SOLUCIONES

1. Una multiplicación fácil

Se resuelve en el mismo enunciado.

2. Las chovas y las estacas

Este antiguo problema popular se resuelve así. Nos preguntamos: ¿cuántas chovas más habría que tener en el segundo caso que en el primero, para llenar todos los puestos en las estacas? Es fácil comprender que en el primer caso faltó sitio para una chova, mientras que en el segundo todas las chovas tenían puesto y aún faltaban dos chovas; por lo tanto, para ocupar todas las estacas, en el segundo caso, hubiera sido necesario tener 1 + 2, es decir, tres chovas más que en el primero.

Pero en cada estaca se posa una chova más. Luego está claro que las estacas eran tres. Si en cada una de estas estacas hacemos que se pose una chova y añadimos un ave más, obtenemos el número de pájaros: cuatro.

Así, pues, la solución del problema es: cuatro chovas y tres estacas.

3. Las hermanas y los hermanos

En total son siete: cuatro hermanos y tres hermanas. Cada hermano tiene tres hermanas y tres hermanos, y cada hermana, cuatro hermanos y dos hermanas.

4. ¿Cuántos hijos?

En total son siete hijos: seis varones y una hembra. (De ordinario responden que los hijos son doce; pero en este caso cada hijo tendría seis hermanas, y no una).

5. El desayuno

La cuestión se explica fácilmente. A la mesa no se sentaron cuatro personas, sino solamente tres: el abuelo, su hijo y el nieto. Tanto el abuelo como su hijo son padres, y tanto el hijo como el nieto son hijos.

6. Tres cuartas partes de hombre

Sabemos que tres cuartas partes de la cuadrilla más tres cuartas partes de hombre constituyen la cuadrilla entera. Por lo tanto, estas tres cuartas partes de hombre es la cuarta parte que le falta a la cuadrilla. Después ya es fácil comprender que la brigada completa será cuatro veces mayor que tres cuartas partes de hombre. Pero tres cuartas partes tomadas cuatro veces (es decir, multiplicadas por cuatro) dan tres. Por consiguiente, en la cuadrilla había en total tres hombres.

7. ¿Cuántos años tienen?

Calcular los años que tiene cana uno no es difícil. Está caro que el hijo es siete veces mayor que el nieto, y que el abuelo es 12 veces mayor. Si el niño tuviera un año, el hijo' tendría 7 y el abuelo 12, y todos juntos, 20. Esto es exactamente cinco veces menos de lo que ocurre en realidad. Por lo tanto, el nieto tiene cinco años, el hijo. 35 y el abuelo, 60. Hagamos la prueba: 5 + 35 + 60 = 100.

8. ¿Quién es mayor?

Mayor no es ninguno de los dos: son mellizos y en el momento dado tiene cada uno seis años. La edad se halla por medio de un simple cálculo: dentro de dos años el niño tendrá cuatro años más que hace dos años y será dos veces mayor que entonces; por lo tanto, cuatro años es la edad que tenía hace dos años, y ahora tiene 4 + 2 = 6 años.

Esta misma es la edad de la niña.

9. La edad de mi hijo

Si el hijo es ahora tres veces más joven que el padre, éste será mayor que él en dos veces su edad. Cinco años antes el padre, claro está, también era mayor que el hijo en dos veces la edad actual de éste. Por otra parte, como el padre era entonces cuatro veces mayor que el hijo, quiere decir que era mayor que él en tres veces su edad de entonces. Por consiguiente, dos veces la edad actual del hijo es igual a tres veces su edad anterior o, lo que es lo mismo, el hijo es ahora 11/2 mayor de lo que era hace cinco' años. De donde es fácil comprender que cinco años es la mitad de la edad anterior del hijo y, por lo tanto, hace cinco años éste tenía 10 años y ahora tiene 15 años.

Así, pues, el hijo tiene ahora 15 años, y el padre 45. En efecto, hace cinco años tenía el padre 40 años y el hijo, 10, es decir, era cuatro veces más joven.

10. ¿Qué edad tiene?

La solución aritmética es bastante complicada, pero el problema se resuelve fácilmente si se recurre al álgebra y se plantea una ecuación. Llamemos x al número de años que buscamos. En este caso, la edad al cabo de tres años deberá designarse por x + 3, y la edad hace tres años, por x — 3. Tendremos la ecuación:

3 (x + 3) — 3 (x — 3) = x, que una vez resulta da x = 18. El aficionado a los acertijos tiene ahora 18 años.

Hagamos la prueba: dentro de tres años tendrá 21 años; hace tres años tenía 15. La diferencia 3 × 21 — 3 × 15 = 63 — 45 = 18, es decir, igual a la edad actual del aficionado a los acertijos.

11. Tres hijas y dos hijos

Sabemos que Volodia es dos veces mayor que Zhenia, y que Nadia y Zhenia juntos tienen el doble de años que Volodia. Por lo tanto, Nadia y Zhenia juntas tienen cuatro veces más años que Zhenia sola. De aquí se deduce directamente que Nadia es tres veces mayor que Zhenia. Sabemos también que los años de Aliosha y Volodia suman el doble que los años de Nadia y Zhenia. Pero la edad de Volodia es doble que la de Zhenia, y Nadia y Zhenia juntas tienen cuatro veces más años que Zhenia sola. Por consiguiente, la suma de los años de Aliosha más el doble de los de Zhenia es igual a 8 veces la edad de Zhenia. Es decir, Aliosha es seis veces mayor que Zhenia.

Finalmente, sabemos que la suma de las edades de Lida, Nadia y Zhenia es igual a la de las edades de Volodia y Aliosha.

Ante la vista tenemos la siguiente tabla:

Lida 21 años,

Nadia tres veces mayor que Zhenia,

Volodia dos veces mayor que Zhenia,

Aliosha seis veces mayor que Zhenia,

podemos decir que la suma de 21 años más tres veces la edad de Zhenia, más la edad de Zhenia es igual a cuatro veces la edad de Zhenia más 12 veces la edad de Zhenia.

O sea: 21 años más cuatro veces la edad de Zhenia es igual a 16 veces la edad de Zhenia.

De aquí se deduce que 21 años es igual a 22 veces la edad de Zhenia y, por lo tanto, Zhenia tiene 21/12 = 131, años.

Ahora ya es fácil determinar que Volodia tiene 31/2 años, Nadia, 51/4 y Aliosha, 201/2 años.

12. Años de sindicato

Uno lleva ocho años en el sindicato y el otro, cuatro años. Hace dos años el primero llevaba seis años y el segundo, dos, es decir, tres veces menos (el problema se resuelve fácilmente valiéndose de una ecuación).

13. ¿Cuántas partidas?

De ordinario responden que cada uno jugó una partida, sin pararse a pensar que tres jugadores (lo mismo que cualquier otro número impar) no pueden jugar en modo alguno una partida solamente cada uno, porque, ¿con quién jugaría entonces el tercer jugador? En cada partida tienen que participar dos jugadores. Si jugaron A, B y C y fueron jugadas tres partidas, esto quiere decir que jugaron

A con B

A con C

B con C

B jugó con A y con C

C jugó con A y con B

Así, pues, la respuesta correcta a este acertijo es: cada uno de los tres jugó dos veces, aunque sólo se jugaron tres partidas en total.

14. El caracol

Al cabo de 10 días (con sus noches) y un día más. Durante los primeros 10 días, el caracol sube 10 m (uno cada día), y durante el último día sube 5 m más, es decir, llega a la cima del árbol. (De ordinario responden erróneamente que «al cabo de 15 días»).

15. A la ciudad

El koljosiano no ganó nada, al contrario, perdió. En la segunda mitad del camino empleó tanto tiempo como hubiera tardado en hacer a pie todo el recorrido hasta la ciudad. Por lo tanto, no pudo ganar tiempo, sino que sólo pudo perderlo.

Perdió 1/5 parte del tiempo necesario para recorrer a pie la mitad del camino.

16. Al koljós

La solución de este problema queda clara si se parte de los siguientes cómputos:

En 24 km subiendo cuesta y 8 km bajando cuesta tarda 4 horas y 30 minutos.

En 8 km subiendo cuesta y 24 km bajando cuesta tarda 2 horas y 50 minutos.

Multiplicando el segundo .renglón por tres, tenemos que:

En 24 km subiendo cuesta y 72 km bajando cuesta tardaría 8 horas y 30 minutos.

De aquí se deduce claramente que 72 menos 8, es decir, 64 km bajando cuesta, los recorre el ciclista en 8 horas y 30 minutos menos 4 horas y 30 minutos, o sea, en 4 horas. Por consiguiente, en una hora recorrería 64: 4 = 16 km bajando cuesta.

De un modo semejante hallamos que subiendo cuesta recorría 6 km por hora. De la corrección de estas soluciones es fácil convencerse haciendo la prueba.

17. Dos escolares

Del hecho de que la entrega de una manzana iguale el número de las que tienen los dos escolares se deduce, que uno de ellos tiene dos manzanas más que el otro. Si del número menor se quita una manzana y se agrega al número mayor, la diferencia aumenta en dos más y se hace igual a cuatro. Pero sabemos que en este caso el número mayor será igual al duplo del menor. Par lo tanto, el número menor será entonces 4, y el mayor, 8.

Antes de la entrega de la manzana, una de los escolares tenía 8 — 1 = 7, y el otro 4 + 1 = 5. Comprobemos si estos números se igualan cuando del mayor se quita una manzana y se le agrega al menor:

7 — 1 = 6; 5 + 1 = 6.

Así, pues, uno de los escolares tenía siete manzanas y el oteo cinco.

18. El precio de la encuadernación

Por lo general responden sin pensar: la encuadernación cuesta 50 copeikas.

Pero en este caso el libro costaría 2 rublos, es decir, sólo serían 2 rublos y 50 copeikas más caro que la encuadernación.

La respuesta correcta es: el precio de la encuadernación es 25 copeikas, y el del libro, 2 rublos 25 copeikas; entonces el libro resulta exactamente 2 rublos más caro que la encuadernación.

19. El precio de la hebilla

Usted quizá haya pensado que la hebilla cuesta 8 copeikas. Si es así, se ha equivocado, porque en este caso la correa costaría no 60 copeikas más cara que la hebilla, sino sólo 52. La respuesta correcta es: la hebilla cuesta 4 copeikas; entonces la correa vale 68 — 4 = — 60 copeikas, es decir, 60 copeikas más que la hebilla.

20. Los barriles de miel

Este problema se resuelve con bastante facilidad, si se considera que en los 21 barriles comprados había 7 + 31/2, es decir, 10 ½ barriles de miel.

Por lo tanto, cada cooperativa debe recibir 31/2 barriles de miel y siete barriles vacíos. El reparto puede hacerse de dos maneras. Por una de ellas las cooperativas reciben:

Cuadro 29

Por el otro procedimiento, las cooperativas reciben:

Cuadro 30

21. Los gatitos de Misha

No es difícil comprender que ¾ partes de gato es la cuarta parte de todos los gatitos.

Por lo tanto, el total de los gatitos era cuatro veces mayor que ¾ partes, es decir, tres. En efecto, ¾ de tres es 21/4, y quedan ¾ partes de gato.

22. Los sellos de correos

Este problema tiene sólo una solución.

El ciudadano compró:

1 sellos de a 50 copeikas

39 sellos de a 10 copeikas

60 sellos de a 1 copeika.

Efectivamente, los sellos eran en total 1 + 39 + 60 = 100. Costaban 50 + 390 + 60 = 500 copeikas

23. ¿Cuántas monedas?

El problema tiene cuatro soluciones, a saber:

	I	II	III	IV
Rublos	1	2	3	4
Monedas de 10 copeikas	36	25	14	3
Copeikas	5	15	25	35
Total de monedas	42	42	42	42

24. Calcetines y guantes

Bastarán tres calcetines, ya que dos de ellos serán siempre del mismo color. Con los guantes es más complicado el problema, ya que se diferencian entre sí no sólo por el color, sino también porque la mitad de ellos son para la mano derecha y la otra mitad, para la izquierda. Aquí bastará sacar 21 guantes. Si se sacan menos, por ejemplo, 20, puede ocurrir que todos sean de la misma mano (40 castaños izquierdos y 10 negros izquierdos).

25. «El gusanillo de libro»

De ordinario responden que el «gusanillo» royó 800 + 800 páginas y dos tapas de encuadernación. Pero esto no es cierto. Ponga juntos dos libros: uno al derecho y otro al revés, como muestra la fig. 247. Mire ahora cuántas páginas hay entre la primera del primer libro y la última del segundo.

Se convencerá de que entre ellas no hay nada más que las dos tapas.

«El gusanillo del libro» sólo estropeó, pues, las tapas de los libros, sin tocar sus hojas.

26. Las arañas y los escarabajos

Para resolver este problema hay que empezar recordando lo que dice la historia natural acerca de cuántas patas tienen los escarabajos y cuántas, las arañas: el escarabajo tiene seis patas y la araña, ocho.

Sabiendo esto, supongamos que en la caja sólo había ocho escarabajos. Entonces el número total de patas sería 6 * 8 = 48, es decir, seis menos de las que indica el problema. Probemos ahora a sustituir un escarabajo por una araña. Con esto el número de patas aumentará en dos, porque la araña tiene ocho patas, en vez de seis del escarabajo.

Está claro que si hacemos seis sustituciones como ésta, el número total de las patas que hay en la caja llegará a las 54 requeridas. Pero entonces sólo quedarán cinco de los ocho escarabajos, las demás serán arañas.

Así, pues, en la caja había cinco escarabajos y tres arañas.

Hagamos la prueba: los cinco escarabajos tienen 30 patas, y las tres arañas, 24, con lo que en total serán 30 + 24 = 54 como exige la condición del problema.

El problema también se puede resolver de otro modo, a saber: puede suponerse que en la caja sólo había ocho arañas. Entonces el número total de patas resultaría ser 8 * 8 = 64, es decir, 10 veces más de las indicadas en la condición. Sustituyendo una araña por un escarabajo disminuiremos en dos el número de patas. Hay que hacer cinco sustituciones de este tipo para reducir el número de patas a las 54 que se requieren. En otras palabras, de las ocho arañas sólo hay que dejar tres y sustituir las demás por escarabajos.

27. Los siete amigos

No es difícil comprender que los siete amigos sólo podrían encontrarse juntos al cabo de un número de días divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El menor de estos números es 420. Por lo tanto, todos los amigos se reunían sólo una vez cada 420 días.

28. Continuación del anterior

Cada uno de los ocho asistentes (el anfitrión y sus siete amigos) choca su copa con los otros siete; por lo tanto, resultan 8 * 7 = 56 combinaciones de dos. Pero, al proceder así, cada pareja se cuenta dos veces (por ejemplo, el tercer huésped con el quinto y el quinto con el tercero se cuentan corno si fueran parejas distintas). Por consiguiente, las copas sumarán 56/2 = 28 veces.