SOLUCIONES

El estanque

La superficie del estanque puede perfectamente duplicarse, conservando su forma cuadrada y sin tocar los robles.

Figura 197

En la fig. 197 se muestra como hay que hacerlo: hay que cavar de tal modo que los robles queden frente al punto medio de los lados del nuevo cuadrado. Es fácil convencerse de que el área del nuevo estanque es dos veces mayor que la del antiguo. Para esto no hay más que trazar las diagonales en el estanque viejo y calcular los triángulos que se forman al hacer esto.

Esta comprobación es insuficiente. Un cuadrilátero puede satisfacer esta prueba sin ser cuadrado. En la fig. 198 se dan unos ejemplos de cuadriláteros que tienen todos los lados iguales, pero cuyos ángulos no son rectos (rombos).

Figura 198

Otro entarimador

Esta comprobación es tan insegura como la primera. El cuadrado, claro está, tiene las diagonales iguales, pero no todo cuadrilátero que tenga las diagonales iguales es un cuadrado. Esto puede verse con toda claridad en los dibujos de la fig. 199.

Figura 199

Los entarimadores debían haber practicado las dos comprobaciones con cada uno de los cuadriláteros que cortaban, con lo cual hubieran podido estar seguros de que el trabajo estaba bien hecho. Todo rombo cuyas diagonales sean iguales será indudablemente un cuadrado.

Un tercer entarimador

Lo único que puede demostrar esta comprobación es que el cuadrilátero que se somete a ella tiene los ángulos rectos, es decir, que es un rectángulo. Pero, en cambio, no prueba que todos sus lados son iguales, como puede verse en la fig. 200.

Figura 200

La costurera

La comprobación dista mucho de ser suficiente. En la fig. 201 se han dibujado varios cuadriláteros cuyos bordes coinciden cuando se doblan por una diagonal.

Figura 201

Y, sin embargo, no son cuadrados. Como puede ver, un cuadrilátero puede diferir mucho de la figura del cuadrado y, a pesar de esto, satisfacer esta comprobación.

Con esta prueba podemos convencernos de que una figura es simétrica, y nada más.

Otra costurera

Esta comprobación no es mejor que la anterior. Usted puede recortar tantos cuadriláteros de papel como quiera, que, aunque no sean cuadrados, satisfarán esta prueba

Figura 202

Los cuadriláteros de la fig. 202 tienen todos los lados iguales (son rombos), pero sus ángulos no son rectos, por consiguiente. Para cerciorarse de verdad de que el trozo cortado tiene forma cuadrada, además de lo que hacía esta costurera, hay que comprobar si las diagonales (o los ángulos) son iguales.

El problema del carpintero

Una recta debe ir desde el vértice c al punto medio del lado de, y la otra, desde el punto medio hasta el vértice a.

Figura 203

Con los trozos obtenidos, 1, 2 y 3, se compone el cuadrado como indica el dibujo (fig. 203).