Notas

^[1] Citemos aquí una oportuna analogía entre la ecuación científica y el poema. En la introducción a su versión de Beowulf Seamus Heaney comenta que este gran poema «responde perfectamente a la moderna concepción de trabajo de imaginación creativa en el sentido de acomodar realidades en conflicto en el seno de un orden nuevo» (Faber & Faber, 1999, pág. 17). De una gran ecuación científica se puede decir algo parecido, ya que acomoda en un orden nuevo las aparentemente distintas magnitudes que en ella intervienen. <<

^[2] Roland Barthes, «The brain of Einstein», Mythologies, Vintage, 1993, págs. 68-70. En este ensayo el autor realiza un breve y perspicaz análisis de la simbología einsteniana (incluyendo algunos comentarios sobre E = mc²). <<

^[3] Para más información, véase el ensayo del poeta e inmunólogo checo Miroslav Holub, «Poetry and science», The Dimension of the Present Moment, Londres, Faber & Faber, 1990, págs. 132-133. Merece también la pena leer las reflexiones personales de la poetisa Lavinia Greenlaw, «Unstable regions: poetry and science», en: Francis Spufford y Jenny Uglow, eds., Cultural Babbage, Londres, Faber & Faber, 1996. <<

^[4] Richard Feynman, The Character of Physical Law, Londres, Penguin, 1992, págs. 35-36. [Trad, esp.: El carácter de la física, Barcelona, Tusquets Editores, col. Metatemas 65, 2000]. <<

^[5] Eugene Wigner, «The unreasonable effectiveness of mathematics», Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960, 13, págs. 1-14. <<

^[6] Esta espinosa cuestión es analizada de forma clara en The Universe that Discovered Itself de John Barrow (Oxford University Press, 2000), capítulo 5. <<

^[7] Varios grandes físicos teóricos han escrito sobre la importancia de la belleza en sus respectivas materias. Véase: Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory, Random House, 1993, capítulo 6; Subrahmanyan Chandrasekhar, Truth and Beauty: Aesthetics and Motivations in Science, University of Chicago Press, 1987, y Chen Ning Yang, «Beauty in theoretical physics», en: Deane W. Curtin, ed., The Aesthetic Dimension of Science, Nueva York, Philosophical Library, 1980. <<

^[8] Y, sin embargo, «la belleza ha vuelto», según afirma el crítico arquitectónico posmodernista Charles Jencks en su extenso análisis «What is beauty?», Prospect, 2001, agosto-septiembre, págs. 22-27. <<

^[9] Un completo análisis del concepto de belleza en la ciencia nos lo proporciona James W. McAllister en Beauty and Revolution in Science, Cornell University Press, 1996. <<

^[10] Dirac enunció su credo estético en «Pretty mathematics», International Journal of Theoretical Physics, 1982, 21 (8-9), págs. 603-605. <<

^[11] En su Opere II Sattiatore (1656), Galileo escribió: «[El universo] no podrá ser leído hasta que hayamos aprendido su idioma y nos hayamos familiarizado con los caracteres en los que está escrito: las matemáticas». Como en otras ocasiones, Platón ya se había anticipado; había dicho que «el mundo es la epístola que Dios le ha escrito a la humanidad» y que aquélla «estaba escrita en caracteres matemáticos». Es interesante observar que Galileo y los otros fundadores de la física moderna no escribieron ecuaciones, sino proporciones. Éstas eran, no obstante, equivalentes en muchos aspectos a las ecuaciones. Transcurrirían aún algunas décadas antes de que las ecuaciones se convirtieran en la forma preferida para una expresión matemática. Véase: I. Bernard Cohen, Revolution in Science, Harvard University Press, 1985, págs. 139-140. <<

^[12] Para un excelente análisis del modernismo en un amplio contexto cultural, véase: Thomas Vargish y Delo Mook, Inside Modernism: Relativity Theory, Cubism, Narrative, Yale University Press, 1999. <<

^[13] Roland Taylor, Berlin and its Culture, Yale University Press, 1997. <<

^[14] El lugar de la mujer en la vida universitaria alemana de la época aparece descrito en el capítulo 2 de Lise Meitner: A Life in Physics, de Ruth Lewin Sime (University of California Press, 1996). <<

^[15] Christa Jungnickel y Russell McCormmach nos ofrecen una exhaustiva historia de los inicios de la moderna física teórica en Intellectual Mastery of Nature, University of Chicago Press, 1986, vols. 1 y 2. <<

^[16] John Heilbron, The Dilemmas of an Upright Man, Harvard University Press, 2000. Se trata de un amplio y cuidadoso relato de la vida de Planck, que hace especial incidencia en los aspectos políticos. Esta edición contiene un valioso epílogo que clarifica las conclusiones a las que Heilbron llegaba en la edición original de 1986. <<

^[17] Si vamos calentando el interior de la cavidad hasta alcanzar temperaturas lo suficientemente elevadas, la radiación emergente no se verá de color negro, sino rojo oscuro, después naranja y, más tarde, amarillo. Así pues, la denominación «radiación del cuerpo negro» es un tanto equívoca y debería ser sustituida simplemente por «radiación de la cavidad». <<

^[18] La historia definitiva del Reichsanstalt está recogida en la obra de David Cahan, An Institute for an Empire, Cambridge University Press, 1989. <<

^[19] Contrariamente a la idea generalizada entre los físicos actuales, Planck comenzó sus trabajos sin saber que los datos de la radiación de la cavidad suponían una crisis para la física clásica. Este punto es analizado con detalle por Martin Klein, Max Planck and the Beginnings of Quantum Theory, Archives for History of Exact Science, 1962, vol. 1, págs. 459-479. <<

^[20] Éste es el punto de vista de Martin Klein, quien lo desarrolla en su artículo «Termodynamics and quanta in Planck’s work», Physics Today, 19 (11), págs. 23-32. En Planck’s Original Papers in Quantum Physics, Londres, Taylor and Francis, 1972, hallamos la traducción al inglés de los artículos originales de Planck, anotada por Hans Kangro. <<

^[21] Thomas Kuhn expone más claramente sus puntos de vista en «Revisiting Planck», Historical Studies in the Physical Sciences, 1984, 14 (2), págs. 231-252. Había realizado una presentación más detallada, pero más opaca, en Blackbody Theory and the Quantum Discontinuity 1894-1912, Clarendon Press, 1978. <<

^[22] Peter Galison hace un equilibrado análisis de la controversia generada por Kuhn en torno a la obra de Planck en «Kuhn and the quantum controversy», British Journal for the Philosophy of Science, 1981, 32, parte 1, págs. 71-85. <<

^[23] Los valores encontrados por Planck para las constantes h y k varían muy poco respecto a los aceptados actualmente. En unidades modernas, h = 6,63 × 10⁻³⁴ J×s y k = 1,38 × 10⁻¹⁶ JK⁻¹, donde J es el símbolo del julio, la unidad moderna de energía, s es el símbolo del segundo y K, el símbolo del grado Kelvin, la unidad de temperatura en la escala absoluta. En esta escala, la temperatura más baja posible es cero grados y el punto de congelación del agua en condiciones normales es 273,16 grados. <<

^[24] La energía del átomo para cualquier sustancia —sólido, líquido o gas— es aproximadamente igual a la constante de Boltzmann multiplicada por la temperatura de dicha sustancia expresada en la escala absoluta. <<

^[25] Esos valores únicos se conocen hoy como masa, longitud y tiempo de Planck. Las fórmulas mediante las que se obtienen a partir de la constante h, la constante de la gravitación de Newton, G, y la velocidad de la luz en el vacío, c, son las siguientes: masa de Planck = √hc/G; longitud de Planck = √hG/c³; tiempo de Planck = √hG/c⁵. Sus magnitudes son importantes para los astrofísicos que estudian el origen del universo, tal como explica Joseph Silk en A Short History of the Universe, W. H. Freeman and Co, 1997, págs. 74-76. <<

^[26] Albrecht Fölsing es autor de una hermosa biografía del gran físico: Albert Einstein, Penguin Books, 1997. Para un relato exhaustivo y documentado de las contribuciones de Einstein a la física, véase: Abraham Pais, Subtle is the Lord…, Oxford University Press, 1982. [Trad. esp.: El Señor es sutil…, Barcelona, Ariel, 1984]. <<

^[27] Einstein’s Miraculous Year, editado por John Stachel (Princeton University Press, 1998), proporciona una introducción compacta y elegante a los grandes artículos que Einstein escribió en 1905, junto a una traducción al inglés anotada de cada uno de ellos. <<

^[28] John L. Heilbron y Thomas S. Kuhn, «The genesis of the Bohr atom», Historical Studies in the Physical Sciences, 1969, vol. 1, págs. 211-290. En la biografía Niels Bohr’s Times: in Physics, Philosophy and Polity, de Abraham Pais (Clarendon Press, 1991, págs. 132-159) hallamos un relato pormenorizado de los trabajos de Bohr sobre el átomo. <<

^[29] Gerald Holton, «R. A. Millikan’s struggle with the meaning of Planck’s constant», Physics in Perspective, 1999, vol. 1, págs. 231-237. <<

^[30] Roger Stuewer, The Compton Effect, Nueva York, Science History Publications, 1975. Para un relato asequible sobre la obra de Compton y la de otros experimentadores estadounidenses cuyos trabajos forman parte de la historia oculta de E = hf véase: Daniel J. Kevles, The Physicists: The History of the Scientific Community in the Modern America, Harvard University Press, 1997. <<

^[31] Esta parte de la historia de E = hf está cubierta de manera exhaustiva por Max Jammer en The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill, 1966. <<

^[32] La fórmula de De Broglie dice que la longitud de onda de un cuanto, ya sea de radiación o de materia libre, viene dada por la constante de Planck dividida por el valor del momento del cuanto. <<

^[33] K. K. Darrow, «The scientific work of C. J. Davisson», The Bell System Technical Journal, 1951, vol. 30, págs. 786-797. <<

^[34] George P. Thomson, «Early work on electron diffraction», American Journal of Physics, 1961, vol. 29, págs. 821-825. <<

^[35] Steven Weinberg explica el concepto de teoría cuántica de campos en Dreams of a Final Theory, Londres, Hutchinson, 1993, págs. 18-19. [Trad, esp.: Sueños de una teoría final, Barcelona, Editorial Crítica, 1996]. <<

^[36] En el marco de la nave espacial rusa, los destellos parecen no desplazarse a lo largo de la horizontal sino, debido a la aberración, adoptar un pequeño ángulo de llegada, α = v/c, respecto a esa horizontal. Debemos pensar, por lo tanto, que el momento de la luz tiene una componente horizontal y otra vertical. Las componentes horizontales de los dos destellos se cancelan mutuamente, ya que tienen la misma magnitud y sentidos opuestos. Pero ambos flashes poseen una pequeña componente vertical que vale (E/2c) sen α. Como α es pequeño, podemos hacer sen α = α, con lo que la componente vertical del momento sería (E/2c)α. Así pues, por efecto de la aberración, el momento vertical viene dado por:

componente vertical del momento para cada haz de luz = (E/2c)(v/c) = Ev/2c² <<

^[37] La mejor fuente de información sobre Lise Meitner es la excelente biografía escrita por Ruth Lewin Sime, Lise Meitner: A Life in Physics, University of California Press, 1996; véanse especialmente las págs. 233-237. <<

^[38] Véase: www.bizjournals.com/stlouis/stories/1998/11/09/smallbl.html <<

^[39] Actualmente se prefiere hablar de esta ecuación en singular en vez de en plural, como se hacía originalmente, pues es mejor concebirla como una única ecuación aplicable en su totalidad a los tensores involucrados (v. los comentarios sobre la geometría curva del espacio-tiempo de más adelante), en lugar de considerar las componentes de esos tensores. <<

^[40] Técnicamente, ese número es denominado curvatura intrínseca o curvatura gaussiana de la superficie. Examinaremos la noción de intrínseco con mayor detalle en posteriores secciones. <<

^[41] Una teoría matemática completa para una geometría tetradimensional como la que se deriva de la teoría de Newton fue formulada por primera vez por el gran matemático francés Élie Cartan en 1923-1924. <<

^[42] La anterior expresión euclídea para dl² se convierte ahora en la conocida fórmula ds² = g_ab dx^a dx^b (en casi toda la bibliografía, «dl» suele ser reemplazado por «ds»). Para un espacio n-dimensional se necesitan n coordenadas independientes, denotadas aquí por x¹, x², …, xⁿ. Esto puede resultar un poco confuso, ya que la notación «x²» no significa aquí «x al cuadrado», ni «x³» quiere decir «x al cubo», etc. La notación «x^a» (o «x^b», etc.) es un símbolo genérico para una de esas coordenadas. Del mismo modo, «g_ab» es un símbolo genérico para una de las magnitudes g₁₁, g₁₂, …, g_nm, cada una de las cuales es una de las n(n+1)/2 funciones independientes, ya que g_ab = g_ba. Se adopta aquí la convención de suma de Einstein, por la cual los índices repetidos se suman. Así pues, la expresión «g_ab dx^a dx^b» equivale a «g₁₁dx¹dx¹ + g₁₂dx^ldx² + … + g_nmdxⁿdx^m». En el caso bidimensional, g₁₁ = A, g₁₂ = g₂₁ = B y g₂₂ = C son funciones de las dos coordenadas u y v, donde x¹ = u y x² = v. <<

^[43] Hay expresiones explícitas, aunque complicadas, que nos dicen cómo se calcula R_abcd a partir de g_ab y sus derivadas parciales primera y segunda con respecto a las coordenadas x^a. <<

^[44] Mediante la convención de suma de Einstein podemos definir R_ab y R mediante las relaciones R_ab = R_abcd g^cd y R = R_ab g^ab, donde g^ab es la inversa de g_ab, en el sentido empleado en álgebra matricial. <<

^[45] Einstein demostraría más tarde que este postulado puede ser deducido de su ecuación de campo, al igual que otras asunciones razonables. <<

^[46] La desaparición de la «divergencia covariante» de T_ab. <<

^[47] En el otoño de 1915, el matemático David Hilbert llegó a esta misma ecuación casi al mismo tiempo que Einstein, pero por diferente camino. El hecho daría lugar a una desagradable disputa sobre prioridades. Pero la contribución de Hilbert, aunque técnicamente importante, no menoscaba realmente la prioridad fundamental de Einstein en esta materia. Véase, en particular, New Light on the Einstein-Hilbert Priority Question, de J. Stachel, aparecido en Journal of Astrophysics and Astronomy, 1999, 20 (3-4), págs. 91-101. <<

^[48] En 1966, Robert Dicke «sobresaltó» a la comunidad científica al anunciar que cuidadosas observaciones del achatamiento solar realizadas por Goldenberg y por él mismo demostraban que el Sol poseía un momento cuadripolar de tal magnitud que el avance del perihelio de Mercurio predicho por la relatividad general se iba por completo al traste. Afortunadamente, posteriores observaciones y consideraciones teóricas demostraron que la conclusión de Dicke era errónea. <<

^[49] Curiosamente y sin contar con la plataforma de la relatividad general, Poincaré había predicho ya en 1905 la existencia de ondas gravitatorias, basándose en analogías con la teoría del electromagnetismo de Maxwell. <<

^[50] He propuesto un experimento, técnicamente difícil pero en apariencia factible, para comprobar si mi propuesta es correcta. Una de sus posibles implementaciones debería desarrollarse en el espacio exterior. <<

^[51] Para más detalles biográficos, véase: W. Moore, Schrödinger: Life and Thought, Cambridge University Press, 1989. <<

^[52] Véase: D. Cassidy, Uncertainty: The Life and Science of Werner Heisenberg, Nueva York, Freeman, 1992. <<

^[53] íbid., pág. 137, tal como lo describe Max Born. <<

^[54] Para detalles biográficos, véase: A. Pais, Niels Bohr’s Times: In Physics, Philosophy and Polity, Oxford University Press, 1991. <<

^[55] E. Schrödinger, «Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen», Annalen der Physik, 1926, 70, págs. 734-756. Este artículo es conocido como la tercera comunicación. <<

^[56] Las citas de este párrafo pertenecen a la segunda comunicación de Schrödinger, «Quantisierung als Eigenwertproblem», Annalen der Physik, 1926, 80, págs. 437-490. <<

^[57] Cuando se trata de determinar los niveles de energía de un electrón atómico, la ecuación de Schrödinger se escribe así:

Donde Ĥ es el hamiltoniano, la representación matemática de la energía total del sistema (la suma de su energía de movimiento más su energía de posición); ψ (psi) es la función de onda que describe características del sistema tales como su posición en el espacio en cualquier instante y E, uno de los muchos valores posibles para la energía del sistema. Es decir, en el lado izquierdo de la ecuación hay una función matemática que opera sobre ψ, mientras que en el lado derecho tenemos la energía, E, correspondiente a un nivel concreto, multiplicada por la función de onda, ψ, a él asociada.

Nota para los más entusiastas. Esta forma de la ecuación de Schrödinger es en realidad un caso especial, aunque extremadamente importante, y en ella no aparece el tiempo. La forma más general es un poco más compleja:

y dice que cuando el hamiltoniano opera sobre la función de onda, el resultado es igual a la tasa de cambio de la función de onda con el tiempo (manteniendo constantes el resto de las variables), multiplicada por la raíz cuadrada de −1 y por la constante de Planck y dividida por 2π. <<

^[58] Schrödinger nunca publicó sus deliberaciones sobre una ecuación de onda relativista. La ecuación que estuvo considerando seria poco después conocida como ecuación de Klein-Gordon, y fue desempolvada en 1936 por Wolfgang Pauli y Victor Weisskopf en «Über die Quantisierung der skalaren relativistischen Wellengleichung», Helvetica Physica Acta, 1934, 7, págs. 709-731. Para un análisis de esta ecuación, véase: A. I. Miller, Early Quantum Electrodynamics: A Source Book, Cambridge University Press, 1994. <<

^[59] Paul Dirac, «The evolution of the physicist’s picture of nature», Scientific American, 1963, 208, 45-53, pág. 47. <<

^[60] Nota 2 de la segunda comunicación, pág. 750. <<

^[61] Véase: W. Heisenberg, «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik», Zeitschrift für Physik, 1927, 43, págs. 172-198 (esp. págs. 184-185). Heisenberg señala que Schrödinger (en su segunda comunicación) comete un error matemático elemental al expandir la función de onda del electrón basándose en funciones de onda de un oscilador armónico que tiene la propiedad única de mantener un paquete de ondas localizado. Pero, en general, éste no es el caso. <<

^[62] Esto, por supuesto, debería haber sido evidente para cualquiera. La razón es que la ecuación de Schrödinger es del tipo Sturm-Liouville, el cual corresponde a un problema de valores propios, y, por lo tanto, es equivalente a un cálculo de valores propios en álgebra de matrices, que es la matemática empleada por Heisenberg en su teoría. Es curioso el hecho de que, hasta la aparición de la ecuación de Schrödinger, a nadie se le había ocurrido aplicar las funciones propias a la mecánica cuántica. <<

^[63] W. Heisenberg, «Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik», Zeitschrift für Physik, 1926, 38, págs. 411-426. <<

^[64] Entrevista con W. Heisenberg en Archive for History of Quantum Physics, 22 de febrero de 1963, pág. 30. <<

^[65] Ibid., pág. 3. El artículo de Heisenberg se titula «Schwan​kungser​scheinungen und Quantenmechanik», Zeitschrift für Physik, 40, págs. 501-506. <<

^[66] Véase nota 61. <<

^[67] El origen de la constante de Planck se relata en el ensayo «Una revolución sin revolucionarios», del presente libro. <<

^[68] W. Heisenberg, Physics and Beyond: Encounters and Conversations, Nueva York, Harper & Row, 1971, pág. 73. Traducido por A. J. Pomerans. <<

^[69] íbid., pág. 74. <<

^[70] íbid., pág. 75. <<

^[71] íbid., pág. 76. <<

^[72] Esto se debe, más o menos, a que cuanto más masivo es un objeto, menos importantes son sus propiedades ondulatorias. Como consecuencia —y por fortuna—, estamos localizados. <<

^[73] Véase: E. Schrödinger, «Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik», Die Naturwissenschaften, 1935, 23, págs. 807-812, 823-828, 844-849. Reimpreso en inglés en Quantum Theory and Measurement, en: W. Zurek y J. Wheeler, eds., Princeton University Press, 1983, págs. 152-167. <<

^[74] Cita extraída de Schrödinger: Lifeand Thought, de W. Moore (Cambridge University Press, 1989, pág. 314). <<

^[75] «Are there quantum jumps», incluido en Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, de J. S. Bell (Cambridge University Press, 1987, págs. 201-212), es un magistral estudio sobre los últimos trabajos basados en la mecánica ondulatoria no relativista de Schrödinger. <<

^[76] Véase: A. I. Miller, Einstein, Picasso: Space, Time and the Beauty that Causes Havoc, Nueva York, Basic Books, 2001. <<

^[77] págs. 311-316. <<

^[78] íbid. <<

^[79] Cita extraída de íbid., pág. 316. <<

^[80] Cita extraída de íbid., pág. 314. <<

^[81] Véase: J. S. Bell, «Against Measurement», Sixty-Two Years of Uncertainty: Historical, Philosophical, and Physical Inquiries into the Foundations of Quantum Mechanics, En: A. I. Miller, ed., Nueva York, Plenum Press, 1990, págs. 17-31. <<

^[82] R. P. Feynman, The Character of Physical Law, Londres, Penguin Books, 1992, pág. 129. [Trad, esp.: El carácter de la física, Barcelona, Tusquets Editores, col. Metatemas 65, 2000]. <<

^[83] Es decir, para predecir el movimiento de una partícula basta con conocer su carga y su masa; ni más, ni menos. El valor de la carga puede ser cero; en este caso, la partícula sólo estará sometida a interacciones gravitatorias. <<

^[84] En mecánica cuántica sólo están permitidos ciertos valores discretos de espín. Esto tiene mucha relación con la restricción asociada a los orbitales de Bohr. <<

^[85] Un caso interesante lo constituye el fotón, que es su propia antipartícula. Esto no es posible para una partícula cargada, pero el fotón es eléctricamente neutro. <<

^[86] De hecho, esas partículas responden a ecuaciones de onda que presentan soluciones de energía negativa. <<

^[87] Existe también otro objeto, muy relacionado con el anterior y conocido como conjugado hermitiano, que crea electrones y destruye positrones. <<

^[88] También fueron importantes las contribuciones hechas por los teóricos, de algo más edad, Kramers y Bethe y por Lamb, un teórico convertido en experimentalista. <<

^[89] «Leptón» es sólo un término genérico que abarca electrones, muones, las denominadas partículas tau y sus correspondientes antipartículas. Todas estas partículas tienen propiedades muy similares, incluyendo igual carga y espín, y difieren en la masa. <<

^[90] Hasta llegar a un par de problemas profundos, pero bien definidos y resolubles, como veremos enseguida. <<

^[91] Mucho después, en la década de 1960, Heisenberg recordaba: «Hasta aquel momento [1928] tenía la impresión de que, en teoría cuántica, habíamos arribado a puerto. El artículo de Dirac nos arrojó al mar de nuevo». <<

^[92] Se trata de una consecuencia del teorema de la completitud de Gödel para la lógica de primer orden. El lector informado se preguntará cómo el que todos los teoremas válidos puedan ser demostrados de manera mecánica es consistente con el famoso teorema de la incompletitud, del propio Gödel. (No es una errata de imprenta: Gödel demostró tanto el teorema de la completitud como el teorema de la incompletitud. ¡Un tipo astuto!). Para decirlo en pocas palabras, el teorema de la incompletitud de Gödel dice que en cualquier sistema matemático cabe formular proposiciones válidas en las que ni dicha proposición ni su negación constituyen un teorema. Esta «incompletitud» no excluye la posibilidad de enumerar sistemáticamente todos los teoremas. <<

^[93] Por razones que no vamos a analizar aquí, el ancho de banda de un canal puede ser especificado en hertzios (Hz) (es decir, en número de ciclos de onda por segundo) o en bits por segundo. Cuando se usa esta última unidad, el valor se duplica, ya que un ciclo de onda (una semionda arriba más una semionda abajo) equivale a dos bits. De este modo, una línea que transmita un máximo de diez mil bits por segundo transmitirá también un máximo de 5.000 Hz. <<

^[94] Una de las muchas formas de lograrlo es detectar grandes áreas que tengan el mismo color y, en lugar de transmitir una y otra vez la misma señal, enviar solamente dos números: el color e intensidad del primer punto del área y la cantidad de puntos consecutivos que tienen el mismo valor. Supongamos que en mil puntos consecutivos de la imagen el color vale 144 (sobre un máximo de 256, por ejemplo) y la intensidad, 186 (también sobre 256). Anticipando el significado de bit como un dígito tipo encendido/apagado y asumiendo que un conjunto de ocho bits puede adoptar 256 valores (combinaciones) distintos, en lugar de transmitir los dieciséis bits mil veces, el ordenador se limita a enviar esos dieciséis bits seguidos de un número binario que representa las repeticiones. Como con diez bits se pueden codificar 1.024 estados, el ordenador transmitirá sólo veintiséis bits (16 + 10), en vez de dieciséis mil. El llamado ratio de compresión resulta, en este caso, de dieciséis mil a veintiséis (o sea, de 615 a 1). Por supuesto, si la imagen fuese muy variada no seríamos tan afortunados. En la práctica, lo habitual es obtener ratios en torno a veinte a uno. <<

^[95] En esta sección y en la siguiente no seremos demasiado estrictos con el rigor matemático. <<

^[96] El voltaje o nivel de tensión mide la energía transferida a cada carga eléctrica. El codificador convierte los números que representan el color y la intensidad de los puntos de imagen en niveles de tensión que son transmitidos al otro extremo del cable. <<

^[97] Saltador. Juguete que consiste en un bastón en forma de «T», dotado de un muelle o un cilindro neumático, con el que se avanza a saltos (N. del T.) <<

^[98] Habitualmente, el término gauge («calibre» o «medida» en inglés) se emplea in traducir en este contexto. (N. del T.) <<

^[99] C. N. Yang y R. L. Mills, «Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance», Physics Review, 1954, 96, págs. 191-195. <<

^[100] Cocconi y Morrison, «Searching for interstellar communications», Nature, 1959, 184, pág. 844 y sigs.; reeditado en The Quest for Extraterrestrial Life: A Book of Readings, En: Donald Goldsmith, ed., University Science Books, 1980, junto a muchos otros artículos clásicos en este campo. <<

^[101] Frank Drake y Dava Sobel, Is Anyone Out There: The Scientific Search for Extraterrestrial Intelligence, Delacorte Press, 1992. Se trata de un informe sobre el Congreso de Green Bank que recoge, sobre todo, el punto de vista de Drake. <<

^[102] Project Cyclops: A Design Study of a System for Detecting Extraterrestrial Intelligent Life. El informe sobre un taller de verano en el Ames Research Center, CR114445 (1971). <<

^[103] Carl Sagan: A Life, de Keay Davidson, Wiley, 1999, pág. 348. <<

^[104] Walter Sullivan, We Are Not Alone, McGraw-Hill, 1964. <<

^[105] Introducción de Interstellar Communication, en: A. G. W. Cameron, ed., Benjamin, 1963; citado en The Biological Universe, de Steven Dick, pág. 508. El libro de Dick constituye un excelente informe histórico sobre SETI y otras disciplinas relacionadas. <<

^[106] Constance Penley, NASA/TREK: Popular Science and Sex in America, Verso, 1997. <<

^[107] Stephen E. Whitfield y Gene Roddenberry, The Making of Star Trek, Ballantine/Del Rey, 1968, pág. 112. En el mismo libro, Roddenberry describe cómo introdujo, al principio del guión original de la serie, un cálculo del número de planetas habitables que podían ser explorados (presumiblemente, tras haber oído hablar de la ecuación de Drake). Por desgracia, no disponía de material de investigación alguno, con lo que improvisó tanto la fórmula, Ff²(MgE) − c¹RI¹ × M = L/So*, como el enorme número de planetas que se deducían de ella. Ninguno de los responsables de la cadena de televisión cuestionó este punto. <<

^[108] Star Maker, de Olaf Stapledon (1937). [Trad, esp.: El hacedor de estrellas, Barcelona, Minotauro, 1997]. <<

^[109] Discos voladores [N. del T.] <<

^[110] Iosif S. Shklovskii y Carl Sagan, Intelligent Life in the Universe, Holden-Day, 1966. <<

^[111] Carl Sagan, ed., Communication with Extraterrestrial Intelligence, MIT Press, 1973. Quienes no deseen abordar el tema en su totalidad disponen de un excelente informe en Carl Sagan: A Life in the Cosmos, de William Poundstone (Henry Holt, 1999). <<

^[112] George Gaylord Simpson, «The nonprevalence of humanoids», Science 1964, 143, pág. 769 y sigs.; reeditado por Goldsmith, op. cit. <<

^[113] Stephen Jay Gould, «SETI and the wisdom of Casey Stengel», The Flamingo’s Smile, W. W. Norton, 1984. [Trad. esp.: La sonrisa del flamenco, Barcelona, Crítica, 1995]. <<

^[114] Jared Diamond, «Alone in a crowded universe», Natural History, 1990; reeditado en Extraterrestrials: Where are They?, en: Ben Zuckerman y Michael H. Hart, eds., 2.ª ed., Cambridge University Press, 1995. <<

^[115] Alfred Adler, «Behold the stars», Atlantic Monthly 1974, 234, pág. 109 y sigs.; reeditado por Goldsmith, op. cit. <<

^[116] Eric Jones, «Where is everybody» [carta], Physics Today, 1985. Recoge varios relatos, de Teller y otros, sobre el famoso almuerzo, además de la tira cómica instigadora. <<

^[117] Von Hoerner, «The general limits of space travel», Science, 1962, 137: pág. 18 y sigs.; reeditado por Goldsmith, op. cit. <<

^[118] Entrevista realizada por David W. Swift y publicada en SETI Pioneers (University of Arizona Press, 1990); una excelente fuente oral. <<

^[119] Bracewell en Swift, op. cit. <<

^[120] Michael Hart, «An explanation for the absence of extraterrestrials on Earth», Quarterly Journal of the RAS, 1975, 16, pág. 128 y sigs.; reeditado por Goldsmith, op. cit. <<

^[121] Frank Tipler, «Extraterrestrial intelligent beings do not exist», Quarterly Journal of the RAS, 1981, 21, pág. 267 y sigs. <<

^[122] Las actas se hallan en Strategies for the Search for Life in the Universe, en: Michael Papgiannis, ed., Reidel, 1980. <<

^[123] Por ejemplo, R* = 20, f_p = 1/40, n_e = 1/1.000, f_l = 1/10, f_i = 1/10, f_c = 1/2 y L = 10.000 dan N = 0,025. <<

^[124] Tal vez el informe más amplio y sistemático sobre las posibilidades sea «The “Great Silence”: the controversy concerning extraterrestrial intelligent life», de Brin, publicado en Quarterly Journal of the RAS, 1983, 24, pág. 283 y sigs. <<

^[125] Carta de Dyson a Sagan, reproducida en Captured by Aliens: The Search for Life and Truth in a Very Large Universe, de Joel Achenbach (Simon & Schuster, 1999) (no se informa sobre la fecha de la carta). El libro de Achenbach es tremendamente divertido. <<

^[126] Como no es posible que los individuos tengan un número negativo de descendientes, supondremos que dicho número es igual a una constante más el beneficio. <<

^[127] J. W. Burgess, Scientific American, 1976, 234, págs. 100-106. <<

^[128] B. Sinervo y C. M. Lively, Nature, 1996, 380, págs. 240-243. <<

^[129] Los temas analizados en este ensayo son tratados con más detalle y de una manera no técnica por K. Sigmund en Games of Life, Penguin Books, 1995. <<

^[130] Arcadia, incluida en Plays 5, de Tom Stoppard (Faber &Faber, 1999). En Tom Stoppard: A Faber Critical Guide (Faber & Faber, 2000) aparece un útil comentario sobre la obra. <<

^[131] T. Y. Li y Jim Yorke, «Period three implies chaos», American Mathematical Monthly, 1975, 82, págs. 985-992. El artículo demostraba que en muchos mapas —como el mapa logístico— de periodo 3 (que se repiten a ellos mismos cada tres ciclos), existirán órbitas con cada periodo, así como un número infinito de órbitas caóticas: órbitas irregulares, sin periodo fijo. <<

^[132] El valor exacto era 2 (1 + √2). <<

^[133] Robert May, «Simple mathematical models with very complicated dynamics», Nature, 1976, vol. 261. <<

^[134] Robert May, «The voles of Hokkaido», Nature, 1998, vol. 396. <<

^[135] The Nature of Chaos, en: Tom Mullin, ed., Oxford University Press, 1993. Véase también: J. M. T. Thompson y S. R. Bishop, eds., Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics, Wiley, 1994. <<

^[136] Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos, Viking Penguin, 1997. <<

^[137] Edward Lorenz escribió un asequible informe sobre sus trabajos en The Essence of Chaos, University of Washington Press, 1993. <<

^[138] Ian Stewart, «The Lorenz attractor exists», Nature, 2000, 406, págs. 948-949. <<

^[139] Una referencia útil es «Randomness and perceived randomness in evolutionary biology», de W. C. Wimsatt. Synthese, 1980, vol. 43, págs. 287-329. <<

^[140] James Gleick, Chaos, Heinemann, 1988. [Trad, esp.: Caos: La creación de una ciencia, Barcelona, Seix Barrai, 1987]. <<

^[141] Harriett Hawkins, Strange Attractors: Literature, Culture and Chaos Theory, Prentice Hall, 1995. <<

^[142] Denis Cosgrove analiza la influencia de esta imagen, tomada desde el Apolo 17, en Apollo’s Eye: A Cartographic Genealogy of the Earth in the Western Imagination (John’s Hopkins University Press, 2001). <<

^[143] Palabras de un dirigente del New York Times el 25 de diciembre de 1968, en las que afirmaba que los vuelos Apolo transformarían nuestra forma de pensar sobre nuestro sitio en el universo tan profundamente como la revolución copernicana lo hiciera en su día. <<

^[144] Mario J. Molina y F. S. Rowland, Nature, 1974, 249, págs. 810-812. <<

^[145] William H. Brock, The Fontana History of Chemistry, Fontana, 1992. <<

^[146] Guyton de Morveau, en: Historical Studies in the Language of Chemistry, de M. P. Crosland (Dover, 1978). <<

^[147] El metal mercurio es un ejemplo, aunque también tiene un nombre en latín, hydrargyrum (plata líquida), de donde proviene su símbolo, Hg. El cloro, un gas de aspecto verdoso, deriva su nombre de khloros, la palabra griega para el color verde. La Unión Internacional de Química Pura y Aplicada ha prohibido finalmente dar nombres a los elementos en honor de personas para evitar disputas desagradables, casi siempre de tipo nacionalista. <<

^[148] John McNeill, Something New Under the Sun: An Environmental History of the Twentieth Century, Allen Lane, 2000. <<

^[149] El ciclo puede ser representado por las ecuaciones: NO + O₃ → NO₂ + O₂; NO₂ + O → NO + O₂. <<

^[150] Su muerte fue a consecuencia de un invento desgraciado: un sistema de cuerdas y poleas mediante el cual se izaba a sí mismo desde la cama por las mañanas, ya que estaba incapacitado por la polio. Cierto día, se enredó con las cuerdas y murió estrangulado. <<

^[151] McNeill, op. cit. <<

^[152] Entrevista realizada en diciembre de 2000. <<

^[153] Homage to Gaia: The Life of an Independent Scientist, la autobiografía de James Lovelock (Oxford University Press, 2000). <<

^[154] La selección natural de Darwin explica la actividad de un organismo en términos de lucha individual por la supervivencia; la teoría Gaia implica que los organismos puedan actuar como comunidad buscando el bien general. En Unweaving the Rainbow, Richard Dawkins hace una crítica de la teoría Gaia. [Trad. esp.: Destejiendo el arco iris, Barcelona, Tusquets Editores, col. Metatemas 61, 2000]. <<

^[155] Lydia Dotto y Harold Schiff, The Ozone War, Doubleday, 1978. <<

^[156] New Scientist, 9 de septiembre de 2000. <<

^[157] A finales de la década de 1970 existían medidas que demostraban que los CFC alcanzaban la estratosfera y posteriores registros mostraron la presencia en ella de radicales de cloro libre. Los cambios en los niveles de ozono sólo fueron registrados a mediados de los ochenta. <<

^[158] Donald Hodel, secretario del Interior en la época de Reagan, argumentaba que era preferible llevar sombrero y gafas de sol a tratar de impedir la destrucción del ozono. <<

^[159] La página web de la Estación Antártica Británica (http://www.antarctica.ac.uk) describe las investigaciones actuales y proporciona información sobre la vida en la Antártida. <<

^[160] Entrevista realizada en diciembre de 2000. <<

^[161] Para más detalles sobre las teorías en liza y sobre la historia del descubrimiento de la disminución del ozono estratosférico hasta 1987, véase: John Gribbin, The Hole in the Sky: Man’s Threat to the Ozone Layer, Corgi, 1988. <<

^[162] Un estudio presentado en la Segunda Asamblea General sobre los Procesos Estratosféricos y su Papel en el Clima (SPARC), celebrada en diciembre de 2000 en Buenos Aires, era optimista al respecto. <<

^[163] El calentamiento global se manifiesta como un incremento en la temperatura media de la Tierra que podría ser debido a la excesiva acumulación en la atmósfera de gases procedentes de la utilización de combustibles fósiles, así como a la tala de bosques y la expansión de la agricultura. <<

^[164] Entrevista para la BBC, diciembre de 2000. <<

^[165] Mesa Redonda sobre el Cambio Climático Global, 24 de julio de 1997. <<

^[166] McNeill, op. cit. <<

^[167] En Earth Rising: American Environmentalism in the 21st Century (Island Press, 2000), Philip Shabecoff argumenta que el movimiento medioambiental del siglo XX alcanzó sus límites por dos razones: problemas más complejos con soluciones menos claras y contra-campañas más sofisticadas y agresivas. <<