quando B e D sono entrambi positivi, e H è minore di -1. In questo caso, la forma della traiettoria diventa quella di una curva anti-Verhulst, con un punto di flesso ma senza alcun tetto: il processo di crescita è illimitato, e la curva del diagramma g-y giace sempre al di sopra dell'asse delle ascisse.

Con il contributo del 1997 di Yuancai e coautori la strada era ormai aperta. Dopo il loro articolo, la consapevolezza della potenza e flessibilità di questo strumento analitico si farà sempre più evidente, specie in scienza forestale, dove si stima che il 90% degli studi utilizzi l'equazione di Chapman-Richards.10 A questo esito contribuiscono, tra gli altri, due studiosi cinesi, Lei e Zhang, che in un articolo del 2004 di taglio essenzialmente matematico dimostrano che anche molte altre ben note equazioni di crescita, ivi compresa la curva di Gompertz, sono casi speciali dell'equazione di Chapman-Richards.

L'unico caso trascurato da queste analisi, perché di scarso interesse per la scienza forestale,11 è quello in cui B e D sono positivi, H è negativo, ma anziché essere minore di -1 è compreso fra 0 e -1. Curiosamente, nelle discussioni sull'equazione di Chapman-Richards questa combinazione di parametri viene sempre ignorata, e nell'unico caso a me noto in cui se ne fa una menzione esplicita (in un articolo di altri due studiosi cinesi di scienza forestale, uscito nel 2003 sul "Journal of Forestry Research") è solo per dire che il caso esiste, è uno degli otto possibili, ma non interessa la scienza forestale.12

Qui ci aspetta però una sorpresa, anzi una piacevole sorpresa: con questi valori dei parametri, l'equazione di Chapman-Richards ci restituisce l'unico tipo di curva che ci mancava, ossia la curva di Romer. Una curva che, come sappiamo, è caratterizzata dal fatto di non avere né un tetto, né un punto di flesso, e quindi è perfetta per rappresentare un processo di crescita illimitata, così caro a una parte degli economisti, ma così estraneo alla mentalità degli studiosi di dinamica delle popolazioni, sempre molto legati all'archetipo della curva di Verhulst. Con Richards, già avevano ammesso la possibilità di una crescita con tetto ma senza flesso (curva di Solow). Con Yuancai, Marques, Macedo avevano ammesso la possibilità opposta, quella di una crescita con flesso ma senza tetto (curva anti-Verhulst). Ma immaginare una curva priva di entrambi, una curva alla Romer, forse era troppo.

Un processo alla Romer, senza flesso e senza tetto, può presentarsi in due varianti principali. La prima è quella di una crescita esponenziale pura (a un tasso costante), come nel modello malthusiano di accrescimento della popolazione, o nel modello AK di crescita illimitata del reddito pro capite. La seconda è quella di una crescita ipoesponenziale, in cui il tasso di crescita declina nel tempo ma resta sempre positivo. Il confine fra i due casi è dato dal valore del parametro H: se H è 0, la crescita è esponenziale; se H è compreso fra 0 e -1, la crescita è ipoesponenziale. In entrambi i casi il sistema non si ferma mai.

Siamo così arrivati, finalmente, al punto che ci sta a cuore: l'equazione di Chapman-Richards, se non si pongono particolari restrizioni sui suoi parametri,13 è in grado di rappresentare tutti i più importanti processi di crescita descritti in letteratura, compresi quelli che non hanno un tetto. Più esattamente, è in grado di riprodurre curve limitate, con e senza flesso, e curve illimitate, anch'esse con e senza flesso: in breve, tutti e 4 i tipi fondamentali da noi considerati (vedi figura 19).

Ma non basta. Assegnando valori opportuni ai suoi parametri (e in particolare all'esponente H), dall'equazione di Chapman-Richards, come conigli dal cilindro di un prestigiatore, sbucano fuori alcuni fra i modelli più usati in biologia, in demografia e in economia. Fra essi: l'equazione di Verhulst, più o meno generalizzata; il modello di von Bertalanffy; il modello "monomolecolare", detto anche di Mitscherlich; il modello di Gompertz; il modello di Solow; il modello AK e le sue varianti; i modelli di crescita illimitata cari agli studiosi di scienza forestale (vedi box).

Così il quadro è completo. L'equazione di Chapman-Richards non parteggia né per gli ottimisti, né per i pessimisti. Come un camaleonte, è in grado di adattarsi agli uni e agli altri, può rivelare curve che muoiono, come quelle del modello di Solow, o curve eterne, come quelle dei teorici della crescita endogena.

L'equazione di Chapman-Richards è un arbitro imparziale. Non ci resta, dunque, che farla reagire ai dati empirici, e prendere nota di quello che ha da dirci.

Per equazione di Chapman-Richards, o di Bertalanffy-Richards, o di Bertalanffy-Chapman-Richards, si intende la seguente equazione differenziale:

dy / dt = B yH + 1 + D y

sviluppata soprattutto in biologia, in scienza forestale e in scienza della pesca.

L'equazione presenta la seguente soluzione:

y (t) = (C · e - D H - B / D) - 1/H

con C costante di integrazione, che dipende dalle condizioni iniziali

Se non si pongono limiti ai valori dei suoi parametri (H, D, B), l'equazione di Chapman-Richards può occupare ben 12 regioni dello spazio dei parametri. Le regioni si distinguono fra loro in base al segno di D e di B e, nel caso di H (il parametro di forma, o parametro "allometrico"), in base al fatto che H sia positivo, compreso fra 0 e -1, o inferiore a -1.

Il numero di regioni si riduce da 12 a sole 5 se imponiamo due condizioni:

a) che il tasso di crescita iniziale sia positivo;

b) che all'aumentare di y il tasso di crescita sia decrescente (legge di Minot) o tutt'al più costante.

Ecco le regioni, con le loro principali caratteristiche qualitative:

Regione Parametri Tipo di curva Flesso Tetto Pavimento H D B 1 H > 0 + + + - Verhulst (generalizzata) sì sì sì 3 - + 4 - - -1 < H < 0 + + Romer no no no 6 + - - + Verhulst (pseudo) sì sì no 8 - - H < -1 + + anti-Verhulst sì no no 10 + - - + Solow no sì no 12 - - Le cinque regioni che rispettano le condizioni (a) e (b) sono le regioni 2, 5, 7, 9, 11, evidenziate in neretto.

A esse corrispondono le curve di Verhulst (logistica generalizzata, 2 asintoti), Romer, Verhulst (1 solo asintoto), anti-Verhulst, Solow. Tutte - eccetto la Romer - sono ampiamente utilizzate in scienza forestale. L'equazione di Solow (con funzione di produzione Cobb-Douglas e senza progresso tecnico) corrisponde ai casi 7 e 11.

Alcune curve di crescita classiche si possono ottenere come casi speciali, semplicemente fissando in modo opportuno il parametro H e conferendo i segni corretti ai parametri D e B. Fra esse le curve di Mitscherlich (H = -1), von Bertalanffy (H = -1 / 3), Gompertz (H ? 0), Malthus (H = 0), logistica (H = 1).