Introducción

La teoría general de la relatividad revolucionó por completo nuestra forma de ver el mundo físico. Sin embargo, no surgió de las observaciones hechas por experimentadores en laboratorios. Fue simplemente el producto de la perspicacia e imaginación de un teórico. Se trató, por lo tanto, de una revolución en marcado contraste con la imagen convencional del modo en que una revolución científica suele tener lugar. Según esa imagen, sólo abandonamos un punto de vista científico previamente aceptado cuando hay una acumulación suficiente de datos experimentales en contradicción con él. El siglo XX, de hecho, contempló varias revoluciones trascendentales en física fundamental, cada una de las cuales obligó a revisar cuidadosamente principios básicos e hizo añicos puntos de vista previos sobre la naturaleza de la realidad física. En general, todas se ajustaban a la imagen convencional citada. Como veremos, el caso de la relatividad general fue muy diferente.

En términos generales, en la física del siglo XX hubo dos revoluciones fundamentales completamente distintas. La primera fue la relatividad, sobre la naturaleza del espacio y el tiempo, y la segunda, la teoría cuántica, sobre la naturaleza de la materia. No obstante, podría decirse que la teoría de la relatividad por sí sola produjo dos revoluciones, la de la «relatividad especial» y la de la «relatividad general».

La relatividad especial se ocupa de los extraños retoques que hay que hacerle a la física newtoniana cuando los cuerpos viajan a velocidades próximas a la de la luz, circunstancia en la que el espacio y el tiempo se coordinan misteriosamente, transformándose uno en otro y llevando a la noción conjunta de espacio-tiempo. La teoría nació, en esencia, de las observaciones en conflicto con la idea de un «éter» omnipresente y equivalente a un estado absoluto de reposo. El conflicto más famoso con dicha idea lo constituía el experimento de Michelson-Morley (1887), que había tratado de medir, sin éxito, la velocidad de la Tierra respecto al éter. Ese y otros experimentos hacían cada vez más difícil sostener el punto de vista newtoniano sobre el espacio y el tiempo. La revolución encarnada por la relatividad especial avanzó inexorablemente gracias al trabajo de varios científicos: George Fitzgerald, Joseph Larmor, Hendrik Lorentz, Henri Poincaré, Albert Einstein y Hermann Minkowski. Según esto, creo que debería ser considerada una revolución de tipo «convencional», en la que hubo experimentos que llevaron a los teóricos a apartarse del planteamiento newtoniano (aunque el camino seguido por Einstein no estuviera precisamente basado en los experimentos).

La teoría cuántica, por su parte, tuvo también una base experimental. De hecho, la tuvo en mucho mayor grado que la relatividad especial. Los físicos se vieron obligados a introducir esa nueva teoría a fin de explicar el comportamiento de la materia a escala muy pequeña ante la avalancha de datos experimentales en abierta contradicción con las ideas de Newton.

Sin embargo, la teoría general de la relatividad, con su descripción de la gravedad como efecto de la «curvatura del espacio-tiempo» en vez de la fuerza gravitatoria newtoniana, pareció habérsele revelado a Einstein sin que existiera necesidad alguna de un nuevo enfoque tan revolucionario. A principios del siglo XX, la elegante teoría newtoniana de la gravitación universal, actuando según una ley cuadrática inversa para las fuerzas entre partículas, concordaba maravillosamente con las observaciones con un margen de error inferior a una parte en diez millones. Existían algunas anomalías menores pero, en última instancia, todas resultaban ser errores de observación o de cálculo o deberse a alguna influencia perturbadora que no se había tenido en cuenta. Para ser rigurosos, no todas, ya que había ciertos minúsculos detalles en relación con la órbita del planeta Mercurio que no acababan de estar justificados. De todos modos, los astrónomos de la época no estaban demasiado preocupados, pues se hallaban convencidos de que un análisis más cuidadoso de la situación resolvería algún día ese problema aparentemente insignificante en el marco de la teoría de Newton. Desde el punto de vista experimental, por lo tanto, nada hacía prever que la teoría de Newton fuera a ser cuestionada.

Pero Einstein se había visto llevado a un concepto de gravitación muy distinto del newtoniano. No eran los datos de las observaciones lo que inquietaba a Einstein, aunque quizás esta afirmación no sea cierta del todo. En realidad, había un dato experimental que le servía de base, pero no provenía del siglo XX ni del XIX; ni siquiera del XVIII o del XVII. Lo que preocupaba a Einstein había quedado bien establecido por parte de Galileo a finales del siglo XVI (y ya había sido observado por otros con anterioridad) y formaba parte de la física gravitatoria universalmente aceptada. Durante más de cuatro siglos, el verdadero significado de la observación de Galileo había permanecido oculto. Pero Einstein supo verla con nuevos ojos y percibir ese significado. Y éste le condujo a la extraordinaria visión de que la gravitación era una característica intrínseca de la geometría curva del espacio-tiempo y a la formulación de una ecuación —hoy conocida como ecuación de Einstein— de una elegancia y una simplicidad geométrica sin precedentes. Calcular sus implicaciones presenta, no obstante, una enorme dificultad técnica y los resultados son casi siempre indistinguibles de los de Newton. En los ocasionales casos en que no es así, sin embargo, de la teoría de Einstein se deducen nuevos y notables efectos. En uno de éstos, la precisión de la fórmula einsteniana representa una mejora en un factor de diez millones sobre la teoría de Newton.

¿Cómo es ese paradigma de bella ecuación, la ecuación de Einstein que gobierna la relatividad general? Habitualmente se escribe así:

R_ab − 1/2 R g_ab = −8πG T_ab

Pero ¿qué significa? ¿Por qué nos parece bella esa acumulación de símbolos? Es obvio que, sin el significado que subyace bajo ellos, no existe belleza ni significado físico alguno. Antes de intentar desentrañar dicho significado, detengámonos a hacer una breve interpretación. Las variables del lado izquierdo de la ecuación se refieren a ciertas magnitudes de esa misteriosa curvatura del «espacio-tiempo»; las del derecho, a la densidad de energía de la materia. La ecuación E = mc² nos dice que la energía es esencialmente equivalente a la masa y, de modo similar, los términos del lado derecho se refieren también a la densidad de masa. Recordemos, asimismo, que la masa es la fuente de la gravedad. La ecuación de campo de Einstein^[39] indica, pues, que la curvatura del espacio-tiempo (lado izquierdo) está directamente relacionada con la distribución de la masa en el universo (lado derecho).

Antes de comenzar, y dado que en los próximos párrafos van a aparecer algunas ecuaciones matemáticas, tal vez sean útiles algunas consideraciones sobre su lectura. Si al lector le intimidan, le recomiendo una práctica que yo mismo sigo cuando me encuentro con una línea así. Consiste, más o menos, en ignorar la línea y saltar a la siguiente que contenga texto. Bueno, quizá se debería echarle al menos un pequeño vistazo a la ecuación antes de continuar. Más tarde, familiarizados algo más con el contexto, podemos regresar a la ecuación descartada y tratar de captar sus características más destacables. El propio texto debería ayudarnos a decidir qué es lo importante y qué cabe ignorar sin más problemas. Si no es así, no hay que tener miedo de dejarla atrás del todo.

El principio de equivalencia

Intentemos comprender lo que Einstein trataba de lograr al proponer su teoría general de la relatividad. ¿Por qué pensaba que era necesario ir más allá de la exitosa teoría de Newton? ¿Por qué introdujo la noción de curvatura espaciotemporal? ¿Qué es realmente, esa curvatura?

El principio fundamental que, en opinión de Einstein, tenía que ser incorporado al núcleo de la teoría gravitatoria es lo que él mismo denominaba principio de equivalencia. El ingrediente esencial de este principio ya era, en efecto, conocido por Galileo a finales del siglo XVI (y, antes que él, por Simón Stevin en 1586 y por muchos otros, hasta remontarnos a Ioannes Philiponos en el siglo V o VI). Imaginemos que dejamos caer a la vez un objeto grande y otro pequeño, cada uno de ellos de un material arbitrario, desde —por ejemplo— lo alto de la torre inclinada de Pisa. Si ignoramos los efectos de la resistencia del aire, los dos objetos caerán con la misma velocidad y llegarán al suelo al mismo tiempo. Imaginemos una cámara de vídeo amarrada al objeto grande y enfocada hacia el pequeño. Como ambos caen exactamente a la vez, la imagen del objeto pequeño captada por la cámara será la de algo que flota inmóvil, aparentemente estacionario y, por lo tanto, ajeno a la acción de la gravedad. Para los dos objetos —hasta el momento en que alcanzan el suelo, por supuesto— la gravedad terrestre parece haberse desvanecido.

Esta observación contiene la esencia del principio de equivalencia. Al caer libremente por acción de la gravedad, se pueden eliminar sus efectos locales, con lo que, aparentemente, la fuerza gravitatoria ha desaparecido. A la inversa, es posible producir efectos indistinguibles de los de la gravedad si se toma como referencia un marco acelerado. Esta gravedad aparente debida a la aceleración es una característica típica de los modernos medios de transporte de alta velocidad. Cuando un coche acelera, sus ocupantes se ven empujados hacia el respaldo de sus asientos como si una nueva fuerza gravitatoria hubiera aparecido de repente y tirara de los pasajeros hacia atrás. De manera similar, si el conductor pisa de pronto el freno, los ocupantes parecen empujados hacia delante, como si una fuerza gravitatoria repentina tirara de ellos en ese sentido. Si el vehículo gira hacia la derecha, aparecería una fuerza gravitatoria que tiraría de los pasajeros hacia la izquierda, y así sucesivamente. Estos efectos se manifiestan de forma particular en un avión, pues en él es a menudo difícil saber qué dirección corresponde a «abajo» —es decir, hacia el centro de la Tierra—, debido a la confusión entre las sensaciones originadas por la aceleración del avión y las de la gravedad terrestre. El principio de equivalencia dice que esa confusión es una propiedad fundamental de la gravedad. Las leyes físicas que se evidencian cuando tomamos medidas respecto a un marco de referencia acelerado son exactamente las mismas que cuando consideramos un marco no acelerado e introducimos el campo gravitatorio adecuado, además de las fuerzas que estuviesen ya presentes.

Hay que subrayar que esta propiedad de «equivalencia» sólo es válida para el campo gravitatorio y para ningún otro tipo de fuerza. Por ejemplo, no es aplicable si en lugar de un campo gravitatorio tomamos un campo eléctrico. Consideremos un escenario equivalente al propuesto anteriormente, con los objetos cayendo desde la torre inclinada, pero sometidos a fuerzas eléctricas en vez de gravitatorias. La aceleración con la que cada objeto «cae» en el seno de un campo eléctrico no es independiente en absoluto del material de que está hecho: depende de lo que se denomina relación carga/masa del objeto. Para tomar un caso extremo, imaginemos que los dos cuerpos tienen igual masa, pero sus cargas son opuestas (es decir, una tiene carga positiva y la otra, negativa). ¡Los objetos se acelerarían en el seno del campo eléctrico, pero en sentido contrario uno de otro! Una videocámara situada en uno de ellos, desde luego que no registraría al otro como si estuviera en reposo.

Lo que diferencia a los cuerpos cargados en el seno de un campo eléctrico respecto a las masas en el seno de un campo gravitatorio es que la fuerza sobre un cuerpo cargado es proporcional a su carga, mientras que su resistencia al movimiento —es decir, su inercia— es proporcional a su masa. Lo que hace especial al caso gravitatorio es que tanto la fuerza sobre el cuerpo como la resistencia de éste a moverse son, ambas, proporcionales a la masa. Desde la perspectiva newtoniana, este hecho parece ser enteramente fortuito. La igualdad entre masa gravitatoria (que determina la intensidad de la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo) y masa inercial (que determina la resistencia del cuerpo a cambiar su movimiento) en absoluto es un requisito esencial en una teoría dinámica de corte newtoniano pero, en el caso de la gravedad, hace las cosas algo más simples, ya que no hay dos clases de masa de las que preocuparse.

Aunque estos conceptos eran ya conocidos desde hacía mucho tiempo —básicamente, desde las consideraciones hechas por Galileo y, por supuesto, Newton era consciente de ellos—, fue Einstein el primero en darse cuenta de la profunda trascendencia física del principio de equivalencia. ¿En qué consiste esa trascendencia? Recordemos ante todo el desarrollo einsteniano de la relatividad especial. En ella, Einstein había considerado como principio fundamental el de «relatividad especial». Según este principio, las leyes físicas son las mismas para cualquier observador que se mueva uniformemente (sin aceleración alguna). Aunque Larmor, Lorentz y Poincaré habían manejado antes que él las leyes de transformación básicas de la relatividad especial, ninguno de ellos había adoptado el punto de vista de Einstein en el sentido de que ese principio de relatividad fuera fundamental y, por consiguiente, respetado por todas las fuerzas de la naturaleza. El «relativismo» estricto de Einstein le llevó a cuestionar la restricción al movimiento uniforme del principio de relatividad. ¿Cómo percibe las leyes físicas un observador acelerado?

A primera vista, parece que un observador acelerado percibiría leyes distintas de las que constata un observador en movimiento uniforme. En lenguaje newtoniano, haría falta introducir «fuerzas ficticias» (es decir, fuerzas imaginarias) para explicar los efectos de la aceleración. Aquí es donde interviene el principio de equivalencia. Según Einstein, esas fuerzas ficticias no son ni más ni menos reales que la fuerza de gravedad que todos sentimos tirando de nosotros hacia el centro de la Tierra. Esa fuerza con la que nuestro planeta nos atrae parece desaparecer si caemos libremente en su seno. Recordemos nuestra imaginaria cámara de vídeo amarrada a uno de los objetos que caían de la torre. En el marco acelerado de la cámara, el campo gravitatorio terrestre parece haber desaparecido. Se ha convertido en «ficticio» por el simple hecho de haber referido las cosas a un marco que está en reposo respecto a la videocámara.

Bajo el enfoque einsteniano, un observador acelerado percibe las mismas leyes que el que se mueve uniformemente si se añade el campo de fuerzas gravitatorio adecuado, proveniente de la aceleración, a las demás fuerzas en juego. En el caso de la videocámara que cae, este campo adicional sería un campo gravitatorio dirigido hacia arriba que compensa exactamente el campo gravitatorio terrestre (dirigido hacia abajo). En el marco de referencia de la cámara, por lo tanto, el campo gravitatorio es nulo.

En una conferencia celebrada en Japón en 1922, Einstein recordaba el momento en el que tuvo la idea, a finales de 1907:

«Me hallaba sentado ante mi mesa en la oficina de patentes cuando, de repente, un pensamiento se me vino a la cabeza: “si alguien cae libremente, no siente su propio peso”. Me quedé sobrecogido. Esa idea tan simple me dejó una profunda huella y fue la que me impulsó hacia una teoría de la gravitación».

En otra ocasión, Einstein se refería al hecho como «el pensamiento más afortunado de mi vida», pues no en vano contenía la semilla de su maravillosa teoría general de la relatividad.

Al lector tal vez le parezca que, con su teoría, Einstein borró la gravedad de un plumazo. ¡Por supuesto que existe un efecto que denominamos gravedad! Los planetas se mueven realmente de un modo que la teoría de Newton es capaz de describir con éxito. ¡Y, sin duda, hay algo que parece sujetarnos a nuestras sillas! La teoría de Einstein aparenta decimos que la gravedad es algo inexistente, dado que siempre podemos eliminar la fuerza gravitatoria eligiendo simplemente un marco de referencia en caída libre. ¿Adónde ha ido a parar la gravedad en el enfoque einsteniano? En realidad, no ha ido a ninguna parte, sino que se halla escondida tras algunas sutilezas que hasta ahora hemos pasado por alto. En la próxima sección veremos dónde se encuentra oculto el campo gravitatorio.

Las fuerzas de marea

Las consideraciones de los párrafos anteriores son esencialmente locales. Hemos ignorado el modo en el que un campo de fuerzas gravitatorio newtoniano podría variar de un punto a otro. La dirección «hacia abajo» no es exactamente la misma aquí, en Oxford, que en Londres, debido a nuestras distintas posiciones sobre el globo terrestre. Si trato de eliminar el campo gravitatorio aquí, donde me encuentro, según mis consideraciones relativas a un marco de referencia rígido que cae libremente hacia el suelo de Oxford, ese mismo marco no será totalmente válido para alguien que se halle en Londres. Vemos, pues, que la «eliminación» del campo gravitatorio mediante la adopción de un marco en caída libre no es tan fácil como parece.

Para hacer la situación un poco más específica, imaginemos a un astronauta llamado Albert —al que, para abreviar, nos referiremos por su inicial, A— que cae libremente en las proximidades de la Tierra. Podríamos imaginar que A se precipita hacia el suelo sin más, pero resultaría un tanto inhumano. Nos interesan las aceleraciones y no las velocidades directamente, así que también sería válido suponer que Albert se halla a salvo, en órbita alrededor de la Tierra. Supongamos que A está rodeado de una pequeña esfera de partículas, inicialmente en reposo respecto a él. Cada partícula tendrá una aceleración hacia el centro de la Tierra, C, de acuerdo con la ley cuadrática inversa de Newton. Las dos partículas P₁ y P₂ situadas en línea con CA tendrán aceleraciones en la dirección de C, pero la del punto más bajo, P₁, será un poco mayor que la de A. Es decir, respecto a Albert, P₁ se acelerará más lentamente hacia el centro de la Tierra, C, mientras que P₂ lo hará más deprisa. A Albert le parecerá que tanto P₁ como P₂ se aceleran, alejándose de A. Por otra parte, cualquier partícula P₃ situada en el círculo horizontal de partículas con centro en A se acelerará ligeramente hacia dentro, al ser atraída por el centro de la Tierra, C, debido a que éste se halla a una distancia finita de A, lo que hace que la dirección «hacia abajo» sea ligeramente distinta. Respecto a A, la aceleración de esa partícula P₃ parecerá acercarla. La esfera de partículas, por lo tanto, experimentará una distorsión, adoptando una forma elipsoidal; en el eje horizontal, las partículas tenderán a acercarse a A, y en el eje vertical paralelo a AC, se moverán hacia fuera (figura 3.1).

Esta distorsión es conocida como efecto marea de la gravedad. La razón de emplear el término «marea» es que precisamente este efecto es el responsable de la mareas en los océanos terrestres, gobernado en este caso por la posición de la Luna. Para visualizarlo, imaginemos que A representa el centro de la Tierra y que la esfera de partículas representa la superficie de los océanos. Supongamos que C determina la posición de la Luna. De nuevo, las aceleraciones hacia C de los distintos puntos de la superficie oceánica varían. El efecto resultante, respecto al centro de la Tierra, A, será una distorsión elipsoidal de la superficie de los océanos, que será más prominente en dirección a la Luna y, también, en la dirección opuesta. Se trata justamente del principal efecto que da lugar a las mareas. (Existen influencias secundarias, por ejemplo, el —más pequeño— efecto de marea debido al Sol y los efectos inerciales y de fricción debidos al movimiento real del agua en los océanos).

Una característica particular (e implícita) en la ley cuadrática inversa de Newton es que el volumen de la esfera de partículas permanece inicialmente constante en su momentánea distorsión para convertirse en elipsoide. (Lo cual equivale a decir que la aceleración hacia fuera en P₁ o P₂ es dos veces la aceleración hacia dentro de cualquier punto horizontal como P₃). Este hecho depende de la no existencia de una densidad de masa dentro de la esfera misma. Si hubiera una cantidad significativa de masa dentro de la esfera, existiría una aceleración hacia dentro adicional que serviría para reducir el volumen de la esfera en su movimiento inicial. La magnitud de esta reducción (inicial) del volumen es, en general, proporcional a la masa total englobada por la esfera. La magnífica teoría de la gravitación de Newton está avalada por hechos como el que acabamos de examinar.

Un caso particular de esta reducción de volumen tendría lugar si considerásemos que la esfera de partículas rodea por completo la Tierra, donde lo que nos preocupa es el propio campo gravitatorio terrestre y no las pequeñas correcciones debidas a la Luna, las cuales son las (principales) responsables de las mareas. La distorsión de la esfera es, en este caso, una simple reducción de volumen. Se trata de una aceleración «hacia dentro» en toda la superficie terrestre, la cual constituye el familiar campo gravitatorio que nos sujeta a nuestras sillas.

La curvatura espaciotemporal

Aunque el concepto de espacio-tiempo aún no haya sido esbozado en nuestras consideraciones y se examine con más detalle en la sección siguiente, será útil detenerse en él por un momento, ya que el modo de contemplar la gravitación newtoniana en el apartado anterior anticipa cómo la perspectiva de Einstein —de la que el principio de equivalencia es uno de sus pilares— conduce de forma natural a la noción de que la gravitación es una curvatura del espacio-tiempo. Imaginemos que la historia del universo se hallara en su totalidad ante nosotros como un continuo tetradimensional. Por el momento, no estamos abandonando la física newtoniana; nos limitamos a contemplar el universo de Newton de una manera inusual, como un pedazo de geometría tetradimensional. Además de las tres coordenadas espaciales, x, y, z, introduciremos la coordenada temporal t, a modo de cuarta dimensión. Obviamente, visualizar esas cuatro dimensiones es bastante difícil, pero esta visualización no es realmente necesaria. «Olvidemos» temporalmente la coordenada espacial y, de manera que tengamos un espacio-tiempo tridimensional, representado por x, z y t. La figura 3.2 nos da una idea de lo que pretendemos. Una partícula puntual individual está aquí representada por una curva en el espacio-tiempo; esta curva que describe la historia de la partícula recibe el nombre de línea de universo de la partícula.

Intentaremos describir la historia de la esfera de partículas que rodeaba a Albert en la figura 3.1 y ver qué relación tiene con la curvatura del espacio-tiempo. A la derecha de la figura 3.2 he tratado de representar la historia de la evolución de esa esfera, eliminando una de las dimensiones espaciales (concretamente, la dimensión horizontal según el eje y). La esfera (reducida dimensionalmente) aparece como un círculo y, a medida que transcurre el tiempo, se va convirtiendo en una elipse. Obsérvese que las líneas de universo de las partículas desplazadas en sentido vertical, P₁ y P₂ (el eje mayor de la elipse), se curvan hacia fuera, mientras que las de las partículas desplazadas en sentido horizontal, P₃ y P'₃ (el eje menor), lo hacen hacia dentro.

Comparemos este «efecto de combadura» con el comportamiento de las geodésicas en una superficie curva. Una geodésica es una curva de longitud mínima sobre esa superficie. Imaginemos que mantenemos tenso un trozo de cuerda sobre una superficie así: describirá una geodésica. Si la superficie tiene lo que denominamos curvatura positiva (la curvatura de una superficie esférica ordinaria), dos geodésicas ligeramente separadas que al comienzo sean paralelas entre ellas tenderán a irse combando y acercando la una a la otra. Si la superficie, en cambio, posee lo que conocemos como curvatura negativa (la de una silla de montar), las geodésicas inicialmente paralelas tenderán a divergir, apartándose una de otra (figura 3.3). Esta manifestación de la curvatura recibe el nombre de desviación geodésica.

En nuestro modelo de espacio-tiempo para la distorsión de marea, ilustrado a la derecha de la figura 3.2, apreciamos una combinación de esos dos tipos de curvatura. Hay una curvatura positiva (una combadura hacia dentro) para las líneas de universo de las partículas desplazadas horizontalmente, P₃ y P'₃, mientras que las líneas de universo correspondientes a las partículas desplazadas en sentido vertical, P₁ y P₂, tienen curvatura negativa (se comban hacia fuera). Interpretar la distorsión de las líneas de universo en el efecto marea como cierta forma de desviación geodésica tiene sentido si asumimos que las líneas de universo de unas partículas que se mueven libremente bajo el efecto de la gravedad son geodésicas espaciotemporales. Para ello es preciso disponer de la adecuada noción de «distancia» en el espacio-tiempo.

Examinaremos este punto en las próximas dos secciones y comprobaremos que el efecto de marea es un ejemplo de desviación geodésica y, por lo tanto, una medida directa de la curvatura del espacio-tiempo.

La noción de curvatura en un número mayor de dimensiones es algo más complicada que en el caso bidimensional. En dos dimensiones, la curvatura en un punto dado viene expresada mediante un único número,^[40] que será positivo para una superficie de tipo esférico y negativo para una similar a una silla de montar. Si el número de dimensiones es superior a dos, la curvatura viene expresada por varios números, denominados componentes de curvatura, los cuales miden básicamente el tipo de curvatura bidimensional en distintas direcciones. En el ejemplo que acabamos de considerar hemos visto, de hecho, una componente positiva de curvatura en la dirección horizontal que va de A a P₃ y P'₃ y una componente negativa asociada a la dirección vertical que va de A a P₁ y P₂. En el espacio-tiempo tetradimensional, la curvatura tiene veinte componentes independientes que pueden ser englobadas en un único ente matemático denominado «tensor de curvatura de Riemann». Discutiremos el concepto de tensor en una sección posterior, pero señalaremos de momento que la ecuación de Einstein es una ecuación de tensores en la que los subíndices (como la a y la b en R_ab) identifican las componentes en distintas direcciones.

Hasta ahora no hemos hecho uso realmente de la relatividad general: nos hemos limitado a contemplar la teoría de la gravitación de Newton desde la perspectiva einsteniana.^[41] Para penetrar en aquélla tendremos que saber algo más sobre la relatividad especial: por qué se trata de una teoría sobre un espacio-tiempo tetradimensional, y cuál es la apropiada noción de «distancia» en esta geometría ψ. Abordamos estos temas seguidamente.

La noción de geometría ψ de Minkowski

Einstein basó su teoría especial de la relatividad de 1905 en dos principios fundamentales. El primero ya había sido establecido con anterioridad: todos los observadores en movimiento uniforme perciben las mismas leyes de la naturaleza. El segundo afirmaba que la velocidad de la luz es una constante fundamental y su valor no depende de la velocidad de la fuente. Algunos años antes, el gran matemático francés Henri Poincaré había planteado un esquema similar (y otros, como el físico holandés Hendrik Lorentz, habían avanzado en él). Pero Einstein fue el primero en ver que los principios básicos de relatividad tenían que ser aplicables a todas las fuerzas de la naturaleza.

Los historiadores aún discuten acerca de si Poincaré había comprendido la relatividad especial antes de que Einstein entrara en escena. En mi opinión, aunque esto fuera así, la relatividad especial no fue entendida en su totalidad (ni por Poincaré ni por Einstein) hasta que Hermann Minkowski presentó, en 1908, su modelo de espacio-tiempo tetradimensional. En una famosa conferencia dada en la Universidad de Gotinga, el matemático lituano proclamó: «En lo sucesivo, el espacio en sí y el tiempo en sí están condenados a desvanecerse en las sombras y sólo una especie de unión entre ambos conservará una realidad independiente».

Einstein no pareció apreciar al principio la trascendencia de la contribución de Minkowski, y durante un par de años no la consideró seriamente. Cuando después comprendió su potencia, la convirtió en plataforma sobre la que desarrollaría su relatividad general, en la que la geometría del espacio-tiempo tetradimensional de Minkowski se hace curva.

La interpretación física de esta curvatura es, en esencia, la que ya le hemos dado, pero aún falta un ingrediente: la interpretación de las líneas de universo de las partículas que se mueven libremente bajo la acción de la gravedad como geodésicas en la geometría del espacio-tiempo. Ejemplos de las citadas geodésicas serían las líneas de universo de nuestro astronauta A y de la esfera de partículas que le rodea. Para entender esta interpretación debemos examinar primero la estructura matemática tetradimensional plana que Minkowski introdujo en realidad con el fin de describir la relatividad especial.

A tal efecto, será de ayuda empezar considerando la geometría euclídea tridimensional ordinaria. Utilizando coordenadas cartesianas, x, y, z, para identificar cada punto del espacio euclídeo tridimensional, la distancia l desde el origen (con coordenadas x = y = z = 0) al punto (X, Y, Z) (con coordenadas x = X, y = Y, z = Z) viene dada por la fórmula de Pitágoras:

l² = X² + Y² + Z²

El lector recordará el teorema de Pitágoras, el cual establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto da lugar a la fórmula bidimensional l² = X² + Y², ya que la distancia entre dos puntos en el plano es la hipotenusa l de un triángulo rectángulo cuyos catetos son X e Y. La extensión a tres dimensiones es una consecuencia inmediata.

Podemos usar la fórmula de arriba para calcular la distancia al cuadrado entre dos puntos cualesquiera sólo con sustituir X por la diferencia entre las abscisas de ambos puntos y hacer lo mismo con Y y Z.

Es fácil generalizar la fórmula a cuatro dimensiones y obtener el cuadrado de la distancia desde el origen al punto w = W, x = X, y = Y, z = Z en el espacio euclídeo tetradimensional como:

l² = W² + X² + Y² + Z²

Sin embargo, la geometría del espacio-tiempo de Minkowski difiere sutil pero trascendentalmente. Aunque las coordenadas ψes resultan ligadas unas a otras en la teoría de la relatividad mediante una especie de rotación (la «transformación de Lorentz»), el modo en el que una rotación euclídea ordinaria mezcla las coordenadas w, x, y, z no nos da la receta correcta. Hay una distinción cualitativa importante en las coordenadas espaciotemporales de la descripción de Minkowski, que se manifiesta como una diferencia de signos en la fórmula de la distancia.

En lugar de la cuarta coordenada espacial w, introducimos una coordenada temporal, t. ¿En qué sentido hay que modificar la fórmula anterior para obtener la medida minkowskiana correcta de la «distancia» τ? Para llegar a obtener dicha medida debemos invertir los signos de todas las contribuciones espaciales, dejando que sólo la coordenada temporal t = T contribuya con signo positivo:

τ² = T² − X²− Y² − Z²

Como estamos utilizando unidades tanto de distancia como de tiempo, la velocidad de la luz se convierte en el nexo de unión. Es decir, si estuviéramos usando el año como unidad de tiempo, deberíamos emplear como unidad de distancia espacial el año-luz. Si la unidad temporal es el segundo, debemos usar el segundo-luz (unos 300.000 kilómetros) como unidad de medida espacial.

¿Qué clase de «distancia» es entonces la definida por τ? En realidad, τ es una medida de tiempo, lo que se conoce como tiempo propio. Si el punto del espacio-tiempo P, de coordenadas t = T, x = X, y = Y, z = Z, es tal que el resultado de la operación de la derecha es positivo, se dice que P presenta una separación tipo tiempo respecto al origen O, lo que, desde el punto de vista físico, significa que para la línea de universo de una partícula es teóricamente posible pasar de O a P (si T es positivo) o de P a O (si T es negativo). Si esa partícula se mueve uniformemente y en línea recta de O a P, la variable τ (en valor absoluto) es el tiempo (el tiempo propio) realmente experimentado por la partícula entre O y P, medido por un reloj ideal situado en la propia partícula. (El hecho de que este tiempo no sea simplemente el t newtoniano, sino que dependa también de las coordenadas espaciales, es una expresión de la «relatividad del tiempo» implícita en la relatividad especial). Como en la geometría euclídea, el razonamiento es válido también si sustituimos el origen O por cualquier otro punto arbitrario y T, X, Y, Z, por las diferencias entre las respectivas coordenadas t, x, y, z de los dos puntos P y P' implicados, siendo t el tiempo experimentado por la partícula al moverse por inercia de P a P'.

La geometría minkowskiana tiene la curiosa propiedad de que la «distancia» entre dos puntos P y P' puede ser nula aunque tales puntos no coincidan. Esto sucede cuando un rayo de luz puede contener tanto a P como a P' (pensemos que una «partícula de luz» o fotón viaja a la velocidad de la luz). Así pues, si llamamos tiempo propio a la interpretación de la «distancia de Minkowski» expuesta anteriormente, observamos que un fotón no experimentaría en absoluto el paso del tiempo (si los fotones fuesen capaces de experimentar algo). Para un punto P dado, el lugar geométrico de esos puntos P' constituye el cono de luz (futuro) de P. Los conos de luz son importantes porque determinan las propiedades de causalidad del espacio de Minkowski, pero no nos ocuparemos mucho de ellos aquí. El único aspecto esencial que se debe tener en cuenta es que la línea de universo de una partícula con masa tiene que hallarse dentro del cono de luz en todo momento. Esta circunstancia expresa simplemente el hecho de que la partícula nunca supera la velocidad de la luz. Una línea de universo de esta clase recibe el nombre de curva tipo tiempo. Toda línea de universo de una partícula masiva es necesariamente una curva tipo tiempo.

Cualquier curva tipo tiempo (es decir, cualquier línea de universo válida para una partícula), sea recta o no, tiene una «longitud» de Minkowski. Una línea de universo curvada describe a una partícula acelerada. Su «longitud» es, simplemente, el tiempo (propio) experimentado por la partícula. Para obtener matemáticamente esa longitud, basta con hacer lo mismo que en una geometría euclídea ordinaria, pero teniendo en cuenta las diferencias de signo, indicadas con anterioridad, que aparecen al pasar a la geometría minkowskiana. En la práctica, hay que usar la expresión infinitesimal que mide la «distancia» entre dos puntos infinitamente próximos y después «sumar» (en términos matemáticos, integrar) todas esas distancias infinitesimales a lo largo de la curva para obtener su longitud total. En la geometría euclídea tridimensional, esa distancia infinitesimal «dl» se obtiene a partir de las coordenadas cartesianas x, y, z mediante la fórmula:

dl² = dx² + dy² + dz²

En el caso minkowskiano, la expresión es la siguiente:

dτ² = dt² − dx² − dy² − dz²

pero la interpretación es del todo análoga. (Aquéllos menos acostumbrados a la notación pueden imaginar que dt significa t' − t, dx sería x' − x, etcétera, con P' infinitamente próximo a P dentro del cono de luz de P). El intervalo total de tiempo (propio) entre dos puntos pertenecientes a una línea de universo, medido por un reloj ideal, es la «longitud» total de la fracción de dicha línea comprendida entre ambos puntos.

Una característica importante de la longitud en la geometría euclídea es que, de todas las curvas que pasan por los dos puntos, la longitud mínima corresponde a una línea recta («la distancia más corta entre dos puntos»). Existe una propiedad análoga en la geometría de Minkowski, aunque las cosas suceden de otra manera. Si elegimos un par de puntos con una separación tipo tiempo entre ellos, de todas las curvas tipo tiempo que los unen, el tiempo propio máximo corresponde a la línea recta. Desde el punto de vista físico, este hecho da lugar a lo que a veces se denomina «paradoja del reloj» (o «paradoja de los gemelos»), según la cual alguien que viaja hasta una estrella lejana y regresa envejece menos (debido a la menor «distancia de Minkowski» recorrida) que su hermano gemelo que ha permanecido todo el tiempo en la Tierra. El gemelo «terrícola» tiene una línea de universo recta y, por consiguiente, experimenta un lapso de tiempo mayor que su hermano «viajero», cuya línea de universo se curva a causa de la aceleración. Es erróneo, sin embargo, considerar el hecho una paradoja. Aunque pueda resultar chocante, no se trata de ninguna paradoja y muchos experimentos han confirmado el fenómeno con gran precisión. La geometría minkowskiana hace que la diferencia temporal entre los dos gemelos parezca casi «ordinaria».

¿Qué es lo que condujo a Einstein a modificar la bella geometría espaciotemporal de Minkowski y a introducir un espacio-tiempo curvado? Hemos visto que, en la relatividad especial, las partículas que se mueven libremente en ausencia de fuerzas —es decir, las partículas que se desplazan inercialmente— poseen líneas de universo rectas en el espacio de Minkowski. El deseo de Einstein de incorporar el principio de equivalencia a la teoría física le hizo ver que era preciso un nuevo concepto de «movimiento inercial». Como la fuerza gravitatoria puede ser localmente eliminada mediante la adopción de un marco de referencia en caída libre, según el punto de vista de Einstein, no consideraremos que dicha fuerza es «real». De este modo, Einstein vio que necesitaba introducir una noción diferente de movimiento inercial, la denominada caída libre bajo la acción de la gravedad, en la que no hubiera otras fuerzas en acción. Debido al efecto marea que hemos descrito anteriormente, no cabe pensar que las partículas «inerciales» (en el sentido einsteniano) tengan líneas de universo rectas (es decir, geodésicas) en la geometría de Minkowski. Así pues, necesitamos generalizar esta geometría, lo que la convierte en curvada. Einstein halló que, en efecto, las líneas de universo de sus partículas inerciales podían ser geodésicas en esta nueva geometría —maximizando localmente la «longitud», en vez de hacerla mínima, según lo que habíamos dicho— y la distorsión de marea, un ejemplo de desviación geodésica, la cual proporciona una medida directa de la curvatura espaciotemporal. Examinemos algo más en detalle esta curvatura.

Geometría espaciotemporal curva

Dos grandes matemáticos alemanes del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann, introdujeron la noción general de «geometría curva». Para hacernos una idea de este tipo de geometría, pensemos en la superficie de una pelota de tenis partida por la mitad. La semiesfera puede ser deformada de muchas maneras, pero lo que denominamos su geometría intrínseca permanece inalterada bajo tales deformaciones. La geometría intrínseca está relacionada con las distancias medidas a lo largo de la superficie y no tiene que ver con el espacio (en nuestro ejemplo, el espacio euclídeo tridimensional ordinario) en el que cabe pensar que dicha superficie está inserta. Las distancias medidas directamente desde un punto a otro, atravesando el espacio fuera de la superficie, no forman parte de la geometría intrínseca. La longitud de una línea dibujada sobre media pelota de tenis no varía por más que la doblemos, aplastemos o flexionemos.

Gauss presentó el concepto de geometría intrínseca para el caso bidimensional —el de la pelota de tenis— en 1827. Demostró que en esta geometría existe una noción de curvatura que es completamente intrínseca y a la que no le afecta cambio alguno en la forma que la superficie pueda adoptar. Esa curvatura puede ser calculada a partir de medidas de longitud tomadas a lo largo de la superficie, entendiendo dichas medidas de longitud de una curva como el resultado de integrar distancias infinitesimales dl a lo largo de ella, como se decía con anterioridad. En la práctica, y tras aplicar a la superficie un sistema de coordenadas idóneo, por ejemplo, u, v, obtenemos la siguiente expresión:

dl² = A du² + 2B du dv + C dv²

Donde A, B y C son funciones de u y v (la expresión es casi igual a la fórmula de Pitágoras para la distancia, dl² = dx² + dy², pero usando coordenadas generales u, v).

En 1854, Riemann mostró el modo de generalizar la geometría intrínseca de Gauss a superficies de más dimensiones. El lector tal vez se pregunte qué interés podrían tener los matemáticos en geometrías intrínsecas de un número de dimensiones mayor. El espacio ordinario tiene sólo tres dimensiones y no parece que tenga mucho sentido «flexionar» una «superficie» tridimensional en su seno, y no hablemos de superficies de más dimensiones. Ante todo debemos puntualizar que el escenario anteriormente descrito es útil sólo para empezar a entender el concepto de «geometría intrínseca». En realidad, habría que pensar en la geometría intrínseca de nuestra superficie como en algo que tiene sentido por sí mismo, sin necesidad de que haya un espacio de por medio. De hecho, una de las motivaciones originales de Riemann fue pensar que el espacio físico tridimensional que habitamos podría tener una geometría intrínseca curva, sin que deba «residir» en el seno de un espacio de más dimensiones.

No obstante, Riemann consideró también geometrías intrínsecas n-dimensionales y cabría preguntarse por qué. En este punto hay que hacer dos consideraciones importantes. En primer lugar, resulta que el formalismo matemático desarrollado para manejar espacios curvos tridimensionales es básicamente el mismo que para manejar espacios n-dimensionales curvos en general, con lo que no se gana nada restringiendo el caso a n = 3. En segundo, la geometría (intrínseca) n-dimensional curva es importante en muchos contextos en los que n no se refiere al número de dimensiones de un espacio ordinario, sino al de grados de libertad de un sistema. Existen espacios matemáticos abstractos denominados «espacios de configuraciones», en los que cada punto representa una disposición concreta de todas las partes de cierta estructura física. En estos espacios, de hecho, la magnitud n puede ser muy grande —en el caso de que el sistema conste de muchas partes— y la geometría de Riemann resulta de gran ayuda.

Las nociones de «métrica» y «curvatura» en el caso n-dimensional son generalizaciones naturales de las introducidas por Gauss para las superficies bidimensionales ordinarias pero, debido al gran número de componentes involucradas, es necesaria una notación capaz de manejarlas adecuadamente en su conjunto. En lugar de las tres «componentes métricas» A, B y C que aparecen en la expresión anterior para dl² en el caso bidimensional, para tres dimensiones necesitamos seis de esas componentes. Son las componentes de un tensor métrico, representado generalmente por g_ab. Esta variable sirve para definir la adecuada noción de «distancia» entre puntos vecinos, denotada habitualmente por ds.^[42]

En la geometría de Riemann, obtenemos la longitud de una curva en el espacio integrando ds a lo largo de la curva, igual que en caso del espacio plano ya analizado. Una geodésica en una variedad de Riemann es una curva que minimiza (localmente) la longitud, es decir, que describe «la distancia más corta entre dos puntos», en el sentido adecuado. La curvatura del espacio de Riemann es la magnitud que describe la cantidad de desviación geodésica en todas las direcciones posibles del espacio (según se indicaba con anterioridad). Como era de esperar, la curvatura tiene muchas componentes, cada una de las cuales representa la curvatura asociada a una de las muchas direcciones posibles en las que cabe medir la desviación geodésica. En la práctica, toda esa información queda recogida en una variable denominada tensor de Riemann. El tensor de Riemann (o su colección de componentes) se representa por R_abcd, donde los subíndices se refieren a todas las maneras distintas en las que se puede medir la desviación geodésica.^[43]

La relatividad general de Einstein está formulada en términos de un concepto de espacio-tiempo curvo tetradimensional que guarda la misma relación con el espacio-tiempo plano de Minkowski que el concepto de geometría curva de Riemann respecto a la geometría euclídea plana. La métrica g_ab puede ser utilizada para definir longitudes de curvas pero, al igual que en la geometría espaciotemporal plana de Minkowski, es mejor pensar que esa «longitud» corresponde a un tiempo medido por una partícula a lo largo de su línea de universo. Aquellas líneas de universo que maximizan localmente esa medida de tiempo son las geodésicas espaciotemporales y corresponden a partículas que se mueven inercialmente (en el sentido einsteniano de que «se mueven libremente bajo la acción de la gravedad», como ya hemos indicado).

Recordemos ahora que, en la teoría de Newton, la desviación geodésica en el espacio-tiempo causada por la gravedad tiene la propiedad de que en el vacío no hay inicialmente cambio de volumen alguno, mientras que cuando existe materia en las proximidades de las geodésicas desviadas, la reducción de volumen es proporcional a la masa total rodeada por las geodésicas. Esta reducción de volumen es un promedio de la desviación geodésica en todas las direcciones alrededor de la geodésica central —la línea de universo del astronauta A, en nuestro caso—. Así pues, necesitamos una entidad que mida el citado promedio. Esta entidad es conocida como tensor de Ricci y se obtiene a partir de R_abcd. Su colección de componentes se representa habitualmente como R_ab. Existe también un promedio global único, R, denominado curvatura escalar.^[44] Recordemos que R_ab y R, junto con g_ab, son precisamente los términos que aparecen en el lado izquierdo de la ecuación de Einstein.

Las variables g_ab, R_abcd y R_ab constituyen (conjuntos de componentes de) un tipo de ente matemático denominado tensor. Los tensores son fundamentales en el estudio de la geometría de Riemann. La razón tiene que ver con el hecho de que, en este contexto, es indiferente el conjunto de coordenadas elegido para describir la variedad (lo cual es una consecuencia de la aplicación estricta del principio de equivalencia). Es posible usar cualquier juego de coordenadas, según convenga a cada uno. El cálculo tensorial constituyó un logro técnico extraordinario y fue desarrollado a finales del siglo XIX por varios matemáticos como un medio de extraer información invariante sobre la variedad, su métrica y su curvatura («invariante» quiere decir, esencialmente, «independiente de cualquier elección concreta de coordenadas»).

Al tratar de incorporar plenamente el principio de equivalencia a una teoría física de la gravitación, Einstein se dio cuenta de que necesitaba una formulación que fuese «invariante» en el sentido antes indicado. Llamó a este requisito principio de covarianza general. Las coordenadas espaciotemporales empleadas para describir dos marcos de referencia acelerados diferentes pueden estar relacionadas entre ellas de alguna manera (muchas veces complicada), pero ninguno de ambos conjuntos es «preferible» al otro. Einstein tuvo que pedirle a su colega Marcel Grossmann que le enseñara los rudimentos del «cálculo de Ricci» (que era el nombre que tenía entonces el cálculo tensorial). La única diferencia importante entre la geometría espaciotemporal curva que él precisaba y la geometría de Riemann para la que había sido diseñado el cálculo de Ricci (en el caso tetradimensional) era el cambio de «signatura» necesario para pasar de la estructura localmente euclídea de los espacios de Riemann a la estructura localmente minkowskiana requerida por un espacio-tiempo relativista.

La relatividad general

Volvamos a Albert, nuestro astronauta A rodeado de una esfera de partículas. Tanto A como las partículas se mueven inercialmente en el sentido einsteniano (es decir, libremente bajo la acción de la gravedad) y, según lo postulado, sus líneas de universo deberían ser geodésicas en el espacio-tiempo.^[45] Recordemos que, en la teoría de Newton, la reducción inicial del volumen de esa esfera es proporcional a la masa que engloba y que el tensor de Ricci es la variable que mide ese cambio de volumen. Según esto, cabría esperar que la generalización relativista adecuada de la teoría de Newton fuera aquella en la que hubiera una ecuación que relacionara el tensor espaciotemporal de Ricci con otra variable tensorial que midiera la densidad de masa de la materia. Esta última variable recibe el nombre de tensor de energía-momento y su conjunto de componentes se representa por T_ab. Una de esas componentes mide la densidad de masa-energía; las otras miden densidades de momento, esfuerzos y presiones en el material. En la teoría de Newton hay un factor de proporcionalidad entre la aceleración interna y la densidad de masa: la constante de la gravitación universal, G. Esto condujo a Einstein a proponer una ecuación como la siguiente:

R_ab = −4πG T_ab

El término 4π proviene del hecho de que estamos tratando con densidades y no con partículas individuales y el signo menos, de que la aceleración es interna y la convención que he adoptado para el signo del tensor de Ricci es tal que las aceleraciones externas aparecen con signo positivo, aunque existen innumerables opciones para ésta y otras convenciones aplicables al caso.

La ecuación es, de hecho, la primera que Einstein presentó, hasta que poco después se dio cuenta de que no era consistente con cierta ecuación,^[46] que necesariamente debe satisfacer T_ab y que expresa una ley fundamental de conservación de la energía para las fuentes de materia. Esto le obligó, tras varios años de vacilaciones, a sustituir la magnitud R_ab de la izquierda por otra ligeramente distinta, R_ab − 1/2R g_ab, la cual, por razones puramente matemáticas, satisface también, milagrosamente, la misma ecuación que T_ab. Mediante este cambio, Einstein obtuvo la consistencia necesaria en la ecuación resultante, la muy notable y justamente famosa ecuación de Einstein:^[47]

R_ab − 1/2R g_ab = −8πG T_ab

Esta «reducción de volumen» en la desviación geodésica a la que la ecuación da lugar es sólo ligeramente distinta de la que cabría esperar en la teoría de Newton, debido al término adicional «−1/2Rg_ab» del lado izquierdo de la ecuación. La «fuente de la gravitación» (es decir, la fuente de la reducción del volumen), en lugar de ser simplemente 4πG multiplicado por la densidad de masa (en el sentido de masa-energía expresado por T_ab), resulta ser ahora 4πG multiplicado por la densidad de masa más la suma de las presiones en el material, en tres direcciones mutuamente ortogonales (provenientes de las otras componentes de T_ab). En los materiales ordinarios, tales como los que forman las estrellas comunes y los planetas, las presiones son muy pequeñas comparadas con las densidades de masa (debido a que las partículas que constituyen estos cuerpos se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz) y la teoría de Newton predice su comportamiento de forma muy precisa. Hay, sin embargo, algunas circunstancias (p. ej., la fase de inestabilidad de una estrella supermasiva, a medida que colapsa para convertirse en un agujero negro) en las que esa sutil diferencia se hace muy relevante.

Comprobaciones clásicas de la relatividad general

De la discusión anterior podría parecer que la relatividad general de Einstein es un mero ajuste técnico de la teoría de Newton para hacerla concordar con los principios de relatividad y equivalencia. En efecto, se podría decir así, aunque la forma en que he presentado la comparación entre ambas iba orientada a facilitar su comprensión y no corresponde al modo en que se desarrollaron las cosas. Concentrándonos en la fuerza de marea de la gravitación de Newton como en algo que no puede ser eliminado en una caída libre, hemos podido ver con más claridad su relación con la curvatura espaciotemporal y, por lo tanto, con el marco einsteniano de la relatividad general.

De hecho, resulta notablemente difícil encontrar diferencias claramente observables entre las dos teorías. Originalmente, existían las llamadas «tres pruebas» de la relatividad general. La más impactante de las tres fue la explicación del avance del perihelio del planeta Mercurio en su órbita alrededor del Sol. Se conocía, desde el siglo XIX, una curiosa discrepancia con la teoría de Newton en el movimiento de Mercurio. Descontando los efectos perturbadores de todos los demás planetas, quedaba aún una pequeña componente adicional en el movimiento de Mercurio que suponía una oscilación en el eje de su elipse orbital de 43 segundos de arco por siglo. Esta cantidad es tan diminuta que la citada elipse tardaría tres millones de años en completar el giro debido en exclusiva a este efecto. Los astrónomos habían conjeturado diversas explicaciones, incluida la existencia de otro planeta en la órbita de Mercurio, al que incluso se le llegó a dar nombre (Vulcano). Ninguna de esas ideas funcionó, hasta que la teoría de Einstein explicó con precisión la discrepancia en lo que constituyó una comprobación espectacular de su validez.^[48] Las otras dos pruebas se refieren al enlentecimiento de los relojes ideales en un campo gravitatorio y a la desviación de la luz por parte del campo gravitatorio solar. El efecto de enlentecimiento de los relojes fue confirmado de manera convincente mediante un experimento realizado en 1960 por Pound y Rebka, aun admitiendo que era una comprobación un tanto débil de la relatividad general, pues se trataba de una consecuencia directa del principio de conservación de la energía y de la ecuación E = hf para la energía de un fotón.

El efecto de la desviación de la luz tiene una historia más interesante. Antes de llegar a la relatividad general, Einstein había hecho uso del principio de equivalencia para predecir, en 1911, que el Sol desviaría la luz procedente de una estrella una cantidad que es sólo la mitad de lo que la teoría completa predice. El efecto sería observable durante un eclipse total de Sol, así que en 1914 se decidió organizar una expedición a Crimea para comprobar la predicción. Desde el punto de vista de Einstein, fue una suerte que la primera guerra mundial impidiera llevarla a cabo. Cuando, finalmente, Arthur Eddington viajó a la Isla del Príncipe para observar la desviación de la luz durante el eclipse de 1919, Einstein había encontrado ya la teoría correcta —en 1915— y los resultados sirvieron para confirmarla de manera triunfal. Desde la perspectiva actual, esas observaciones pueden parecer menos convincentes de lo que lo fueron en su tiempo, cuando supusieron el éxito de la teoría einsteniana. En cualquier caso, las observaciones modernas del efecto y de un retardo temporal constatado por Shapiro añaden crédito adicional a la predicción de Einstein.

La desviación einsteniana de la luz actualmente está tan bien establecida que se emplea de forma rutinaria como herramienta en las observaciones astronómicas y cosmológicas. Las galaxias lejanas se convierten en complejas lentes para fuentes de luz aún más distantes, proporcionando información, que no es posible obtener fiablemente por otros medios, sobre la distribución de la masa en el universo. La predicción de Einstein ha resultado ser una extraordinaria sonda para detectar materia en el último rincón del cosmos.

Ondas gravitatorias

Una de las predicciones más notables de la teoría de Einstein es la existencia de ondas gravitatorias.^[49] La teoría del electromagnetismo de Maxwell condujo a la predicción de que las ondas producidas por campos eléctricos y magnéticos oscilantes debían propagarse a través del espacio a la velocidad de la luz y Maxwell había postulado en 1865 que la propia luz era un efecto de esta naturaleza. En la actualidad, la predicción de Maxwell ha sido confirmada exhaustivamente en muchas situaciones experimentales. La teoría de la gravitación de Einstein guarda muchas semejanzas con la teoría de Maxwell, y una de ellas es la existencia de las ondas gravitatorias, distorsiones espaciotemporales que se propagan a la velocidad de la luz. Esas ondas serían emitidas por cuerpos gravitatorios en órbita unos alrededor de otros, pero el efecto es generalmente muy pequeño. En nuestro sistema solar, la mayor emisión de energía en forma de ondas gravitatorias proviene del movimiento de Júpiter alrededor del Sol. Esta pérdida de energía equivale solamente a la luz de una bombilla de 40 watios.

De hecho, e influido tal vez por su colega el físico polaco Leopold Infeld, Einstein llegó a cuestionar su creencia de que un sistema gravitatorio libre pudiera perder realmente energía en forma de ondas gravitatorias. A principios de la década de 1960, cuando comenzaba a interesarme por la teoría de Einstein, existía un áspero debate en relación con el tema. A la vez, tenían lugar los primeros avances importantes sobre la relatividad general. Durante muchos años, desde la época en la que fue concebida, la teoría había atraído la atención de muy pocos físicos relevantes y solía ser encuadrada en el ámbito de la matemática pura. Pero a comienzos de la citada década brotó un repentino interés por ella. En particular, los trabajos de varios teóricos proporcionaron lo que en mi opinión era una demostración convincente de que las ondas gravitatorias eran un fenómeno físico real y de que la pérdida de energía debida a esas ondas estaba de acuerdo con la fórmula que Einstein propusiera muchos años antes, en 1918.

Con posterioridad, la teoría de Einstein ha adquirido un extraordinario auge gracias a las observaciones (y al análisis teórico) de Joseph Taylor y Russell Hulse. Ellos fueron los primeros en observar, en 1974, las señales pulsantes procedentes del sistema PSR 1913+16, formado por dos estrellas de neutrones. Las variaciones de esas señales proporcionan información detallada sobre las masas de las estrellas y sobre sus órbitas y es posible cruzar dicha información con lo que predice la relatividad general. La concordancia entre ambas es extraordinariamente precisa. En los veinticinco años en que el citado sistema ha estado siendo observado, la variación en el periodo de las señales ha sido de una parte en 10¹⁴, es decir, de una parte en cien billones. En una primera aproximación, el hecho verifica las órbitas newtonianas de las estrellas. En segundo lugar, proporciona una confirmación detallada de las correcciones previstas por la relatividad general para esas órbitas (del tipo de las que se aplican al avance del perihelio de Mercurio). Finalmente, la pérdida de energía por parte del sistema en forma de ondas gravitatorias concuerda con precisión con la teoría einsteniana. En 1993, Hulse y Taylor fueron galardonados con el Premio Nobel de Física por el descubrimiento y análisis de ese notable sistema estelar. Desde sus inciertos comienzos, cuando parecía una teoría extravagante y de débil fundamento, la relatividad general ha llegado a convertirse hoy en la teoría física que se ajusta con mayor grado de precisión al comportamiento de la naturaleza.

La existencia de ondas gravitatorias parece estar fuera de toda duda en el caso del sistema PSR 1913+16. Pero estas ondas todavía no han sido observadas de manera convincente y directa aquí, en la Tierra. Hay varios detectores en diferente estado de construcción que deberían poder registrar estas ondas en el futuro. Más aún, el conjunto de esos detectores, ubicados en distintos puntos del globo, se podría convertir dentro de unos años en un telescopio de ondas gravitatorias a escala planetaria, capaz de obtener información sobre grandes cataclismos (como colisiones de agujeros negros) que tengan lugar en galaxias muy lejanas. Esto abriría un nuevo tipo de ventana hacia el universo, en el que las familiares ondas electromagnéticas serían sustituidas por ondas gravitatorias. Como en el caso de la desviación de la luz, la predicción de Einstein sobre la existencia de ondas gravitatorias puede llegar a convertirse en una nueva y poderosa herramienta que nos permita conocer lo que hay en los confines del universo.

Algunos problemas de la relatividad general

Hemos visto hasta ahora algunos de los extraordinarios éxitos de la relatividad general. ¿Qué hay acerca de sus limitaciones? Un lugar común en torno a la teoría es que sus ecuaciones son notoriamente difíciles de resolver. En efecto, a pesar de su apariencia relativamente simple, la ecuación de Einstein encierra una enorme complejidad, la cual se pone de manifiesto cuando escribimos la expresión R_ab − 1/2Rg_ab de forma explícita en términos de las componentes de g_ab y sus derivadas parciales primera y segunda respecto a las coordenadas. Durante muchos años sólo se conocieron explícitamente unas pocas soluciones de la ecuación, pero recientemente se han encontrado muchas otras mediante nuevos procedimientos de cálculo. La mayoría de ellas tienen un interés puramente matemático y no son aplicables a ningún escenario físico relevante. Sin embargo, de la naturaleza de las soluciones exactas se ha obtenido valiosa información relativa, en particular, a los cuerpos rotatorios, a los agujeros negros, a las ondas gravitatorias y a la cosmología.

En cualquier caso, sigue siendo difícil encontrar soluciones exactas que describan situaciones que nos puedan interesar. Entre las más notables está el denominado «problema de los dos cuerpos»: hallar una solución exacta de la ecuación de Einstein que describa, por ejemplo, dos estrellas orbitando una alrededor de otra. La dificultad estriba aquí en que, debido a la emisión de ondas gravitatorias, ambas estrellas trazarían una espiral hacia la otra, por lo que la situación no posee simetría. (La simetría suele ser de gran ayuda a la hora de resolver ecuaciones). No obstante, en la actualidad, la dificultad para encontrar soluciones exactas de sus ecuaciones no se considera una limitación de una teoría física. Con el advenimiento de los modernos ordenadores, a menudo los físicos obtienen información mucho más útil sobre una ecuación mediante una simulación numérica que a partir de una solución exacta explícita. Se han hecho esfuerzos considerables para desarrollar técnicas de computación aplicables a la relatividad general y ha habido ya grandes progresos en este área.

Algunos de los principales problemas asociados a la resolución de las ecuaciones de Einstein son de una naturaleza ajena a la mera complejidad y provienen de un ingrediente específico de la relatividad general: el principio de covarianza general. Cuando se encuentra una solución, ya sea por métodos analíticos o computacionales, puede que no esté del todo claro lo que significa. Muchas características de la solución podrían reflejar simplemente ciertos aspectos de las coordenadas adoptadas, en vez de expresar algo de interés relativo a la física del problema. Se han desarrollado algunas técnicas para responder a estas cuestiones, pero aún queda mucho por hacer en este sentido.

Existe, por último, el profundo asunto de las singularidades en las soluciones de la ecuación de Einstein. Son puntos en los que la solución «diverge», dando por resultado un infinito en lugar de algo razonable desde el punto de vista físico. Durante muchos años existió una gran confusión en torno al tema, ya que tales singularidades pueden resultar «ficticias», es decir, ser simplemente el resultado de una inadecuada elección de coordenadas y no una característica verdaderamente singular del espacio-tiempo. El ejemplo más famoso de esta confusión tuvo lugar en relación con la célebre solución de Schwarzschild —la más importante de todas las soluciones de la ecuación de Einstein—. La solución describe el campo gravitatorio estático que rodea a una estrella con simetría esférica y fue hallada por Karl Schwarzschild en 1916, a punto de morir como consecuencia de una extraña enfermedad contraída en el frente oriental de la primera guerra mundial y en el mismo año en que Einstein publicó su primera formulación completa de la relatividad general. Para un cierto radio, hoy conocido como radio de Schwarzschild, aparecía una singularidad en las componentes métricas y esta región del espacio-tiempo era denominada habitualmente «singularidad de Schwarzschild». A los científicos no les preocupaba demasiado esta singularidad, no obstante, ya que la región se hallaba en las profundidades de la estrella, lugar donde, debido a la presencia de una densidad de materia (el término T_ab de la ecuación de Einstein), la solución de Schwarzschild dejaba de ser válida. Pero en la década de 1960, el descubrimiento de los cuásares condujo a los astrónomos a preguntarse si podrían existir objetos estelares tan densos que su superficie exterior quedara dentro de su radio de Schwarzschild.

En realidad, ya en 1933 el sacerdote belga Georges Lemaître había demostrado que, mediante el cambio de coordenadas adecuado, la singularidad de Schwarzschild podía considerarse ficticia. Como consecuencia de ello, esta región ya no es considerada hoy como una singularidad, pero se denomina horizonte de Schwarzschild —el horizonte de sucesos de un agujero negro: todo cuerpo comprimido más allá de su radio de Schwarzschild colapsa inevitablemente hacia su centro, dando lugar a un objeto de estas características—. Ningún tipo de información puede escapar del interior del radio de Schwarzschild, motivo por el cual la región se denomina «horizonte».

Singularidades espaciotemporales

Llegados a este punto, me parece oportuno relatar cómo llegué a involucrarme profesionalmente en la relatividad general. A finales de los años cincuenta, yo era un joven investigador del St. John’s College de Cambridge. Mi área «oficial» de interés eran las matemáticas puras, pero un colega amigo mío, Dennis Sciama, se había propuesto mantenerme al día de las muchas cosas interesantes que estaban teniendo lugar en física y en astronomía. En su momento, había tenido cierto interés, como aficionado, por la relatividad general, una teoría cuya elegancia podía ser apreciada por alguien como yo, un simple amante de la geometría al que le atraían las ideas físicas novedosas. Aunque Dennis logró despertar en mí el interés por la física, no pensaba en la relatividad general como en algo a lo que pudiera dedicarme en serio, sobre todo porque la consideraba un tema secundario frente a los grandes asuntos de la física cuántica fundamental y el universo a escala microscópica.

Sin embargo, en algún momento de 1958, Dennis me convenció para que le acompañara a un seminario que David Finkelstein daba en Londres. Trataba sobre la extensión de la solución de Schwarzschild más allá del radio de Schwarzschild. Recuerdo que la conferencia me impresionó bastante, pero lo que más me intrigó fue el hecho de que, aunque la «singularidad» en el radio de Schwarzschild podía ser eliminada mediante un cambio de coordenadas, la singularidad en el centro (radio cero) seguía existiendo y no podía ser cancelada de esa manera. ¿Y si hubiera un principio subyacente que impidiese la eliminación total de singularidades para toda una clase de soluciones de la ecuación de Einstein, a la cual pertenecería la de Schwarzschild?, pensé para mí.

Al volver a Cambridge, traté de reflexionar sobre el problema, pero mi formación era completamente inadecuada para abordarlo. En aquella época me hallaba trabajando en un formalismo conocido como cálculo 2-espínor, el cual es aplicable al estudio de las partículas cuánticas dotadas de espín. Mi trabajo puramente matemático me había llevado a estudiar álgebra de tensores de forma muy general y me habían fascinado los 2-espínores porque parecían ser, en cierto sentido, la raíz cuadrada de los vectores y los tensores. En cierta manera, los 2-espínores constituyen un sistema que es incluso más primitivo y universal en su descripción de las estructuras del espacio-tiempo que el proporcionado por los tensores. Así pues, traté de ver si el empleo de los espínores podía arrojar nueva luz sobre la relatividad general y si eran útiles para resolver el problema de la singularidad.

Aunque los espínores no me decían gran cosa acerca de las singularidades, encontré que encajaban extraordinariamente bien en la ecuación de Einstein, poniendo en evidencia algunos aspectos a los que no era fácil llegar por otros caminos. La elegancia de las expresiones resultantes era sorprendente, así que quedé enganchado. Durante los siguientes cuarenta y dos años, la relatividad general ha sido una de mis mayores pasiones, en particular en lo que se refiere a su afinidad con ciertas técnicas matemáticas poco frecuentes.

En 1964 volví a interesarme por las singularidades, debido en gran parte a que John A. Wheeler señaló que las observaciones recientes de lo que hoy conocemos como cuásares indicaban que había objetos astrofísicos reales cuyo tamaño se acercaba al radio de Schwarzschild. ¿Podía ser evitada la singularidad que aparece cuando un cuerpo colapsa más allá de ese radio —la singularidad central que me había preocupado a raíz del discurso de Finkelstein?—. La solución exacta correspondiente a tal colapso (denominada actualmente «agujero negro»), encontrada por Oppenheimer y Snyder en 1939, presenta, en efecto, una singularidad genuina en su centro. Pero una premisa fundamental en su modelo era la existencia de simetría esférica exacta. Se podría pensar que, de haber irregularidades, la materia no caería hacia un punto de densidad infinita ubicado en el centro, sino que pasaría a través de una configuración central más o menos complicada y sería despedida de nuevo hacia el exterior, con lo que no se produciría una singularidad real.

Mis antiguos temores de que dichas singularidades quizá fuesen inevitables me habían llevado a dudar de esa posibilidad, así que empecé a preguntarme si algunas ideas sobre las que había estado trabajando últimamente —en esencia, consideraciones cualitativas de tipo topologico, en lugar de buscar directamente una solución exacta para la ecuación de Einstein— podrían resolver el problema. Más adelante, esta heterodoxa línea de razonamiento me condujo hasta el primer «teorema de la singularidad», el cual mostraba que, partiendo de ciertos supuestos generales muy razonables y sin que haya que adoptar premisa alguna sobre simetrías, todo colapso gravitatorio en el interior de una región cualitativamente similar al radio de Schwarzschild da lugar a una singularidad espaciotemporal verdadera.

Este resultado se generalizó en posteriores trabajos realizados por Stephen Hawking y otros que realizamos conjuntamente, en los cuales se demostraba que, además de en el escenario del agujero negro, estas singularidades también son inevitables en el Big Bang que dio origen al universo, independientemente de cualquier consideración respecto a las simetrías. Los modelos cosmológicos estándares derivan de las soluciones originales de la ecuación de Einstein que el matemático ruso Alexander Alexandrovich Friedmann halló en 1922. En ellas se supone homogeneidad espacial e isotropía exactas y la solución se expande a partir de la singularidad inicial del Big Bang. Lo que los teoremas de la singularidad demuestran es que no es posible eliminar esa singularidad inicial prescindiendo simplemente de las premisas de homogeneidad e isotropía.

Todo ello presupone la validez de la ecuación de Einstein (y de algunos supuestos razonables relativos a T_ab). Hay quien opina que esos teoremas ponen de evidencia un fallo de base en la relatividad general. Mi punto de vista personal es otro. Sabemos que, en cualquier caso, la teoría de Einstein no puede ser la última palabra acerca de la naturaleza de la gravedad y el espacio-tiempo. En algún momento tendrá que llegar la necesaria conciliación de la relatividad general con la mecánica cuántica. Lo que los teoremas de la singularidad revelan es, en realidad, una virtud de la teoría de Einstein: la de señalar claramente cuáles son sus limitaciones, la de decirnos que debemos buscar cómo extenderla al mundo cuántico y la de anticiparnos algo de lo que cabe esperar de esa unión final entre lo cuántico y lo gravitatorio. Trataremos de vislumbrarlo en la próxima sección.

El principio y el fin del tiempo

En la discusión anterior hemos citado dos escenarios en los que surgen singularidades espaciotemporales en la teoría de Einstein: el colapso gravitatorio que conduce a un agujero negro y la explosión que supuestamente dio origen al universo. Al parecer, a Einstein le disgustaba profundamente la existencia de esas dos manchas en su teoría. Estaba convencido de que una modificación realista de las condiciones de alta simetría asumidas en las soluciones exactas estándares debería llevar a soluciones no singulares. Desgraciadamente, nunca sabremos su opinión sobre los teoremas de la singularidad a los que nos hemos referido, pero parece ser que una de las razones por las que Einstein luchó denodadamente en sus últimos años para extender su relatividad general hacia alguna clase de «teoría del campo unificado» fue precisamente tratar de llegar a una teoría libre de singularidades.

Al principio se inclinó por un universo espacialmente cerrado y estático —sin cambios a lo largo del tiempo—. Llegó entonces a la conclusión (en 1917) de que sólo podía obtenerlo si introducía una constante cosmológica, A, en su ecuación, la cual se transformaba en:

R_ab − 1/2 R g_ab + Λ g_ab = −8πG T_ab

Más tarde consideraría esta modificación «la mayor pifia de su vida». Si no se hubiese aferrado al modelo estático y hubiera dejado la ecuación tal cual era en su origen —permitiendo obtener el modelo de Friedmann de un universo que se expandía desde un Big Bang inicial—, Einstein habría podido predecir la expansión del universo, constatada experimentalmente en 1929 por Edwin Hubble.

Existe hoy en día una gran controversia acerca de si las observaciones acumuladas sugieren la existencia de una (diminuta) constante cosmológica. Algunos cosmólogos (en especial, los partidarios de lo que se denomina el «universo inflacionario») afirman que esta constante es necesaria para explicar las observaciones recientes. En cualquier caso, las contradicciones en los datos aconsejan esperar algún tiempo antes de adoptar una postura definitiva al respecto.

En mi opinión, aunque hay que ser prudentes a la hora de hacer afirmaciones basadas en las observaciones del universo a gran escala, debemos aceptar, en cambio, que el Big Bang y las singularidades de los agujeros negros forman parte de la naturaleza. En vez de sobrecogernos, tenemos que tratar de aprender de ellas algo sobre la «geometría cuántica» que debería finalmente reemplazarlas. ¿Qué es posible aprender? Aunque, en detalle, se sepa poco sobre las singularidades, podemos hacer algunas consideraciones generales.

La primera es que, aunque en ciertos casos (tales como el de una estrella supermasiva o un conjunto de estrellas en el centro de una galaxia) el colapso gravitatorio sea inevitable, no es seguro que el resultado final sea un agujero negro, a pesar de que los teoremas nos digan que debemos esperar tales singularidades espaciotemporales. Existe una hipótesis aún no demostrada, conocida como de la «censura cósmica» y que formulé en 1969, según la cual la singularidad resultante no puede estar «desnuda» (es decir, ser «visible desde el exterior»). Si no pueden darse las singularidades desnudas, el resultado será, en efecto, un agujero negro. (En cualquier caso, las singularidades desnudas serían «aún peores» que los agujeros negros). Un agujero negro engulle materia situada en su proximidad inmediata y (suponiendo que existe la censura cósmica) la destruye en la singularidad de su centro. Para la materia que cae a su interior, esa singularidad representa el «fin del universo», y equivale a un Big Bang invertido en el tiempo.

A pesar de ese panorama tan desagradable, el espacio-tiempo exterior a un agujero negro posee gran cantidad de propiedades interesantes. Por otra parte, en el centro de casi todas las galaxias parece haber agujeros negros de gran tamaño y la extraordinaria física a la que dan lugar en sus inmediaciones sería la responsable de la gigantesca emisión de energía de los cuásares, cuya magnitud puede superar a la de galaxias enteras. Los agujeros negros son también las regiones de más alta entropía conocida en el universo y una famosa fórmula debida a Bekenstein y Hawking nos dice exactamente cuál es esa entropía a partir del área de la superficie del horizonte del agujero.

En la práctica, la censura cósmica viene a afirmar que en el universo sólo hay dos clases de singularidades espaciotemporales: la de tipo pasado (en el Big Bang) y la de tipo futuro (en los agujeros negros). La materia se crea en la singularidad de tipo pasado y se destruye en las de tipo futuro. A primera vista, los dos tipos de singularidad parecen ser simplemente el inverso temporal uno de otro. Sin embargo, si se analizan en detalle, existen grandes diferencias entre ambos, debidas fundamentalmente a la gigantesca entropía de los agujeros negros. En términos cotidianos, «entropía» es sinónimo de «desorden» y la famosa segunda ley de la termodinámica nos dice que la entropía del universo se incrementa con el tiempo. Según esto, el origen físico de esa segunda ley puede ser atribuido a la gran asimetría que hay entre las estructuras de las singularidades de tipo pasado y tipo futuro: las primeras son particularmente especiales y simples, mientras que las segundas son generales y extraordinariamente complejas. Mediante la fórmula de Bekenstein-Hawking para la entropía de un agujero negro, se puede concluir que el Big Bang fue tan increíblemente especial como una parte en al menos 10 elevado a 10¹²³.

¿Gravitación cuántica?

¿De dónde proviene esta inmensa asimetría temporal en la estructura de las singularidades espaciotemporales? El tema sigue siendo fuente de controversias pero, en mi opinión, tiene que ver con el hecho de que la «gravitación cuántica», que en su momento deberá explicar la naturaleza detallada de las singularidades espaciotemporales, ha de ser asimétrica en el tiempo. Me sorprende el que pocos de los investigadores en gravitación cuántica parezcan haber llegado a la conclusión de que, cualquiera que sea la naturaleza de esta teoría aún inexistente, deberá obedecer a un esquema temporal fundamentalmente asimétrico. Es cierto que la ecuación de Einstein es simétrica respecto al tiempo y también lo es la ecuación de Schrödinger, que gobierna la evolución de un estado cuántico. Según esto, cualquier aplicación «convencional» de las leyes de la mecánica cuántica a la teoría de Einstein debería llevar a conclusiones simétricas en el tiempo. En mi opinión, de esto se deduce claramente que la ansiada «gravitación cuántica» tendrá que ser una teoría cuántica no convencional, según la cual es probable que las propias leyes de la mecánica cuántica deban cambiar, sin contar los cambios que también se produzcan en las leyes clásicas de la relatividad general einsteniana. En este sentido, estoy de acuerdo con Einstein en que la mecánica cuántica es incompleta.

Sin embargo, no es ésta la posición de la gran mayoría de quienes tratan de combinar la teoría cuántica con la relatividad general. A pesar de que hay muchas ideas fascinantes e inéditas propuestas como candidatas a teoría de la «gravitación cuántica» —tales como los «espacio-tiempos» de diez, once o veintiséis dimensiones o los conceptos de supersimetría, cuerdas, etc.—, ninguna de ellas contempla la posibilidad de que las propias leyes de la mecánica cuántica quizá tengan que cambiar. Mi punto de vista (y el de una importante minoría de investigadores de los fundamentos de la mecánica cuántica) es que los cambios en la teoría cuántica se van a producir en cualquier caso, debido al denominado «problema de la medida».

¿En qué consiste ese problema? Para responder a la pregunta necesitamos hablar un poco sobre las leyes de la teoría cuántica. Existe una variable matemática denominada estado cuántico (o función de onda), que habitualmente se representa como Ψ, y se supone que contiene toda la información necesaria para definir un sistema cuántico dado. La evolución en el tiempo del estado viene determinada por la ecuación de Schrödinger hasta que efectuamos una medida sobre el sistema, momento en el que el estado salta (aleatoriamente) a una de las posibles opciones permitidas por la medida específica que estamos realizando. Ese «salto» no obedece a la ecuación de Schrödinger y el problema de la medida consiste en comprender cómo se produce, ya que se supone que el estado evoluciona realmente según dicha ecuación determinista.

Creo razonable la hipótesis de que la ecuación de Schrödinger tal cual está formulada no es rigurosamente aplicable a todas las escalas y requiere una modificación cuando los efectos gravitatorios son significativos. Según esto, dicha modificación formaría parte necesariamente de la «teoría de la gravitación cuántica correcta». Una de las principales razones para pensar así proviene de la probable existencia de un conflicto fundamental entre el principio de covarianza general y los principios básicos de la evolución de la función de onda de Schrödinger. Según este razonamiento, el salto cuántico (que para mí es un fenómeno físico real y no una «ilusión», como se supone a menudo) entra en juego como un aspecto de la resolución de dicho conflicto.^[50] En definitiva, cualquiera que sea la modificación a introducir en la ecuación de Schrödinger, tendría que ser asimétrica en el tiempo, dando lugar a esa enorme asimetría entre las singularidades pasadas y futuras a que me he referido.

Hasta la fecha no se ha encontrado modificación alguna plausible de la ecuación de Schrödinger, con lo que la unificación de la teoría cuántica con la relatividad general por esa vía continúa siendo tan esquiva como lo es a través de otras, más convencionales, que los físicos han estado ensayando. Lograr esa unificación se plantea como uno de los más grandes retos científicos para el siglo XXI. El hallazgo tendrá consecuencias profundas, mucho más allá de las que somos capaces de entrever en este momento. Para alcanzarlo, en cualquier caso, tendremos que desentrañar los raros y maravillosos principios que subyacen bajo la bella ecuación de Einstein.

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