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LA CARRERA DE RELEVOS MATEMÁTICA: COMIENZA LA REVOLUCIÓN RIEMANIANA

Euclides en Alejandría, Euler en San Petersburgo; el trío de Gotinga: —Gauss, Dirichlet, Riemann—: el problema de los números primos pasaba como un testigo de generación en generación. Las nuevas perspectivas de cada generación proporcionaban el impulso para el siguiente relevo: cada oleada de matemáticos iba dejando su propia marca característica en los números primos, reflejo de la particular visión cultural de su época sobre las matemáticas. Sin embargo, las contribuciones de Riemann fueron tan lejos en este campo que hicieron falta más de treinta años para que alguien pudiera aprovechar aquel impetuoso torrente de nuevas ideas.

Más tarde, en 1885, repentinamente pareció que las apuestas se ponían sobre la mesa. Aunque no tan rápidamente como habría de suceder más de un siglo más tarde con la inocentada que Bombieri difundió por correo electrónico, una noticia sensacional empezó a circular: un personaje poco conocido no sólo había cogido el testigo de Riemann, sino que había cruzado la línea de meta. Un matemático holandés, Thomas Stieltjes, decía estar en posesión de una demostración de la hipótesis de Riemann, una demostración que confirmaba que todos los ceros se encontraban sobre la recta mágica de Riemann que pasa por 1/2. Stieltjes era un ganador poco fiable: en su época de estudiante había suspendido tres veces los exámenes universitarios para desesperación de su padre, que era miembro del parlamento holandés y eminente ingeniero encargado de la construcción de los muelles portuarios de Rotterdam. Pero los fracasos de Stieltjes no se debían a la pereza: lo único que le distraía era el simple placer de leer auténticas matemáticas en la biblioteca de Delft, en lugar de dedicarse intensamente a los ejercicios técnicos que debería de haber preparado para sus exámenes.

Uno de sus autores preferidos fue Gauss, a quien pretendía emular. Y como Gauss había trabajado en el observatorio de Gotinga, Stieltjes se empleó en el observatorio de Leiden. Aquella plaza apareció como por ensalmo gracias a una sugerencia de su influyente padre al director del observatorio, aunque Stieltjes nunca fue consciente de tal ayuda. Cada vez que apuntaba al cielo con su telescopio, su imaginación no estaba pendiente de la posibilidad de medir las posiciones de nuevas estrellas, sino de las matemáticas del movimiento celeste. Cuando germinaron sus ideas, decidió escribir a uno de los eminentes matemáticos de las famosas academias francesas, Charles Hermite.

Hermite había nacido en 1822, cuatro años antes que Riemann. Ahora, con más de sesenta años, era uno de los abanderados de la obra de Cauchy y de Riemann sobre las funciones de números imaginarios. La influencia de Cauchy no se limitaba a las matemáticas: en su juventud Hermite había sido agnóstico, pero Cauchy, que era devoto católico, aprovechó un momento suyo de debilidad durante una grave enfermedad para convertirlo al catolicismo. El resultado fue una extraña mezcla de misticismo matemático semejante al culto pitagórico. Hermite creía que la existencia matemática era una especie de estado sobrenatural al que los matemáticos mortales sólo fugazmente podían echar algún vistazo.

Quizá fue esta la razón por la cual respondió con tanto entusiasmo a la carta que le mandaba un oscuro asistente del observatorio de Leiden: se debió convencer de que, mirando las estrellas, aquel astrónomo había recibido el don de una visión matemática especialmente intensa. Muy pronto ambos se vieron envueltos en una impetuosa correspondencia matemática que, en un período de doce años, supuso el intercambio de 432 cartas. Hermite estaba impresionado por las ideas matemáticas del joven holandés y, aunque Stieltjes no era licenciado, le dio su apoyo y consiguió que lo recompensaran con una cátedra en la Universidad de Toulouse. En una carta a Stieltjes a propósito de su trabajo, Hermite escribió: «Vous avez toujours raison et jai toujours tort» [Usted siempre tiene razón y yo siempre me equivoco].

Durante el período en que mantenía esta correspondencia, Stieltjes hizo la extraordinaria afirmación de haber demostrado la hipótesis de Riemann. Dada la confianza de Hermite en su joven protegido, no se planteó la posibilidad de dudar de que Stieltjes hubiera efectivamente conseguido concebir una demostración; al fin y al cabo, había hecho ya aportaciones en otras ramas de las matemáticas.

Puesto que la conjetura de Riemann todavía no había tenido tiempo de adquirir el carácter de duro reto que tiene en la actualidad, el anuncio de Stieltjes se recibió con menos entusiasmo del que hoy suscitaría. Riemann no había pregonado su intuición sobre los ceros, sino más bien la había enterrado cuidadosamente en su ensayo de diez páginas sin dar apenas indicios que la apoyaran. Haría falta una nueva generación para que la importancia de la hipótesis de Riemann se comprendiera en toda su magnitud. En todo caso, el anuncio de Stieltjes era excitante, ya que demostrar la hipótesis de Riemann significaría demostrar también la conjetura de Gauss sobre los números primos, que en aquella época era el Santo Grial de la teoría de los números. Para N = 1.000.000, la estimación de la cantidad de números primos que da el logaritmo integral Li(N) de Gauss produce un error del 0,17 por ciento. Cuando se consiguió contar la cantidad de números primos comprendidos entre 1 y 1.000.000.000 se descubrió que el error descendía al 0,003 por ciento. Gauss había creído que el error porcentual se reduciría cada vez más a medida que se consideraran valores de N cada vez mayores. Hacia finales del siglo XIX la conjetura de Gauss llevaba en circulación tiempo suficiente como para que con su potencial conquistara grandes honores. Los indicios que apoyaban la intuición de Gauss eran ciertamente convincentes.

En los tiempos en que Stieltjes escribía a Hermite sobre su demostración, el mayor progreso en la dirección de una confirmación de la conjetura de Gauss se había producido alrededor de 1850, en el viejo y amado refugio de Euler: San Petersburgo. El matemático ruso Pafnuty Chebyshev, a pesar de no poder demostrar que la diferencia porcentual entre la estimación de Gauss y la verdadera cantidad de números primos se hace cada vez menor, había demostrado que el error sobre el número de primos menores o iguales que N nunca sería mayor del once por ciento, por grande que sea el valor de N. El once por ciento puede parecer muy lejano del 0,003 por ciento que Gauss había obtenido para la cantidad de números primos comprendidos entre uno y mil millones, pero la importancia del resultado de Chebyshev radica en el hecho de garantizar con certeza absoluta que, por más que continuemos contando números primos, el error nunca se volverá enorme. Antes de los resultados de Chebyshev, la conjetura de Gauss se había basado exclusivamente en una pequeña cantidad de indicios experimentales. El análisis teórico de Chebyshev proporcionó la primera base auténtica a la hipótesis de la existencia de una relación entre logaritmos y números primos. En todo caso, quedaba todavía mucho camino por recorrer para demostrar que aquella relación se mantendría tan estrecha como conjeturaba Gauss.

Chebyshev consiguió mantener este control sobre los errores usando métodos absolutamente elementales. Riemann, que trabajaba en Gotinga con su sofisticado espacio imaginario, tuvo conocimiento del trabajo de Chebyshev: hay evidencias de que se disponía a enviarle una carta en la que subrayaba sus propios avances: entre las páginas de notas de Riemann que sobrevivieron se encuentran borradores en los que prueba diversas grafías para el nombre de su colega ruso. No sabemos si finalmente Riemann mandó la carta a Chebyshev pero, enviada o no, Chebyshev no consiguió mejorar su estimación del error en la cuenta de los números primos.

Por todo ello, el anuncio de Stieltjes suscitó, a pesar de todo, un entusiasmo notable entre los matemáticos de su época: nadie sospechaba todavía hasta qué punto resultaría difícil demostrar la hipótesis de Riemann, pero una demostración de la conjetura de Gauss era un acontecimiento digno de reconocimiento. Hermite estaba ansioso por conocer los detalles de la demostración de Stieltjes, pero el joven matemático se mostró reticente: la demostración no estaba a punto. A pesar de las continuas presiones, en los siguientes cinco años Stieltjes no dio a conocer nada que apoyara su afirmación. Para superar la frustración cada vez mayor en que vivía ante la resistencia de Stieltjes a exponerle sus ideas, Hermite ideó lo que creyó que sería un procedimiento ingenioso para obligarlo a salir a la luz: propuso que la Academia de París dedicara el Grand Prix des Sciences Mathématiques de 1890 a la demostración de la conjetura de Gauss sobre los números primos. Hermite se puso a esperar tranquilamente, confiado en que el premio iría a parar a su amigo Stieltjes.

El plan de Hermite consistía en lo siguiente: para adjudicarse el premio no era necesario que Stieltjes proclamara nada tan grandioso como haber demostrado la hipótesis de Riemann, bastaría con trazar el mapa de una pequeña porción del paisaje imaginario: la frontera entre el paisaje de Euler y la extensión de Riemann. Bastaba con demostrar que no había ceros en aquella frontera, es decir, sobre la línea recta que se extiende de norte a sur pasando por el número 1; entonces podría usarse el paisaje de Riemann para estimar los errores en la fórmula de Gauss, errores que venían determinados por la posición al este de cada uno de los ceros en el paisaje de Riemann. Cuanto más al este cae un cero, mayor será el error correspondiente. Si la hipótesis de Riemann es correcta, el error será muy pequeño, pero la conjetura de Gauss continuaría siendo cierta aunque la hipótesis de Riemann resultara falsa siempre que todos los ceros sin excepción cayeran al oeste de la frontera norte-sur que pasa por el número 1.

El plazo de inscripción al premio venció sin que Stieltjes hiciera acto de presencia, pero Hermite no quedaría completamente decepcionado: de manera inesperada, su alumno Jacques Hadamard presentó un ensayo.

Si bien Hadamard no proporcionó una demostración completa, sus ideas bastaron para convertirlo en el ganador del premio. Espoleado por aquel éxito, en 1896 Hadamard consiguió colmar las lagunas de su propia argumentación. No fue capaz de probar que todos los ceros están sobre la recta crítica de Riemann que pasa por 1/2, pero pudo demostrar que ningún cero se encontraba al este de la frontera que pasa por 1.

Un siglo después de que Gauss descubriera una relación entre números primos y función logarítmica, finalmente las matemáticas disponía de una demostración de la conjetura de Gauss sobre los números primos. Puesto que ya no se trataba de una conjetura, a partir de aquel momento pasó a llamarse teorema de los números primos. La demostración era el resultado más significativo que se había obtenido sobre los números primos desde que los antiguos griegos establecieran la existencia de una infinidad de tales números. Aunque nunca llegaremos a contar hasta los límites extremos del universo de los números, Hadamard demostró que un intrépido viajero nunca encontraría sorpresas, por más lejos que fuera. Los primeros indicios experimentales que Gauss había descubierto no eran un engañoso truco de la naturaleza.

Hadamard nunca habría podido obtener su resultado sin el trabajo que había realizado Riemann: sus ideas estaban empapadas por el análisis del paisaje zeta que éste había realizado, pero estaba todavía muy lejos de demostrar la hipótesis de Riemann. En el ensayo que contenía la demostración, Hadamard reconocía que su trabajo no igualaba los resultados de Stieltjes, que continuó afirmando poseer una demostración de la hipótesis de Riemann hasta su muerte, ocurrida en 1894. Stieltjes fue el primero de una larga lista de reputados matemáticos que han anunciado demostraciones que luego no han sido capaces de mostrar.

Hadamard supo pronto que tendría que compartir la gloria de haber demostrado el teorema de los números primos: al mismo tiempo que él, un matemático belga, Charles de la Vallée-Poussin, había hallado una demostración. El gran éxito de Hadamard y de la Vallée-Poussin supuso el principio de un viaje que continuaría durante el siglo XX, con matemáticos que ahora estaban impacientes por lanzarse a la exploración del paisaje de Riemann. Hadamard y de la Vallée-Poussin habían establecido el campamento base desde el que habría que partir para el ascenso principal hacia la recta crítica de Riemann. Durante este período el problema empezó a jugar el papel de monte Everest de la exploración matemática, a pesar de que, paradójicamente, para su demostración hacía falta pasar por los puntos más bajos del paisaje zeta. Ahora que la solución de la conjetura de Gauss sobre los números primos estaba por fin completa, era el momento oportuno para que el gran problema de Riemann emergiera de las oscuras profundidades del denso ensayo berlinés.

Quien llamó la atención del mundo sobre la extraordinaria intuición de Riemann fue otro matemático residente en Gotinga: David Hilbert. La carismática figura de este matemático contribuyó más que ninguna otra cosa a lanzar al siglo XX en persecución del más importante trofeo: la hipótesis de Riemann.

HILBERT, EL FLAUTISTA DE HAMELIN DE LAS MATEMÁTICAS

La ciudad prusiana de Königsberg había alcanzado una cierta notoriedad matemática en el siglo XVIII gracias al rompecabezas sobre sus puentes que Euler había resuelto en 1735. A finales del siglo XIX la ciudad reconquistó un puesto en el mapa matemático por haber alumbrado a David Hilbert, uno de los gigantes de las matemáticas del siglo XX.

Aunque apreciaba mucho su ciudad de origen, Hilbert era consciente de que el fuego matemático más resplandeciente ardía tras las murallas de Gotinga. Gracias a la herencia que dejaron Gauss, Dirichlet, Dedekind y, sobre todo, Riemann, Gotinga se había convertido en la meca de las matemáticas. En aquel momento Hilbert fue quien, quizá más que ningún otro, tomó conciencia del alcance del cambio que Riemann había introducido en la disciplina: Riemann había llegado a la conclusión de que el intento de comprender las estructuras y los esquemas que se hallan en la base del mundo matemático era más provechoso que concentrarse en fórmulas y cálculos pesados. Los matemáticos empezaban a escuchar la orquesta matemática de un nuevo modo: ya no obsesionados por las notas individuales, ahora empezaban a oír la música subyacente que provenía de los objetos que estudiaban. Riemann había sido el pionero de un renacimiento del pensamiento matemático que se reforzó con la generación de Hilbert. Como el mismo Hilbert escribió en 1897, su intención era implementar «el principio de Riemann según el cual las demostraciones deberían de guiarse sólo por el razonamiento y no por los cálculos».

Hilbert consiguió prestigio en los círculos académicos alemanes precisamente llevando a la práctica este principio. Desde niño había aprendido que los antiguos griegos habían demostrado la existencia de infinitos números primos, es decir, de los números indispensables para la construcción de cualquier otro número posible. En su época de estudiante leyó que, si tomábamos en consideración las ecuaciones en lugar de los números, las cosas parecían ser de otro modo. A finales del siglo XIX se había convertido en un reto demostrar que, al contrario de lo que ocurre con los números primos, existía un número finito de ecuaciones que se podían usar para generar ciertos conjuntos infinitos de ecuaciones: los matemáticos de la época de Hilbert intentaban demostrar este hecho recurriendo a un laborioso trabajo de construcción de ecuaciones. Hilbert dejó estupefactos a sus contemporáneos al demostrar la existencia de tal conjunto finito de elementos básicos, aunque no estaba en condiciones de construirlo. Igual que el maestro de la escuela de Gauss se había quedado observando con incredulidad a aquel alumno que calculaba la suma de los números del 1 al 100, a los superiores de Hilbert les costaba creer que se pudiera explicar la teoría de las ecuaciones sin un duro trabajo.

Se trataba de un auténtico reto a la ortodoxia matemática de la época: al no poder ver aquella lista finita se hacía difícil aceptar su existencia, aunque estuviera confirmada por la demostración. Tener que aceptar que algo no podía ser visto aunque su existencia fuera irrefutable provocaba desconcierto en unos matemáticos todavía devotos de la tradición francesa, fundada en las ecuaciones y fórmulas explícitas. A propósito de la obra de Hilbert, Paul Gordan, uno de los expertos en este campo, declaró: «Esto no es matemática. Esto es teología». Pero Hilbert, a pesar de no haber cumplido todavía los treinta años, no rectificó. Finalmente, sus ideas fueron aceptadas, e incluso Gordan le dio la razón: «Me he convencido de que la teología tiene su mérito». A partir de entonces Hilbert se dedicó al estudio de los números enteros, un tema que él describió como «un edificio de rara belleza y armonía».

En 1893 la Sociedad Matemática Alemana le pidió un informe sobre el estado de la teoría de los números en el fin de siglo. Se trataba de un encargo de gran dificultad para una persona de poco más de treinta años. Cien años antes, la disciplina no existía ni siquiera como entidad coherente. Las Disquisitiones arithmeticae de Gauss, publicadas en 1801, habían iluminado un terreno tan fértil que a finales de siglo la teoría de los números se había desarrollado hasta tal punto que era ya incontrolable. Para contribuir a ponerla bajo control, Hilbert se hizo acompañar por un viejo amigo, Hermann Minkowski. Se conocían de su época de estudiantes en Königsberg. Minkowski se había labrado una reputación en el campo de la teoría de los números al ganar el Grand Prix des Sciences Mathématiques a los dieciocho años. Estuvo encantado de trabajar en un proyecto para traer a la luz lo que él llamaba «las insinuantes melodías de esta potente música». Su colaboración reforzó la pasión de Hilbert por los números primos que, según Minkowski, «menearían el esqueleto» bajo su reflector.

La «teología» de Hilbert le valió el respeto de un buen número de influyentes matemáticos europeos. En 1895 recibió una carta de un profesor de Gotinga, Felix Klein, para ofrecerle un puesto en la venerada universidad: Hilbert no lo dudó, y aceptó inmediatamente. En el transcurso de la reunión que tuvo lugar para discutir su candidatura, los miembros de la Facultad pusieron en cuestión el apoyo que Klein daba a Hilbert, e insinuaron que pretendía otorgar la plaza a un lacayo que nunca se valdría por sí solo. Klein les aseguró, por el contrario: «He propuesto a la persona más difícil de todas». Aquel otoño, Hilbert se trasladó a la ciudad donde Riemann, su fuente de inspiración, había sido profesor, con la esperanza de continuar su revolución matemática.

Los miembros de la facultad no tardaron en comprender que Hilbert no se contentaba con retar a la ortodoxia matemática: las esposas de los profesores estaban horrorizadas con el comportamiento del recién llegado. Como escribió una de ellas: «Está provocando un trastorno general. He sabido que la otra noche fue visto en algunos restaurantes jugando al billar con los estudiantes». Con el tiempo, Hilbert empezó a conquistar los corazones de las señoras de Gotinga y se labró una reputación de mujeriego. En la fiesta de su quincuagésimo cumpleaños, sus estudiantes entonaron una canción en la que cada estrofa, una por cada letra del alfabeto, describía con pelos y señales una de sus conquistas.

El bohemio profesor compró una bicicleta a la que se aficionó profundamente: era común verlo pedaleando por las calles de Gotinga llevando un ramo de flores que había recogido en el jardín para uno de sus amores. Impartía sus clases en mangas de camisa, cosa inaudita para la época. En los restaurantes, para protegerse de las corrientes de aire, no dudaba en pedir prestadas sus estolas a las mujeres que estaban cenando. No está claro hasta qué punto Hilbert buscaba deliberadamente el escándalo o simplemente planteaba la solución más obvia a los posibles problemas; en todo caso, lo único claro es que su mente estaba más concentrada en las cuestiones matemáticas que en los detalles de la etiqueta social.

Hilbert instaló una pizarra de tres metros en su propio jardín; allí, entre cuidados a los macizos de flores y sus acrobacias de ciclista, garabateaba con tiza sus matemáticas. Le gustaban las fiestas y ponía música siempre a un volumen alto, para lo cual, elegía siempre la aguja más grande para su gramófono. Cuando finalmente consiguió oír a Caruso en vivo, quedó algo decepcionado: «Caruso canta con la aguja pequeña», comentó. Pero la matemática de Hilbert iba mucho más allá de sus excentricidades. En 1898 apartó su atención de la teoría de los números y la centró en los retos de la geometría. Se sintió atraído por los nuevos tipos de geometría que varios matemáticos habían propuesto a lo largo del siglo XIX, teorías que pretendían poner en duda uno de los axiomas fundamentales de la geometría de los antiguos griegos. Como consecuencia de su profunda fe en el poder abstracto de las matemáticas, Hilbert consideraba irrelevante la realidad física de los objetos, lo que lo llevó a estudiar las conexiones y las estructuras abstractas que estaban en la base de estas nuevas geometrías; para él lo importante eran las relaciones entre los objetos: en una famosa declaración mantuvo que una teoría geométrica tendría sentido aunque se sustituyeran puntos, líneas y planos por mesas, sillas y jarras de cerveza.

Un siglo antes, Gauss se había planteado el reto que suponían estos nuevos modelos de geometría, pero no se atrevió a exteriorizar tales pensamientos heréticos. Con toda seguridad, era imposible que los griegos se hubieran equivocado. A pesar de todo, Gauss había empezado a poner en duda uno de los axiomas fundamentales de la geometría euclidiana, el relativo a la existencia de rectas paralelas. La pregunta que Euclides se había planteado era la siguiente: si se trazan una recta y un punto exterior a la recta, ¿cuántas rectas hay que pasen por el punto y sean paralelas a la primera recta? Para Euclides la respuesta obvia era que existía una y sólo una de tales rectas paralelas.

Desde los dieciséis años, Gauss había empezado a formular hipótesis sobre la posible existencia de geometrías igualmente coherentes y válidas en las que no hubiera rectas paralelas. Además de la geometría euclidiana y de estas nuevas geometrías sin paralelas, podía también existir una tercera clase de geometría en la que hubiera más de una recta paralela. Así las cosas, podrían existir geometrías en las que la suma de los ángulos de un triángulo no fuera igual a 180 grados, una eventualidad que los antiguos griegos habrían considerado inadmisible. Pero, si había muchas geometrías posibles, se preguntó Gauss, ¿cuál de ellas describía mejor el mundo real? Sin duda, los griegos estaban convencidos de que su modelo proporcionaba una descripción matemática de la realidad física, pero Gauss no estaba muy convencido de que tuvieran razón.

Muchos años más tarde, mientras efectuaba tareas de inspección para el estado de Hannover, Gauss utilizó algunas de las mediciones que efectuaba en los alrededores de Gotinga para verificar si un triángulo de haces de luz proyectado desde las cimas de tres colinas contradecía la geometría euclidiana produciendo una suma de sus ángulos distinta de 180 grados. Gauss se preguntaba si era posible que la trayectoria rectilínea de un rayo de luz se curvara en el espacio: quizás el espacio tridimensional fuera curvado, de la misma manera que el espacio bidimensional del globo. Gauss pensaba en los llamados círculos máximos, como las líneas de longitud a lo largo de las cuales se mide el recorrido más corto entre dos puntos sobre la superficie de la Tierra. En esta geometría bidimensional no existen líneas paralelas de longitud ya que todas ellas se encuentran en los polos. Nadie había considerado la posibilidad de que el espacio tridimensional pudiera curvarse.

Hoy sabemos que Gauss operaba en una escala demasiado pequeña para observar una curvatura significativa del espacio y así contradecir la concepción euclidiana del mundo. Su intuición se confirmó cuando, durante el eclipse solar de 1919, Arthur Eddington consiguió la prueba de que la luz procedente de las estrellas sufría una desviación. Gauss nunca hizo públicas sus ideas, quizá porque sus nuevas geometrías parecían entrar en conflicto con el deber de las matemáticas, que consistía en dar una representación de la realidad física. A los amigos a quienes confió sus dudas les pidió que guardaran el secreto.

La idea de estas nuevas geometrías fue hecha pública hacia 1830 por el ruso Nikolai Lobachevsky y por el húngaro Janos Bolyai. El descubrimiento de las geometrías no euclidianas, como Gauss las bautizó, no removió las aguas del estanque matemático tanto como él había temido: simplemente se descartó por demasiado abstracta. La consecuencia fue que las geometrías no euclidianas quedaron descartadas durante muchos años. En la época de Hilbert, sin embargo, empezaron a emerger como expresión perfecta de su propia aproximación, más abstracta, al mundo matemático.

En opinión de algunos matemáticos, toda geometría que no verificara el axioma de Euclides sobre las rectas paralelas contendría alguna contradicción interna que provocaría su derrumbe. Cuando Hilbert empezó a explorar esta posibilidad comprendió que había un fuerte nexo lógico entre geometría no euclidiana y geometría euclidiana. Descubrió que sólo en un caso las geometrías no euclidianas podían contener contradicciones: si también las contenía la geometría euclidiana. Pareció un buen primer paso. En aquella época los matemáticos tenían el convencimiento de que la geometría de Euclides se fundaba en una lógica sólida: el descubrimiento de Hilbert significaba que los modelos no euclidianos estaban basados sobre los mismos fundamentos lógicos, si una geometría se hundía, arrastraría con ella a todas las demás. Pero entonces Hilbert se dio cuenta de algo inquietante: en realidad, nadie había demostrado jamás que la geometría euclidiana estuviera libre de contradicciones ocultas.

Hilbert empezó a pensar cómo se podría demostrar que la geometría euclidiana carecía de contradicciones. Aunque en los dos mil años posteriores a Euclides nadie había encontrado ninguna, ello no garantizaba que no pudieran existir. Hilbert decidió que lo primero que debía de hacerse era reformular la geometría en términos de fórmulas y ecuaciones. Esta práctica había sido inaugurada por Descartes —de ahí el nombre de geometría cartesiana— y había sido adoptada por los matemáticos franceses del siglo XVIII. Se podía reconducir la geometría a la aritmética por medio de ecuaciones que describían líneas y puntos, en la que cada punto podía transformarse en números para describir sus coordenadas en el espacio. Los matemáticos estaban convencidos de que la teoría de los números no contenía contradicciones y, por tanto, Hilbert esperaba que expresando la geometría euclidiana con números sería posible establecer si contenía o no contradicciones.

Pero, en lugar de una respuesta al problema, Hilbert halló algo todavía más inquietante: en realidad nadie había demostrado que la propia teoría de los números estuviera libre de contradicciones. Hilbert debió de quedarse de piedra. El hecho de que durante milenios las matemáticas hubieran funcionado tanto en teoría como en práctica sin producir contradicciones había infundido en los matemáticos una gran confianza en lo que hacían. «Allez en avant, et la foi vous viendra» [Avanzad, y os llegará la fe] era la respuesta dada por el matemático francés Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert a los que ponían en duda los fundamentos de la disciplina. Para los matemáticos, la existencia de los números que estudiaban era tan real como la de los organismos que clasificaban los biólogos. Estaban muy satisfechos de desarrollar su actividad llegando a deducciones a partir de supuestos, que consideraban verdades evidentes sobre los números: nadie había considerado la eventualidad de que aquellos supuestos pudieran llevar a contradicciones.

Hilbert había ido retrocediendo cada vez más, hasta poner en duda la base misma sobre la que se construía las matemáticas; ahora que se había planteado la cuestión, se hacía imposible ignorar aquellos problemas fundamentales. El mismo Hilbert estaba convencido de que nunca se descubriría ninguna contradicción y que los matemáticos disponían de los medios necesarios para disipar cualquier duda al respecto y demostrar que la disciplina estaba edificada sobre pilares más que sólidos. Su pregunta anunció la llegada de una nueva era de las matemáticas: el siglo XIX había contemplado la transición desde un útil auxilio práctico para la ciencia hasta investigación teórica de verdades fundamentales, más parecida a la filosofía de un antiguo ciudadano de Königsberg, Emmanuel Kant. Las consideraciones de Hilbert sobre los fundamentos mismos de la disciplina le proporcionaron la plataforma para lanzar esta nueva práctica de una matemática abstracta. Su enfoque inédito caracterizaría las matemáticas del siglo XX.

A finales de 1899, Hilbert se encontró ante una oportunidad ideal para reunir los extraordinarios cambios que sus nuevas ideas estaban produciendo en los campos de la geometría, de la teoría de los números y de los fundamentos lógicos de las matemáticas. Fue invitado a pronunciar uno de los discursos más importantes del Congreso Internacional de Matemáticos que debía celebrarse en París al año siguiente. Se trataba de un gran honor para un matemático que aún no había cumplido los cuarenta años.

El encargo de hablar ante toda la comunidad matemática en los albores del nuevo siglo intimidaba a Hilbert. Con toda seguridad pensó en preparar un discurso trascendental, que estuviera a la altura de la ocasión. Hilbert empezó a consultar a sus amigos sobre la conveniencia de utilizar el discurso para avanzar hipótesis sobre el futuro de las matemáticas. Se trataba de una propuesta claramente no convencional, que conculcaba la regla no escrita de que únicamente las ideas completas, plenamente formadas, debían hacerse públicas. Hacía falta una fuerte dosis de audacia para renunciar a la seguridad que garantiza el hecho de presentar demostraciones de teoremas conocidos y, en cambio, especular sobre las incertidumbres del futuro, pero Hilbert nunca fue una persona proclive a retroceder ante la controversia. Finalmente, decidió proponer como reto a la comunidad matemática internacional lo que no se había demostrado, en lugar de limitarse a disertar sobre lo que ya era cierto.

Aún le quedaban dudas: ¿era razonable usar aquella ocasión para intentar algo tan innovador? Quizá habría sido mejor seguir las convenciones y hablar de lo que había conseguido en lugar de hacerlo sobre lo que no podía resolver. Los aplazamientos le impidieron poner título a su discurso en los plazos establecidos, y no apareció en la lista de los conferenciantes del congreso. En el verano de 1900 los amigos de Hilbert temieron que dejara escapar aquella maravillosa oportunidad de presentar sus ideas, pero un buen día todos ellos hallaron sobre su escritorio el texto del discurso que Hilbert pensaba leer. Se titulaba simplemente: «Problemas matemáticos».

Hilbert opinaba que los problemas eran la savia vital de las matemáticas, pero también creía que era necesario elegirlos con cuidado: «Un problema matemático ha de ser difícil para que nos atraiga —escribió—, pero no completamente inaccesible, para evitar que nuestros esfuerzos sean inútiles. Para nosotros debería de ser una señal con la que podamos orientarnos por los caminos laberínticos que conducen a verdades escondidas, y en definitiva se trata de una manera de recordarnos el placer que nos da el conseguir una solución». Los veintitrés problemas que había decidido presentar habían sido seleccionados de manera que se ajustaran perfectamente a este criterio riguroso. En el calor húmedo del agosto parisiense, Hilbert se puso en pie en el salón de la Sorbona para leer su discurso y proponer un reto a los exploradores matemáticos del nuevo siglo.

A fines del siglo XIX muchas áreas de estudio estaban influidas por el movimiento filosófico del ilustre fisiólogo Emil du Bois-Reymond, que defendía la existencia de límites para nuestra capacidad de comprender la naturaleza. La frase de moda en los círculos filosóficos era Ignoramus et ignorabimus: lo ignoramos y seguiremos ignorándolo. Pero el sueño de Hilbert para el nuevo siglo suponía dejar de lado aquel pesimismo. Terminó su introducción a los veintitrés problemas con un exaltado grito de batalla: «Esta convicción de la condición resoluble de cada uno de los problemas matemáticos es un potente incentivo para los que operamos en este campo. En nuestro interior sentimos el reclamo incesante: hay un problema. Buscamos la solución. Puede ser hallada por la pura razón, porque en matemáticas no existe ignorabimus».

Los problemas que Hilbert planteó a los matemáticos del nuevo siglo recogían el espíritu revolucionario de Bernhard Riemann. Los dos primeros de la lista de Hilbert se referían a cuestiones sobre los fundamentos de las matemáticas que habían empezado a obsesionarlo, pero los demás se repartían por todos los rincones del paisaje matemático. Algunos de ellos eran más bien proyectos abiertos que cuestiones sobre las que conviniera obtener respuestas claras. Entre ellos, uno estaba ligado al sueño de Riemann sobre la posibilidad de responder a las cuestiones fundamentales de la física usando sólo las matemáticas.

El quinto problema nacía del enfoque de Riemann según el cual los diversos campos de las matemáticas, como el álgebra, el análisis y la geometría, están íntimamente relacionados, de modo que se hace imposible comprenderlos si los mantenemos aislados. Riemann había demostrado que era posible deducir las propiedades algebraicas de las ecuaciones a partir de la geometría de los grafos definidos por estas ecuaciones. Hizo falta bastante coraje para oponerse al dogma que obligaba al álgebra y al análisis a mantenerse lejos del poder potencialmente engañoso de la geometría. Por este motivo matemáticos como Euler o Cauchy eran tan contrarios a la representación gráfica de los números imaginarios: para ellos, los números imaginarios eran soluciones de ecuaciones como x² = −1 y no debían confundirse con imágenes. Pero para Riemann era evidente la relación entre las disciplinas.

Hilbert mencionó el último teorema de Fermat en los preparativos del anuncio de sus veintitrés problemas, pero, curiosamente, a pesar de la percepción pública de este problema como una de las grandes cuestiones irresueltas de las matemáticas ya en tiempos de Hilbert, nunca pasó a formar parte de su selección: Hilbert opinaba que se trataba de «un notable ejemplo del efecto inspirador que un problema tan particular y aparentemente sin importancia puede tener sobre la ciencia». Gauss había expresado la misma opinión al declarar que se podrían haber elegido muchas otras ecuaciones y preguntarse si tenían o no soluciones: no había nada de especial en la elección de Fermat.

Hilbert tomó la crítica de Gauss al último teorema de Fermat como punto de inspiración para su décimo problema: ¿existe un algoritmo —un procedimiento matemático que opera de un modo similar a un programa de ordenador— que permita decidir en un tiempo finito si una ecuación cualquiera tiene soluciones? Hilbert esperaba que su pregunta distraería la atención de los matemáticos sobre el caso particular y los haría concentrarse en lo abstracto: él mismo, por ejemplo, siempre había apreciado la manera en que Gauss y Riemann habían alentado la adopción de una nueva perspectiva sobre los números primos; Hilbert esperaba que su cuestión sobre las ecuaciones tuviera un efecto similar.

Aunque un periodista que cubría la conferencia describió la discusión posterior como «inconsistente», ello tenía más que ver con el opresivo clima de agosto que con el atractivo del discurso de Hilbert. Como dijo Minkowski, su amigo más íntimo: «gracias a este discurso, que todos los matemáticos del mundo sin excepción se asegurarán de leer, tu atractivo sobre los jóvenes matemáticos aumentará». El riesgo que Hilbert asumió al presentar un discurso tan poco convencional cimentó su reputación de pionero del nuevo pensamiento matemático del siglo XX. Minkowski opinaba que aquellos veintitrés problemas tendrían una enorme influencia: «Verdaderamente, tú has monopolizado las matemáticas para el siglo XX», dijo a Hilbert. Sus palabras resultaron proféticas.

En medio de su lista de problemas abiertos y generales había uno, el octavo, muy específico: demostrar la hipótesis de Riemann. En una entrevista, Hilbert dijo que, en su opinión, la hipótesis de Riemann era el problema más importante «no sólo de las matemáticas, sino el más importante en términos absolutos». Durante la misma entrevista le preguntaron cuál sería la mayor empresa tecnológica: «Capturar una mosca en la Luna. Porque los problemas complementarios que habría que resolver para obtener tal resultado requerirían la solución de casi todos los problemas materiales de la humanidad». Un profundo análisis, si se considera cómo han ido las cosas en el siglo XX.

Hilbert opinaba que una demostración de la hipótesis de Riemann tendría para las matemáticas el mismo efecto que la caza lunar de una mosca para la tecnología. Tras haber propuesto la hipótesis como octavo problema de su lista, continuó explicando a los delegados del congreso internacional que una comprensión plena de la fórmula de Riemann sobre los números primos probablemente nos pondría en situación de entender muchos otros de los misterios de los números primos. Citó la conjetura de Goldbach y la existencia de números primos gemelos. El interés de demostrar la hipótesis de Riemann era doble: además de cerrar un capítulo de la historia de las matemáticas, supondría abrir muchas otras puertas nuevas.

Hilbert no pensaba que la hipótesis de Riemann seguiría tanto tiempo sin solución. En una conferencia que pronunció en 1919 se declaró optimista sobre la posibilidad de vivir lo suficiente para ver la demostración, y que la persona más joven del público viviría lo suficiente como para asistir a la del último teorema de Fermat. Pero predijo con atrevimiento que nadie de los presentes sería testigo de la conquista del séptimo problema de su lista: establecer si 2 elevado a la raíz cuadrada de 2 es la solución de una ecuación. No hay dudas sobre la gran intuición matemática de Hilbert, pero sus capacidades proféticas no estaban a la misma altura: el séptimo problema cayó diez años después. Queda una posibilidad remota de que aquel joven licenciado que asistía a la conferencia de Hilbert de 1919 haya vivido lo suficiente como para ser testigo de la demostración del último teorema de Fermat por parte de Andrew Wiles en 1994. Pero, a pesar de los interesantes progresos que se han logrado en los últimos decenios, es muy posible que la hipótesis de Riemann siga sin resolver cuando Hilbert, como Barbarroja, se despierte tras una espera de quinientos años.

En una ocasión, Hilbert creyó que no haría falta esperar tanto. Un día recibió el escrito de un estudiante que afirmaba haber demostrado la hipótesis de Riemann. Hilbert no tardó mucho en encontrar un error en la presunta demostración, pero el método utilizado lo impresionó. Desgraciadamente, el estudiante murió un año después, y pidieron a Hilbert que participara en las honras fúnebres. Alabó las ideas del joven y expresó la esperanza de que pudieran estimular una demostración de la gran hipótesis; a continuación —con una actitud totalmente fuera de lugar que ilustra perfectamente el estereotipo del matemático apartado de la realidad social— dijo: «Consideremos una función definida en el dominio de los números imaginarios…», Hilbert entonces entró en los detalles de la demostración equivocada. Sea o no cierto, el episodio es verosímil: de vez en cuando los matemáticos tienen visiones muy limitadas.

El discurso de Hilbert en el congreso de 1900 puso inmediatamente la hipótesis de Riemann en el centro de atención: ahora se la consideraba uno de los más grandes problemas irresueltos de las matemáticas. Aunque la obsesión de Hilbert por la hipótesis de Riemann no produjo contribuciones directas a su solución, el nuevo programa que propuso para las matemáticas del siglo XX tuvo efectos profundos: al final del siglo, incluso las cuestiones que había planteado sobre la física o las de carácter fundamental sobre los axiomas de las matemáticas habían jugado un papel en la mejora de nuestra comprensión de los números primos. Mientras tanto, Hilbert tuvo el mérito de llevar a Gotinga a un matemático que terminaría por recoger el testigo que había pasado de Gauss a Dirichlet y de éste a Riemann.

LANDAU, EL MÁS DIFÍCIL DE LOS HOMBRES

La Universidad de Gotinga dispuso de una cátedra vacante como consecuencia de la muerte trágicamente precoz de Minkowski, el mejor amigo de Hilbert: con sólo cuarenta y cinco años, Minkowski fue víctima de una apendicitis mortal. Hilbert acababa de conseguir resolver el problema de Waring, relacionado con la expresión de los números enteros como suma finita de cubos o de potencias superiores. Sabía que su amigo habría valorado aquel resultado, ya que ampliaba el resultado por el que Minkowski había recibido de la Academia de Francia, con apenas dieciocho años, el Grand Prix des Sciences Mathématiques: «Incluso en el lecho del hospital, donde yacía gravemente enfermo, le preocupaba no estar presente en la siguiente sesión del seminario, en la que yo expondría mi solución del problema de Waring».

La muerte de Minkowski sacudió a Hilbert profundamente. Un estudiante de Gotinga relató: «Yo estaba en clase cuando Hilbert nos relató la muerte de Minkowski, y rompió a llorar. Dado el prestigio de un profesor en aquellos tiempos y la gran distancia que lo separaba de los estudiantes, para nosotros fue mayor el trauma de ver llorar a Hilbert que el de saber que Minkowski había muerto». Hilbert deseaba hallar un sucesor de Minkowski que se apasionara por la teoría de los números tanto como su llorado amigo.

Según la opinión de todos, la persona que Hilbert eligió, Edmund Landau, no era un hombre fácil. Parece que hubo una especie de empate para decidir entre él y otro candidato. Hilbert preguntó a sus colegas: «¿Quién de los dos es el más difícil?». Cuando le respondieron que, sin duda, era Landau, Hilbert dijo que Gotinga tenía que tener a Landau. El suyo nunca sería un departamento de gente dócil: Hilbert quería colegas que retaran las convenciones sociales y matemáticas.

Landau era severo con sus estudiantes y era considerado el individuo más difícil del departamento. Los estudiantes estaban aterrorizados con la posibilidad de que les invitara a su casa los fines de semana, donde tendrían que soportar su pasión por los juegos matemáticos. Uno de ellos, recién casado, partía de luna de miel; el tren estaba a punto de salir de la estación de Gotinga cuando Landau llegó furioso al andén, metió por la ventanilla el borrador de su último libro y ordenó: «¡Lo quiero corregido a su regreso!».

Muy pronto Landau asumió el papel de continuador de la tradición de Riemann y Gauss, y se convirtió en la figura más importante de Europa por su desarrollo de la obra de la Vallée-Poussin y de Hadamard. Su temperamento se adaptaba perfectamente al objetivo de abandonar el campo base que aquellos habían establecido y dirigirse con decisión hacia las pendientes del monte Riemann. Para demostrar la conjetura de Gauss sobre los números primos, Hadamard y la Vallée-Poussin habían mostrado la inexistencia de ceros sobre la línea de frontera norte-sur que pasa por el número 1. El reto que ahora se planteaba era demostrar que tampoco se hallarían ceros antes de alcanzar la línea crítica de Riemann que pasa por 1/2.

El matemático danés Harald Bohr se unió a la expedición de Landau. A pesar de trabajar en Copenhague, era uno de los muchos peregrinos que atravesaban Europa regularmente para visitar Gotinga. Su hermano Niels alcanzaría fama mundial como uno de los creadores de la teoría de la mecánica cuántica. Harald se había labrado un nombre en el fútbol: había sido uno de los jugadores más importantes del equipo nacional danés que obtuvo la medalla de plata en los Juegos Olímpicos de 1908.

Juntos, Landau y Bohr completaron el primer intento exitoso de navegar por los puntos a nivel del mar en el paisaje de Riemann. Consiguieron demostrar que a la mayoría de los ceros les gustaba estar pegados a la recta mágica de Riemann. Consideraron el número de ceros comprendidos entre 0,50 y 0,51 y lo compararon con el número de ceros que aparecían fuera de esta estrecha banda de tierra; así pudieron demostrar que los ceros contenidos en la banda representan al menos una gran proporción del total de ceros. Riemann había previsto que todos los ceros estarían sobre la recta que pasa por 1/2. Landau y Bohr no consiguieron demostrarlo con tanta precisión, pero dieron un primer paso en esa dirección.

Para que su argumentación funcionara no era imprescindible que la banda tuviera una anchura de 0,01. Aunque su anchura fuera de sólo 1/10³⁰, por ejemplo, Landau y Bohr estaban en condiciones de demostrar que la mayoría de los ceros están dentro de esta franja vertical de territorio. Pero lo frustrante era que ni Landau ni Bohr estaban en condiciones de deducir que la mayoría de los ceros tenía que encontrarse efectivamente sobre la recta de Riemann que pasa por 1/2, una verdad que Riemann afirmaba haber demostrado pero que nunca publicó. Este hecho puede parecer absurdo: si todos los ceros se encuentran en una banda cuya anchura puede reducirse más y más, ¿por qué no podemos concluir que la mayoría de ellos tiene que estar sobre la recta crítica? Estos son los misterios de las matemáticas. Supongamos, por ejemplo, que para cada número N haya 10^N ceros en la estrecha banda comprendida entre 1/2 + 1/10^N+1 y 1/2 + 10^N. Tal resultado hipotético satisfaría el resultado de Bohr y Landau sin implicar que ni siquiera uno de los ceros esté sobre la recta crítica que pasa por 1/2.

En aquella época, Gotinga empezaba a estar a la altura del lema que, grabado en el blasón de la fachada del ayuntamiento de la ciudad, proclamaba que no había vida fuera de sus murallas medievales. A principios del siglo XX, la tranquila ciudad universitaria de Riemann se había transformado, debido a la influencia de Hilbert, en una potencia de las matemáticas europea. En tiempos de Riemann era Berlín la que vibraba de energía intelectual, pero algunos decenios más tarde, cuando ofrecieron a Hilbert una cátedra universitaria en Berlín, la rechazó: ahora era la ciudad medieval impregnada por la herencia que Gauss había legado la que constituía un ambiente perfecto para desarrollar la actividad matemática.

Hilbert consiguió llevar a Gotinga a los mejores matemáticos del mundo gracias a una donación de Paul Wolfskehl, un profesor de matemáticas que había muerto en 1908: en su testamento, había expresado el deseo de legar cien mil marcos como premio para la primera persona que concibiera una demostración del último teorema de Fermat. Se trata del premio sobre el cual Andrew Wiles leyó de pequeño, y que encendió su interés por la búsqueda de una solución al enigma de Fermat. (El incentivo económico que finalmente recibió Wiles por su demostración sufrió una fuerte devaluación a causa de la enorme inflación que golpeó Alemania en el período de entreguerras). El testamento de Wolfskehl establecía que cada año transcurrido sin que se resolviera el problema, los intereses generados por el capital inicial asignado como premio se utilizarían como fondo para los matemáticos que visitaran Gotinga.

Landau se encargó de revisar las soluciones que se enviaban a Gotinga. Finalmente, la carga de trabajo resultó tan pesada que decidió enviar los manuscritos a sus estudiantes junto con una carta de rechazo preimpresa. El texto de la carta era: «Le agradecemos su solución del último teorema de Fermat. El primer error tiene lugar en la página… línea…». Hilbert asumió el encargo mucho más placentero de invertir los intereses que generaba el premio en metálico. Esos intereses le dieron los medios para invitar a muchos matemáticos a visitar Gotinga, hasta el punto de hacerle desear que nunca se resolviera el último teorema de Fermat: «¿Por qué tendríamos que matar a la gallina de los huevos de oro?», se preguntaba.

Era opinión general que todo joven matemático que quisiera abrirse camino en el mundo académico antes que nada tenía que pasar por Gotinga: un estudiante comparó la influencia de Hilbert sobre las matemáticas con la «dulce música del flautista de Hammelin… que seduce un gran número de ratas induciéndolas a seguirlo en el profundo río de las matemáticas». No sorprende que muchas de tales ratas matemáticas procedieran de las academias que florecieron en la Europa continental durante las revoluciones políticas e intelectuales que habían tenido lugar a lo largo de todo el siglo XIX.

En cambio, Gran Bretaña sufría su tradicional incapacidad de absorber las buenas ideas procedentes del continente: igual que las costas de Inglaterra habían supuesto un baluarte inexpugnable contra los tumultos políticos de la Revolución francesa, los matemáticos ingleses dejaron escapar la revolución de Riemann. Los números imaginarios continuaron siendo considerados un peligroso concepto continental. De hecho, la Inglaterra matemática no había hecho grandes avances desde los tiempos de la disputa entre Leibniz y Newton, en el siglo XVII, sobre a cuál de los dos tenía que atribuirse el mérito del descubrimiento del cálculo infinitesimal. A pesar de que Newton había sido el primero, durante muchos años el desarrollo matemático de su país estuvo obstaculizado por el rechazo del reconocimiento de la superioridad de Leibniz sobre la forma de elaborar la nueva materia. Las cosas, sin embargo, iban a cambiar.

HARDY, EL ESTETA DE LAS MATEMÁTICAS

En 1914 Landau y Bohr habían completado su obra, demostrando que la mayoría de los ceros se concentraban alrededor de la recta crítica de Riemann. Sin embargo, ¿hasta qué punto habían conseguido determinar los ceros que caían exactamente sobre la línea? Del número infinito de puntos a nivel del mar, hasta el momento habían identificado sólo setenta y uno que se encontraran alineados a lo largo de la recta crítica de Riemann.

Entonces se produjo un importante avance psicológico: tras dos siglos transcurridos en el más completo desinterés por las ideas procedentes del continente, un matemático inglés, G. H. Hardy, tomó el testigo de Riemann y consiguió demostrar que existen infinitos ceros que se alinean efectivamente sobre la recta norte-sur que pasa por 1/2. Hilbert quedó altamente impresionado por la contribución de Hardy, hasta el punto de que, cuando se enteró de que aquél tenía dificultades con las autoridades del Trinity College de Cambridge en relación con su alojamiento, escribió una carta al director del College; Hardy, escribió Hilbert, no sólo era el mejor matemático del Trinity, era el mejor de Inglaterra y, en consecuencia, debía de asignársele el mejor alojamiento disponible.

La notoriedad de Hardy más allá de los círculos matemáticos se debe en gran parte a sus incisivas memorias tituladas Apología de un matemático, pero conquistó su gloria matemática por sus contribuciones a la teoría de los números primos y a la hipótesis de Riemann. Si Hardy había demostrado que había un número infinito de ceros sobre la recta crítica, ¿significaba esto que el problema estaba cerrado? ¿Significaba que Hardy había demostrado la hipótesis de Riemann? Al fin y al cabo, si hay infinitos ceros y Hardy había demostrado que un número infinito de esos ceros se encuentran sobre la recta de Riemann, ¿no estamos al cabo de la calle?

El infinito, desgraciadamente, tiene carácter escurridizo. Hilbert gustaba de ilustrar sus misterios usando la imagen de un hotel con un número infinito de habitaciones: podríamos comprobar que todas las habitaciones con número impar están ocupadas, pero aunque hubiéramos comprobado un número infinito de ellas aún nos quedarían por comprobar todas las de número par. En el caso de Hardy, el control de las habitaciones para ver si están o no ocupadas se sustituye por el de comprobar si los ceros se encuentran sobre la recta crítica. Desgraciadamente, Hardy ni siquiera fue capaz de demostrar que al menos la mitad de los ceros están sobre la recta. Aun habiendo comprobado un número infinito de habitaciones, éstas representan el cero por ciento del total de habitaciones que quedan por comprobar. El resultado que obtuvo Hardy era extraordinario, pero el camino que quedaba por recorrer era aún muy largo: había hincado el diente al conjunto de los ceros, pero lo que quedaba por delante seguía siendo tan enorme y oscuro como antes.

Aquel primer ensayo tan excitante tuvo sobre Hardy el efecto de una droga. Si exceptuamos quizá su pasión por el cricket y una incesante lucha personal con Dios, nada lo obsesionaba tanto como el deseo de demostrar que todos los ceros se encontraban sobre la recta de Riemann. Igual que para Hilbert, la hipótesis de Riemann estaba en la cima de la lista de los deseos de Hardy, lo que aparece con claridad en los propósitos para el Nuevo Año que escribió en una de las muchas tarjetas postales que mandaba a sus colegas y amigos:

Los números primos habían fascinado a Hardy desde su infancia. De niño, en la iglesia, se divertía descomponiendo los números de los himnos en producto de números primos. Le gustaba estudiar minuciosamente libros de curiosidades sobre estos números fundamentales, libros que, según él, eran «mejores que las crónicas de partidos de fútbol como lectura ligera para el desayuno». En realidad, Hardy estaba convencido de que cualquiera que gozara con las crónicas de los partidos de fútbol apreciaría las joyas de los números primos: «Una peculiaridad de la teoría de los números es que una buena parte se podría publicar en los diarios, y haría ganar nuevos lectores al Daily Mail». Opinaba que los números primos guardaban misterio suficiente para intrigar al lector y que además eran lo bastante sencillos como para que cualquiera pudiera empezar a explorar su magia. Más que cualquier otro matemático de su época, Hardy trabajó arduamente para comunicar una parte de esta pasión por su disciplina, y no creía que su placer secreto debiera reservarse para los que están en las torres de marfil de los ambientes académicos.

Tal como indica el tercero de sus propósitos para el nuevo año, la iglesia en la que de pequeño descomponía los números de los himnos en producto de números primos tuvo un efecto profundo en él. Muy pronto se convirtió en un despiadado adversario de la idea de la existencia de Dios y de los signos externos de la religión. Durante toda su vida mantuvo una batalla permanente con Dios, intentando demostrar la imposibilidad de su existencia. Su lucha acabó siendo tan personal que, paradójicamente, terminó por evocar a aquella figura cuya existencia tan vehementemente deseaba negar. Cuando iba a ver los partidos de cricket llevaba consigo una batería de armas anti-Dios para conjurar cualquier posibilidad de lluvia. Aunque no hubiera ni una nube en el cielo, llegaba al estadio con cuatro chaquetas, un paraguas y un fardo de trabajo pendiente bajo el brazo. Explicaba a sus vecinos de localidad que estaba intentando inducir a Dios a pensar que él esperaba que lloviera para tener la posibilidad de avanzar un poco de trabajo. Su idea era que Dios, su enemigo jurado, haría resplandecer el sol con el único objetivo de destruir cualquier posibilidad de utilizar aquel tiempo para hacer matemáticas.

Un día de verano, Hardy quedó decepcionado al ver que bruscamente se interrumpía el partido de cricket que presenciaba porque el bateador se había quejado de un rayo de luz que lo deslumbraba y que procedía de la tribuna en la que él se sentaba. Pero su irritación se transformó en alegría cuando pidieron a un voluminoso sacerdote que se sacara una gigantesca cruz plateada que llevaba colgada del cuello, ya que reflejaba la luz del sol. Hardy no pudo contenerse y durante toda la pausa estuvo mandando postales a sus amigos para darles cuenta de la aplastante victoria del cricket sobre el clero.

En septiembre, una vez terminada la temporada del cricket, Hardy acostumbraba a visitar a Harald Bohr en Copenhague antes del inicio del curso académico inglés. Los dos tenían un ritual de trabajo cotidiano; cada mañana ponían sobre la mesa una hoja de papel en la cual Hardy escribía lo que sería su trabajo del día: demostrar la hipótesis de Riemann. Hardy cultivaba la esperanza de que las ideas que Bohr había desarrollado durante sus visitas a Gotinga pudieran proporcionar un recorrido que condujera a la demostración. El resto de la jornada podían dedicarlo a pasear y a charlar, o a garabatear notas. Una y otra vez sus esfuerzos no consiguieron el progreso que Hardy tanto esperaba alcanzar.

En una ocasión, poco después de la marcha de Hardy camino de Inglaterra para el inicio de un nuevo curso académico, Bohr recibió una tarjeta postal. El corazón no le cabía en el pecho al leer las palabras de Hardy: «Tengo la demostración de la hipótesis de Riemann. La postal es demasiado pequeña para la demostración». Finalmente, Hardy había superado el punto muerto. Aquella postal, sin embargo, tenía algo extrañamente familiar: en la mente de Bohr flotaban los excitantes comentarios que Fermat había como escrito al margen. Hardy era demasiado bromista para que se le hubiera escapado el toque de ironía de la postal. Bohr decidió aplazar las celebraciones y esperar posteriores detalles de Hardy. Como era de prever, la postal no supuso el anunciado paso adelante que Bohr había esperado: Hardy estaba jugando una de sus partidas con Dios.

Cuando Hardy tenía que empezar su travesía por el mar del Norte en el barco que debía trasladarlo de Dinamarca a Inglaterra, el mar estaba insólitamente agitado. El barco no era muy grande y Hardy empezó a temer por su vida. Entonces se procuró una póliza de seguros muy personal: mandó a Bohr la tarjeta con el anuncio del falso descubrimiento. Si la principal pasión de la vida de Hardy consistía en demostrar la hipótesis de Riemann, sin duda la segunda era su guerra con Dios. Sabía que Dios nunca consentiría que se hundiera el barco dando al mundo la impresión de que Hardy y su presunta demostración se habían ahogado y perdido para siempre. El plan de Hardy funcionó y llegó a Inglaterra sano y salvo.

Es probable que la pasión maníaca de Hilbert por la hipótesis de Riemann, combinada con el carácter pintoresco y carismático del matemático inglés, contribuyeran a llevarla a la cima de la lista de los problemas más ambicionados de las matemáticas. El estilo expresivo de la escritura de Hardy, que encuentra una manifestación ejemplar en la Apología de un matemático, tuvo un papel decisivo en la promoción de la importancia de la teoría de los números y de lo que consideraba como problema central en este campo. No deja de sorprender que, con todo el énfasis que, en la Apología de un matemático, pone Hardy en la belleza y la estética de las matemáticas, la belleza de sus meritorias demostraciones a menudo queda oscurecida por la masa de detalles técnicos necesarios para llegar a sus conclusiones. La mayor parte de las veces el éxito no fue tanto el fruto de una gran idea como el resultado de un duro y largo trabajo.

El libro que probablemente encendió en Hardy el deseo de convertirse en matemático no tenía nada que ver con las matemáticas. Era una historia relacionada con las delicias de la vida en la mesa académica del Trinity College, donde comen los profesores y otras autoridades. Quedó fascinado con la escena de los profesores que beben oporto en la sala reservada para ellos, la Sénior Combination Room, en la novela A Fellow of Trinity. Hardy reconoció haber elegido estudiar matemáticas porque «es lo único que sé hacer bien… Hasta que llegué a obtener una, para mí las matemáticas significaban ante todo una plaza de profesor en el Trinity».

Para conseguirla tuvo que superar la extenuante serie de exámenes que exigía el sistema universitario de Cambridge. Muy pronto, Hardy comprendió que una consecuencia perversa del sistema de exámenes sobre la resolución de problemas técnicos y enigmas matemáticos era que pocos, incluso tras terminar su licenciatura en matemáticas, eran conscientes de su verdadera esencia. En 1904 un profesor de Gotinga hizo una parodia del tipo de problemas que los estudiantes ingleses tenían que resolver: «Sobre un puente elástico se encuentra un elefante de masa despreciable; sobre su trompa se posa un mosquito de masa m. Calcular las vibraciones del puente cuando el elefante aparta el mosquito haciendo girar su trompa». Los estudiantes tenían que citar los Principia de Newton como si se tratara de la Biblia. Los resultados se reconocían más por la página en que se encontraban que por su auténtico significado. Según Hardy, aquel sistema contribuyó a prolongar el período en el que Gran Bretaña se vio reducida a un desierto matemático. Los matemáticos ingleses aprendían a tocar su música cada vez más deprisa, pero no tenían la menor noción de la estupenda música matemática que habrían podido oír una vez dominadas las escalas.

Hardy atribuía su propia iluminación matemática al libro del matemático francés Camille Jordán: Course d’Analyse, que le abrió los ojos sobre las matemáticas que estaban floreciendo en el continente: «Nunca olvidaré el asombro con el que leí aquella obra extraordinaria… y mientras la leía comprendí por primera vez lo que realmente significaban las matemáticas».

La elección de Hardy como profesor del Trinity en 1900 lo liberó del peso de los exámenes y le concedió la libertad para explorar el auténtico mundo matemático.

LITTLEWOOD, EL MATON DE LAS MATEMÁTICAS

En 1910 Hardy se encontró en el Trinity College con un matemático ocho años más joven que él: J. E. Littlewood. Terminarían por pasar los treinta y siete años siguientes como una especie de Scott y Oates de las matemáticas, una pareja de intrépidos exploradores del mundo de los números, adentrándose en las nuevas tierras cuyas puertas se habían abierto en el continente. Su colaboración dio lugar a casi cien publicaciones. Bohr solía bromear diciendo que en aquella época había tres grandes matemáticos: Hardy, Littlewood y Hardy-Littlewood.

Cada uno de ellos aportaba al equipo sus cualidades específicas. Littlewood era el pendenciero que cuando preparaba el asalto a un problema lo hacía sacando brillo a sus pistolas: para él, el placer consistía en poner de rodillas el problema difícil. Hardy, por el contrario, valoraba la belleza y la elegancia. Todo ello se trasladaba a sus publicaciones: Hardy tomaba las notas de Littlewood y les añadía lo que ellos llamaban la «cháchara» para producir la prosa elegante que nunca dejaba de acompañar sus demostraciones.

Es curioso cómo los estilos de ambos matemáticos se reflejaban en su apariencia física. Hardy era un galán, una de esas personas cuyo aspecto conserva la marca de la juventud aunque la fecha de caducidad haya pasado hace tiempo. Los primeros días tras su elección como profesor del Trinity College varias veces le llamaron la atención en la Senior Combination Room al confundirlo con un estudiante que se hubiera perdido por aquellos pasillos laberínticos del College. Littlewood, por su parte, era tosco: «un auténtico personaje salido de Dickens», como observó un matemático. Era fuerte y ágil de cuerpo y mente. Igual que Hardy, era aficionado al cricket y buen bateador. Su otra pasión era la música, por la que Hardy no sentía la menor atracción. Ya mayor, aprendió por su cuenta a tocar el piano. Encontraba un profundo placer con la música de Bach, Beethoven y Mozart. Opinaba que la vida era demasiado breve para malgastarla con compositores de segundo orden.

También los separaba la sexualidad: se sabe que, muy probablemente, Hardy era homosexual. Sin embargo él mantenía una gran discreción al respecto, aunque en Cambridge la homosexualidad era casi más aceptable que el matrimonio: en aquella época, los profesores de Oxford y Cambridge tenían que renunciar a su puesto en caso de casarse. Littlewood afirmó que Hardy era un «homosexual no practicante». A los ojos de todos, en cambio, Littlewood era un mujeriego. Aunque en este terreno no llegó al nivel de Hilbert, mantuvo relaciones íntimas con la esposa de un médico del lugar, con quien pasaba las vacaciones de verano en Cornualles. Años más tarde, al mirarse en el espejo, uno de los hijos de la mujer comentó su extraordinario parecido con el tío John: «No hay nada sorprendente», respondió ella. «Es tu padre».

Tal y como corresponde a dos matemáticos, la colaboración de Hardy y Littlewood se basaba en axiomas muy claros:

Y, finalmente, el axioma más importante de todos:

Bohr resumió así su relación: «Nunca hubo una colaboración tan importante y cordial que se fundara sobre axiomas aparentemente tan negativos». Todavía hoy los matemáticos hablan de «jugar con las reglas de Hardy-Littlewood» cuando desarrollan un trabajo conjunto. Bohr comprobó que Hardy respetaba el segundo axioma cuando colaboraba con él en Copenhague. Recordaba las voluminosas cartas de temas matemáticos de Littlewood que llegaban a diario, y cómo Hardy, imperturbable, las tiraba en un rincón de la habitación comentando con desdén: «Supongo que un día u otro tendré que leerlas». Mientras estaba en Copenhague, sólo una cosa ocupaba la mente de Hardy: la hipótesis de Riemann. A menos que Littlewood le enviara una demostración de la hipótesis, sus cartas estaban destinadas a terminar en un rincón.

Según narra Harold Davenport, un estudiante de Littlewood, faltó poco para que la hipótesis de Riemann provocara una fractura entre Hardy y Littlewood. Hardy escribió una novela de misterio en la que un matemático demostraba la hipótesis de Riemann para ser asesinado por otro matemático que luego se atribuía la paternidad de la demostración. Littlewood montó en cólera. El problema no era que Hardy hubiera violado el axioma 4 sobre la obligación de citarlo como coautor de la historia; Littlewood estaba convencido de que el personaje del asesino se inspiraba en él, y exigió que el manuscrito nunca llegara a ver la luz. Hardy cedió y las matemáticas quedó privada de esta pequeña joya literaria.

Littlewood había ido ascendiendo entre los estudiantes de matemáticas de Cambridge utilizando todas las estratagemas que el sistema de exámenes requería. Consiguió alcanzar la cumbre al obtener el ambicionado título de sénior wrangler, que compartió con otro estudiante llamado Mercer. En Cambridge los sénior wranglers eran celebridades, hasta el extremo de que al final del curso académico se ponía en venta su fotografía. Probablemente los compañeros de estudios de Littlewood ya intuyeron que aquello era el inicio de una extraordinaria carrera. Cuando un amigo fue a comprar una de sus fotografías le respondieron: «Me temo que el señor Littlewood está agotado, pero todavía nos quedan bastantes del señor Mercer».

Littlewood era consciente de que los exámenes universitarios tenían muy poco que ver con la verdadera esencia de las matemáticas, que eran simples juegos técnicos que había que superar antes de pasar a la siguiente fase: «Los juegos que practicábamos me resultaban fáciles, y conseguía una cierta satisfacción poniendo en práctica estas habilidades». Ansiaba poner en práctica aquel arte que había aprendido para alcanzar objetivos más creativos. Su entrada a la investigación matemática seria resultó una especie de bautismo de fuego.

Ya libre de exámenes, Littlewood estaba impaciente por gozar de unas largas vacaciones estivales para sumergirse en cuerpo y alma en la investigación. Pidió a su tutor, Ernest Barnes, un problema apropiado para roer. Barnes, que más adelante sería nombrado obispo de Birmingham, reflexionó por un momento, y entonces recordó una interesante función que todavía no había sido abordada por nadie: quizá Littlewood podría determinar los ceros de esa función. Barnes escribió la definición de la función para que Littlewood pudiera llevársela a veranear: «Se llama función zeta», dijo Barnes, con aire inocente. Littlewood salió del despacho con el folio en la mano, inconsciente de que lo que Barnes le había sugerido era que pasara el verano intentando demostrar la hipótesis de Riemann.

Barnes no había explicado a Littlewood el marco histórico en que se encuadraba el problema, lo que le habría revelado su dificultad. Es probable que el tutor de Littlewood no conociera la existencia de un nexo entre los ceros de la función zeta y los números primos y, simplemente, considerara interesante la pregunta: ¿dónde produce esta función un valor igual a cero? Peter Sarnak, uno de los autores de referencia en los intentos modernos de demostración de la hipótesis de Riemann, explica: «En realidad se trataba de la única función analítica que, ya entrados en el siglo XX, los matemáticos todavía no comprendían». Tal como observó sir Peter Swinnerton-Dyer, que había sido uno de sus alumnos, en las exequias de Littlewood, el hecho de que «Barnes creyera que [la hipótesis de Riemann] era idónea para un estudiante de investigación, aunque fuera el más brillante, y que Littlewood debiera de afrontarla sin vacilar» da una idea clara de hasta qué punto era desastroso el estado en que languidecía las matemáticas inglesa antes de que Hardy y Littlewood ejercitaran su influjo positivo.

Littlewood luchó todo el verano, enfrentándose con el problema de aspecto inocente que Barnes le había propuesto. A pesar de que sus intentos de determinar los ceros no tuvieron ningún éxito, lo que encontró lo llenó de satisfacción. Como había descubierto Riemann cincuenta años antes, Littlewood comprendió que aquellos ceros podían revelar algo sobre los números primos. A pesar de que en el continente estaba claro desde los tiempos de Riemann, en Inglaterra el nexo entre la función zeta y los números primos todavía no se comprendía bien. Littlewood se estremeció ante lo que creía una conexión inédita, y en septiembre de 1907 dio cuenta de ella en la disertación con la que se postulaba como profesor investigador del Trinity. El hecho de que Littlewood creyera que su descubrimiento era original es una nueva confirmación de hasta qué punto estaban aisladas las matemáticas en Inglaterra.

Hardy, que era uno de los pocos que en Inglaterra estaban informados sobre los recientes progresos de Hadamard y de la Vallée-Poussin, sabía que aquel resultado no era tan original como Littlewood suponía. Pero reconoció su potencial y, aunque aquel año Littlewood no consiguió convertirse en profesor del College, se llegó a un pacto entre caballeros que garantizaba su nombramiento en la primera ocasión posible. Littlewood se reunió con Hardy en el Trinity College en octubre de 1910.

Cambridge empezaba a florecer ahora que abría sus puertas a las influencias del otro lado del Canal. Viajar entre el continente e Inglaterra se estaba haciendo más fácil, y Hardy y otros académicos se esforzaban en visitar muchos de los centros culturales de Europa. Los nuevos contactos que establecían favorecieron el flujo de revistas, libros e ideas nuevas del exterior. El Trinity College, en concreto, se convirtió en una comunidad extraordinariamente dinámica durante los primeros años del siglo XX. La Senior Combination Room dejó de ser un club de aristócratas para convertirse en un lugar de investigación. La conversación en la mesa principal ya no se limitaba al oporto y al clarete, sino que se impregnaba de las más nuevas ideas. En el Trinity, además de Hardy y Littlewood, trabajaban los dos filósofos en activo más eminentes de Inglaterra: Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein. Ambos luchaban con los mismos problemas relacionados con los fundamentos lógicos de las matemáticas que tanto habían interesado a Hilbert. Y Cambridge vibraba con los grandes progresos obtenidos en física por J. J. Thomson, que ganó un premio Nobel por el descubrimiento del electrón, y por Arthur Eddington, que había confirmado la convicción de Gauss y de Einstein de que el espacio era en realidad curvo y no euclidiano.

La gran colaboración entre Hardy y Littlewood se alimentó con la oportuna llegada, procedente de Gotinga, de un libro de Landau sobre los números primos. La publicación en 1909 de su obra en dos volúmenes: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen [Manual de teoría de la distribución de los números primos] hizo que muchos se sumaran a la maravilla de las relaciones entre los números primos y la función zeta. Antes de aparecer el libro de Landau, la historia de Riemann y los números primos era casi completamente desconocida entre la comunidad matemática. Como Hardy reconoció en su necrológica sobre Landau (escrita con Hans Heilbronn): «el libro transformó la materia, hasta entonces terreno de caza de algunos audaces héroes, en uno de los campos más fértiles de los últimos treinta años». Fue el libro de Landau el que permitió a Hardy demostrar en 1914 que existían infinitos ceros sobre la recta crítica de Riemann. Motivado por sus experiencias estudiantiles sobre la función zeta, también Littlewood se animó a hacer su primera contribución importante a la materia.

Demostrar un teorema que Gauss consideraba cierto pero que no fue capaz de demostrar se considera una prueba de la valentía de un matemático. Demostrar la falsedad de uno de tales teoremas lo colocaba en otra categoría. No es frecuente que una intuición de Gauss resulte equivocada. Había inventado una función, el logaritmo integral Li(N), y había predicho que nos proporcionaría la cantidad de números primos no mayores que N con precisión creciente al aumentar el valor de N. Hadamard y de la Vallée-Poussin habían grabado sus nombres en la historia de las matemáticas al demostrar que Gauss tenía razón. Pero Gauss había planteado una segunda conjetura: que su logaritmo integral siempre sobreestimaría la cantidad de números primos, es decir, que en ningún caso predeciría la existencia de menos números primos de los que efectivamente hubiera entre 1 y N. Ello contrastaba con el perfeccionamiento que introdujo Riemann, según el cual los valores fluctúan entre subestimaciones y sobreestimaciones de la verdadera cantidad de números primos.

En la época en la que Littlewood empezó a ocuparse del tema, la segunda conjetura de Gauss se había confirmado para todos los números hasta 10.000.000. En tiempos de Gauss cualquier científico experimental habría aceptado diez millones de testimonios como confirmación absolutamente convincente de la hipótesis de Gauss: las ciencias que no sufren de una adicción tal a la demostración, y muestran un mayor respeto por los resultados experimentales, habrían estado absolutamente satisfechas de aceptar la conjetura de Gauss como una piedra fundacional sobre la que podían empezar a construirse nuevas teorías. En la época de Littlewood, unos cien años más tarde, era plausible que el edificio matemático se elevara sobre tales fundamentos. Pero en 1912 Littlewood descubrió que, en contra de todas las previsiones, la hipótesis de Gauss era un espejismo. La piedra angular se desintegró en polvo bajo su ojo indagador. Demostró que, cuando seguimos contando, antes o después se llega a una región numérica en la que el logaritmo integral de Gauss pasa de una sobreestimación a una subestimación de la verdadera cantidad de números primos.

Littlewood consiguió también demoler otra idea que se estaba convirtiendo en una referencia: muchos opinaban que el perfeccionamiento que Riemann había aportado a la estimación de la cantidad de números primos propuesta por Gauss proporcionaría estimaciones cada vez más precisas; Littlewood demostró que, aunque el perfeccionamiento de Riemann resultaba más preciso cuando nos movemos en el ámbito de los primeros millones de números, cuando nos trasladamos a distancias mayores en el universo de los números la estimación de Gauss resultaba más precisa.

El descubrimiento de Littlewood era especialmente notable por el hecho de que el logaritmo integral de Gauss empieza a proporcionar una subestimación de la cantidad de números primos sólo en regiones numéricas que probablemente nunca alcanzaremos. Littlewood ni siquiera podía prever hasta dónde deberíamos llegar para observar alguno de estos fenómenos. De hecho, hasta hoy nadie ha conseguido avanzar lo suficiente como para llegar a una región numérica en la que el logaritmo integral de Gauss dé una subestimación de la cantidad de primos. Si estamos en condiciones de afirmar que en un cierto punto la predicción original de Gauss resultará falsa, es sólo gracias al análisis teórico de Littlewood y al poder de la demostración matemática.

Algunos años más tarde, en 1933, un estudiante de Littlewood llamado Stanley Skewes estimó que sólo cuando se contaran los números primos hasta 10¹⁰¹⁰³⁴ hallaríamos una subestimación del número de primos por parte del logaritmo integral de Gauss. Se trata de un número absurdamente grande: números tan grandes a menudo producen comparaciones con la cantidad de átomos que existen en el universo visible, que según las mejores estimaciones está en torno a los 10⁷⁸; pero el número que sugirió Skewes hace imposible incluso esta comparación. Se trata de un número que empieza por 1 y continúa con tantos ceros que, si escribiéramos un cero sobre cada átomo del universo, no llegaríamos a ninguna parte. Hardy señaló que el número de Skewes, que así pasó a llamarse, era sin ninguna duda el mayor número que jamás se había considerado en una demostración matemática.

La demostración de la estimación de Skewes era interesante por otro motivo: se trata de uno de los millares de demostraciones que comienzan con la frase: «supongamos que es cierta la hipótesis de Riemann». Skewes podía dar valor a su demostración sólo presuponiendo que la hipótesis de Riemann es correcta, es decir, que todos los puntos al nivel del mar en el espacio zeta se encuentran efectivamente sobre la recta que pasa por 1/2. Sin este supuesto, los matemáticos de los años treinta del siglo pasado no podían afirmar con certeza hasta dónde había que ir contando hasta descubrir que el logaritmo integral de Gauss proporcionaba una subestimación de la cantidad de números primos. Sin embargo, en este caso específico los matemáticos hallaron por fin un modo de evitar la ascensión al monte Riemann. El mismo Skewes determinó un número todavía más grande, que sería válido aunque la hipótesis de Riemann resultara falsa.

Lo más curioso es que, en contraste con su resistencia a aceptar la segunda conjetura de Gauss, la confianza de los matemáticos en la validez de la hipótesis de Riemann empezaba a ser lo bastante firme como para atreverse a edificar sobre ella aunque no estuviera demostrada. La hipótesis de Riemann se estaba convirtiendo ya en un componente estructural del edificio matemático. También es posible que se tratara tanto de una cuestión de pragmatismo como de confianza: un número de matemáticos cada vez mayor se topaba con la hipótesis de Riemann obstaculizando sus progresos; sólo tenían posibilidades de avanzar si presuponían su veracidad. Sin embargo, tal como Littlewood había dejado claro en el caso de la segunda conjetura de Gauss, los matemáticos tienen que estar preparados para un posible derrumbamiento de todo lo construido sobre la hipótesis de Riemann si alguien hallara un simple cero de la función zeta fuera de la recta crítica.

La demostración de Littlewood tuvo un efecto psicológico muy fuerte sobre la percepción de las matemáticas y en particular sobre la manera de observar los números primos: aquella demostración supuso una seria advertencia a quien se dejara impresionar por una gran acumulación de indicios. Dejaba al descubierto que los números primos eran maestros del camuflaje: estos números esconden su verdadero carácter en los rincones más recónditos del universo numérico, tan profundamente, que la posibilidad de ser testigos oculares de su auténtica naturaleza probablemente supera la capacidad de cálculo de los seres humanos, de manera que se puede observar su comportamiento real sólo a través de los penetrantes ojos de la demostración matemática abstracta.

La demostración de Littlewood proporcionó también la munición ideal para los que defendían que había una diferencia esencial entre las matemáticas y las demás ciencias. Los matemáticos ya no podían contentarse con el experimentalismo propio de las matemáticas de los siglos XVII y XVIII, cuando se planteaban teorías tras realizar unos pocos cálculos. El empirismo dejaba de ser un medio apto para la exploración del mundo matemático. En las otras ciencias, millones de datos pueden constituir una prueba suficiente sobre la que basar una teoría, pero Littlewood había mostrado que en matemáticas esto significaba moverse en terreno minado. A partir de ahora, la demostración lo sería todo: sin una prueba irrefutable no se podían tener certezas.

A medida que aumentaba el número de matemáticos que se veían obligados a suponer cierta la hipótesis de Riemann, se hacía más y más imperativo asegurarse de que en cualquier remota región del espacio de Riemann no hubiera ceros que se apartaran de la recta crítica. Hasta que no se consiguiera, los matemáticos vivirían siempre con el temor de que la hipótesis de Riemann pudiera resultar falsa.