SOLUCIONES

1. La cifra seis

La mayoría de las personas no avisadas responden a esta pregunta dibujando una de las cifras 6 ó VI.

Esto demuestra que una cosa puede verse 100 mil veces y no conocerse. El secreto está en que, por lo general, en la esfera de los relojes de caballero no figura la cifra seis, porque en su lugar se halla el segundero.

2. Los tres relojes

Al cabo de 720 días. En este tiempo, el segundo reloj se atrasa 720 minutos, es decir, exactamente en 12 horas; el tercer reloj se adelanta igual tiempo. Entonces los tres relojes marcarán lo mismo que el 1° de enero, o sea, la hora exacta.

3. Los dos relojes

El despertador se adelanta 3 minutos por hora con respecto al reloj de pared. Se adelantará una hora, o sea, 60 minutos, al cabo de 20 horas. Pero durante estas 20 horas el despertador se habrá adelantado 20 minutos con relación a la hora exacta. Por lo tanto, las manecillas fueron puestas en punto 19 horas y 20 minutos antes, es decir, a las 11 horas 40 minutos.

4. ¿Qué hora es?

Entre las 3 y las 6 hay 180 minutos. No es difícil comprender que el número de minutos que quedan hasta las seis se halla si 180 — 50, es decir, 130, se divide en dos partes tales, que una de ellas sea cuatro veces mayor que la otra. Por consiguiente, hay que hallar la quinta parte de 130. Así, pues, eran las seis menos 26 minutos.

En efecto, 50 minutos antes faltaban 26 + 50 = 76 minutos para las 6, y, por lo tanto, desde las 3 habían pasado 180 — 76 = 104 minutos; esta cantidad de minutos es cuatro veces mayor que los minutos que faltan ahora para las seis.

5. ¿Cuándo se encuentran las manecillas?

Comencemos a observar el movimiento de las manecillas a las 12. En este instante las dos manecillas están una sobre otra. Como el horario se mueve 12 veces más despacio que el minutero (puesto que describe una circunferencia completa en 12 horas, mientras que el minutero lo hace en 1 hora), durante la hora próxima no pueden encontrarse. Pero pasó una hora; el horario señala la cifra 1, después de recorrer 1/12 parte de la circunferencia completa; el minutero ha dado una vuelta completa y se encuentra de nuevo en las 12, a 1/12 parte de circunferencia del horario. Ahora las condiciones de la competición son distintas que las de antes: el horario se mueve más despacio que el minutero, pero va delante y el minutero tiene que darle alcance. Si la competición durara una hora entera, el minutero tendría tiempo de recorrer una circunferencia completa, mientras que el horario sólo recorrería 1/12 parte de la circunferencia, es decir, el minutero habría recorrido 11/12 de circunferencia más que aquél. Pero, para alcanzar al horario, el minutero sólo tiene que recorrer, más que aquél, la 1/12 parte de circunferencia que los separa. Para esto no hace falta una hora entera, sino tantas veces menos como 1/12 es menor que 11/12, es decir, 11 veces menos. Esto quiere decir que las manecillas se encuentran al cabo de 1/11 de hora, o sea, al cabo de 60/11 = 5 5/11 de minuto.

Así, pues, el encuentro de las manecillas ocurre 55/11 de minuto después de pasar una hora, es decir, a la 1 y 5 5/11 de minuto.

¿Cuándo se produce el encuentro siguiente?

No es difícil darse cuenta de que esto ocurrirá al cabo de 1 hora y 5 5/11 de minuto, es decir, a las 2 y 10 10/11 de minuto. El otro, 1 hora y 55/11 de minutos después, o sea, a las 3 y 16 4/11 de minuto, y así sucesivamente. En total habrá 11 encuentros; el undécimo llegará al cabo de 11/11 X 11 = 12 horas de producirse el primero, es decir, a las 12; en otras palabras, coincidirá con el primer encuentro, y, en adelante, los encuentros se repiten en los mismos instantes que antes. He aquí los instantes en que las manecillas se encuentran:

6. ¿Cuándo están las manecillas dirigidas en sentidos opuestos?

Este problema se resuelve de un modo muy parecido al anterior. Empecemos otra vez en las 12, cuando las dos manecillas coinciden. Hay que calcular cuánto tiempo será necesario para que el minutero adelante al horario en media circunferencia exactamente; en este caso las manecillas estarán dirigidas precisamente en sentidos opuestos. Ya sabemos (véase el problema precedente) que en una hora entera el minutero adelanta al horario en 11/12 de circunferencia completa; para adelantarlo solamente en ½ de circunferencia necesitará menos de una hora —tantas veces menos como ½ es menor que 11/12, es decir, necesitará nada más que 6/11 de hora. Esto quiere decir que, después de las 12, las manecillas estarán por primera vez dirigidas en sentidos opuestos al cabo de 6/11 de hora, o sea, de 32 8/11 de minuto. Mire el reloj a las 12 y 32 8/11 de minuto y verá que las manecillas tienen sentidos opuestos.

¿Es éste el único instante en que las manecillas se sitúan así? Está claro que no. Las manecillas ocupan posiciones semejantes a ésta 32 8/11 de minuto después de cada encuentro. Pero ya sabemos que durante 12 horas las manecillas se encuentran 11 veces; por lo tanto, también se situarán en sentidos opuestos 11 veces en 12 horas. Hallar estos instantes no es difícil:

Doy a usted la posibilidad de que calcule los demás instantes.

7. A ambos lados de las seis

Este problema se resuelve lo mismo que el anterior. Supongamos que las dos manecillas estaban en las 12 y que, después, el horario se separó de las 12 en una parte determinada de vuelta completa que llamaremos x. Durante este intervalo, el minutero habrá tenido tiempo de girar en 12 x. Si el tiempo transcurrido no es mayor que una hora, para satisfacer la condición de nuestro problema es preciso que el minutero diste del fin de una circunferencia completa tanto como el horario haya tenido tiempo de separarse de su principio; en otras palabras:

1 — 12 * x = x.

De aquí se deduce que 1 = 13 x (porque 13 * x — 12 * x = x). Por lo tanto, x = 1/l3 parte de la vuelta completa. Esta fracción de vuelta la recorre el horario en 12/19 de hora, es decir, cuando marca las 12 y 55 5/13 de min. Durante este tiempo, el minutero habrá recorrido 12 veces más, es decir, 12/13 de vuelta completa; como ve, las dos manecillas están a la misma distancia de las 12 y, por consiguiente, lo mismo de separadas de las 6 por ambos lados.

Hemos hallado una de las posiciones de las manecillas, la que se produce durante la primera hora.

Durante la segunda hora vuelve a presentarse en posición semejante; la encontramos, razonando como en el caso precedente, por medio de la igualdad

1 — (12 x — 1) = x ó 2 — 12 x = x

de donde 2 = 13 x (porque 13 x — 12 x = x) y, por consiguiente, x = 2/13 de vuelta completa. Las manecillas ocuparán esta posición a la 1 y 11/13 de hora, o sea, a la 1 y 50 10/13 de min.

Por tercera vez, las manecillas se hallarán en la posición conveniente cuando el horario se aparte de las 12 en 3/13 de circunferencia completa, es decir, a las 2 y 10/l3 de hora, y así sucesivamente. En total habrá 11 posiciones, con la particularidad de que después de las seis las manecillas cambiarán entre sí sus puestos: el horario ocupará los puntos en que estuvo antes el minutero y éste, los que ocupó antes el horario.

8. ¿A qué hora?

Si se comienzan a observar las manecillas a las 12 en punto, durante la primera hora no se nota la disposición buscada. ¿Por qué? Porque el horario recorre 1/12 parte de lo que recorre el minutero y, por lo tanto, queda retrasado con respecto a él mucho más de lo necesario para la disposición que se busca. Cualquiera que sea el ángulo a que se aparte de las 12 el minutero, el horario girará 1/12 parte de este ángulo, y no 1/2, como se requiere. Pero pasó una hora; ahora el minutero está en las 12 y el horario, en la 1, es decir, 1/12 partes de vuelta delante del minutero. Veamos si esta disposición de las manecillas puede producirse durante la segunda hora. Supongamos que este instante se produjo cuando el horario se apartó de las 12 en una fracción de vuelta que llamaremos x. Durante este tiempo el minutero habrá recorrido un espacio 12 veces mayor, es decir, 12 x. Si de aquí se resta una vuelta completa, el resto 12 x — 7 deberá ser el doble que x, o sea, ser igual a 2 x. Vemos, por consiguiente, que 12 x — 1 = 2 x, de donde se deduce que una vuelta completa es igual a 10 x (en efecto, 12 x — 10 x = 2 x). Pero si 10 x es igual a una vuelta completa., 1 x = 1/10 parte de vuelta. Y ésta es la solución del problema: el horario se separó de la cifra 12 en 1/lo parte de vuelta completa, para lo que se requieren 12/10 partes de hora o una hora y 12 minutos. Al ocurrir esto, el minutero se encontrará a doble distancia de las 12, es decir, a la distancia de parte de vuelta, lo que responde a 60/5 = 12 minutos, como debía ser.

Hemos encontrado una solución del problema. Pero tiene otras: durante las 12 horas, las manecillas se encuentran en posiciones semejantes no una vez, sino varias. Intentaremos hallar las demás soluciones.

Para esto esperaremos a que sean las 2; el minutero estará entonces en las 12 y e1 horario en las 2.

Razonando como antes, obtenemos la igualdad:

12 x — 2 = 2 x,

De donde dos vueltas completas son iguales a 10 x y, por lo tanto, x = 1/5 parte de vuelta entera. Esto corresponde al instante 12/5 = 2 horas y 24 minutos.

Los demás instantes puede usted calcularlos ya fácilmente. Entonces sabrá que las manecillas se sitúan de acuerdo con la condición del problema en los 10 instantes siguientes:

Las respuestas: «a las 6» y a las < 12» pueden parecer erróneas, pero sólo a primera vista. En efecto: a las 6, el horario está en las 6 y el minutero en las 12, es decir, exactamente el doble de lejos. A las 12, el horario se halla a la distancia «cero» de las 12, y el minutero, si lo desea, a «dos ceros» de distancia (porque cero doble es lo mismo que cero); por consiguiente, también este caso satisface, en esencia, la condición del problema.

9. Al contrario

Después de las explicaciones precedentes, ya no es difícil resolver este problema. Es fácil comprender, razonando como antes que la disposición que se requiere de las manecillas se dará por primera vez en el instante definido por la igualdad

12 x — 1 = x/2

De donde 1 = 11*x/2 o x = 2/23 partes de una vuelta completa, o sea, al cabo de 11/23 horas, después de las 12. Es decir, a la 1 y 214/23 de minuto estarán las manecillas dispuestas como se requiere. Efectivamente, el minutero debe estar en el punto medio entre las 12 y la 11/23, o sea, en las 12/23 de hora, lo que constituye precisamente 1/23 de vuelta completa (y el horario recorrerá 2/23 de vuelta completa).

Por segunda vez, las manecillas se situarán como es debido en el instante definido por la igualdad:

12x-2=x/2,

De donde 2 = 111/2 * x, y x = 4/23; el instante buscado será, pues, el de las 2 y 55/23 de minuto. El tercer instante, las 3 y 719/23 de minuto, etc.

10. Tres y siete

Generalmente responden: «7 segundos». Pero, como ahora veremos, esta respuesta es falsa. Cuando el reloj da las tres, notamos dos intervalos:

1) entre la primera y la segunda campanada;

2) entre la segunda y la tercera campanada.

Ambos intervalos duran 3 segundos; es decir, cada uno de ellos dura la mitad, o sea, 11/2 segundos.

En cambio, cuando el reloj da las siete, el número de estos intervalos es seis. Y seis veces por 11/2 segundos son 9 segundos. Por consiguiente, el reloj «da las siete» (es decir, da siete campanadas) en 9 segundos.

11. El tictac del reloj

Los intervalos incomprensibles en el tictac del reloj se deben simplemente al cansancio del oído.

Nuestro oído, cuando se cansa, se debilita durante unos segundos, y en estos intervalos no oímos el tictac. Al cabo de un corto espacio de tiempo pasa el cansancio y se recupera la agudeza inicial, con lo que volvemos a escuchar la marcha del reloj. Luego se produce otra vez el cansancio y así sucesivamente.