Capítulo 23

JUEGOS Y TRUCOS ARITMETICOS

El dominó

1. Una cadena de 28 fichas

¿Por qué las 28 fichas del dominó se pueden colocar, cumpliendo las reglas del juego, en una cadena continua?

2. El principio y el fin de la cadena

Cuando las 28 fichas del dominó se colocaron formando cadena, en uno de los extremos de ésta resultó haber 5 puntos.

¿Cuántos puntos había en el otro extremo?

3. Un truco con el dominó

Un camarada suyo coge una de las fichas del dominó y le propone a usted que, con las 27 restantes, forme una cadena continua, afirmando que esto siempre es posible, cualquiera que sea la ficha quitada. El camarada se va a otra habitación para no ver la cadena que usted hace.

Usted empieza su tarea y se convence de que el camarada tenía razón: con las 27 fichas puede formar una cadena. Pero su sorpresa es aún mayor cuando su camarada, sin salir de la habitación contigua y sin ver la cadena que usted ha hecho, le dice desde allí, el número de puntos que hay en sus extremos.

¿Cómo puede saberlos Y, por qué está seguro de que con 27 fichas cualesquiera del dominó se puede formar una cadena continua?

4. El cuadrado

La fig. 269 representa un cuadrado formado con las fichas del dominó, cumpliendo las reglas del juego. Los lados de este cuadrado tienen la misma longitud, pero las sumas de los puntos que hay en ellos son distintos: la fila superior y la columna de la izquierda contienen cada una 44 puntos, las otras dos, una 59 y la otra 32.

Figura 269

¿Podría usted hacer un cuadrado de este tipo en el cual todos los lados contengan igual número de puntos, es decir, 44?

5. Los siete cuadrados

Cuatro fichas de dominó pueden elegirse de tal modo que con ellas pueda hacerse un cuadrado, en el que cada uno de los lados contenga la misma suma de puntos. Una muestra puede verse en la fig. 270: sumando los puntos que hay en cada lado del cuadrado, se obtiene 11 en todos los casos.

Figura 270

Disponiendo de un juego de dominó completo, ¿podría usted hacer, al mismo tiempo, siete cuadrados de este tipo? No se exige que la suma de los puntos de un lado sea la misma en todos los cuadrados. Lo único que hace falta es que cada cuadrado tenga en sus cuatro lados el mismo número de puntos.

6. Cuadrados mágicos hechos con el dominó

La fig. 271 muestra un cuadrado de 18 fichas de dominó que llama la atención, porque la suma de los puntos de cualquiera de sus filas, columnas o diagonales es la misma: 73. Los cuadrados de este tipo se llaman mágicos desde muy antiguo. Le proponemos a usted que haga con fichas de dominó varios cuadrados mágicos de a 18 fichas, pero cuyas filas, columnas y diagonales de otra suma de puntos. 13 es la suma mínima que pueden dar las filas de un cuadrado mágico formado con 18 fichas.

La suma máxima es 23.

Figura 271

7. Una progresión de fichas de dominó

En la fig. 272 pueden verse seis fichas de dominó, colocadas según las reglas del juego, que se distinguen entre sí en que el número de puntos de las fichas (es decir, de las dos mitades de cada ficha) aumenta sucesivamente en una unidad: la serie comienza en el 4 y consta de los números de puntos siguientes: 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Figura 272

Una serie de números que aumentan (o disminuyen) sucesivamente en una misma cantidad, se llama «progresión aritmética». En nuestra serie cada número es mayor que el precedente en una unidad; pero en una progresión, la diferencia existente entre sus números puede ser cualquiera otra.

El problema consiste en componer varias progresiones más, con seis fichas cada una.

8. «El juego de las 15» o «taquín»

La popular cajita con 15 fichas cuadradas, numeradas, tiene una historia interesante, que pocos de los jugadores sospechan. La referiremos con las palabras del matemático alemán, investigador de este juego, W. Arens.

«Hace cerca de medio siglo —a finales de los años 70 del siglo pasado— apareció en los Estados Unidos el «juego de las 15»; se propagó rápidamente y, debido al incalculable número de jugadores asiduos que atrajo, se convirtió en una verdadera calamidad social.

Lo mismo ocurrió por este lado del océano, en Europa. Aquí podían verse las cajitas con las 15 fichas incluso en manos de los pasajeros de los tranvías de caballos. Los dueños de oficinas y tiendas, desesperados por la afición de sus empleados a este juego, se vieron obligados a prohibirlo durante las horas laborales. Los propietarios de establecimientos de diversión aprovechaban esta manía para organizar grandes concursos. Este juego penetró hasta en las salas solemnes del Reichstag alemán. «Como si fuera ahora veo en el Reichstag a señores honorables mirando atentamente las cajitas cuadradas que tenían en sus manos» —recuerda el conocido geógrafo y matemático S. Günther, que era diputado durante los años de la epidemia del juego.

En París este juego halló acogida al cielo raso, en los bulevares, y pronto se propagó de la capital a todas las provincias. «No había ni una sola casita de campo en donde no anidara esta araña, esperando una víctima propensa a caer en sus redes» —escribía un autor francés.

En el año 1880 llegó, por lo visto, la fiebre del juego a su punto culminante. Pero poco después de esto, el tirano era derribado y vencido por las armas de las matemáticas. La teoría matemática del juego descubrió que de los numerosísimos problemas que pueden proponerse, sólo tienen solución la mitad; la otra mitad es imposible de resolver, cualesquiera que sean los procedimientos que se sigan.

Quedó claro por qué algunos problemas no cedían ni a los mayores esfuerzos y por qué los organizadores de concursos se atrevían a ofrecer premios enormes a los que los resolvieran. En este sentido superó a todos el inventor del juego, que le propuso al editor de un periódico neoyorquino, para el suplemento dominical, un problema irresoluble con un premio de 1000 dólares por su solución; y como el editor se quedó dudando, el inventor dijo que estaba dispuesto a aportar la suma señalada de su propio bolsillo. El inventor fue Samuel (Sam) Lloyd, que, además, se hizo muy conocido como autor de problemas ingeniosos y de multitud de acertijos.

Figura 273

Sin embargo, es interesante el hecho de que no pudo patentar en Norteamérica el juego que había inventado. Según las instrucciones, para obtener la patente debía presentar el «modelo práctico» para llevar a cabo la partida de prueba; Lloyd le propuso al empleado de la oficina de patentes resolver un problema, y cuando este último le preguntó si dicho problema tenía solución, el inventor tuvo que responder: «No, esto es imposible desde el punto de vista matemático». «En este caso —replicó el empleado — no puede haber modelo práctico y, sin él, no hay patente». Lloyd se conformó con esta resolución, pero, si hubiera podido prever el éxito sin precedentes de su invento, es probable que hubiera sido más exigente»32.

A continuación vamos a citar la exposición que hace el propio inventor del juego acerca de algunos datos de su historia:

«Los antiguos habitantes del reino del ingenio —escribe Lloyd — recuerdan como a principios de los años 70 hice yo que todo el mundo se rompiera la cabeza con una cajita, que contenía fichas móviles y que recibió el nombre de «juego de las 15». El orden de las 15 fichas en la cajita cuadrada era correcto, pero las fichas 14 y 15 estaban trocadas como muestra la ilustración que se adjunta (fig. 274).

Figura 274

El problema consistía en, moviendo sucesivamente las fichas, ponerlas en orden, corrigiendo la posición de las fichas 14 y 15.

El premio de 1000 dólares ofrecido por la primera solución correcta de este problema no lo consiguió nadie, a pesar de que se intentó sin descanso resolverlo. Se contaban graciosas historias de comerciantes que se olvidaban de abrir sus tiendas y de empleados honorables que se pasaban toda la noche debajo de un farol callejero, buscando la solución. Nadie quería renunciar a la búsqueda de la solución, porque todos estaban seguros de que les aguardaba el éxito. Se dice que los pilotos, distraídos con el juego, encallaban los barcos, los maquinistas se olvidaban de parar el tren en las estaciones, los granjeros abandonaban sus arados».

* * *

Ahora daremos a conocer a nuestro lector los rudimentos de la teoría de este juego. En su forma general esta teoría es muy complicada y está íntimamente relacionada con una de las partes del álgebra superior («teoría de los determinantes»). Nosotros nos limitaremos solamente a ciertos razonamientos expuestos por V. Arens.

El problema del juego consiste de ordinario en que, valiéndose de los movimientos sucesivos que permite hacer la existencia de un campo libre, hay que hacer que las 15 fichas, colocadas al principio de cualquier modo, queden ordenadas según sus números, es decir, en el ángulo superior izquierdo estará la ficha 1, a su derecha, la 2, después, la 3 y luego, en el ángulo superior derecho, la 4; en la fila siguiente se encontrarán, de izquierda a derecha, las 5, 6, 7 y 8 y así sucesivamente. Esta ordenación normal definitiva se da en la fig. 273.

Figúrese ahora que las 15 fichas se encuentran en el mayor desorden. Por medio de una serie de movimientos siempre se puede trasladar la ficha 1 al lugar que ocupa en la figura.

De igual modo, sin tocar la ficha 1, se puede hacer que la ficha 2 ocupe el puesto inmediato de la derecha. Después, sin tocar las fichas 1 y 2, se pueden colocar las 3 y 4 en sus puestos normales; si casualmente no se hallan en las dos últimas columnas, es fácil trasladarlas primeramente a esta zona y luego, haciendo una serie de traslaciones, lograr el resultado apetecido. Ahora la fila superior 1, 2, 3, 4 ya está puesta en orden y en las siguientes manipulaciones con las fichas no tocaremos esta fila. Por este mismo procedimiento procuraremos poner en orden la segunda fila: 5, 6, 7 y 8; es fácil convencerse de que esto siempre se puede conseguir. Después, en el espacio correspondiente a las dos últimas filas, hay que poner en la posición normal las fichas 9 y 13; esto también se logra siempre. Ninguna de las fichas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 13, puestas ya en orden, vuelven a moverse; queda un pequeño espacio de seis campos, de los cuales uno está libre y los otros cinco ocupados por las fichas 10, 11, 12, 14 y 15 en orden arbitrario.

Dentro de los límites de este espacio de seis puestos siempre pueden ponerse en sus lugares normales las fichas 10, 11 y 12. Cuando esto se ha conseguido, las fichas 14 y 15 resultan colocadas en la última fila en orden normal o en orden inverso (fig. 274). Por este procedimiento, que el lector puede comprobar en la práctica, llegamos al siguiente resultado.

Cualquiera que sea la colocación inicial de las fichas, éstas pueden ponerse en el orden representado en la fig. 273, posición I, o en el orden que indica la fig. 274, posición II.

Si una colocación determinada, que llamaremos S para simplificar, puede transformarse en la posición I, es evidente que también será posible la transformación inversa, es decir, la posición I en la posición S. Esto se explica porque todos los pasos de las fichas son reversibles: si, por ejemplo, en el esquema I podemos colocar la ficha 12 en el campo libre, este mismo paso podemos darlo al revés haciendo el movimiento contrario.

Tenemos, pues, dos series de colocaciones tales, que de las posiciones de una de ellas se puede pasar a la posición normal I y de las posiciones de la otra, a la posición II. Y viceversa, de la colocación normal puede obtenerse cualquiera de las posiciones de la primera serie, y de la colocación II, cualquier posición de la segunda serie. Finalmente, si se tienen dos posiciones cualesquiera pertenecientes a una misma serie, de la una se puede pasar a la otra y viceversa.

Y, continuando por este camino, ¿no podrían unificarse las posiciones I y II? Puede demostrarse de un modo riguroso (aunque no entraremos en por menores) que de una de estas dos posiciones es imposible pasar a la otra, cualquiera que sea el número de pasos que se den. Por esta razón, el número enorme de posiciones posibles de las fichas se descompone en dos series independientes: 1º, aquella de cuyas posiciones se puede pasar a la posición normal I, es decir, la de las posiciones resolubles; y 2a, aquella de cuyas posiciones puede pasarse a la posición II y de las que, por consiguiente, en modo alguno puede pasarse a la posición normal, es decir, éstas son las posiciones por cuya resolución se ofrecían premios enormes.

¿Cómo puede saberse si una posición dada pertenece a la primera serie o a la segunda? Un ejemplo aclarará esto.

Consideremos la colocación representada en la fig. 275.

Figura 275

La primera fila de fichas está en orden, lo mismo que la segunda, a excepción de la última ficha (9). Esta ficha ocupa el puesto que en la posición normal pertenece a la 8. La ficha 9 está por lo tanto, antes que la 8: este adelantamiento del orden normal se llama «desorden». Acerca de la ficha 9 decimos: aquí existe un desorden. Si continuamos observando las fichas, descubrimos otro adelantamiento en la ficha 14, que está colocada tres puestos antes (las fichas 12, 13 y 11) de su posición normal: aquí hay tres desórdenes (la ficha 14 está antes que la 12; la 14, delante de la 13; y la 14, antes que la 11).

En total contamos ya 1 + 3 = 4 desórdenes. Después, la ficha 12 está colocada antes que la 11 y lo mismo ocurre con la ficha 13, que está antes que la 11. Esto da dos desórdenes más. En total tenemos seis desórdenes. De un modo semejante se establece el número total de desórdenes que hay en cada colocación, después de dejar libre el último puesto en el ángulo inferior derecho. Si el número total de desórdenes es par, como en el caso que hemos examinado, de la colocación dada puede pasarse a la posición final normal, en otras palabras, la colocación pertenecerá a la serie de las que puedan resolverse. Pero si el número de desórdenes es impar, la colocación dada pertenecerá a la segunda serie, es decir, a la de las imposibles de resolver (el desorden nulo se considera par).

Gracias a la claridad que introdujeron en este juego las matemáticas, ahora es ya completamente incomprensible el apasionamiento febril y el interés que despertó en su tiempo. Las matemáticas crearon una teoría exhaustiva de este juego, una teoría que no deja ni un solo punto dudoso. El resultado del juego depende no de determinadas casualidades ni del ingenio, como en otros juegos, sino de factores puramente matemáticos, que los predeterminan con absoluta fidelidad. Ocupémonos ahora de los problemas de este campo.

He aquí algunos problemas resolubles ideados por Loyd, el inventor del juego.

Primer problema

Partiendo de la colocación representada en la fig. 274, poner las fichas en el orden correcto, pero con el campo libre en el ángulo superior izquierdo (fig. 276).

Figura 276

Segundo problema

Partiendo de la colocación que se ve en la fig. 274, dele a la caja un giro de un cuarto de vuelta a la derecha y mueva las fichas hasta que tomen la posición que indica la fig. 277.

Figura 277

Tercer problema

Moviendo las fichas según las reglas del juego, convierta la caja en un cuadrado mágico, a saber: coloque las fichas de tal modo, que la suma de sus números sea la misma en todas las direcciones e igual a 30.

9. «El juego de las 11»

En este juego participan dos jugadores. Se colocan en la mesa 11 cerillas (o granos, chinas, etc.).

El primer jugador coge una, dos o tres de ellas, las que quiera. Después, el segundo jugador coge también una, dos o tres cerillas, según desee. Luego vuelve a coger el primer jugador y así sucesivamente. No se pueden coger más de tres cerillas de una vez. El que coge la última cerilla, pierde.

¿Cómo deberá jugar usted para ganar siempre?

10. «El juego de las 15»

Ahora no se trata del «juego de las 15», que consiste en mover fichas cuadradas, numeradas, dentro de una cajita. El juego que proponemos es de otro tipo y se parece más al juego de los ceros y los unos. Juegan dos jugadores sucesivamente. El primer jugador escribe una cifra cualquiera, del 1 al 9, en uno de los cuadrados de la cuadrícula que se representa a continuación

El segundo jugador escribe otra cifra, eligiendo el cuadrado de tal forma, que el primer jugador, en el turno siguiente, no pueda terminar una fila de tres cifras (la fila puede ser transversal o diagonal) con una suma igual a 15.

Gana el jugador que termina en uno de sus turnos una fila con la suma 15 o que llena el último cuadrado de toda la cuadrícula.

¿Qué piensa usted, existe algún procedimiento de ganar siempre en este juego?

11. «El juego de las 32»

Juegan dos jugadores. Ponen en la mesa 32 cerillas. El que empieza coge una, dos, tres o cuatro cerillas. Después, el otro coge también las cerillas que quiere, pero no más de cuatro. Luego el primero vuelve a coger no más de cuatro cerillas y así sucesivamente. El que coge la última cerilla gana el juego.

Como ve, este juego es fácil. Pero es además interesante, porque el que empieza el juego puede ganar siempre, si calcula bien el número de cerillas que debe coger.

¿Podría usted decir cómo debe jugar para ganar?

12. Lo mismo, pero al contrario

El «juego de las 32» se puede modificar: el que coge la última cerilla no gana, sino que, por el contrario, pierde.

¿Cómo hay que jugar en este caso para ganar?

13. «El juego de las 27»

Este juego es parecido al anterior. También toman parte en él dos jugadores y, del mismo modo, cogen por turno no más de cuatro cerillas. Pero el final es distinto: se considera ganador el que, al terminar el juego, tiene un número par de cerillas.

Aquí también lleva ventaja el que empieza. Este, calculando bien sus jugadas, puede ganar siempre. ¿En qué consiste el secreto para no perder en el juego?

14. De otra forma

En el «juego de las 27» se puede poner también la condición inversa, es decir, que se considere vencedor aquel, que, una vez terminado el juego, resulte tener un número impar de cerillas. ¿Cuál será en este caso el procedimiento para no perder?

15. Viaje matemático

En este juego pueden participar varias personas. Para esto hay que hacer lo siguiente:

1) un tablero para el juego (de cartón):

2) un dado (de madera) y

3) varias fichas, una para cada jugador.

El tablero se recorta, en forma de cuadrado, de una hoja de cartón. Es preferible que sea de grandes dimensiones. E1 cuadrado debe dividirse en 10 X 10 casillas, las cuales se numeran del 1 a 100, como muestra el dibujo en pequeño de la fig. 278.

Figura 278

El dado, de 1 cm de altura aproximadamente, se corta de una varilla de madera de sección cuadrangular; sus caras se alisan con papel de lija y se marcan con las cifras del 1 al 6 (lo mejor es representar estas cifras por puntos, lo mismo que en las fichas del dominó).

De fichas pueden servir redondelitos o cuadrados de cartón de distintos colores u otros objetos cualesquiera.

Los participantes, después de coger sus fichas respectivas, comienzan el juego echando el dado sucesivamente. El que saca 6 puntos empieza a moverse por las casillas del tablero, poniendo su ficha en la número 6. Cuando le llega su turno de echar otra vez el dado, adelanta su ficha en tantas casillas como puntos salen. Al llegar a una casilla en la cual comienza una flecha, la ficha deberá seguir dicha flecha hasta el fin, unas veces hacia adelante y otras hacia atrás.

El que llega primero a la centésima casilla, gana la partida.

16. Piense un número

Haga atentamente todas las operaciones que aquí se dicen con el número que haya pensado y yo le diré el resultado de sus cálculos.

Si el resultado es otro, compruebe sus cálculos y se convencerá de que el error es suyo y no, mío.

N° 1

Piense un número menor que 10(y que no sea cero)

Multiplíquelo por 3,

Al resultado, añádale 2.

Multiplique por 3 lo obtenido

Al producto súmele el número pensado.

Tache la primera cifra del total.

Divida por 4 lo obtenido.

Añádale 19 al resultado.

(Ahora tendrá 21)

Nº 2

Piense un número menor que 10 (y que no sea cero)

Multiplíquelo por 5.

Duplique el producto.

Al resultado, añádale 14.

De esta suma reste 8.

Tache la primera cifra del resto.

Divida por 3 lo que queda.

Añádele 10 al cociente.

(Ahora tendrá 12)

Nº 3

Piense en un número menor de 10 (y que no sea cero)

Añádele 29

Quite la última cifra de la suma.

Multiplique lo que queda por 10.

Súmele 4 al producto.

Multiplique lo obtenido por 3.

Réstele 2 al resultado.

(Ahora tendrá 100)

Nº 4

Piense un número menor que 10 (y que no sea cero)

Multiplíquelo por 5.

Duplique lo obtenido.

Reste del resultado el número que pensó.

Sume las cifras de la diferencia obtenida.

Al total, añádale 2.

Eleve al cuadrado la suma.

Réstele 10 al número obtenido

Divida la diferencia por 3.

(Ahora tendrá 37)

Nº 5

Piense un número menor que 10 (y que no sea cero)

Multiplíquelo por 25.

Añádale 3

Lo obtenido, multiplíquelo por 4

Tache la primera cifra de este producto

Eleve al cuadrado el número que queda

Sume las cifras del resultado obtenido

Añádale 7

(Ahora tendrá 16)

Nº 6

Piense un número de dos cifras

Súmele 7

Reste de 110 esta suma

Al resto, añádale 15

A1 total, súmele el número pensado

Divida por dos el número obtenido

Reste 9 del resultado

Multiplique por 3 la diferencia

(Ahora tendrá 150)

Nº 7

Piense un número menor que 100

Súmele 12

Reste de 130 esta suma

Añádale 5 a la diferencia

Al total, añádale el número pensado

Reste 120 de la suma obtenida

Multiplique por 7 la diferencia

Réstele 1 al producto

Divida por 2 el resto

Súmele 30 al cociente

(Ahora tendrá 40)

Nº 8

Piense un número cualquiera (que no sea cero)

Duplíquelo.

Añádale 1 al número obtenido.

Multiplique por 5 el nuevo resultado.

Deseche todas las cifras, menos la última.

Multiplique por sí misma la cifra que queda.

Sume las cifras del resultado.

(Ahora tendrá 7)

Nº 9

Piense un número menor que 100

Súmele 20.

El número obtenido réstelo de 170.

Reste 6 de lo que quede.

Súmele a la diferencia el número pensado.

Sume las cifras del número obtenido.

Multiplique esta suma por sí misma.

Réstele 1 al total.

Divida por 2 la cantidad obtenida.

Súmele 8 al cociente.

(Ahora tendrá 48)

Nº 10

Piense un número de tres cifras

Escriba a su derecha este mismo número.

Divida por 7 el número que resulte.

Divida el cociente por el número pensado.

Divida por 11 la cantidad obtenida.

Duplique el resultado.

Sume las cifras del número que obtiene.

(Ahora tendrá 8)

17. Vamos a adivinar

Juguemos ahora, amigo lector, a adivinar: usted pensará números, y yo los adivinaré. No importa que los lectores sean miles ni que estén leyendo este libro en cualquier lugar, a millares de kilómetros de mí, el número que tenga en su mente lo adivinaré de todos modos.

Empecemos.

Piense la cifra que quiera. Pero no confunda las palabras «cifra» y «número»: cifras sólo hay 10, del 0 al 9; los números son, en cambio, una cantidad infinita. Así, pues, piense cualquier cifra.

¿La ha pensado ya? Bien, multiplíquela por 5; pero no se equivoque, de lo contrario no resultará bien el juego.

¿Ha multiplicado ya por 5?... ¿Sí?, pues multiplique por 2 lo que haya obtenido. ¿Lo ha hecho?... Súmele 7 al producto.

Ahora táchele la primera cifra al número obtenido; deje solamente la última cifra.

¿Ya está?... Súmele 4 a lo que haya quedado. Réstele 3. Añádale 9.

¿Ha hecho todo lo que he dicho?... Pues, ahora le diré cuánto ha obtenido.

Ha obtenido 17.

¿No es así? Si quiere lo hacemos otra vez. ¡Venga!

¿Ha pensado la cifra?... Triplíquela. Lo que haya resultado vuélvalo a triplicar. Ahora, súmele al número obtenido la cifra que haya pensado.

¿Lo ha hecho?... Añádale 5 a lo obtenido. Tache en la suma resultante todas las cifras, menos la última. ¿Las ha tachado? ... Súmele 7 a lo que quede. Réstele 3 y añádale 6.

¿Quiere que le diga qué número tiene ahora en su imaginación?

El 15.

¿He acertado? Si no he acertado, la culpa es de usted. Por lo visto, se ha equivocado en alguna de las operaciones.

Si quiere que probemos por tercera vez, yo no tengo inconveniente.

¿Ha pensado la cifra? ... Duplíquela. Lo que haya obtenido, vuelva a duplicarlo. Duplique otra vez el nuevo resultado. Añada la cifra pensada. Vuelva a añadir la cifra pensada. Súmele 8. Tache todas las cifras, menos la última. Al número que queda réstele 3. Después, súmele 7. Ahora tendrá usted 12.

Yo podría acertar cuántas veces fuera necesario, sin equivocarme nunca. ¿Cómo lo hago?

Debe pensar usted que todo lo que está aquí impreso lo escribí yo varios meses antes de que este libro viese la luz y, por lo tanto, mucho antes de que usted pensara sus números. Esto demuestra que el número que yo acierto no depende en nada del que usted piensa.

Pero, ¿cuál es el secreto?

18. Adivinar un número de tres cifras

Piense un número de tres cifras. Sin enseñármelo, duplique su primera cifra; de las demás cifras prescinda por ahora. A lo que haya resultado, súmele 5. Lo obtenido multiplíquelo por 5, añádale la segunda cifra del número que pensó y multiplique por 10 el resultado. Al número recién obtenido súmele la tercera cifra del número pensado y dígame lo que ha obtenido. Inmediatamente le diré qué número pensó usted.

Pondré un ejemplo. Supongamos que pensó usted el número 387.

Haga con él las operaciones siguientes: Duplique la primera cifra: 3 X 2 = 6. Súmele 5. 6 + 5 = 11. Multiplique por 5. 11 X 5 = 55. Añada la segunda cifra: 55 + 8 = 63. Multiplique por 10. 63 X 10 = 630. Sume la tercera cifra: 630 + 7 = 637. Usted me dice que ha obtenido el número 637, y yo le digo el número que usted pensó. ¿Cómo lo adivino?

19. Truco numérico

Piense un número. Súmele 1. Multiplique por 3. Vuelva a sumarle 1. Añada el número pensado. Dígame el resultado que ha obtenido. Cuando usted me diga el resultado final de todas estas operaciones, yo le restaré 4, dividiré el resto por 4 y obtendré el número que usted había pensado. Por ejemplo, usted piensa el número 12. Le añade 1, y obtiene 13. Lo multiplica por 3, y resultan 39. Le suma 1, y tendrá 40. Le añade el número pensado: 40 + 12 = 52. Cuando usted me dice que ha obtenido el número 52, yo le resto 4, y la diferencia, 48, la divido por 4. Obtengo 12, que es el número que usted había pensado. ¿Por qué se acierta siempre de este modo?

20. ¿Cómo adivinar la cifra tachada?

Pídale a un compañero que piense un número cualquiera de varias cifras y que haga lo siguiente: que escriba el número pensado, que cambie como quiera el orden de sus cifras, que reste el número menor del mayor, que tache una de las cifras del resto (que no sea cero), y que le diga las demás cifras en un orden cualquiera. En respuesta, usted le dice cuál es la cifra tachada. Ejemplo. Su compañero piensa el número 3857. Después hace lo siguiente:

3857,

8735,

8735 — 3857 = 4878.

Después de tachar la cifra 7, él le dice a usted las demás cifras en el orden, por ejemplo, siguiente: 8, 4, 8. Por estas cifras puede usted hallar la tachada. ¿Qué debe hacer para esto?

21. ¿Cómo adivinar el día y el mes de nacimiento?

Propóngale a un compañero que escriba en una hoja de papel el día del mes en que nació y que haga las operaciones siguientes: que duplique el número escrito, que multiplique por 90 lo obtenido, que le sume 73 al producto, que multiplique por 5 la suma, y que, al total., le añada el número de orden del mes en que nació. Él le dice a usted el resultado final de todas las operaciones y usted le dice a él la fecha en que nació. Ejemplo. Su compañero nació el 17 de agosto, es decir, el día 17 del mes 8. El hace lo siguiente:

17 * 2 = 34.

34 * 10 = 340

340 + 73 = 413,

413 * 5 = 2065

2065 + 8 = 2073.

Su compañero le dice a usted el número 2073 y usted le dice a él la fecha en que nació. ¿Cómo puede usted hacer esto?

22. ¿Cómo se adivina la edad del interlocutor?

Usted puede adivinar la edad que tiene su interlocutor, si le pide que haga lo siguiente:

que escriba, una detrás de otra, dos cifras que se diferencien entre sí en más de 1;

que escriba entre ellas una tercera cifra cualquiera;

que invierta el orden de las cifras del número así obtenido;

que reste el número menor del mayor;

que ponga las cifras del resto en orden inverso;

que le sume este nuevo número al resto anterior; que le añada a esta suma la edad que tiene.

Su interlocutor le dice a usted el resultado final de todas las operaciones, y usted le dice la edad que él tiene.

Ejemplo. Su interlocutor tiene 23 años. Hace lo siguiente:

25,

275,

572,

572 — 275 = 297,

297 + 792 = 1089,

1089 + 23 = 1112.

Su interlocutor le dice a usted el número 1112, y usted, partiendo de esto, halla la edad que él tiene.

¿Cómo puede usted hacerlo?

23. ¿Cómo adivinar el número de hermanos y hermanas?

Usted puede adivinar cuántos hermanos y hermanas tiene un camarada suyo, si le pide que haga lo siguiente:

que añada 3 al número de hermanos;

que multiplique por 5 el número obtenido;

que a este producto le sume 20;

que multiplique la suma por 2;

que al resultado le añada el número de hermanas y que a esta suma le agregue 5.

Su camarada le dice a usted el resultado final de estas operaciones, y usted le dice cuántos hermanos y hermanas tiene él.

Ejemplo. Su compañero tiene cuatro hermanos y siete hermanas. El hace lo siguiente:

4 + 3 = 7,

7 × 5 = 35,

35 + 20 = 55,

55 × 2 = 110,

117 + 5 = 122.

Su camarada le dice a usted que ha obtenido el número 122, y usted le dice cuántos hermanos y hermanas tiene él.

¿Cómo puede usted hacer esto?

24. Truco con la guía de teléfonos

Este truco no es menos sorprendente y se hace como sigue.

Propóngale a un compañero suyo que escriba cualquier número de tres cifras diferentes.

Supongamos que escribe el número 648. Dígale que ponga las cifras del número elegido en orden inverso y que del número mayor reste el menor (Si el resto tiene sólo dos cifras (99), se escribe con un cero delante (099).). El escribirá lo siguiente:

846

—648

198

Pídale ahora que ponga también en orden inverso las cifras de esta diferencia y que sume los dos números. Su compañero escribirá:

198

+891

1089

Estas operaciones las hará sin que usted las vea, de manera que pensará que usted no sabe el resultado total.

Entonces, usted le da una guía de teléfonos, y le dice que la abra por la página cuyo número coincide con las tres primeras cifras del resultado final. Su camarada la abrirá por la página 108 y quedará en espera de lo que usted diga. Usted le pide que, en esta página, cuente de arriba abajo (o de abajo arriba) tantos apellidos de abonados como indica la última cifra del número total (es decir, del número 1089). El busca al abonado que hace nueve, y usted le dice cómo se llama este abonado y cuál es el número de su teléfono.

Su sabiduría, como es natural, asombrará a su compañero, ya que él eligió el primer número que se le ocurrió, y usted acertó sin titubear el apellido del abonado y el número de su teléfono.

¿En qué consiste el secreto de este truco?

25. ¿Cómo adivinar una ficha de dominó?

Este es un truco aritmético basado en el cálculo. Supongamos que un compañero suyo se guarda en el bolsillo una ficha cualquiera de dominó. Usted puede adivinar qué ficha es ésta, si él hace, sin equivocarse, unas operaciones fáciles. Figúrese, por ejemplo, que la ficha que ocultó es la 6 — 3.

Pídale a su compañero que duplique uno de estos números (por ejemplo, el 6):

6 * 2 = 12.

Al número duplicado, que le sume 7; 12 + 7 = 19.

Después, que multiplique por 5 el número obtenido: 19 * 5 = 95.

A este producto, que le sume el otro número de la ficha de dominó (es decir, el 3): 95 + 3 = 98.

Su compañero le dice a usted este resultado final, y usted le resta mentalmente 35 y conoce la ficha que él guardó:

98 — 35 = 63, es decir, la ficha 6 — 3.

¿Por qué resulta así y por qué hay que restar siempre 35?

26. Una memoria sorprendente

Algunos ilusionistas llaman la atención con su extraordinaria memoria: recuerdan largas series de palabras, números, etc. Cualquiera de ustedes puede también admirar a sus camaradas con un truco semejante. He aquí como hay que hacerlo.

Prepare 50 tarjetas de papel y escriba en ellas los números y las letras que se indican en la tabla siguiente.

En cada tarjeta habrá escrito, de este modo, un número de bastantes cifras y, en el ángulo superior izquierdo, un símbolo constituido por una letra latina o una letra y una cifra. Estas tarjetas repártalas en sus compañeros y dígales que usted se acuerda perfectamente del número que hay escrito en cada una de las tarjetas. Que le digan a usted solamente el símbolo de la tarjeta, y usted dirá en el acto el número que hay escrito en ella. A usted le dicen, por ejemplo, «E4», y usted responde inmediatamente:

—El número 10 928 224.

Como los números son de muchas cifras y suman, en total medio ciento, su arte debe, naturalmente, admirar a los presentes. No obstante, usted no se ha aprendido de memoria los 50 largos números. El problema se resuelve de un modo mucho más fácil. ¿Cuál es el secreto de este truco?

27. Una memoria extraordinaria

Después de escribir en une hoja de papel una larga fila de cifras —20-25 cifras— declara usted que puede repetirla, sin equivocarse, cifra a cifra. Y en efecto, lo hace usted, a pesar de que en la sucesión de cifras no se nota ninguna regularidad.

¿Cómo puede usted hacer esto?

28. Unos dados mágicos

Haga varios cubos de papel (por ejemplo, cuatro) y marque sus caras con cifras situadas como muestra la fig. 279. Con estos cubos podrá usted hacerle a sus amigos un truco aritmético interesante.

Figura 279

Pídales a sus compañeros que, en ausencia de usted, pongan los cubos uno encima de otro, formando columna, en las posiciones que quieran. Después de esto, usted entra en la habitación, echa una ojeada a la columna de cubos y halla inmediatamente a qué es igual la suma de todas las cifras que hay en las caras tapadas de los cuatro cubos. Por ejemplo, en el caso que representa la figura, usted dice 23. Es fácil convencerse de que esto es cierto.

29. Un truco con tarjetas

Haga siete tarjetas como las que se ven en la fig. 280. Escriba en ellas los números y hágales los cortes rectangulares tal como están en las muestras indicadas. Una de las tarjetas se deja en blanco, pero en ella también se hacen cortes.

Figura 280

Al copiar los números en las tarjetas hay que prestar mucha atención para no equivocarse. Cuando haya hecho esto, entréguele las seis tarjetas con números a un compañero suyo y pídale que piense en uno cualquiera de los números escrito en ellas. Después, dígale que le devuelva a usted todas aquellas tarjetas en que figure el número pensado.

Una vez recibidas las tarjetas, las coloca usted cuidadosamente unas encima de otras, las cubre con la tarjeta en blanco y suma mentalmente los números que se ven a través de las ventanillas. El número que ` resulta es el pensado.

Lo más probable es que ni usted mismo pueda descubrir el secreto del truco. Este se basa en un modo especial de elegir los números que figuran en las tarjetas. El fundamento de esta elección es bastante complicado y no voy a detenerme en él. En otro libro mío («Problemas recreativos»), dedicado a lectores con mejor preparación matemática, puede usted hallar una explicación detallada de este nuevo truco y de sus variantes más curiosas.

¿Cómo adivinar la suma de unos números que no se han escrito?

Usted se compromete a predecir la suma de tres números, de los cuales sólo se ha escrito uno.

Este truco se hace así. Se le dice a un compañero que escriba un número con tantas cifras como quiera: éste será el primer sumando.

Supongamos que él escribe el número 84 706. En este caso, dejando sitio libre para los sumandos segundo y tercero, se escribe a priori la suma de los tres números:

1er sumando 84706

2º sumando

3er sumando

Suma 184705

Después de esto su camarada escribe el segundo sumando (que debe tener tantas cifras como el primero), y usted escribe el tercer sumando:

1er sumando	84706
2º sumando	30485
3er sumando	69514
Suma	184705

Es fácil convencerse de que la suma se predijo bien.

¿En qué consiste el secreto de este truco?

30. Predicción de la suma

Las supersticiones numéricas, lo mismo que los prejuicios de otros tipos, eran muy frecuentes en la Rusia de antes de la revolución. Como ejemplo de las consecuencias absurdas a que puede conducir la propensión a estas supersticiones, citaremos el caso de Iliá Teglev, héroe de la narración de Turguéniev «Pon...pon...», que basándose en una coincidencia casual de números, cree ser un Napoleón no reconocido. Este personaje se suicida, y en uno de sus bolsillos se descubre una hoja de papel con los cálculos siguientes:

Napoleón nació el 15 de agosto de 1769 Iliá Teglev nació el 7 de enero de 1811

Año	1769	Año	1811
Día	15	Día	7
Mes (Agosto es el mes 8)	8	Mes (Enero es el mes 1)	1
Total	1792	Total	1819
	1		1
	7		8
	9		1
	2		9
Total	19	Total	19

Napoleón murió el 5 de mayo de 1825 Iliá Teglev murió el 21 de julio de 1834

Año	1825	Año	1834
Día	5	Día	21
Mes (mayo es el mes 5)	5	Mes (julio es el mes 7)	7
Total	1835	Total	1862
	1		1
	8		8
	3		6
	5		2
Total	17	Total	17

Adivinaciones numéricas semejantes se pusieron en boga a comienzos de la primera guerra mundial. Entonces, por medio de ellas se pretendía predecir cómo terminaría. En 1916 los periódicos suizos descubrieron a sus lectores el siguiente «misterio» acerca (le la suerte de los emperadores de Alemania y Austria-Hungría:

Año de nacimiento	Guillermo II 1859	Francisco José 1830
Año de la coronación	1888	1848
Edad	57	86
Años en el trono	28	68
Total	3832	3832

Como puede ver, las sumas son iguales y cada una de ellas es el doble del año 1916. De esto se deduce que este año, fatal para ambos emperadores, predecía una derrota.

En este caso nos encontramos no con una coincidencia casual, sino, simplemente, con una majadería. La gente, cegada por la superstición, no se dio cuenta de que con sólo modificar ligeramente el orden de los renglones en los cálculos desaparecía por completo su carácter misterioso.

Ponga los renglones en este orden:

Y ahora piense: ¿qué año debe obtenerse si al de nacimiento de una persona se le añade su edad? Está claro que resultará el año en que se hace el cálculo. El mismo año debe obtenerse si al año de la coronación de un emperador se le suman los años que lleva en el trono. Por esto, es fácil comprender por qué la suma de estos cuatro números daba, para ambos emperadores, el mismo total, es decir, el doble del año 1916. Otra cosa no se podía esperar.

Lo que acabamos de decir puede utilizarse para hacer un interesante truco numérico. Dígale a un compañero suyo, que no conozca este sencillo secreto, que escriba en un papel, sin que usted lo vea, los cuatro números siguientes:

Aunque usted no conozca ninguno de los cuatro números escritos, no le costará trabajo adivinar su suma: lo único que tendrá que hacer es duplicar el año en que se hace el truco.

Si repite el truco, su secreto puede ser fácilmente descubierto. Para dificultar esto, introduzca entre los cuatro sumandos varios más, que usted conozca; si opera con discreción, la suma resultará distinta cada vez y descubrir el secreto será más difícil.