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LA ÚLTIMA PIEZA DEL ROMPECABEZAS

A pesar de la euforia ante el juego de billar cuántico que podía ofrecer una explicación de la hipótesis de Riemann, muchos matemáticos seguían escépticos sobre la intrusión de los físicos en el mundo de la pura teoría de los números. La mayoría de estos matemáticos continuaban convencidos de que su disciplina tenía todos los papeles en regla para explicar por sí sola por qué los números primos se comportan según nuestras hipótesis. La idea de que tanto el fenómeno cuántico como los números primos obedecen a un mismo modelo matemático era ciertamente plausible, pero muchos matemáticos estaban convencidos de que era muy improbable que la intuición física pudiera ser de ayuda para demostrar la hipótesis de Riemann. Cuando empezó a correr la voz de que uno de los mayores artífices de la teoría matemática pura había centrado su atención en la hipótesis de Riemann, la confianza de los matemáticos en sí mismos pareció justificarse: Alain Connes había empezado a dar clases sobre sus ideas para una solución hacia mediados de los noventa; muchos creían que la hipótesis de Riemann sería finalmente demostrada.

El simple hecho de que Connes se planteara frontalmente la hipótesis de Riemann era ya un motivo de reflexión. Selberg, por ejemplo, reconoce que nunca ha intentado realmente demostrarla: es inútil bajar al campo para combatir en una batalla —son sus palabras— cuando no se dispone de un arma para combatir. Sobre su decisión de emprender esta batalla, Connes escribe: «Según mi primer maestro, Gustave Choquet, al afrontar abiertamente un conocido problema irresuelto uno corre el riesgo de ser más recordado por un posible fracaso en esta empresa que por cualquier otra cosa positiva que haya hecho en su vida. Pero, a una cierta edad, me he dado cuenta de que esperar “con seguridad” la llegada al término de la propia vida significa también aceptar ir al encuentro de la derrota».

Daba la impresión de que Connes podía tener acceso a todo un arsenal de técnicas que había utilizado para desvelar una serie de misterios escondidos en otros rincones de las matemáticas: su creación de la llamada geometría no conmutativa había sido saludada como una versión moderna de la visión riemanniana de la Geometría, visión que ha tenido un impacto enormemente significativo en el desarrollo de las matemáticas del siglo XX. De la misma forma en que el trabajo de Riemann había preparado el camino a la teoría einsteniana de la relatividad, la geometría no conmutativa de Connes ha demostrado ser un potente instrumento lingüístico para la comprensión de la complejidad del mundo de la física cuántica.

La nueva matemática creada por Connes se considera una de las piedras angulares de las matemáticas del siglo XX y le reportó, en 1983, el reconocimiento de una medalla Fields. Hay que señalar, sin embargo, que el nuevo lenguaje introducido por Connes no apareció repentinamente de la nada, sino en el contexto de un renacimiento de las matemáticas francesas que empezó durante la Segunda Guerra Mundial. Mientras el instituto de Princeton crecía gracias a la afluencia de intelectuales que huían de las persecuciones que tenían lugar en Europa, Connes era profesor en un instituto francés, creado en los años cincuenta, que ayudó a que París volviera al centro internacional de las matemáticas, una posición que, durante el reinado de Napoleón, había perdido en favor de Gotinga.

Las ideas de Connes se insertan en el marco de un movimiento matemático que plantea un punto de vista muy elaborado y abstracto de esta disciplina, así como de sus objetos de investigación. Durante los últimos cincuenta años, el lenguaje mismo de las matemáticas ha sufrido una profunda evolución que todavía está en marcha, y muchos investigadores opinan que, hasta que este proceso no se complete, no tendremos a nuestra disposición un lenguaje suficientemente avanzado para articular una explicación del por qué los números primos se comportan según las predicciones de la hipótesis de Riemann. Esta nueva revolución matemática nació en la celda de una prisión francesa durante la Segunda Guerra Mundial. De aquella celda emergió un nuevo lenguaje matemático, que enseguida dio pruebas de sus potencialidades en la exploración de nuevos escenarios, como el que Riemann había elaborado para comprender los números primos.

HABLAR MUCHAS LENGUAS

En 1940, Élie Cartan director de la prestigiosa revista francesa Comptes Rendus recibió un sobre. Desde principios del siglo XIX, cuando Cauchy había publicado sus célebres escritos sobre las matemáticas de los números imaginarios, Comptes Rendus se había convertido en una de las principales revistas en las que se anunciaban los nuevos emocionantes resultados de las investigaciones. Cuando Cartan vio el sobre, lo que le llamó inmediatamente la atención fue la dirección del remitente: la prisión militar Bonne-Nouvelle, de Rouen. Si no fuera porque reconoció la caligrafía del remitente, Cartan la habría tirado a la papelera sin siquiera abrirla, creyendo que se trataba del enésimo anuncio extravagante de una demostración del último teorema de Fermat. La caligrafía, sin embargo, era la de un joven matemático llamado André Weil, que tenía ya la reputación de ser una de las principales estrellas de las matemáticas francesas. Cartan sabía que, hubiera escrito lo que hubiera escrito Weil, aquello merecía leerse.

Cartan estaba extrañado por el hecho de haber recibido una carta desde una prisión militar, pero la sorpresa fue mayor cuando la abrió y vio su contenido: Weil había descubierto una demostración de por qué, en ciertos paisaje matemáticos, los puntos a nivel del mar tienden a disponerse a lo largo de una recta. A pesar de que esta técnica no funcionaba en el paisaje de Riemann, el mero hecho de que funcionara en otros paisajes era suficiente para que Cartan se convenciera de estar ante algo significativo. A partir de entonces, el teorema de Weil se convirtió en un faro para los matemáticos que buscaban una prueba de la hipótesis de Riemann. El propio enfoque de Connes debe mucho a estas ideas elaboradas por Weil en la soledad de su celda de Rouen.

La habilidad de Weil para moverse por algunos de estos paisajes, donde otros habían fracasado, puede deberse a su pasión por las lenguas antiguas, y especialmente por el sánscrito. Opinaba que el desarrollo de nuevas ideas matemáticas tenía lugar con pasos similares al desarrollo de formas lingüísticas elaboradas. Ciertamente, para Weil no era una sorpresa que en la India la invención de la gramática hubiera precedido a la del sistema decimal y de los números negativos, y que el álgebra de los árabes naciera del sofisticado desarrollo de su lengua en la época medieval.

Las notables competencias lingüísticas de Weil contribuyeron a su gran habilidad para crear un nuevo lenguaje matemático que le permitió articular sutilezas conceptuales inexpresables de otra forma. Pero fue precisamente su obsesión por las lenguas y, en concreto, su amor por el Mahabbarata —un antiguo texto sánscrito—, lo que, a principios de 1940, condujo a prisión al eminente joven matemático.

El talento matemático de Weil se había manifestado claramente desde la infancia: su primera maestra hablaba de este alumno de seis años diciendo que «cualquier cosa que le explique sobre matemáticas, tengo la impresión de que ya la sabía». Su madre estaba convencida de que, si André era siempre el primero de la clase, no podría obtener ningún estímulo intelectual adecuado de parte de la escuela. Por tanto se presentó a hablar con el director para insistir en que se hiciera avanzar varios cursos a su hijo. El director, estupefacto, respondió: «Señora, es la primera vez que una madre viene a quejarse de que las notas de su hijo son demasiado altas». Gracias al empuje de su madre, sin embargo, André se encontró en la clase de Monsieur Monbeig.

Monbeig tenía una concepción muy personal de la enseñanza, a la que Weil atribuye el mérito de sus progresos en el ámbito de las matemáticas. Por ejemplo, en lugar de hacer aprender la gramática de memoria, Monbeig había desarrollado un complejo sistema de notaciones algebraicas que desvelaba los esquemas que se escondían en las frases. Más adelante, cuando Weil conoció las ideas revolucionarias de Noam Chomsky sobre la lingüística, no halló nada que le pareciera especialmente nuevo. Weil admitió que «la adquisición precoz de familiaridad con un simbolismo no banal puede tener, sobre todo para un matemático, un alto valor educativo».

Las matemáticas se convirtieron en la pasión de Weil, casi su droga: «Una vez que sufrí una mala caída, mi hermana Simone pensó que la mejor forma de consolarme era traerme rápidamente mi libro de álgebra». El talento de Weil fue captado por una de las grandes leyendas de las matemáticas francesas: Jacques Hadamard, que se había hecho famoso a principios de siglo demostrando el teorema de los números primos de Gauss, animó a Weil a dedicarse a las matemáticas; así, a los dieciséis años, Weil ingresó en la Ecole Normale Supérieure, una de las academias parisienses creadas durante la Revolución francesa, para iniciar sus estudios profesionales como matemático.

Mientras seguía cursos de matemáticas, Weil satisfacía también su pasión por las lenguas antiguas. De este amor nacería más adelante un nuevo mundo matemático, pero por entonces Weil pretendía simplemente aprender a leer los poemas épicos de la antigua Grecia y de la India en sus lenguas originales. En concreto, había un poema que estaría a su lado durante toda la vida: la Bhagavad Gita, el Canto de Dios incluido en el Mahabbarata. En París, Weil dedicó al estudio del sánscrito tanto tiempo como a las matemáticas.

Weil creía que la única forma de captar plenamente la belleza de cualquier texto —y no sólo de un poema épico— era leyéndolo en su lengua original. Pensaba que también en matemáticas era necesario releer los escritos originales de los maestros, evitando basarse sólo en las exposiciones posteriores de sus obras: «Estaba convencido que en la historia de la humanidad sólo cuentan los grandes genios, y que para conocerlos lo único que vale es el contacto directo con sus obras», escribiría después en su autobiografía, Memorias de aprendizaje. Por ello se puso a estudiar la obra de Riemann: «Tuve una gran suerte de empezar por ahí, y siempre me he alegrado de ello». La hipótesis de Riemann sobre la naturaleza de los números primos marcaría la vida matemática de Weil.

Weil terminó sus exámenes en la Ecole antes de la edad de prestación del servicio militar obligatorio, y decidió viajar por las grandes ciudades matemáticas de Europa. Cruzó el continente a lo largo y a lo ancho —Milán, Copenaghe, Berlín, Estocolmo— asistiendo a clases y hablando con los pioneros de las matemáticas de aquella época. En Gotinga, que aún no había sido golpeada por las purgas académicas de Hitler, Weil ordenó en su mente las ideas básicas de lo que sería su tesis doctoral. En la ciudad natal de tres de los más grandes matemáticos europeos —Gauss, Riemann y Hilbert—, a Weil le pareció claro que París había perdido, en el ámbito matemático, la reputación de que había gozado en los grandes días de Fourier y de Cauchy. Ello se debía en parte porque muchos jóvenes matemáticos franceses que se hubieran podido convertir en figuras importantes en los años treinta habían muerto en la Primera Guerra Mundial: se había perdido una generación. En la posguerra, pocos de los grandes matemáticos alemanes habían ido a París para presentar sus trabajos, de manera que la ciudad se encontraba desesperadamente falta de ideas nuevas. ¿A dónde había ido a parar la gran tradición matemática francesa, que se remontaba a Fermat? Weil y otros jóvenes matemáticos decidieron cambiar esta situación.

Dado que no tenían una figura paterna alrededor de la cual recogerse, estos ambiciosos jóvenes estudiantes decidieron crearse uno: Nicolas Bourbaki. Bajo este pseudónimo compilaron colectivamente un tratado sobre el estado de las matemáticas contemporáneas. El espíritu que los guiaba se remontaba a lo que hace de las matemáticas una disciplina única en el contexto de las demás ciencias: en realidad, las matemáticas son un edificio, construido sobre axiomas, en el que un teorema demostrado en la Grecia antigua hoy sigue siendo un teorema, en el siglo XXI. El grupo Bourbaki empezó a examinar las condiciones actuales del edificio, y expuso sus resultados en un amplio informe escrito en el lenguaje de las matemáticas moderna. Inspirándose en el gran tratado de Euclides que dos mil años antes había disparado el tiro de salida de las matemáticas occidentales, llamaron a su obra Elements de Mathématique. A pesar de esta herencia griega, se trataba de un proyecto netamente francés. Se ponía el énfasis sobre el contexto más amplio posible para cualquier resultado; si ello significaba perder de vista las cuestiones específicas para cuya respuesta habían nacido las matemáticas, se consideraba que era un precio que los jóvenes del grupo estaban dispuestos a pagar.

La elección de «Nicolas Bourbaki» —que corresponde al nombre de un semidesconocido general francés— como guía de su asalto matemático encuentra sus raíces en un ritual que solía llevarse a cabo en la Ecole Normale Supérieure a principios del siglo XX: los novatos pasaban por una ceremonia de iniciación durante la cual un estudiante de los últimos cursos, fingiendo ser un célebre profesor visitante de la Escuela, dictaba una clase sobre algunos famosos teoremas matemáticos. El «profesor» insertaba errores deliberados en algunas de las demostraciones que presentaba, y los novatos tenían que identificarlos. La clave consistía en que estos teoremas con errores se atribuían falsamente a desconocidos generales franceses en lugar de a sus autores reales.

Las reuniones de estos jóvenes matemáticos franceses eran anárquicas y caóticas; uno de los fundadores del grupo, Jean Dieudonné, narró: «cuando venía algún invitado a las reuniones del círculo de Bourbaki, salía siempre con la impresión de que se trataba de una jaula de grillos. No conseguían imaginar cómo esta gente, gritando tres o cuatro a la vez, podrían llegar a alguna conclusión inteligente». Los miembros del grupo Bourbaki, en cambio, creían que este carácter anárquico era indispensable para el funcionamiento de su proyecto. En su batalla para la unificación de las matemáticas contemporáneas empezó a emerger el nuevo lenguaje que Weil desarrollaría.

Su amor por las lenguas antiguas y la literatura sánscrita llevó a Weil, en 1930, a su primer trabajo académico como profesor en la universidad musulmana de Aligarh, no lejos de Delhi. Al principio la universidad pretendía asignarle un curso de lengua francesa, pero en el último momento decidió que enseñara matemáticas. Durante su época india, Weil conoció a Gandhi. Su contacto con la filosofía gandhiana, junto con su lectura del Gita, tuvieron fatales consecuencias para Weil a su regreso a una Europa que se preparaba para la guerra. En el Gita, Krishna aconseja a Arjuna que actúe de acuerdo con su propio dharma, su código personal de comportamiento. Para Arjuna, que pertenecía a la casta de los guerreros, ello significaba combatir a pesar de la devastación inevitable que traería la guerra. Weil sentía que su dharma le decía lo contrario, es decir, que se mantuviera fiel a sus propias convicciones pacifistas. Decidió que, si estallaba la guerra, evitaría su movilización trasladándose a un país neutral.

Durante el verano de 1939 se trasladó a Finlandia con su mujer. Weil esperaba que Finlandia fuera un buen trampolín para huir a los Estados Unidos más adelante, pero resultó ser un grave error: la noche del 23 de agosto de 1939, Stalin firmó un pacto de no agresión con la Alemania nazi; a cambio de la neutralidad soviética, Hitler prometió a Stalin que le dejaría las manos libres en Estonia, Letonia, Polonia oriental y Finlandia. Al estallar la guerra, en septiembre de 1939, el gobierno finlandés sabía que muy pronto Finlandia sería invadida; por tanto, todo lo que tenía que ver con la Unión Soviética se consideraba sospechoso. Cuando las autoridades interceptaron algunas cartas, llenas de ecuaciones incomprensibles, dirigidas a señas soviéticas por parte de un ciudadano francés, llegaron rápidamente a la conclusión de que este extranjero trabajaba para el enemigo. En septiembre de 1939, el francés fue arrestado bajo la acusación de ser un espía al servicio de Moscú.

La noche anterior a la fijada para la ejecución, el jefe de policía, con motivo de una cena de Estado, se encontró sentado junto a un matemático de la Universidad de Helsinki, Rolf Nevanlinna. Al llegar al café, el jefe de policía se dirigió a Nevanlinna: «Mañana fusilamos a un espía que dice conocerle. No me habría permitido molestarle por tan poca cosa, pero, al encontrarme ahora con usted, aprovecho la ocasión para pedirle su parecer». «¿Cómo se llama?», preguntó el académico. «André Weil», respondió el oficial. Nevanlinna se quedó con la boca abierta: durante el verano había hospedado a Weil y a su mujer en su propia casa de campo, junto al lago. «¿Es realmente necesario fusilarlo?», preguntó. «¿No pueden simplemente llevarlo hasta la frontera y expulsarlo?». «Es una idea; no lo había pensado». Así, gracias a este encuentro fortuito, Weil se ahorró la ejecución y las matemáticas se ahorraron la pérdida de uno de sus principales representantes en el siglo XX.

En febrero de 1940, Weil estaba de nuevo en Francia, aunque languideciera en una prisión de Rouen a la espera de ser procesado por desertor. Uno de los placeres de las matemáticas consiste en que, para dedicarse a ella, no hacen falta muchos instrumentos: basta con papel, lápiz e imaginación. La prisión proporcionaba los dos primeros instrumentos y, en cuanto al tercero, Weil tenía de sobra. En su Noruega natal, Selberg había hallado en el aislamiento impuesto en los años de la guerra las condiciones perfectas para dedicarse a las matemáticas. Trabajando en la India como contable, Ramanujan había desarrollado sus increíbles dotes matemáticas incluso sin haber tenido acceso a una formación académica. Bromeando con Weil, uno de los discípulos de Hardy, Vijayaraghavan —que había sido colega de Weil en la India—, le había repetido muchas veces: «si usted pudiera pasar seis meses o un año en la cárcel, ciertamente sería capaz de demostrar la hipótesis de Riemann». Ahora Weil estaba en condiciones de probar directamente las afirmaciones de Vijayaraghavan.

Riemann había construido un paisaje cuyos puntos a nivel del mar custodian los secretos del comportamiento de los números primos. Para demostrar la hipótesis de Riemann, Weil tenía que explicar por qué estos puntos a nivel del mar estaban alineados. Hizo diversos intentos para orientarse en el paisaje de Riemann, pero no tuvo éxito. Sin embargo, tras el descubrimiento por Riemann de un agujero que liga los números primos con el paisaje zeta, los matemáticos han luchado con una serie de paisajes parecidos que les han ayudado a explicar otros problemas de la teoría de los números. Era tal la potencialidad de estos paisajes, cada uno definido por una variante de la función zeta, que estaban empezando a convertirse en objetos de culto. Su uso como método de resolución de los problemas de la teoría de los números terminó por ser de tal manera universal que Selberg llegó a decir que creía oportuna la firma de un tratado de no proliferación de funciones zeta.

Fue precisamente al explorar algunos de estos espacios que Weil descubrió un método capaz de explicar por qué en ellos los puntos a nivel del mar tienden a alinearse a lo largo de una recta. Los paisajes en los que Weil tuvo éxito no tenían relación con los números primos, pero guardaban la clave para calcular el número de soluciones de una ecuación del tipo y² = x³ − x trabajando con una de las calculadoras de reloj de Gauss. Tomemos, por ejemplo, esta ecuación y una calculadora de reloj con cinco horas en su esfera. Si en la parte derecha de la ecuación ponemos x = 2, tendremos que 2³ − 2 = 8 − 2 = 6, que en nuestro reloj con cinco horas corresponderá al número 1. De la misma forma, si ponemos y = 4 en la parte izquierda de la ecuación, obtenemos 16, que en nuestro reloj corresponderá nuevamente al número 1. Este resultado, que podemos escribir de la forma (x, y) = (2, 4), se llama solución de la ecuación, ya que ambos lados de la propia ecuación coincidirán al sustituir los valores 2 y 4 en nuestra calculadora de reloj de cinco horas. En realidad existen siete pares posibles de números (x, y) que verifican nuestra ecuación:

(x, y) = (0, 0), (1, 0), (2, 1), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 0)

¿Qué sucedería si eligiéramos un reloj con otro número primo p de horas en su esfera? El número de pares que satisfarían la ecuación sería aproximadamente p, aunque no coincidiría exactamente con p. De la misma forma en que la estimación logarítmica de Gauss para la cantidad de números primos oscila por arriba y por debajo del verdadero número de números primos, también el número p sobrestima o subestima la verdadera cantidad de soluciones de la ecuación. Efectivamente, el propio Gauss, en la última anotación de su diario matemático, había demostrado antes que nadie, en esta ecuación en concreto, que el error en la estimación no sería superior al doble de la raíz cuadrada de p. Sin embargo, Gauss había utilizado métodos ad hoc que no servirían para otras ecuaciones; en cambio, la belleza de la demostración de Weil consiste en que se aplica a cualquier ecuación en las variables x e y. Al demostrar que los puntos a nivel del mar en el paisaje zeta de cada ecuación se encuentran sobre la recta, Weil había generalizado el descubrimiento de Gauss que indica que, como orden de magnitud, el error en la estimación no será nunca superior a la raíz cuadrada de p.

Aunque no está directamente ligada a la hipótesis de Riemann sobre los números primos, la demostración de Weil representa un vuelco importante desde el punto de vista psicológico. En realidad había encontrado una forma de mostrar que los puntos a nivel del mar en un paisaje construido con ecuaciones como y² = x³ − x se encuentran todos sobre una recta. La razón del entusiasmo de Cartan cuando abrió el paquete de Weil y se encontró ante la demostración hay que buscarla en su comprensión de la ayuda que estas nuevas técnicas podrían proporcionar para la comprensión del paisaje original de Riemann.

Weil había dado los primeros pasos hacia la creación de un lenguaje totalmente nuevo para la comprensión de las soluciones de ecuaciones. Una escuela de matemáticos italianos, con sede en Roma y dirigida por Francesco Severi y Guido Castelnuovo, había empezado algo similar, y Weil había conocido su trabajo durante su viaje a través de las capitales europeas. Pero las bases sentadas por los italianos eran aún bastante inestables, y no habrían sido capaces de sostener aquellas matemáticas que Weil necesitaba. Las ideas de Weil se convirtieron en los fundamentos de lo que hoy llamamos geometría algebraica, que está en el centro de la demostración del último teorema de Fermat.

Trabajando con este nuevo lenguaje, Weil consiguió construir para cada ecuación una especie muy particular de tambor matemático. Este tambor tenía un número finito de frecuencias, a diferencia de las infinitas frecuencias de los tambores físicos y de los infinitos niveles energéticos de la física cuántica. Las frecuencias del tambor de Weil indicaban con precisión las coordenadas de los puntos a nivel del mar en el paisaje de la ecuación correspondiente. Sin embargo, necesitó mucho más trabajo para hacer que los puntos se situaran a lo largo de una recta. Ya no se trataba de frecuencias que reflejaban los niveles energéticos de la física cuántica, donde un cero fuera de la línea habría significado un nivel de energía imaginario, es decir, algo prohibido por la teoría física. Necesitaba algo distinto para obligar a los ceros a situarse sobre la línea recta.

Mientras estaba sentado en su celda escuchando el tambor que había construido, repentinamente se le ocurrió que ya tenía la última pieza del rompecabezas, la que explicaría por qué las frecuencias de este tambor están situadas a lo largo de una recta. Durante su viaje a través de Europa, tras su licenciatura, había tenido conocimiento de un teorema demostrado por el matemático italiano Guido Castelnuovo, un teorema que resultó de importancia crucial para forzar a los ceros de aquellos paisajes de las ecuaciones a alinearse ordenadamente. Sin la feliz ayuda proporcionada por el resultado de Castelnuovo, estos paisajes habrían podido permanecer tan inaccesibles como el de Riemann. Como reconoció Sarnak en Princeton: «el hecho de que Weil consiguiera hacer funcionar su demostración fue, en cierto modo, un milagro».

Al menos en parte, Weil había conseguido realizar el sueño de Vijayaraghavan. Aunque no había podido con la hipótesis de Riemann sobre los números primos, había encontrado la forma de demostrar que los puntos a nivel del mar en paisajes análogos tienden a situarse a lo largo de una recta. El 7 de abril de 1940 escribió a su mujer Eveline diciéndole: «Mi trabajo matemático hace progresos superiores a todas mis expectativas; pero estoy un poco preocupado porque si trabajo tan bien en la cárcel, ¿no podría organizarme para pasar en ella dos o tres meses cada año?». En condiciones normales, Weil habría esperado antes de publicar, pero en aquella situación el futuro era demasiado incierto como para correr riesgos; por tanto, preparó una nota para Comptes Rendus y se la mandó a Elie Cartan.

En una carta que le mandó desde la cárcel, Weil relató a su mujer, a propósito de aquella nota: «Estoy muy satisfecho de ella, especialmente porque la he escrito aquí, lo que es bastante inusitado en la historia de las matemáticas, y también porque representa una buena manera de hacer saber a todos mis amigos matemáticos diseminados por el mundo que aún existo. Estoy encantado con la belleza de mis teoremas». Tras leer el manuscrito, el hijo de Elie Cartan, Henri —matemático amigo y coetáneo de Weil—, le respondió con una carta en la que escribía con envidia: «No todos tenemos tu suerte de poder trabajar sin ser molestados…».

Elie Cartan estuvo encantado de publicar el escrito. El 3 de mayo de 1940 terminó el fecundo período de prisión de Weil. Cartan testificó en el proceso, que fue descrito por Weil como «una comedia mal representada». Weil fue condenado a cinco años de prisión por no presentarse a filas, pero la condena quedaría en suspenso si aceptaba prestar el servicio militar en el frente. A pesar de los óptimos resultados matemáticos que había conseguido durante el tiempo que pasó en la cárcel de Rouen, Weil aceptó entrar en el ejército. Resultó ser una sabia elección: un mes más tarde, ante el avance de las tropas alemanas, los franceses fusilaron a todos los prisioneros de Rouen con el fin de acelerar, dicen, la retirada de las tropas.

Por medio de un certificado médico falso que había conseguido en Inglaterra, en 1941 Weil fue autorizado a abandonar el ejército por pulmonía. Obtuvo los visados para que él y su familia pudieran trasladarse a los Estados Unidos, donde coincidió con Siegel en el Institute for Advanced Study de Princeton. Los dos habían trabado amistad durante el viaje de Weil a través de Europa. Cuando Siegel se había trasladado a estudiar las notas inéditas de Riemann y había descubierto su fórmula secreta para el cálculo de los ceros, Weil lo había acompañado. Como es natural, Siegel estaba ansioso por saber si era posible extender a la comprensión del espacio original de Riemann el enfoque que Weil había utilizado para orientarse en un espacio matemático análogo.

Muchos, entre ellos el propio Siegel, estaban convencidos de que la demostración que Weil había conseguido para un paisaje concreto proporcionaría elementos fundamentales en la búsqueda del que era realmente el Grial: la hipótesis de Riemann. Weil dedicó años a determinar este esquivo nexo de unión con el paisaje que Riemann había creado; por desgracia, como hombre libre no volvió a gozar del éxito que le había sonreído en la cárcel de Rouen. Podemos percibir la melancolía de Weil en las palabras con que, más adelante, describió su deseo de revivir el ímpetu de su primer descubrimiento:

Todos los matemáticos dignos de tal nombre han experimentado… aquel estado de lúcida exaltación en el que un pensamiento sigue a otro de manera casi milagrosa… esta sensación puede prolongarse durante horas, a veces durante días. Cuando uno la ha experimentado desearía poder repetirla, pero no es capaz de hacerlo cuando quiera, si no es lanzándose de cabeza al trabajo…

En una entrevista para La Science, en 1979, le preguntaron qué teorema habría querido demostrar por encima de todo. Respondió que «en el pasado, a veces, me he dicho que, si hubiera conseguido demostrar la hipótesis de Riemann —que se había formulado en 1859—, habría mantenido mis resultados en secreto hasta 1959, para poder hacerlos públicos con motivo de su centenario». Pero, a pesar de todos los esfuerzos, no llegó a ningún resultado: «Después de 1959 me he dado cuenta de que aún estoy muy lejos de una solución; y me he ido apartando de manera gradual, no sin pesar».

Durante toda su vida, Weil se mantuvo en estrecho contacto con Goro Shimura, uno de los matemáticos japoneses que plantearon la conjetura resuelta por Andrew Wiles mientras avanzaba en la demostración del último teorema de Fermat. Shimura rememora lo que Weil, ya de avanzada edad, le dijo: «Antes de morir, me gustaría ver demostrada la hipótesis de Riemann, pero tengo que admitir que se trata de una eventualidad improbable». Shimura recuerda también una conversación que tuvieron sobre Charlie Chaplin. En su juventud, Chaplin había visitado a un adivino que le había predicho con todo detalle lo que le reservaba el futuro. Bromeando melancólicamente, Weil dijo: «Bueno, en mi autobiografía podría escribir que, de joven, un adivino me había predicho que nunca conseguiría resolver la hipótesis de Riemann».

Aunque el sueño de Weil de demostrar la hipótesis de Riemann, o al menos verla demostrada, no se cumplió, no obstante, no hay duda de que su obra posee importancia fundamental: la demostración de Weil ha proporcionado a los matemáticos un rayo de esperanza sobre la posibilidad de alcanzar la cumbre del monte Riemann. Por otra parte, ha alimentado su fe en la certeza de la intuición de Riemann. Si los puntos a nivel del mar se alinean en un paisaje zeta, es lícito esperar que hagan otro tanto en el espacio de los números primos. Además, para orientarse en su paisaje, Weil había recurrido a un extraño tambor matemático, mucho antes de que las conexiones con el caos cuántico nos revelaran que se trata de un buen método para buscar una solución. En palabras de Sarnak, «El resultado que Weil obtuvo se ha convertido en el faro que nos guía en nuestra búsqueda de una demostración de la hipótesis de Riemann».

El nuevo lenguaje matemático de Weil, la geometría algebraica, le había permitido articular sutilezas sobre la solución de ecuaciones que de otra forma hubieran sido imposibles. Pero si quedaba alguna esperanza de extender las ideas de Weil de manera que ayudaran a demostrar la hipótesis de Riemann, estaba claro que aquellas ideas se desarrollarían más allá de las bases que él había sentado desde su celda de Rouen. Sería otro matemático parisiense quien daría vida al esqueleto del nuevo lenguaje ideado por Weil. El gran artífice de esta empresa fue uno de los matemáticos más extraños y más revolucionarios del siglo XX: Alexandre Grothendieck.

UNA NUEVA REVOLUCIÓN FRANCESA

Napoleón había forjado su propia revolución académica creando instituciones como la École Polytechnique y la Ecole Normale Supérieure. Sin embargo, el excesivo énfasis que puso en unas matemáticas al servicio de las necesidades del Estado había hecho que París perdiera la centralidad en el mapa de las matemáticas internacionales a favor de Gotinga, donde el enfoque más abstracto de Gauss y de Riemann pudo desarrollarse y florecer. En la segunda mitad del siglo XX, Francia fue sacudida por un nuevo vendaval de optimismo sobre las posibilidades de que París reconquistara su posición de primera línea en el mundo de las matemáticas.

Gracias a la iniciativa de un emigrante ruso, el industrial Léon Motchane, que era un apasionado de la ciencia, y bajo la dirección académica de algunas figuras clave del grupo Bourbaki, se decidió crear un nuevo instituto inspirado en el brillante ejemplo del Institute for Advanced Study de Princeton. A diferencia de las academias napoleónicas, este nuevo instituto no estaría bajo control estatal. Fundado como empresa privada, el Institut des Hautes Études Scientifiques se inauguró en 1958. Sus edificios se esconden entre los bosques del Bois-Marie, no lejos de París. A lo largo de los años ha hecho realidad los sueños de sus creadores. Marcel Boiteux, un antiguo rector del instituto, lo ha descrito como «un foco de radiación, una colmena vibrante, y un monasterio, donde las semillas, plantadas en profundidad, pueden germinar y alcanzar la madurez según sus propios ritmos naturales». Uno de los primeros profesores del instituto fue una joven estrella de las matemáticas que respondía al nombre de Alexandre Grothendieck. Esta primera semilla parece haber florecido de la forma más espectacular.

Grothendieck es un matemático austero: su despacho en el instituto no tenía más adornos que un óleo que representaba a su padre, pintado por un compañero de éste en uno de los campos donde estuvo internado antes de ser trasladado a Auschwitz, donde murió en 1942. Grothendieck había tomado de su padre la fiera expresión de aquellos ojos que resplandecían en la cara del retrato, donde se le veía con la cabeza rapada.

Aunque no había llegado a conocer a su padre directamente, la devoción con que su madre le había hablado de él surtió un profundo efecto sobre Grothendieck. Como comentó él mismo, con la vida de su padre podrían estudiarse los hechos más importantes de las revoluciones europeas entre 1900 y 1940: desde la Revolución bolchevique de octubre de 1917 —de la que había sido dirigente—, pasando por los enfrentamientos armados con los nazis en las calles de Berlín, hasta el enrolamiento en las milicias anarquistas durante la Guerra Civil española. Finalmente los nazis consiguieron detenerlo en Francia, gracias al gobierno de Vichy, que se lo entregó como judío.

Grothendieck llevó a cabo su propia revolución, no en el campo de batalla político, sino en el ámbito de las matemáticas. Partiendo de los primeros intentos de Weil, puso a punto un nuevo lenguaje matemático. Así como las nuevas intuiciones de Riemann supusieron un punto de inflexión, el nuevo lenguaje de la geometría y del álgebra que Grothendieck elaboró hizo posible la creación de una dialéctica totalmente nueva, que permitió a los matemáticos articular ideas que anteriormente eran imposibles de expresar. Todo ello puede compararse con las nuevas perspectivas que se abrieron a finales del siglo XVIII, cuando los matemáticos aceptaron el concepto de número imaginario. Pero este nuevo lenguaje no era fácil de aprender: incluso el propio Weil quedó bastante desconcertado ante el nuevo mundo abstracto de Grothendieck.

El Institut des Hautes Études Scientifiques se convirtió en la sede posbélica natural del proyecto Bourbaki, todavía dedicado a producir ulteriores volúmenes de su estudio enciclopédico sobre las modernas matemáticas. Grothendieck se convirtió en uno de sus principales colaboradores. Cuando los primeros miembros del grupo cumplieron los cincuenta años, se retiraron de Bourbaki, y empezó la caza de nuevos reclutas, jóvenes matemáticos franceses que ocuparan sus puestos. Más que cualquier otra iniciativa, las publicaciones de Bourbaki ayudaron decisivamente a Francia a recuperar su posición central en las matemáticas internacionales. Muchos matemáticos creían que Bourbaki era una persona verdadera y real; y Bourbaki, por su parte, incluso presentó su solicitud para ingresar en la American Mathematical Society.

Más allá de las fronteras francesas, muchos han criticado el efecto de Bourbaki sobre las matemáticas, lamentando sus criterios de selección sobre lo que había que documentar. Los críticos pensaban que Bourbaki había convertido en estéril la investigación matemática al presentar esta disciplina como un producto acabado en lugar de un organismo en evolución. Su énfasis en la mayor universalidad posible hacía perder de vista la excentricidad y los aspectos a menudo específicos de esta disciplina. Pero Bourbaki cree que su proyecto ha sido mal interpretado: los tomos que llevan su nombre están ahí para confirmar la solidez de la posición que ahora ocupamos. Han sido concebidos como una nueva versión de los Elementos, como el equivalente moderno del punto de partida que Euclides nos proporcionó hace dos mil años.

La vieja guardia, compuesta por los matemáticos que estaban en activo antes de la Segunda Guerra Mundial, empezó a lamentarse de no reconocer ya la disciplina sobre la que llevaban largos años trabajando. Siegel comentó así una presentación de su obra, traducida en el nuevo lenguaje:

Me disgusté por la forma en que mi contribución a la cuestión ha sido desfigurada y vuelta incomprensible. Todo el estilo… contradice aquel sentido de simplicidad y honestidad que admiramos en las obras de los maestros de la teoría de los números: Lagrange, Gauss o, en menor escala, Hardy y Landau. Me parece ver un cerdo entrando en un espléndido jardín y poniéndose a destrozar flores y plantas.

Siegel era pesimista sobre el futuro de las matemáticas ante una abstracción así: «Temo que, si no conseguimos bloquear la tendencia actual a desarrollar una abstracción falta de sentido —o, como yo la llamo, una teoría del conjunto vacío—, las matemáticas morirán antes del fin del siglo».

Muchos compartían este punto de vista. Selberg describió sus propias impresiones tras asistir a una conferencia en la que se presentaba, a grandes rasgos, el esquema abstracto de una posible demostración de la hipótesis de Riemann: «Lo que yo creía era que nunca se habían visto conferencias de este tono. Al final, hice partícipes a algunos de un pensamiento que se me ocurrió: si los deseos fueran caballos, incluso los mendigos podrían cabalgar». En la conferencia se había propuesto todo un marco de hipótesis abstractas. Si fuera suficiente un simple cambio de lenguaje para resolver la teoría de los números primos, entonces el matemático que dictó aquella conferencia habría conseguido demostrar la hipótesis de Riemann. Pero, como subraya Selberg: «en realidad él no disponía de ninguna de las hipótesis que necesitaba. Esta, probablemente, no es la manera correcta de enfocar las matemáticas. Sería necesario buscar un punto de partida que consiguiéramos realmente captar y comprender. Aquel discurso contenía muchas cosas interesantes, pero es un ejemplo de una tendencia que considero muy peligrosa».

Para Grothendieck, en cambio, aquello no era abstracción por mor de la abstracción misma: desde su punto de vista, se trataba de una revolución que se había hecho necesaria por las propias preguntas que las matemáticas intentaba responder. Escribió un volumen tras otro describiendo este nuevo lenguaje. Grothendieck tenía un punto de vista mesiánico, y empezó a atraer a un grupo de jóvenes fieles. Su producción científica ha sido inmensa, alrededor de diez mil páginas. Cuando un invitado le hizo notar que la biblioteca del instituto no estaba muy dotada le replicó: «Aquí no leemos libros, los escribimos».

Gödel había hablado de la necesidad de expandir los fundamentos de las matemáticas para poder afrontar la hipótesis de Riemann: el nuevo lenguaje revolucionario de Grothendieck era el primer paso en esta dirección, pero a pesar de todos sus esfuerzos la hipótesis de Riemann continuaba siendo una meta inalcanzable, alimentando su frustración. Su revolución respondía a numerosos problemas, incluidas las importantes conjeturas de Weil sobre el número de soluciones de las ecuaciones, pero no a aquél.

De hecho, la responsabilidad última del fracaso de Grothendieck en su intento de escalar la cumbre del monte Riemann hay que buscarla en el pasado político de su padre. Grothendieck hizo todo lo posible para vivir de acuerdo con los ideales políticos de su progenitor: se convirtió en un pacifista incondicional, participando directamente en las campañas contra la carrera armamentística de los años sesenta. Denunció con fuerza el empeoramiento de la situación política en Rusia hasta el punto de que, cuando en 1966 se le otorgó la medalla Fields en reconocimiento a sus progresos en el campo de la geometría algebraica, se negó a ir a Moscú a recoger el premio como gesto de protesta contra la escalada militar soviética.

Todo su tiempo dedicado a explorar el mundo de las matemáticas había hecho que, en el plano político, las posiciones de Grothendieck fueran algo ingenuas. Cuando le mostraron un cartel que anunciaba una conferencia patrocinada por la OTAN, en la que tenía que ser el orador principal, Grothendieck preguntó, con gran inocencia, qué significaban las siglas OTAN. Cuando le explicaron que se trataba de una organización militar, escribió una carta a los organizadores amenazando con no presentarse (los organizadores prefirieron renunciar al patrocinio antes que perder a su principal conferenciante). En 1967, Grothendieck impartió un breve curso de geometría algebraica abstracta ante un público que lo observaba estupefacto: estaban en la jungla de Vietnam del Norte, donde la Universidad de Hanoi había sido evacuada durante los bombardeos. Él veía aquellas clases, llenas de ideas abstractas, como una forma de protesta contra la guerra que rugía a pocos metros.

Las cosas alcanzaron su punto crítico en 1970, cuando Grothendieck descubrió que una parte de la financiación privada del instituto procedía de fuentes militares. Fue directo al despacho del director, Léon Motchane, amenazando con dimitir. Motchane, que había contribuido más que nadie a la creación del instituto, no era tan flexible como los organizadores de la conferencia del año anterior; Grothendieck, por su parte, permaneció fiel a sus principios y se marchó. Los que lo conocen de cerca creen que quizá tomó como excusa la financiación militar para huir de la jaula de oro en que se había transformado el instituto. Grothendieck se sentía como un mandarín matemático al servicio de los poderes establecidos. Prefería su papel de marginado: odiaba la idea de sentirse cómodo dentro del sistema. También está el hecho de que tenía cuarenta y dos años; el mito según el cual un matemático, al llegar a los cuarenta años, ha dado ya lo mejor de sí mismo, empezaba a preocuparle: ¿Qué pasaría si el resto de su vida matemática careciera de creatividad? No era el tipo de persona capaz de dormirse en sus laureles. Además, su desilusión al no conseguir progresos en su estudio de los puntos a nivel del mar aumentaba cada día. En la comodidad del instituto, Grothendieck no había conseguido más avances de los que había hecho Weil en su celda de Rouen. Cuando abandonó el Institut des Hautes Études Scientifiques, abandonó prácticamente las matemáticas.

Empezó a ir a la deriva. Se unió a un grupo llamado Survive, dedicado a temas antimilitaristas y medioambientales. Empezó a practicar el budismo con un fervor en el que sus antepasados judíos se habrían reconocido plenamente. La amargura que sentía al no poder completar su visión matemática se tradujo en una extraordinaria autobiografía de mil páginas, en la que atacaba con violencia lo que se había hecho con su herencia matemática. No conseguía aceptar que sus discípulos fueran ahora los nuevos líderes de la revolución que él había inspirado y que pusieran su firma en ella.

Actualmente, pasados casi treinta años de su marcha del instituto, Grothendieck vive en un pueblo perdido del Pirineo. Según una pareja de matemáticos que lo visitó hace algunos años: «está obsesionado con el diablo, cuya obra ve en cada rincón del mundo, empeñado en destruir la armonía divina». Entre otras cosas, acusa al diablo de haber cambiado la velocidad de la luz del bello valor preciso de 300.000 km/s al «horrible» 299.887 km/s. Todos los matemáticos han de estar algo locos para encontrarse como en casa en el mundo matemático: todas las horas que Grothendieck dedicó a explorar los confines de ese mundo lo hicieron incapaz de encontrar el camino de vuelta.

Grothendieck no es el único matemático que ha enloquecido intentando demostrar la hipótesis de Riemann: hacia finales de los cincuenta, tras unos primeros éxitos, John Forbes Nash se dejó fascinar por la perspectiva de demostrar la hipótesis de Riemann. Según la biografía de Nash escrita por Sylvia Nasar, Una mente prodigiosa, la gente «especulaba con que Nash estaba enamorado de Cohen», que a su vez estaba luchando con la hipótesis de Riemann. Nash habló largamente con Paul Cohen de sus ideas sobre el tema, pero Cohen no le vio ninguna salida posible. Algunos creen que el rechazo de Cohen, ya sea en el plano emotivo o en el matemático, contribuyó a la subsiguiente decadencia de las facultades mentales de Nash. En 1959 fue invitado a presentar sus ideas para una solución de la hipótesis de Riemann en una convención de la American Mathematical Society, en la Universidad de Columbia en Nueva York. Fue un desastre: el público estaba inmóvil en atónito silencio mientras Nash levantaba la cabeza ante sus ojos, presentando una serie de argumentaciones carentes de sentido, con la pretensión de que se trataba de demostraciones de la hipótesis de Riemann. Los ejemplos de Grothendieck y de Nash ilustran los peligros de la obsesión matemática. (A diferencia de Grothendieck, Nash consiguió recuperarse: en 1994 obtuvo el Premio Nobel de Economía por sus contribuciones matemáticas a la teoría de juegos).

Si Grothendieck ha ido al colapso psicológico, la estructura matemática que creó continúa en pie. Muchos creen que las ideas cruciales que aún nos faltan extenderán la revolución de Grothendieck y por fin desvelarán los misterios de los números primos. Hacia mitades de los noventa, entre la comunidad matemática empezó a circular una voz: quizás estábamos cerca de encontrar al sucesor de Grothendieck.

QUIEN RÍE EL ÚLTIMO

Cuando empezó a correrse la voz de que Alain Connes estaba trabajando en la hipótesis de Riemann, muchos fruncieron el ceño. Connes, profesor del Institut de Hautes Études Scientifiques y del Collège de France, es un peso pesado con una reputación similar a la de Grothendieck. En efecto, su invención de la geometría no conmutativa va más allá de la geometría de Weil y Grothendieck. Connes, como Grothendieck, es capaz de ver una estructura allá donde los demás sólo ven caos.

En matemáticas, no conmutativo significa que el orden en que se hace algo es fundamental. Por ejemplo, tomemos una fotografía cuadrada de la cara de alguien y pongámosla boca abajo. Primero démosle la vuelta de derecha a izquierda y a continuación hagámosla girar noventa grados en sentido horario. Repitamos el experimento, pero esta vez hagamos girar la foto antes de darle la vuelta (también en este caso hay que asegurarse de darle la vuelta de derecha a izquierda) y comprobaremos que ahora la cara está girada en sentido opuesto. Depende de qué operación efectuemos primero. El mismo principio está en el centro de muchos de los misterios de la física cuántica. El principio de indeterminación de Heisenberg dice que nunca podremos conocer con precisión la posición y, al mismo tiempo, la velocidad de una partícula. La razón matemática que está en la base de esta indeterminación es que el resultado depende del orden en que se miden la posición y la velocidad.

Connes ha llevado la geometría algebraica de Weil y Grothendieck a regiones de las matemáticas en las que estas simetrías dejan de funcionar, revelando un mundo matemático completamente nuevo. Si la mayor parte de los matemáticos se pasan la vida intentando alcanzar una mejor comprensión de estructuras matemáticas ya conocidas, de vez en cuando —una vez en varias generaciones—, aparece un explorador capaz de superar tales esquemas y descubrir continentes desconocidos: Connes es uno de esos exploradores.

Connes pone toda su pasión en estas exploraciones. Su amor por esta disciplina se remonta a cuando, a los siete años, reflexionó por vez primera sobre problemas matemáticos elementales: «Recuerdo con toda claridad el intenso placer que encontraba sumergiéndome en aquel particular estado de concentración necesario para aplicarse en matemáticas». Se diría que Connes nunca ha salido de este trance. Y a pesar de todas sus teorías y sus abstracciones, que intimidarían a quien lo observa, algo en él ha quedado de aquella fogosidad infantil que tenía a los siete años. Para Connes las matemáticas es lo que más puede acercarse a un concepto de verdad última. Y, desde su juventud, la alegre búsqueda de este fin ha sido una componente fundamental de su dedicación a ella. Para decirlo con sus propias palabras, ya que «la realidad matemática no puede colocarse en el espacio ni en el tiempo, esto proporciona, cuando uno es lo bastante afortunado para descubrir una ínfima porción de ello, una sensación de extraordinario placer por la impresión de eternidad que proporciona».

Connes describe al matemático como una persona siempre activa, siempre a la búsqueda de nuevos territorios en los que penetrar. Si otros se limitan a navegar en las proximidades de las costas de las tierras conocidas, Connes se apartará del horizonte matemático familiar y navegará hacia aguas desconocidas, más allá de nuestros actuales conocimientos matemáticos. Su capacidad de comprensión de las conexiones entre los números primos y el árido mundo abstracto de la geometría no conmutativa se debe en buena parte a su talento para adoptar diversos elementos de las diferentes culturas matemáticas que ha visitado en sus viajes. Algunos investigadores prefieren moverse, durante sus exploraciones, en parejas o en grupo. Juntos, sus diversas habilidades pueden ayudarles a cruzar océanos matemáticos en los que podrían perderse en soledad. Connes, en cambio, es uno de esos viajeros que aman la soledad: «Si se quiere realmente descubrir algo, hay que estar solo».

La nueva geometría que Connes había descubierto tenía en su propia base el desarrollo de la geometría algebraica conseguido por Weil y Grothendieck, que habían elaborado un nuevo diccionario con el que traducir la geometría al álgebra. La utilidad de este diccionario se hace evidente cuando nos encontramos ante un problema que, expresado en el campo de la geometría, permanece oscuro y rodeado de misterio, mientras que se clarifica rápidamente en cuanto se traduce en términos algebraicos. De esta forma Weil consiguió calcular el número de soluciones de las ecuaciones y demostrar que los ceros de los paisajes correspondientes están alineados. Si se hubiera limitado a tratar de comprender las formas geométricas modeladas por aquellas ecuaciones, no habría llegado a ninguna parte; pero, una vez preparado su diccionario algebraico-geométrico, tenía los medios para comprender.

Si la geometría de Weil dio respuesta a las preguntas sobre la teoría de los números pura, las ideas de Connes proporcionaron una descripción matemática de una geometría que los físicos de la teoría de cuerdas y los físicos cuánticos buscaban, ya desesperadamente, construir. A finales del siglo XX, los físicos estaban buscando una nueva geometría para apuntalar la teoría de cuerdas, que se había introducido en los años setenta como una posible solución de la incompatibilidad entre la física cuántica y la teoría de la relatividad. Connes quedó fascinado por el problema, y empezó a buscar la geometría que los físicos creían que tenía que existir. Comprendió que, aun no teniendo una imagen clara de la parte física de esta geometría, siempre podía construir su lado geométrico abstracto. Fue un descubrimiento que sólo un estudioso acostumbrado a moverse entre las abstracciones del mundo matemático podía completar: la intuición física no lo habría conseguido.

El extraño comportamiento del mundo subatómico obligó a Connes a dejar totalmente de lado las maneras ordinarias con las que comprendemos la geometría convencional. Si la revolución geométrica de Riemann ofreció a Einstein el lenguaje necesario para describir la física de lo increíblemente grande, la geometría de Connes ofrece a los matemáticos la posibilidad de penetrar en la extraña geometría de lo increíblemente pequeño. Gracias a él, quizá podremos descifrar la estructura elemental del espacio.

Hugh Montgomery y Michael Berry habían puesto en evidencia la posible conexión entre los números primos y el caos cuántico. El hecho de que el lenguaje de Connes se adaptara perfectamente a las necesidades de la física cuántica contribuyó a alimentar el optimismo sobre el éxito de su ataque a la hipótesis de Riemann. Como provenía de un renacimiento matemático francés que había creado ya nuevas técnicas para orientarse en los paisajes zeta, es comprensible que la comunidad matemática creyera estar cerca de la respuesta al problema: todos los hilos convergían en el mismo punto.

Lo que Connes cree haber identificado es un espacio geométrico muy complejo, llamado el espacio no conmutativo de las clases de Adele, construido en el mundo del álgebra. Para construir este espacio utilizó unos extraños números descubiertos a principios del siglo XX, los números p-ádicos. Existe una familia de números p-ádicos para cada número primo p. Connes cree que reuniendo todos estos números y observando cómo opera la multiplicación en ese espacio extremadamente singular, los ceros de Riemann tendrían que aparecer naturalmente como resonancias en el interior de ese espacio. Su enfoque es una mezcla exótica de muchos de los ingredientes aparecidos durante los siglos de estudio de los números primos. No es sorprendente que los matemáticos valoraran con confianza sus posibilidades de éxito.

Connes no sólo es un maestro de las matemáticas, sino que tiene también un carisma particular para exponer sus propias ideas a los demás. Muchos han quedado hipnotizados ante sus presentaciones de la hipótesis de Riemann. Al escucharlo, yo estaba convencido de que aparecería una demostración como consecuencia de su trabajo, que había realizado el grueso del trabajo y que los demás sólo tendrían que hacer algún retoque final. Pero por más que da la impresión de haber comprendido ya la gran idea buscada por todos, el mismo Connes sabe bien que queda todavía mucho camino por andar: «El proceso de verificación puede ser muy doloroso: hay un miedo terrible a equivocarse… que hace crecer increíblemente el ansia, ya que nunca somos capaces de saber si nuestras intuiciones son correctas, un poco como en los sueños, donde a menudo las intuiciones resultan equivocadas».

En la primavera de 1997, Connes fue a Princeton para explicar sus nuevas ideas a los peces gordos: Bombieri, Selberg y Sarnak. Princeton continuaba siendo indiscutiblemente la meca de la hipótesis de Riemann, aunque París intentaba conseguir el primer puesto. Selberg se había convertido en el padrino del problema: era inconcebible que cualquier hipótesis pudiera superar la barrera sin haber sido antes cuidadosamente examinada por un hombre que había dedicado medio siglo a luchar con los números primos. Sarnak era el joven matemático cuyo afilado intelecto determinaría rápidamente la menor debilidad de la teoría. Hacía poco que había unido sus fuerzas con Nick Katz, también de Princeton, uno de los maestros indiscutidos de las matemáticas desarrolladas por Weil y Grothendieck. Juntos habían demostrado que la extraña distribución estadística en los tambores aleatorios que creemos que describen el paisaje de Riemann está también presente en los paisajes examinados por Weil y Grothendieck. La mirada de Katz es particularmente fina, y pocas cosas se le escapan: fue precisamente Katz quien, algunos años antes, determinó el error de la primera demostración del último teorema de Fermat que Wiles propuso.

Finalmente, estaba Bombieri, el maestro indiscutido de la hipótesis de Riemann. Había ganado su medalla Fields por haber conseguido lo que hoy es el resultado más significativo sobre la proximidad entre la verdadera cantidad de números primos y la estimación de Gauss: la demostración de lo que los matemáticos llaman la hipótesis de Riemann «en promedio». En la tranquilidad de su despacho, desde el que se goza de una panorámica de los bosques que circundan el Institute for Advanced Study, Bombieri intentaba ordenar todas las intuiciones elaboradas por sí mismo en los años anteriores en vistas al asalto final a la solución definitiva del problema. Como Katz, también Bombieri tiene un ojo agudo para los detalles. Apasionado de la filatelia, una vez se le presentó la ocasión de comprar un sello muy raro para su colección. Tras examinarlo detalladamente, descubrió tres imperfecciones y se lo devolvió al vendedor, indicándole sólo dos de ellas; se guardó la tercera, leve imperfección, por si más adelante le ofrecían otro falso con las correcciones que había indicado. Cualquier teoría candidata a la demostración de la hipótesis de Riemann tiene que estar dispuesta a afrontar un examen altamente severo.

Selberg, Sarnak, Katz y Bombieri: un equipo formidable, pero que no conseguía intimidar en absoluto a Connes. La fuerza de sus argumentaciones y de su personalidad fácilmente estarían a la altura de los peces gordos de Princeton. Sabía que no disponía aún de la demostración, pero estaba convencido de que su propio enfoque ofrecía las mejores perspectivas de hallar una solución a la hipótesis de Riemann. Reunía muchas de las ideas que habían emergido de la física cuántica y de las intuiciones matemáticas de Weil y de Grothendieck.

El grupo de Princeton aceptó que se habían producido muchos avances, pero no se había resuelto el problema. Sarnak reconoció que Connes había sabido desarrollar con éxito las ideas que él mismo había aprendido de su supervisor, Paul Cohen, poco después de su llegada a Stanford. La diferencia radicaba en el hecho de que Connes disponía ahora de un nuevo lenguaje sofisticado y de nuevas técnicas que lo ayudaban a dar una forma precisa a las ideas de Cohen. Pero en el enfoque de Connes se mantenía aún un problema: parecía haber arreglado las cosas de manera que fuera imposible ver cualquier punto que se hallara fuera de la recta de Riemann. Igual que un prestidigitador, Connes hacía ver a su público sólo los puntos que se hallaban sobre la recta, mientras que los de fuera desaparecían por su manga matemática.

«Connes es capaz de hipnotizar al público», afirma Sarnak. «Es un tipo muy persuasivo. Produce fascinación. Si le haces notar un punto débil en su enfoque, la vez siguiente dice: “Tenías razón”. Por eso consigue conquistar tan fácilmente». Y así, explica Sarnak, al cabo de poco Connes incluye alguna cabriola nueva en su razonamiento. Sarnak cree, sin embargo, que Connes aún no tiene la clase de magia que permitió a Weil hacer su gran descubrimiento mientras estaba en la cárcel, en 1940. Bombieri recuerda: «Sigo pensando que hace falta alguna nueva, gran idea».

Al cabo de poco tiempo de la presentación de Connes, Bombieri recibió un correo electrónico de un amigo, Doron Zeilberger, de la Universidad de Temple. Según sus palabras, parecía como si Zeilberger hubiera descubierto nuevas e increíbles propiedades de π. Pero Bombieri fue lo suficientemente astuto para fijarse en la fecha: era el primero de abril. Para hacer notar que había comprendido la broma, respondió al mismo nivel. Astutamente, se sumó a la fiebre que se estaba extendiendo alrededor de las contribuciones de Connes a la búsqueda de estructuras regulares en la distribución de los números primos: «Se han producido fantásticos acontecimientos tras la conferencia que Alain Connes pronunció en el Institute for Advanced Study el miércoles pasado…». Un joven físico presente entre el público intuyó de repente cómo completar el proyecto de Connes. La hipótesis de Riemann es válida. «Por favor, da la máxima difusión a esta noticia».

Zeilberger entró en el juego, y una semana después se había comunicado la noticia a todos los matemáticos del mundo a través del boletín electrónico del siguiente congreso internacional. Hizo falta tiempo para encauzar la excitación provocada por la broma de Bombieri. Volviendo a París, Connes descubrió que aquellas noticias estaban en boca de la gente. Y aunque el blanco de la broma eran en realidad los físicos, le dolió igualmente.

La inocentada de Bombieri de alguna manera supuso el fin del entusiasmo alrededor del trabajo de Connes sobre la hipótesis de Riemann. Ahora que las aguas se han calmado, parece que se han desvanecido gran parte de las esperanzas de que las ideas de Connes puedan descubrir el secreto de los números primos. Incluso en su sofisticado mundo de la geometría no conmutativa, los primos permanecen inalcanzables. Han pasado ya algunos años desde la entrada en escena de Connes, pero la fortaleza Riemann continúa inexpugnable. Naturalmente, aún es posible que el enfoque de Connes dé fruto: hay muchos motivos para creerlo. Sin embargo, ya ha disminuido la sensación de que tal enfoque pueda garantizar un camino fácil hacia la demostración. Es posible que ahora los muros que protegen la hipótesis de Riemann parezcan un poco distintos, pero permanecen tan impenetrables como ayer.

El mismo Connes intenta tomarse con filosofía este punto muerto en que ha embarrancado su investigación. Como comentó frente al anuncio de un premio de un millón de dólares para el que resolviera la hipótesis de Riemann: «para mí, las matemáticas ha sido siempre la mayor escuela de humildad. El valor inestimable de las matemáticas radica sobre todo en sus problemas más increíblemente difíciles, que son como el Himalaya de las matemáticas. Conseguir la cumbre será extremadamente difícil, e incluso podría ser que tuviéramos que pagar un alto precio. Pero la verdad es que, una vez que la alcancemos, podremos admirar un panorama estupendo». Connes aún no se ha rendido, y continúa su batalla a la espera de una última gran idea que le permita alcanzar el final de su viaje. Su deseo es alcanzar aquel instante maravilloso, que todo matemático puede reconocer en algún momento de su propia vida, cuando repentinamente las cosas se ponen en su sitio: «Cuando llega la iluminación, se produce tal escalofrío emotivo que es imposible permanecer pasivos o indiferentes. En las raras ocasiones en las que lo he experimentado no he podido contener las lágrimas».

Por tanto, continuemos escuchando el misterioso ritmo de los primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,… Los números primos se extienden hasta los más extremos confines del universo de los números, sin terminarse nunca. Ellos están en el centro de las matemáticas, son los elementos primarios con los que se consigue cualquier cosa. ¿Deberemos realmente resignarnos al hecho de que, por más que deseemos hallar un orden y una explicación, estos números fundamentales permanezcan para siempre fuera de nuestro alcance?

Euclides demostró que los números primos siguen hasta el infinito; Gauss planteó la hipótesis de que siguen un orden aleatorio, como si hubieran sido elegidos lanzando una moneda; Riemann fue aspirado por un agujero que lo condujo a un espacio imaginario donde los números primos se convierten en música. En este espacio, cada punto a nivel del mar hace sonar una nota. Por tanto, se trataba de interpretar el mapa del tesoro de Riemann, y de descubrir la ubicación de cada punto a nivel del mar. Armado con una fórmula que mantuvo en secreto para el resto del mundo, Riemann descubrió que, aunque la disposición de los números primos pareciera caótica, los puntos de su mapa estaban ordenados perfectamente: en lugar de estar desparramados aquí y allá, estaban todos sobre una misma recta. No podía ver lo bastante lejos en aquel paisaje como para poder afirmar que este orden siempre sería respetado, así lo creía. Había nacido la hipótesis de Riemann.

Si la hipótesis de Riemann es correcta, ninguna de las notas tendrá un sonido más alto que otra: la orquesta que toca la música de los números primos tendrá una armonía perfecta. Esto explicaría el hecho de que, en la distribución de los números primos, no vemos emerger pautas dominantes: a una pauta así correspondería un instrumento que toca más fuerte que los demás. Es como si cada instrumento siguiera su propio motivo, pero con una armonía tan perfecta que los motivos terminarían por anularse, dejando sólo el flujo y el reflujo aparentemente caóticos de los primos.

Si es correcta, la hipótesis de Riemann nos ayudará a comprender por qué los números primos se nos aparecen como si hubieran sido extraídos al azar, lanzando una moneda. Pero quizá la intuición de Riemann sobre estos puntos a nivel del mar es sólo una ilusión; quizás, al proseguir la música, un instrumento concreto de la orquesta de los números primos empezará a dominar sobre los demás; quizás en los horizontes extremos de los números se esconden estructuras regulares que aún no hemos descubierto; quizá la moneda de los números primos empezó a mostrar una inclinación particular cuando la naturaleza la lanzó más y más vueltas en el proceso de creación del universo matemático en que vivimos. Como hemos tenido la oportunidad de descubrir, los números primos son sujetos maliciosos, capaces de esconder a nuestra vista su verdadero carácter.

Empezó así la búsqueda de una confirmación a la convicción de Riemann según la cual los puntos a nivel del mar en su mapa del tesoro de los primos tenían que estar alineados. Hemos cruzado a lo largo y a lo ancho el mundo histórico y el mundo físico: la Francia revolucionaria de Napoleón; la revolución neohumanística de Alemania, desde el gran Berlín hasta las angostas calles medievales de Gotinga; la extraña alianza entre Cambridge y la India; el aislamiento de Noruega durante la guerra; el Nuevo Mundo, y una nueva academia fundada en Princeton para los valerosos buscadores del Grial de Riemann obligados a abandonar Europa por las devastaciones de la guerra; y, finalmente, París y su nuevo lenguaje, que se habló por vez primera en la celda de una cárcel y que ha deshecho la mente de una de las principales personas que lo desarrollaron.

La historia de los números primos se extiende mucho más allá de los confines del mundo matemático. Los progresos tecnológicos han cambiado la manera de hacer matemáticas. El ordenador, nacido en Bletchley Park, nos ha dado la capacidad de ver números que anteriormente permanecían confinados en un universo inaccesible. El lenguaje de la física cuántica ha permitido a los matemáticos articular estructuras y conexiones que nunca se hubieran descubierto sin la superposición de culturas científicas. Incluso el mundo empresarial de la AT&T, de la Hewlett-Packard y de una cadena californiana de grandes almacenes de electrónica ha tenido su participación en la investigación. El papel central de los números primos en el panorama de la seguridad informática ha llevado estos números al primer plano. Hoy, los números primos tienen un impacto sobre la vida de todos nosotros, ya que en Internet protegen los secretos electrónicos del mundo a los ojos indiscretos de los hackers.

Pero, a pesar de todos estos avances, los números primos continúan siendo inalcanzables: cada vez que les damos caza en un nuevo territorio, ya sea en el mundo no conmutativo de Connes o en el caos cuántico de Berry, siempre encuentran nuevos lugares donde esconderse.

Muchos de los matemáticos que han contribuido a nuestra comprensión de los números primos han sido recompensados con una larga vida. Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin, que en 1896 habían demostrado el teorema de los números primos, vivieron ambos más de noventa años. La gente empezaba a pensar que el haber demostrado el teorema los había vuelto inmortales. La creencia en una conexión entre la longevidad y los números primos ha sido alimentada posteriormente por Atle Selberg y Paul Erdös: tras su demostración elemental alternativa al teorema de los números primos, en los años cuarenta, ambos han superado la barrera de los ochenta años. Bromeando, los matemáticos han planteado una nueva conjetura: aquel que consiga demostrar la hipótesis de Riemann conquistará la inmortalidad. Continuando con la conjetura bromista, se dice que alguien en alguna parte ha demostrado ya que la hipótesis de Riemann es falsa, pero nadie se ha enterado porque el desgraciado matemático murió instantáneamente en cuanto terminó su trabajo.

Hay diversas opiniones sobre lo lejos que estamos de una demostración. Andrew Odlyzko, que ha calculado numerosísimos puntos a nivel del mar en el mapa del tesoro de Riemann, cree que no somos capaces en absoluto de hacer una previsión: «Podría ser la próxima semana, como podría ser dentro de un siglo. El problema parece demasiado complicado. Sospecho que su solución será muy simple, entre otras razones porque numerosísimas personas realmente preparadas le han dedicado todo su empeño durante mucho tiempo. Pero, por otra parte, también es posible que alguien tenga una idea particularmente brillante ya la semana que viene». Otros creen que, para alcanzar una solución, aún hacen falta al menos un par de buenas ideas.

Basándose en su conversación en Princeton con el físico cuántico Freeman Dyson durante la pausa de té, Hugh Montgomery está convencido de que nuestra escalada al monte Riemann se encuentra en un buen punto. Pero hay una nota a pie que modula bastante aquel optimismo: «Si no fuera por una única laguna, nuestra demostración de la hipótesis de Riemann estaría completa. Desafortunadamente, la laguna está precisamente al principio». Como subraya Montgomery, es un feo sitio para una laguna. Una laguna en el medio significaría al menos que hemos progresado en nuestro camino; pero si se encuentra en el principio significa que, a menos que encontremos una forma de superar este primer obstáculo, el resto del recorrido que hemos trazado para llegar a la cumbre del monte Riemann es totalmente inútil: «Es por culpa de un obstáculo a nivel teórico que no somos capaces de demostrar este teorema».

Muchos matemáticos están aún demasiado atemorizados para acercarse a este problema notoriamente difícil, a pesar del incentivo de un millón de dólares para quien encuentre la solución. Los nombres que lo han intentado y han fracasado son legión: Riemann, Hilbert, Hardy, Selberg, Connes… Pero aún quedan matemáticos lo bastante valientes para intentarlo, y entre los nombres que hay que tener presentes en un futuro están Christopher Deninger en Alemania y Shai Haran en Israel.

Muchos predicen que la hipótesis de Riemann llegará a su bicentenario sin haber sido demostrada. Otros, en cambio, creen que su hora está próxima, y que con todo lo que hemos descubierto sobre dónde buscar una solución, no podrá resistirse mucho más. Otros creen, en cambio, que es falsa. Otros creen que ya ha sido demostrada pero que el establishment matemático no se atreve a renunciar a este enigma. Finalmente, algunos se han vuelto locos buscando una solución.

Quizá nos hemos obsesionado de tal forma en mirar los números primos desde la perspectiva de Gauss y de Riemann que lo que nos hace falta es simplemente una forma distinta de comprender estos enigmáticos números. Gauss propuso una estimación de la cantidad de números primos, Riemann previo que en la peor de las hipótesis el margen de error, por exceso o por defecto, sería equivalente a la raíz cuadrada de N, y Littlewood mostró que no podía hacerse mejor. Quizás existe un punto de vista alternativo que nadie ha sido capaz de encontrar por culpa de nuestro ligamen cultural con el edificio construido por Gauss.

Como los investigadores en la escena de un misterioso asesinato, hemos examinado a los diversos sospechosos matemáticos: ¿quién o qué ha puesto los ceros sobre la recta de Riemann? La escena está llena de pruebas diseminadas, hay huellas por todas partes, tenemos un retrato robot del presunto culpable. Pero aún se nos escapa la respuesta. Nos queda, para consolarnos, el hecho de que aunque los números primos no nos revelen nunca su secreto, nos están guiando por la más extraordinaria de las odiseas intelectuales. Han adquirido una importancia que va mucho más allá de su papel fundamental de átomos de la aritmética. Como hemos descubierto, los números primos han puesto en comunicación áreas de las matemáticas entre las que no se conocían relaciones. Teoría de los números, geometría, análisis, lógica, teoría de la probabilidad, física cuántica: todas han terminado convergiendo en nuestra búsqueda de una solución a la hipótesis de Riemann. Y esta búsqueda ha puesto a las matemáticas bajo una luz nueva. Hoy nos maravillamos ante su extraordinaria interconexión: las matemáticas se han transformado, han pasado de ser una disciplina que se ocupa de estructuras a una disciplina que indaga las interconexiones.

Estas conexiones no sólo existen en el interior del mundo matemático. Hubo un tiempo en que los números primos se consideraban el concepto más abstracto, entidad que perdería todo su significado fuera de la torre de marfil de las matemáticas. Hubo un tiempo en que los matemáticos —G. H. Hardy es quizá el mejor ejemplo— gozaban ante la idea de poder examinar sus objetos de estudio en total aislamiento, sin distracciones con problemas del mundo exterior. Pero ahora los números primos no ofrecen ya una vía de fuga de los problemas del mundo real, como aún podían hacer Riemann y otros. Los números primos revisten una importancia central en el marco de la seguridad de nuestro mundo electrónico, y sus resonancias con la física cuántica podrían decirnos algo sobre la propia naturaleza del mundo físico.

Aunque consigamos demostrar la hipótesis de Riemann, hay muchas otras preguntas y conjeturas que nos esperan, muchas nuevas áreas de entusiasmo en las matemáticas que sólo esperan la demostración de la hipótesis de Riemann para entrar en escena. La solución será sólo un principio, la apertura de la puerta de un territorio virgen, aún inexplorado. Tomando las palabras de Andrew Wiles, la demostración de la hipótesis de Riemann nos dará la posibilidad de orientarnos en este mundo como la solución del problema de la longitud ayudó a los exploradores del siglo XVIII a navegar en el mundo físico.

Hasta entonces, tendremos que contentarnos con escuchar con fascinación esta música matemática imprevisible, incapaces de controlar sus pautas. Los números primos siempre nos han acompañado en nuestra exploración del mundo matemático, y siguen siendo los más enigmáticos entre los números. Aunque las mejores mentes matemáticas han dado lo mejor de sí mismas en el intento de explicar las modulaciones y los cambios de esta música mística, los números primos siguen siendo hoy un enigma sin respuesta. Todavía estamos esperando a la persona cuyo nombre vivirá para siempre como el del matemático que ha hecho cantar a los números primos.