7

ÉXODO MATEMÁTICO: DE GOTINGA A PRINCETON

El padre de Landau, Leopold, descubrió que en la misma calle de Berlín donde vivía habitaba también un joven portento de las matemáticas. Lleno de curiosidad, lo invitó a tomar el té en su casa; a pesar de su timidez, Carl Ludwig Siegel aceptó la cita con el padre del gran matemático de Gotinga. El viejo Landau tomó de su biblioteca los dos volúmenes del libro sobre los números primos que había escrito su hijo y se los entregó a Siegel; probablemente aún eran demasiado difíciles para él, explicó, pero quizá más adelante estaría preparado para leerlos. Siegel debió guardar como un tesoro el libro de Edmund Landau, que tendría un impacto duradero sobre su desarrollo matemático.

La mayoría de edad de Siegel coincidió con el estallido de la Primera Guerra Mundial. Aquel muchacho joven y reservado se asustaba con la idea de prestar servicio en el ejército: empezó a desarrollar una profunda aversión a todo lo que tuviera que ver con las fuerzas armadas. A pesar del interés que el padre de Landau había mostrado por sus progresos matemáticos, inicialmente Siegel había elegido estudiar astronomía, pensando que se trataba de una disciplina que nunca tendría nada que ver con la guerra. Pero los cursos de astronomía empezaban tarde y, para matar el tiempo, Siegel empezó a asistir a cursos de matemáticas. Al cabo de poco tiempo se entregó a ellas: explorar el universo de los números se convirtió en su pasión. Muy pronto adquirió la preparación suficiente para comprender el contenido de los volúmenes sobre los números primos que le había dado el padre de Landau.

En 1917 la guerra invadió de manera inexorable la vida de Siegel y, cuando se negó a prestar el servicio militar, lo recluyeron en un manicomio. El padre de Landau intervino para que lo liberaran: «Si no hubiera sido por Landau habría muerto», reconoció más tarde Siegel. En 1919, cuando aún estaba recuperándose de aquel calvario, el joven Siegel conoció a Edmund Landau, su héroe matemático, en Gotinga, donde florecería su talento matemático.

Siegel también descubrió que tendría que aprender a soportar el carácter exasperante de Landau. Una vez, cuando ya era licenciado en matemáticas, Siegel visitó a Landau en Berlín. El profesor pasó toda la cena explicando meticulosamente una demostración extremadamente detallada y técnica, obstinándose en ofrecer cada detalle por mínimo que fuera. Siegel lo escuchó con paciencia, pero cuando Landau terminó era tan tarde que ya no había autobús para devolverlo a su casa: tuvo que hacer el trayecto a pie. Durante la larga caminata volvió a pensar en la demostración de Landau, que trataba de los puntos a nivel del mar en un paisaje similar al que Riemann había construido: antes de llegar a su casa ya había ideado una demostración alternativa a la que le había hecho perder el autobús. Al día siguiente, en un momento de franqueza, Siegel envió a Landau una tarjeta con su agradecimiento por la cena y los detalles sucintos de su demostración alternativa: todo ello cabía en la tarjeta postal.

Cuando Siegel llegó a Gotinga, mientras Alemania sufría la opresión de las reparaciones de guerra, tuvo que alojarse en casa de uno de los profesores del departamento. Otro profesor le compró una bicicleta para que pudiera pedalear por las callejas de la ciudad medieval. Al principio, Siegel estaba un poco intimidado por la cantidad de nombres famosos que daban lustre al Departamento de Matemática de la universidad, sobre todo del gran Hilbert. Por tanto, trabajaba en silencio y en soledad, con la decisión de conseguir un descubrimiento fundamental que impresionaría a todos los matemáticos famosos con los que se cruzaba por los pasillos del departamento. Asistía a las clases de Hilbert, absorbiendo las ideas de aquel hombre formidable. Sabía que la respuesta a uno solo de los veintitrés problemas de Hilbert supondría el pasaporte al éxito.

Al principio, ante gigantes del calibre de Hilbert, era absolutamente incapaz de expresar sus propias ideas; finalmente consiguió el coraje necesario cuando algunos de los miembros veteranos de la facultad lo invitaron a nadar en el río Leine: en traje de baño el aspecto de Hilbert intimidaba mucho menos, y Siegel se sintió lo bastante audaz como para hacerlo partícipe de su opinión sobre la hipótesis de Riemann. La reacción de Hilbert fue entusiasta y su apoyo aseguró al tímido colega un empleo en la Universidad de Francfort en 1922.

Durante su vida, Siegel contribuyó con éxito a la solución de muchos de los problemas de Hilbert, pero lo que consiguió imprimir su nombre en letras de oro en el mapa matemático fue su poco convencional contribución al octavo problema: la hipótesis de Riemann.

REPENSAR A RIEMANN

Cuando decidió dedicarse a la solución del octavo problema de Hilbert, Siegel estaba empezando a notar que algunos matemáticos estaban cada vez más desilusionados con la contribución de Riemann a este problema: Landau, el mentor de Siegel, era probablemente la voz más abiertamente crítica sobre lo que realmente había conseguido Riemann en su ensayo de diez páginas publicado en 1859. Incluso reconociendo que se trataba de un «ensayo extremadamente brillante y útil», Landau continuaba poniendo sordina a sus alabanzas: «La fórmula de Riemann no es en realidad lo más importante de la teoría de los números. Riemann sólo ha creado los instrumentos que, una vez perfeccionados, han permitido más tarde demostrar muchas otras cosas».

Mientras tanto, en Cambridge, Hardy y Littlewood asumían una actitud igualmente desdeñosa: hacia finales de los años veinte, la incapacidad de resolver la hipótesis de Riemann empezaba a resultar frustrante para Hardy; también Littlewood empezó a preguntarse si el hecho de no conseguir demostrarla podía significar que en realidad la hipótesis fuera equivocada:

Creo que es falsa. No hay indicios de ningún tipo que la sostengan. Y no deberíamos creer cosas sobre las que no hay indicios. Debo también dejar constancia de mi opinión personal: no existe ni una sola razón concebible para creer que sea verdadera… Por otra parte, la vida sería más agradable si existieran razones fundadas para creer que la hipótesis es falsa.

En efecto, Riemann se había mostrado más bien evasivo cuando se trataba de proporcionar pruebas de la presencia de los ceros donde predecía su hipótesis. En su ensayo de diez páginas no encontramos el cálculo de uno solo de dichos puntos a nivel del mar. Según Hardy, la intuición de Riemann sobre los ceros presentes en su paisaje no pasaba de ser una especulación de carácter heurístico.

El hecho de que en su ensayo Riemann diera la impresión de no haber calculado la posición de los ceros contribuyó a que se le endosara la imagen de matemático conceptual, un hombre de ideas poco dispuesto a ensuciarse las manos calculando. Al fin y al cabo, ese era el espíritu de la revolución que Riemann había encabezado. De forma parecida, Hilbert había dedicado su vida a promover esta nueva concepción de las matemáticas. Como escribió en uno de sus ensayos científicos: «he intentado evitar el enorme aparato calculístico de Kummer [Ernst Kummer, sucesor de Dirichlet en Berlín], de manera que también en este caso debería de satisfacerse el principio de Riemann de que las demostraciones deben ser estimuladas sólo por el pensamiento y no por los cálculos». A Félix Klein, colega de Hilbert en Gotinga, le gustaba decir que Riemann operaba principalmente mediante «grandes ideas generales» y que «a menudo confiaba en su propia intuición».

A Hardy, sin embargo, no le bastaba con su intuición. Él y Littlewood consiguieron elaborar un método para calcular con precisión la posición de algunos de los primeros ceros. Si la hipótesis de Riemann hubiera sido falsa, entonces, armados con su fórmula, habrían tenido una pequeña posibilidad de determinar un cero que no estuviera sobre la recta crítica de Riemann. El método que elaboraron explotaba la simetría que Riemann había descubierto en su paisaje entre la tierra al este y al oeste, respectivamente, de la línea mágica que pasa por 1/2. Usaron su método en combinación con un eficiente procedimiento que había sido concebido por Euler para proporcionar valores aproximados de sumas infinitas. A finales de los años veinte, los dos matemáticos de Cambridge habían conseguido localizar 138 ceros. Tal como Riemann había previsto, todos ellos estaban sobre la recta que pasa por 1/2. De todos modos, estaba claro que la fórmula de Hardy y Littlewood estaba agotando sus posibilidades: determinar la posición exacta de cualquier cero al norte de los primeros 138 ceros a través de los cálculos se estaba convirtiendo en un camino impracticable.

Parecía clara la imposibilidad de llevar más allá aquellos cálculos. Mediante el análisis teórico, Hardy había demostrado que un número infinito de ceros caería sobre la recta; ahora tenían la sensación cada vez más nítida de que, para poder ver uno cualquiera de los ceros que eventualmente pudieran caer fuera de la recta, haría falta ir muy hacia el norte en el espacio de Riemann. Como Littlewood había explicado, los números primos, más que cualquier otra criatura del zoo matemático, gustaban de esconder su verdadero carácter en las áreas más remotas del universo de los números. Por ello, los matemáticos empezaron a abandonar la idea de determinar de forma explícita la posición de los ceros y empezaron a concentrarse en las características más teóricas del paisaje que pudieran revelar los misterios del razonamiento de Riemann.

Todo este panorama cambió como consecuencia de un descubrimiento absolutamente inesperado. Mientras Siegel se esforzaba en Francfort en ordenar sus propias ideas sobre la hipótesis de Riemann, recibió una carta del historiador de las matemáticas Erich Bessel-Hagen, que estaba trabajando con las notas inéditas de Riemann. Elise, la esposa de Riemann, había recuperado algunas de las cartas de manos de la celosa gobernanta responsable de haber reducido a cenizas buena parte de ellas. Más tarde, Elise entregó a Richard Dedekind, coetáneo de su marido, las notas que quedaron, pero algunos años más tarde, comenzó a arrepentirse de haber cedido documentos que podrían contener detalles personales, y pidió a Dedekind que se los devolviera. Incluso en el caso de que alguno de los manuscritos estuviera casi completamente ocupado por notas matemáticas, si contenía la más mínima traza de una lista de la compra o el nombre de un amigo de la familia, Elise pretendía que le fuera restituida.

Finamente Dedekind había depositado las restantes notas científicas en la biblioteca de Gotinga. Ahora Bessel-Hagen intentaba encontrar un sentido en el amasijo de cartas que se conservaban en los archivos, con escaso éxito. Como suele suceder con los apuntes de los matemáticos, las notas de Riemann eran un barullo caótico de fórmulas e ideas a medio construir. Bessel-Hagen se preguntaba si quizá Siegel conseguiría relacionar alguna cosa del descifrado de aquellos jeroglíficos.

Siegel escribió al bibliotecario de Gotinga pidiéndole permiso para consultar las Nachlass^[4] de Riemann, que es como se llama actualmente a sus escritos póstumos. El bibliotecario dispuso la expedición de los documentos a una biblioteca de Francfort para que Siegel pudiera consultarlos. Siegel esperaba ansiosamente dedicarse a aquella labor: sería una agradable distracción ante la frustración que le producían sus escasos progresos en la investigación. Los documentos llegaron puntualmente, y él se precipitó a la biblioteca junto con un colega que estaba de visita en la Universidad de Francfort. Al abrir el paquete apareció una gran cantidad de folios repletos de complicados cálculos numéricos. Aquellas páginas desmentían de una vez por todas la imagen que de Riemann se había dado en los últimos setenta años: la de un matemático intuitivo y conceptual incapaz de producir pruebas sólidas para sostener sus propias ideas. Ante aquella masa de cálculos, Siegel exclamó irónicamente: «¡He aquí los grandes conceptos generales de Riemann!».

Algunos matemáticos de segunda fila habían ojeado anteriormente aquellas páginas, en busca de indicios de la demostración de la hipótesis de Riemann, pero ninguno de ellos había logrado dar sentido a aquella masa de ecuaciones fragmentadas. Lo más desconcertante era la gran cantidad de cálculos numéricos que Riemann parecía haber efectuado en su tiempo libre: ¿qué significaban todos aquellos cálculos? Hizo falta un matemático de la talla de Siegel para comprender lo que Riemann había hecho.

Al estudiar aquellas páginas, Siegel empezó a comprender que Riemann había seguido el dictado de su maestro: como Gauss había subrayado siempre, un arquitecto retira los andamios una vez completado el edificio. Los frágiles folios que ahora Siegel tenía en sus manos estaban llenos de cálculos, incluso en los márgenes. Riemann había vivido los últimos años de su vida en la pobreza, habiéndose visto obligado a mantener a su hermana, y sólo podía permitirse papel de mala calidad, del que exprimía hasta el último rincón de espacio disponible. El Riemann pensador de Hilbert se convertía ahora en un maestro de los cálculos, y en realidad era sobre esos cálculos que había construido su visión conceptual del mundo, determinando esquemas a partir de las pruebas que iba recogiendo. Algunos de los cálculos de Riemann, como el de la raíz cuadrada de 2 hasta la trigésimo octava cifra, no eran innovadores, pero otros intrigaron a Siegel, que nunca se las había tenido que ver con nada parecido. Al ir hurgando en aquellas páginas, el barullo caótico de los cálculos empezó a mostrar un sentido: Siegel comprendió que Riemann estaba calculando los ceros del paisaje zeta.

Siegel descubrió que Riemann había usado una fórmula extraordinaria, que le permitía calcular las alturas en el espacio zeta con extrema precisión. La primera parte de la fórmula se basaba en un truco posteriormente descubierto por Hardy y Littlewood: Riemann se les había adelantado unos sesenta años. La segunda parte de la fórmula era completamente inédita: Riemann había descubierto una forma de calcular el resto de la suma infinita que era muchísimo más ingeniosa que la que se utilizaba aún en tiempos de Siegel; al contrario del método de Euler que se había utilizado para determinar los primeros 138 ceros (es decir, los primeros 138 puntos a nivel del mar en el paisaje zeta), la fórmula que Riemann había ideado no perdía eficacia cuando se utilizaba para calcular la posición de los puntos situados mucho más al norte.

Sesenta y cinco años después de la muerte de Riemann, el augusto matemático mantenía aún un amplio margen de ventaja en la competición. Hardy y Landau se habían equivocado al creer que el ensayo de Riemann era un extraordinario compendio de intuiciones heurísticas. Al contrario, se basaba en cálculos sólidos e ideas teóricas que Riemann había decidido no revelar al mundo. Pocos años después de su descubrimiento por parte de Siegel, la fórmula secreta de Riemann se utilizó en Cambridge por algunos estudiantes de Hardy para confirmar que los primeros 1.041 ceros estaban sobre la recta de Riemann; sin embargo, la fórmula sólo demostraría todo su valor con la llegada de la era de la informática.

Resulta muy extraño que los matemáticos necesitaran tanto tiempo para comprender que los apuntes de Riemann podían contener joyas como ésta: en su ensayo de diez páginas, y en algunas cartas que escribió en aquella época a otros matemáticos, hay claros indicios de que Riemann estaba trabajando en algo realmente importante. En efecto, en su ensayo cita una nueva fórmula, pero añade que no la ha «simplificado lo suficiente para anunciarla». Los matemáticos de Gotinga estudiaban desde hacía setenta años aquel documento publicado, ignorando que aquella fórmula mágica se encontraba a pocas manzanas de distancia. Klein, Hilbert y Landau no se lo habían pensado dos veces para emitir su sentencia sobre Riemann, aunque ninguno de ellos había ni siquiera echado un vistazo a sus inéditas Nachlass.

Para ser honestos, basta una ojeada a los apuntes desordenados de Riemann para darse cuenta del alcance de la labor. Como escribió Siegel: «ninguna parte de los escritos de Riemann relativos a la función zeta está preparada para ser publicada; a veces encontramos fórmulas inconexas en una misma página, con frecuencia sólo tenemos escritas la mitad de las ecuaciones». Era como estudiar los primeros compases de una sinfonía inacabada. La composición final debe mucho al virtuosismo con que Siegel extrajo la fórmula de entre el caos de las notas de Riemann. El nombre con el que hoy se la conoce —fórmula de Riemann-Siegel— está plenamente justificado.

Gracias a la perseverancia de Siegel se había revelado un aspecto inédito de la personalidad de Riemann: ciertamente, Riemann había defendido con ardor la importancia del pensamiento abstracto y de los conceptos generales, pero sabía bien que también era importante no olvidar el cálculo y la experimentación numérica: no había olvidado la tradición del siglo XVIII de la que había emergido su matemática.

El Nachlass conservado en la biblioteca de Gotinga representaba sólo una parte de lo que se recuperó de manos de la gobernanta de Riemann. El primero de mayo de 1875 Elise Riemann escribió a Dedekind para pedirle otra vez una parte del material personal que deseaba que volviera a posesión de la familia. Entre este material había «un librito negro que contiene anotaciones sobre la estancia de Riemann en París durante la primavera de 1860». Apenas unos meses antes de aquel viaje, Riemann había publicado su fundamental ensayo de diez páginas sobre los números primos, dándose prisa para mandarlo a la imprenta coincidiendo con su nombramiento en la Academia de Berlín. En París, tras la actividad frenética de la publicación, tuvo tiempo de añadir detalles a sus propias ideas. El clima en París era horrible: la nieve y el granizo impidieron a Riemann visitar la ciudad. Tuvo que permanecer tranquilamente en su habitación poniendo sus pensamientos por escrito. No es irracional pensar que, junto con sus impresiones personales de París, en aquel «librito negro» Riemann anotara sus propios razonamientos sobre los puntos a nivel del mar en el paisaje zeta. El libro nunca se ha recuperado, aunque hay muchos indicios sobre cuál fue su destino.

El 22 de julio de 1892, el yerno de Riemann escribió a Heinrich Weber: «Al principio mamá no podía aceptar que las cartas de Riemann no estuvieran en manos privadas; para ella son sagradas y no le gusta la idea de que estén al alcance de cualquier estudiante, que también podría leer las notas al margen, algunas de las cuales son puramente personales». A diferencia de lo que ocurrió con Fermat, cuyo sobrino había estado incluso ansioso por publicar las notas al margen de su tío, la familia de Riemann era reacia a hacer públicas las notas que Riemann nunca había previsto publicar. Parece que en aquel momento el librito negro aún estaba en poder de la familia.

Abundan las hipótesis sobre el destino del cuaderno: hay indicios que hacen creer que más adelante Bessel-Hagen compró una parte del material inédito que estaba en manos de la familia. No está claro si compró el material en una subasta o si lo consiguió a través de algún contacto personal. Una parte de las cartas terminó en los archivos de la Universidad de Berlín, pero parece ser que Bessel-Hagen decidió quedarse con el resto. Murió de inanición en invierno de 1946, en el caos que siguió al final de la Segunda Guerra Mundial. Sus efectos personales no se hallaron nunca.

Según otra versión, el librito negro terminó en manos de Landau. Se dice que, en medio de las incertidumbres del período de entreguerras, se lo confió a su yerno, el matemático I. J. Schoenberg, que en 1930 huyó a los Estados Unidos, pero esta pista también se pierde en la nada. Como actualmente hay un premio de un millón de dólares, la búsqueda del librito negro se ha convertido en la caza del tesoro.

Sin los apuntes de Riemann y la determinación de Siegel, ¿cuánto tiempo habría hecho falta para sacar a la luz la fórmula mágica? Se trata de una fórmula tan sofisticada que con toda probabilidad no la conoceríamos ni siquiera hoy. ¿Qué otros tesoros hemos perdido por culpa de la desaparición del librito negro? Riemann creía que podía demostrar que la mayor parte de los ceros se encontraba sobre la recta crítica, y sin embargo nadie ha dado con una demostración de tal aserto. ¿Qué podría permanecer oculto en los archivos de las bibliotecas alemanas? ¿Podría ser que el librito negro terminara en América? ¿O quizá sobrevivió a la hoguera de la gobernanta para quemarse en el fuego de la Segunda Guerra Mundial?

En 1933, en toda Alemania, a los matemáticos les resultaba cada vez más difícil concentrarse en el estudio de su disciplina. La esvástica ondeaba sobre la biblioteca de Gotinga. La facultad estaba repleta de matemáticos judíos o de izquierdas. En las manifestaciones callejeras de aquel período se apuntaba específicamente al Departamento de Matemática como «fortaleza marxista», y a mediados de los años treinta gran parte de los miembros de la facultad habían perdido su trabajo como consecuencia de las purgas universitarias ordenadas por Hitler. Muchos buscaron refugio en el extranjero. A Landau, a pesar de ser hebreo, le permitieron quedarse porque había sido nombrado profesor antes del estallido de la Primera Guerra Mundial. La cláusula de exclusión de los no arios en la ley sobre empleo público de abril de 1933 no se aplicaba a los profesores con una amplia hoja de servicios o a los que habían combatido en la guerra.

Las cosas empeoraron. En el invierno de 1933 las clases de Landau eran boicoteadas por los estudiantes nazis, entre los que se encontraba uno de los matemáticos más brillantes de aquella generación: Oswald Teichmüller. Un profesor judío de Gotinga describió a Teichmüller como: «un hombre muy joven, científicamente dotado, pero completamente desorientado y notoriamente loco». Un día, cuando llegó al aula donde debía dar clases, Landau se encontró con que el joven fanático nazi le impedía el paso. Teichmüller dijo a Landau que su modo judío de presentar el cálculo infinitesimal era completamente incompatible con el modo de pensar ario. Landau no resistió la presión, presentó la dimisión y se retiró a Berlín. El hecho de que le negaran la posibilidad de enseñar lo hirió profundamente. Hardy lo invitó a dar algunas clases en Cambridge: «Fue realmente conmovedor ver su alegría al hallarse de nuevo ante una pizarra y su pena de que aquella oportunidad llegara a su término», recordó Hardy. Incapaz de plantearse la posibilidad de abandonar su país, Landau volvió a Alemania, donde murió en 1938.

Aquel año Siegel, que no tenía parientes judíos, se trasladó de Francfort a Gotinga para intentar recuperar la reputación del departamento de Matemáticas. En 1940 se exilió voluntariamente en los Estados Unidos como protesta por los horrores de la guerra. Tras las terribles experiencias que había vivido de joven durante la Primera Guerra Mundial, había jurado que no permanecería en Alemania si su país entraba de nuevo en guerra. Pasó los años de la guerra en el Institute for Advanced Study de Princeton. De los matemáticos que habían forjado la reputación de Gotinga, sólo Hilbert permaneció en Alemania: para él siempre había sido una obsesión la supremacía matemática de Gotinga. Ya anciano, no conseguía comprender los motivos de la devastación que ahora lo rodeaba. Siegel intentó explicarle por qué se habían ido muchos miembros de la facultad: «Tenía la impresión, me pareció, de que estábamos intentando hacerle una broma de mal gusto», recordó más adelante Siegel.

En pocas semanas, Hitler destruyó las grandes tradiciones de Gotinga que Gauss, Riemann, Dirichlet y Hilbert habían creado: «Fue una de las peores tragedias que ha sufrido la cultura humana desde los tiempos del Renacimiento», escribió un comentarista. Gotinga (y, podría quizás añadirse, la matemática alemana), nunca se recuperó del todo de la purga que los nazis perpetraron durante los años treinta del siglo XX. Hilbert murió el día de San Valentín de 1943, tras una caída sufrida en las calles medievales de Gotinga: su muerte marcó el fin de la ciudad como meca de las matemáticas.

Las matemáticas habían entrado en crisis en toda Europa. Mientras las naciones se preparaban para la inevitable confrontación, se hacía muy difícil justificar la investigación de ideas abstractas por sí mismas. Una vez más, la ciencia europea recibió el encargo de proporcionar la supremacía militar a las naciones. Muchos matemáticos siguieron el ejemplo de Siegel y emigraron a los Estados Unidos. Para la mayor parte de ellos, la prosperidad y el apoyo que recibieron del otro lado del Atlántico resultó el ambiente perfecto para reemprender la investigación pura. Mientras que los Estados Unidos se benefició de esta inmigración académica, Europa nunca ha reconquistado su papel de potencia mundial de las matemáticas.

Algunos matemáticos volvieron del exilio: una vez terminada la guerra, Siegel volvió a Alemania. Durante su exilio en Princeton había permanecido completamente al margen de los desarrollos matemáticos de Europa y creía que durante su ausencia no se habían producido grandes cambios. Le esperaba una sorpresa: aunque muchísimos matemáticos se marcharon o dejaron de ocuparse de su disciplina, resultó que había novedades. Siegel encontró a su amigo Harald Bohr, el matemático danés que desde Copenhague había colaborado con Hardy en sus intentos de demostrar la hipótesis de Riemann: «¿O sea que ha sucedido algo durante mi exilio en Princeton?», preguntó Siegel a su viejo colega; «¡Selberg!», le respondió Bohr.

SELBERG, EL ESCANDINAVO SOLITARIO

En 1940 Siegel consiguió llegar a Princeton pasando por Noruega. Había sido invitado a dictar una conferencia en la Universidad de Oslo, y los alemanes habían autorizado la visita sin saber que para Siegel aquella conferencia era un pretexto. En realidad, el objetivo principal del viaje era huir de Europa en un barco que partía de Oslo directamente a los Estados Unidos. Mientras la nave en la que se había embarcado salía del puerto, Siegel vio una flota de barcos mercantes alemanes que se disponían a atracar; más tarde supo que aquellos barcos formaban parte de la vanguardia de las fuerzas invasoras alemanas. Él huyó, pero en el Departamento de Matemática de Oslo se quedó un joven matemático llamado Atle Selberg. Apenas era un muchacho, y estaba escondiendo la cabeza en la arena matemática en un esfuerzo por ignorar el caos que lo rodeaba.

Aún antes de que la guerra engullera a Noruega, Selberg estaba contento de pasar sus días de trabajo en reclusión voluntaria. A menudo, una existencia aislada empuja al matemático en una dirección completamente nueva: Selberg ya tenía decidido trabajar en un campo de las matemáticas con el que nadie más en Escandinavia tenía una especial familiaridad. El hecho de no recibir ayuda de sus colegas no lo desanimaba; al contrario, parecía gozar con la soledad. Mientras la guerra se acercaba y Noruega quedaba cada vez más aislada, sin posibilidades de recibir la prensa científica extranjera, Selberg halló inspiración en aquel silencio: «Era como estar en una especie de prisión. Estabas en el límite. Tenías la seguridad de poder concentrarte en tus ideas. No te distraía lo que hicieran los demás. En este sentido creía que desde muchos puntos de vista la situación era decididamente buena para mi trabajo».

Aquella autosuficiencia iba a caracterizar toda la vida matemática de Selberg. La había cultivado durante los años de su adolescencia, cuando, en la biblioteca personal de su padre, ojeaba la gran cantidad de libros de matemáticas que poblaban los estantes sin que nadie lo molestara. Fue en aquellas largas horas de lectura que Selberg tuvo la oportunidad de sumergirse en un artículo sobre Ramanujan, publicado en una revista de las Sociedad Matemática Noruega. Selberg recuerda cómo aquellas «extrañas y bellísimas fórmulas… causaron en mí una impresión muy profunda y duradera». La obra de Ramanujan se convirtió en una de las principales fuentes de inspiración de Selberg: «Era como una revelación, un mundo completamente nuevo para mí, que ejercitaba una atracción mucho mayor sobre la imaginación». Su padre le regaló los Collected Papers de Ramanujan, que Selberg todavía hoy conserva. Formado de manera autodidacta gracias a la amplia colección de volúmenes de su padre, Selberg producía ya trabajos originales cuando se matriculó en la Universidad de Oslo, en 1935.

Estaba especialmente fascinado por la fórmula para el cálculo de la sucesión del número de particiones que el matemático indio había descubierto junto con Hardy. A pesar de que la fórmula de Ramanujan estaba considerada como un resultado maravilloso, había en ella algo insatisfactorio: la fórmula proporcionaba una respuesta que no era un número entero; lo que daba el número de particiones era el número entero más próximo al resultado generado por la fórmula. Tenía que existir una fórmula capaz de generar exactamente el número de particiones de N objetos. Selberg se colmó de alegría cuando, en otoño de 1937, consiguió hacerlo mejor que Ramanujan: halló una fórmula exacta. Poco después del descubrimiento, cuando estaba leyendo una recensión de lo que era su primer artículo científico, sus ojos cayeron sobre la recensión siguiente: tuvo una gran decepción al comprobar que había sido batido en la misma línea de meta por Hans Rademacher en un artículo publicado el año anterior. Rademacher había huido directamente a los Estados Unidos desde su Alemania natal en 1934, cuando los nazis lo obligaron a dejar su trabajo en Breslavia por sus ideas pacifistas: «Entonces fue un golpe para mí, pero luego me he habituado a este tipo de cosas». El hecho de que Selberg no tuviera información sobre la contribución de Rademacher ilustra hasta qué punto Noruega estaba aislada en aquella época de los desarrollos matemáticos que tenían lugar allende sus fronteras.

Según Selberg, había algo sorprendente en el hecho de que Hardy y Ramanujan no hubieran hallado la fórmula exacta: «Creo firmemente que la responsabilidad recae en Hardy… Hardy no confió completamente en la intuición de Ramanujan… Creo que si Hardy hubiera confiado más en Ramanujan, habrían terminado llegando inevitablemente en las sucesiones de Rademacher. Hay pocas dudas sobre ello». Tal vez, sin embargo, fue la ruta que tomaron Ramanujan y Hardy lo que derivó en la contribución Hardy-Littlewood a la conjetura de Goldbach, algo que, de otro modo, no habría sucedido.

Selberg empezó a leer todo lo que encontró sobre el trío de Cambridge: Ramanujan, Hardy y Littlewood. Le interesó sobre todo su trabajo sobre los números primos en relación con la función zeta. En uno de los artículos de Hardy y Littlewood había una afirmación que despertó particularmente su curiosidad: sus métodos de entonces, decían, no parecían ofrecer ninguna esperanza de demostrar que la mayor parte de los ceros, los puntos a nivel del mar del paisaje de Riemann, se encontraran sobre la recta mágica de Riemann. Hardy había completado el importantísimo paso de demostrar que un número infinito de ceros estaba sobre la recta, pero no había conseguido demostrar que aquel número infinito abarcara siquiera una porción del número total de ceros.

A pesar de algunos progresos debidos a Littlewood, el número de ceros cuya presencia sobre la recta habían conseguido demostrar los dos matemáticos quedaba aplastado por los ceros que no habían sido capaces de determinar. Hardy y Littlewood afirmaban sin titubeos que era imposible mejorar sus resultados utilizando los métodos que ellos mismos habían desarrollado.

Pero Selberg no fue tan pesimista. Pensaba que aún era posible obtener algo de sus ideas: «Estaba mirando la parte del artículo original de Hardy y Littlewood en la que explican por qué su método no podía dar más de lo que ellos habían conseguido demostrar. Lo leí y razoné sobre ello. Y después me di cuenta que aquello era totalmente absurdo». La intuición de Selberg —la sensación de poder ir más allá de los resultados de Hardy y Littlewood— resultó certera. A pesar de que aún no podía demostrar que todos los ceros están sobre la recta, consiguió probar que el porcentaje de ceros capturados con su método no se reducía a cero cuando se utilizaba para calcular la posición de los ceros colocados más al norte. Selberg no estaba muy seguro de qué proporción de ceros podría determinar así, pero el suyo fue el primer intento exitoso de abrir una brecha de una cierta entidad en el problema. Mirado retrospectivamente, parece que Selberg consiguió demostrar que un cinco o diez por ciento de los ceros caían sobre la recta, lo que significa que, si continuamos contando ceros hacia el norte, al menos esta parte responderá a la hipótesis de Riemann.

A pesar de no tratarse de una demostración de la hipótesis de Riemann, la brecha abierta por Selberg representó un importante avance psicológico, aunque nadie fue consciente de ello. Él mismo no estaba seguro de que ningún otro lo hubiera precedido en el descubrimiento. Una vez acabada la guerra, en el verano de 1946, Selberg fue invitado a hablar en el Congreso Escandinavo de Matemáticas, en Copenhague. Ya escarmentado por su experiencia anterior con la fórmula exacta para el cálculo del número de particiones, decidió que lo mejor sería verificar si sus resultados sobre los ceros de la función de Riemann eran ya conocidos o no. Pero la Universidad de Oslo todavía no había recibido las revistas de matemáticas que no habían llegado durante la guerra. «Había oído que en la biblioteca del Instituto de Trondheim habían recibido los ejemplares. Por tanto, fui a Trondheim especialmente para ello. Estuve casi una semana en la biblioteca».

Su preocupación era infundada: descubrió que estaba muy por delante de cualquier otro en la comprensión de los ceros del paisaje zeta de Riemann. La conferencia que dictó en Copenhague constituyó la confirmación de lo que afirmaba Bohr a los que venían de visita desde los Estados Unidos: en Europa las novedades matemáticas se reducían a un nombre: «¡Selberg!». En la conferencia éste habló de sus ideas sobre la hipótesis de Riemann. A pesar de su importante contribución al camino que conducía a su demostración, Selberg subrayó que los elementos de apoyo a la veracidad de la hipótesis de Riemann todavía eran muy escasos: «Pienso que la razón por la que en un tiempo estábamos convencidos de la validez de la hipótesis de Riemann es substancialmente el hecho de que nos da la distribución más bella y simple que se pueda obtener: la simetría a lo largo de la recta. Además, la hipótesis conduciría a la distribución más racional de los números primos. Piensen que al menos habría algo correcto en este universo».

Algunos malinterpretaron sus comentarios, y pensaron que estaba poniendo en duda la validez de la hipótesis de Riemann, pero Selberg no era tan pesimista como Littlewood, que creía que la falta de pruebas concretas significaba que la hipótesis de Riemann era falsa: «Siempre he creído intensamente en la hipótesis de Riemann. No argumentaría nunca contra ella. Pero en aquella fase afirmaba que en realidad no disponíamos de resultados ni numéricos ni teóricos que indicaran con fuerza la veracidad de la hipótesis. Los resultados más bien sugerían que la hipótesis era en general cierta». En otras palabras, probablemente la mayoría de los ceros estaría sobre la recta, como Riemann afirmaba haber demostrado casi un siglo antes.

Los progresos de Selberg durante la guerra fueron el canto del cisne de la supremacía matemática europea. Tras aquel éxito, Selberg terminó en el punto de mira de Hermann Weyl, un profesor del Institute for Advanced Study de Princeton, que había huido de Gotinga en 1933, cuando la situación empezó a deteriorarse: el solitario matemático que había permanecido en Europa y había soportado las privaciones de la Segunda Guerra Mundial sucumbió al reclamo del otro lado del Atlántico. Selberg aceptó la invitación a visitar el instituto, ilusionado ante la perspectiva de obtener nuevas ideas. Llegó al bullicioso puerto de Nueva York, y desde allí alcanzó la somnolienta ciudad de Princeton, a unas pocas decenas de kilómetros al sur de Manhattan.

Los Estados Unidos se beneficiarían inmensamente del flujo transoceánico de matemáticos de talento como Selberg: si antes estaba en la cola de la actividad matemática, los Estados Unidos se convertían entonces en la gran potencia que continúa siendo hoy: la patria de las matemáticas, un paraíso que atrae a los matemáticos de todo el globo. Destrozada por la devastación provocada por Hitler y por la Segunda Guerra Mundial, la reputación de Gotinga como meca de las matemáticas resurgiría como ave fénix en Princeton.

El Institute for Advanced Study había sido fundado en 1932, con la ayuda de una donación de cinco millones de dólares por parte de Louis Bamberger y de su hermana Caroline Bamberger Fuld. Su objetivo era atraer a los mejores estudiosos del mundo ofreciéndoles un refugio tranquilo y un salario generoso: no es por casualidad que el instituto recibe el sobrenombre de Institute for Advanced Salaries. El lugar se esforzaba por emular la atmósfera típica de los College de Oxford y Cambridge, donde estudiosos de todas las disciplinas podían interactuar fructíferamente.

Pero, en contraste con la rancia atmósfera de aquellas antiguas instituciones europeas, en Princeton se respiraba un aire joven y fresco, desbordante de vida y de ideas. Si en Oxford o en Cambridge se consideraba de mala educación hablar de trabajo en la mesa, Princeton ignoraba tales finuras: los miembros del instituto hablaban abiertamente de su trabajo tantas veces como hiciera falta. Einstein lo comparó con una pipa aún no ennegrecida por el humo. «Princeton es un lugar maravilloso, un pueblecito pintoresco y ceremonioso de gráciles semidioses zancudos. Así, ignorando ciertas convenciones sociales he conseguido crearme una atmósfera favorable al estudio y libre de distracciones. En esta ciudad universitaria las voces caóticas del conflicto humano casi no penetran».

A pesar de que se fundó para servir a todas las disciplinas, el instituto nació en el antiguo edificio de matemáticas de la Universidad de Princeton. Más tarde, el Departamento de Matemática se trasladó al único rascacielos de Princeton, y tomó su nombre: Fine Hall. Es probable que la primera sede del instituto contribuyera a hacer de las matemáticas y de la física sus principales líneas de fuerza. Sobre la chimenea de la sala de profesores del Fine Hall están escritas algunas palabras que a Einstein le gustaba repetir: «Raffiniert ist der Herr Gott, aber boshaft ist Er nicht» [Dios es sutil, pero no es malicioso]. En cambio, los matemáticos eran bastante más escépticos sobre la veracidad de tal afirmación: como Hardy había explicado a Ramanujan, hay «una diabólica malignidad inherente a los números primos».

El instituto se trasladó a su nueva sede en 1940. Situado en las afueras de Princeton y rodeado de bosques, estaba completamente aislado de los horrores que azotaban al mundo. Einstein lo definió como su exilio paradisíaco: «He deseado este aislamiento durante toda la vida, y ahora, finalmente, lo he obtenido en Princeton». En muchos sentidos, el instituto era un reflejo de su precursor: la Universidad de Gotinga. La gente venía de todas partes y se sumergía en su comunidad autosuficiente. Algunos opinan que la autosuficiencia de Princeton creció hasta convertirse en autocomplacencia. No sólo había acogido a los matemáticos de Gotinga, sino que incluso parecía apropiarse del lema de la ciudad alemana: para los miembros del instituto, no había vida fuera de Princeton. Escondido entre bosques, el Institute for Advanced Study suponía el ambiente de trabajo ideal para europeos exiliados y huidos.

ERDÖS, EL MAGO DE BUDAPEST

En el instituto había otro prófugo europeo cuya vida se entrelazaría con la de Selberg. Mientras la historia de Ramanujan inspiraba al joven Selberg en Noruega, su magia actuaba sobre otra mente joven: el húngaro Paul Erdös estaba destinado a convertirse en una de las figuras matemáticas más fascinantes de la segunda mitad del siglo XX. Pero no sería sólo Ramanujan quien relacionaría a ambos jóvenes: también estaba la controversia.

Mientras que a Selberg le gustaba trabajar en soledad, Erdös floreció en la colaboración. Su figura cargada de espaldas, en sandalias y traje, resultaba familiar al profesorado de los departamentos de matemáticas de todo el mundo. Era fácil encontrarlo doblado sobre un bloc de notas, junto con un nuevo colaborador, dedicado a su gran pasión: crear y resolver problemas numéricos. Durante su vida publicó más de mil quinientos artículos científicos, un extraordinario logro. Entre los matemáticos, sólo Euler escribió más que él. Erdös era un monje de las matemáticas, que se desembarazaba de todos sus bienes personales por miedo a que lo distrajeran de su misión. Regalaba todo lo que ganaba a sus estudiantes, o como premio para quien conseguía responder a una de las tantas preguntas que formulaba. Igual que anteriormente para Hardy, Dios jugaba un importante aunque poco convencional papel en su visión del mundo. Llamaba el «Supremo Fascista» al guardián del «Gran Libro», un libro que contenía todos los detalles de las demostraciones más elegantes de los problemas matemáticos, resueltos o no. El máximo parabién de Erdös para una demostración era: «¡Esta llega directamente del Libro!». Creía que en el momento del nacimiento, todos los niños —o los «épsilon», como él los llamaba en referencia a la letra griega que se usa en matemáticas para indicar números muy pequeños— conocían la demostración de la hipótesis de Riemann que se guardaba en el Gran Libro. El problema era que, al cabo de seis meses, lo olvidaba.

A Erdös le gustaba hacer matemáticas escuchando música, y a menudo se le podía ver en conciertos tomando apuntes frenéticamente en un cuaderno, incapaz de contener la excitación que le producía una idea nueva. A pesar de ser un gran colaborador y de que odiaba estar solo, le repugnaba el contacto físico. Lo mantenía el placer mental, que alimentaba con una dieta a base de cafés y pastillas de cafeína. Según una definición suya que hizo fortuna: «un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas».

Como sucede con tantísimos grandes matemáticos, Erdös tuvo la suerte de tener un padre que le permitió absorber ideas que estimularían su pasión por los números. En una ocasión, su padre le explicó el método utilizado por Euclides para demostrar la existencia de infinitos números primos; pero lo que realmente fascinó a Erdös fue la manera cómo su padre dio la vuelta al razonamiento de Euclides para demostrar que se pueden hallar sucesiones de números de longitud arbitraria en las que no haya números primos.

Si queremos una sucesión de 100 números consecutivos en la que no haya primos basta con tomar los números enteros entre 1 y 101 y multiplicarlos entre sí. El resultado es un número llamado el factorial de 101 (o 101 factorial), que se escribe 101!. Por tanto, 101! será divisible por todos los números comprendidos entre 1 y 101. Pero si N es uno cualquiera de estos números, entonces 101! + N será también divisible entre N ya que 101! y N son ambos divisibles entre N. Por esta razón, los números

101! + 2, 101! + 3, …, 101! + 101

no son primos. De esta manera hemos obtenido una sucesión de 100 números enteros consecutivos ninguno de los cuales es primo.

Esta conclusión suscitó el interés de Erdös. ¿Cuánto hay que contar a partir de 101! o de cualquier otro número antes de tener la garantía de obtener un número primo? Euclides había demostrado que tarde o temprano tendría que haber un número primo, ¿pero habría que esperar un tiempo arbitrariamente largo antes de encontrarlo? Al fin y al cabo, si la naturaleza ha elegido los números primos lanzando una moneda al aire, no hay forma de saber cuántos lanzamientos separan una «cara» de la siguiente. Naturalmente, obtener «cruz» mil veces seguidas es muy improbable, pero no imposible. Al proseguir su exploración, Erdös se dio cuenta de que desde este punto de vista la distribución de los números primos no se podía comparar con los resultados del lanzamiento de una moneda: aunque es cierto que los primos pueden parecer una masa caótica de números, su comportamiento no es totalmente aleatorio.

En 1845, el matemático francés Joseph Bertrand había planteado una hipótesis sobre cuánto habría que contar para tener la certeza de hallar un número primo. Según Bertrand, si tomamos un número cualquiera, por ejemplo 1.009, y continuamos contando hasta llegar al doble de este número, tendríamos la certeza de hallar un número primo en nuestro recorrido. Efectivamente, entre 1.009 y 2.018 hay algunos números primos, empezando por 1.013. Pero ¿sería igualmente cierto si hubiéramos elegido cualquier otro número N? A pesar de que Bertrand no consiguió demostrar que entre un número N cualquiera y su doble 2N siempre hallaremos al menos un número primo, esta sensacional predicción, que fue hecha cuando contaba apenas veintitrés años, fue conocida a partir de entonces con el nombre de postulado de Bertrand.

A diferencia de la hipótesis de Riemann, el postulado de Bertrand no tardó en ser resuelto: pasados sólo siete años desde su formulación, el matemático ruso Pafnuty Chebyshev consiguió demostrarlo. Chebyshev utilizó ideas parecidas a las que había empleado en sus primeras incursiones al interior del teorema de los números primos, cuando había demostrado que la estimación de Gauss nunca se apartaría más del once por ciento de la verdadera cantidad de números primos. Sus métodos no eran tan sofisticados como los elaborados por Riemann, pero eran eficaces. De esta forma, Chebyshev consiguió demostrar que, a diferencia de lo que sucede al lanzar una moneda, donde nunca sabemos cuándo el resultado volverá a ser «cruz», los números primos contienen siempre un pequeño componente de predictibilidad.

Uno de los primeros resultados que Erdös publicó, en 1931, con sólo dieciocho años, fue una demostración inédita del postulado de Bertrand; pero se decepcionó mucho cuando alguien le hizo ver la obra de Ramanujan y descubrió que su demostración no era tan nueva como había supuesto: uno de los últimos trabajos matemáticos de Ramanujan era una argumentación que simplificaba mucho la demostración del postulado de Bertrand que había ideado Chebyshev. A pesar de la turbación del joven Erdös, la alegría de descubrir a Ramanujan compensó ampliamente su desilusión.

Erdös decidió intentar si podía hacerlo mejor que Ramanujan y que Chebyshev. Empezó por observar hasta qué punto podía ser grande la distancia que separa dos números primos: el problema de la diferencia entre dos números primos consecutivos continuaría fascinándolo durante toda su vida. Era famoso por ofrecer recompensas monetarias por la demostración de sus conjeturas; la segunda cantidad más importante que puso en juego, diez mil dólares, estaba destinada a quien demostrara su conjetura sobre la distancia que separa dos números primos consecutivos. Todavía hoy no se ha resuelto el problema y puede reclamarse el premio, aunque Erdös ya murió y no podría apreciar la demostración; pero, como a él le gustaba decir bromeando: el trabajo necesario para conquistar uno de sus premios probablemente violaba la ley del salario mínimo. Una vez, en un momento de precipitación, ofreció el factorial de diez mil millones de dólares por la demostración de una conjetura que generalizaba el teorema de los números primos de Gauss (el factorial de diez mil millones es el producto de todos los números comprendidos entre 1 y diez mil millones). 100 factorial es ya un número mayor que el número de átomos del universo, y Erdös dio un gran suspiro de alivio cuando, en los años sesenta, el matemático que halló una demostración de la conjetura renunció a reclamar el premio.

Al cabo de poco tiempo de llegar al Institute for Advanced Study, a finales de los años treinta, Erdös dio pruebas de sus propias dotes. Mark Kac era un exiliado polaco huido de las tempestades que asolaban Europa. Aunque su área de interés fuera la teoría de la probabilidad, Kac anunció una conferencia que despertó el interés de Erdös: hablaría de una función que permitiría calcular cuántos números primos distintos son divisores de un número entero dado. Por poner un ejemplo, 15 = 3 × 5 es divisible por dos números primos distintos, mientras que 16 = 2 × 2 × 2 × 2 sólo es divisible por un número primo. Por esta razón, a cada número se le puede asignar una puntuación en base a la cantidad de números primos por los cuales es divisible.

Erdös recordaba que Hardy y Ramanujan se habían interesado por la manera de variar de estas puntuaciones, pero hacía falta un estadístico como Kac para comprender que éstas siguen un comportamiento completamente aleatorio: Kac se dio cuenta de que, si ponemos en una gráfica todos los puntos de la sucesión, la gráfica tendría la forma de campana tan bien conocida por los estadísticos, que corresponde a la firma inconfundible de una distribución aleatoria. A pesar de reconocer aquel comportamiento peculiar de la función contando la cantidad de números primos distintos con los que se podía construir cada número, Kac no disponía de los instrumentos propios de la teoría de los números necesarios para demostrar su intuición sobre aquel comportamiento aleatorio: «Enuncié la conjetura por primera vez durante una conferencia que pronuncié en Princeton en marzo de 1939. Para mi suerte, entre el público estaba Erdös, que inmediatamente se animó. Antes de terminar la conferencia ya tenía hecha la demostración».

Para Erdös, aquel éxito significó el comienzo de una pasión que lo acompañó durante toda su vida: combinar la teoría de los números con la teoría de la probabilidad. A primera vista, ambas disciplinas se parecen tanto como el día y la noche: «La probabilidad no es un concepto propio de las matemáticas pura, sino de la filosofía o de la física», declaró alguna vez Hardy con desprecio. Los objetos que estudian los teóricos de los números están esculpidos en piedra desde el principio de los tiempos, inmóviles e inmutables. Como decía Hardy: 317 es un número primo tanto si nos gusta como si no. La teoría de la probabilidad, por su parte, es la más resbaladiza de las disciplinas: nunca estamos seguros de lo que sucederá luego.

CEROS ORDENADOS SIGNIFICAN PRIMOS ALEATORIOS

Aunque ya Gauss había utilizado la idea del lanzamiento de una moneda para intentar una estimación de la cantidad de números primos, fue sólo en el siglo XX cuando los matemáticos empezaron a tomar en consideración la posibilidad de relacionar disciplinas tan distintas como el cálculo de probabilidades y la teoría de los números. En los primeros decenios del siglo, los físicos avanzaron la hipótesis de que esta relación podía formar parte del mundo subatómico: podría suceder que el comportamiento de un electrón se asimila al de una minúscula bola de billar, pero nunca se puede estar muy seguro de la posición exacta de esa bola. Aunque en aquella época resultara difícil de aceptar para muchos físicos, parece que es un dado cuántico quien decide dónde se halla un electrón. Es posible que las consecuencias inquietantes de la naciente teoría de la física cuántica y del modelo probabilístico del mundo que de ella se deducía contribuyeran a poner en duda la opinión general según la cual el azar no jugaba ningún papel en entidades fuertemente deterministas como los números primos. Mientras Einstein intentaba negar que Dios jugara a los dados con la naturaleza, a pocos pasos de él, en el Institute for Advanced Study, Erdös estaba demostrando que en el corazón de la teoría de los números había un lanzamiento de dados.

En efecto, durante aquel período los matemáticos empezaron a comprender cómo la hipótesis de Riemann, que se refería al comportamiento regulado de los ceros del espacio zeta, conseguía explicar por qué los números primos nos parecen tan poco regulares y azarosos. La mejor forma de comprender la tensión entre el orden de los ceros y el caos de los números primos es dar un vistazo más detenido al modelo quintaesencial de la aleatoriedad: el lanzamiento de una moneda.

Si lanzamos una moneda un millón de veces deberíamos obtener la mitad de caras y la mitad de cruces, pero no esperemos una perfecta paridad: con una moneda «perfecta» —una moneda que se comporta de forma perfectamente aleatoria, sin desviaciones sistemáticas de la media— no nos tendría que sorprender la constatación de que los lanzamientos hayan dado «cara» unas 1.000 veces más —o menos— que «cruz», respecto del valor previsto de 500.000. La teoría de la probabilidad proporciona una forma de medir la importancia de ese error para experimentos en cuyo origen haya procesos aleatorios. Si lanzamos la moneda N veces habrá una cierta desviación —un «error», por exceso o por defecto— respecto del valor teórico de (1/2)N. En el caso de una moneda perfecta, el análisis de este error lleva a la conclusión de que su valor será aproximadamente del orden de la raíz cuadrada de N. Así, por ejemplo, si lanzamos una moneda perfecta un millón de veces, es altamente probable que se obtenga «cara» un número de veces comprendido entre 499.000 y 501.000 (ya que 1.000 es la raíz cuadrada de 1.000.000). En cambio, si la moneda estuviera trucada de manera que favoreciera un resultado respecto del otro, entonces deberíamos esperar un error claramente mayor que la raíz cuadrada de N.

Para su estimación de la cantidad de números primos, Gauss tomó el modelo del lanzamiento de una moneda especial. La probabilidad de que en el enésimo lanzamiento esta teórica moneda diera «cara» —es decir, que N fuera un número primo—, no valía 1/2, sino 1/log(N). Sin embargo, de la misma manera que al lanzar una moneda convencional no sale exactamente la mitad de caras y la mitad de cruces, la moneda de los números primos que lanza la naturaleza no da el número exacto de números primos que Gauss había previsto. Pero ¿cuáles son las características de ese error? ¿Se mantiene en los límites de la desviación del valor esperando de una moneda que se comporta de manera aleatoria, o más bien muestra una fuerte tendencia a producir números primos en unas áreas numéricas en particular dejando desguarnecidas otras?

La respuesta se halla en la hipótesis de Riemann y su forma de predecir la ubicación de los ceros: estos puntos a nivel del mar controlan los errores presentes en la estimación que dio Gauss de la cantidad de números primos. Cada cero con coordenada este-oeste igual a 1/2 produce un error de N^1/2 (que es otra forma de escribir la raíz cuadrada de N). Por ello, si Riemann tenía razón sobre la posición de los ceros, entonces la desviación entre la estimación que dio Gauss de la cantidad de números primos y el verdadero número de ellos resulta como máximo del orden de la raíz cuadrada de N. Este es el mayor error que prevé la teoría de la probabilidad en el caso de una moneda perfecta, cuyo comportamiento no está afectado por desviaciones sistemáticas.

En cambio, si la hipótesis de Riemann es falsa y existen ceros situados más al este de la recta crítica, estos ceros producirán un error mucho mayor que la raíz cuadrada de N: sería como una moneda que en una serie de lanzamientos diera como resultado «cara» mucho más a menudo del cincuenta por ciento esperado cuando se utiliza una moneda perfecta. Cuanto más al este se encuentran los ceros, tanto más trucada resulta la moneda de los números primos.

Una moneda perfecta produce un comportamiento verdaderamente aleatorio, mientras que una moneda trucada tiene un funcionamiento irreconocible. Por ello, la hipótesis de Riemann describe perfectamente la razón por la que los números primos parecen distribuidos de manera tan casual: gracias a su brillante intuición, Riemann consiguió refutar completamente esta aleatoriedad al descubrir el nexo entre los ceros de su espacio y los números primos. Para demostrar que la distribución de los números primos es realmente aleatoria es necesario demostrar que más allá del espejo de Riemann los ceros están dispuestos ordenadamente a lo largo de la recta crítica.

A Erdös le gustaba esta interpretación probabilística de la hipótesis de Riemann. En primer lugar, porque recordaba a los matemáticos el motivo originario de su aventura al otro lado del espejo de Riemann. Erdös deseaba alentar un retorno al objeto fundamental de estudio de la teoría de los números: los números. Lo sorprendente era que, desde que el agujero espacio-temporal de Riemann se había abierto y había engullido a los matemáticos en un mundo nuevo, los teóricos de los números que hablaban de números eran cada vez más raros. Estaban mucho más preocupados por la exploración de la geometría del paisaje zeta que por tratar de los números primos. Erdös dio un giro a esa situación; y enseguida descubrió que no estaba solo en este viaje de vuelta.

POLÉMICA MATEMÁTICA

A pesar de la fascinación principal de Selberg por el paisaje zeta de Riemann, en Princeton su interés empezó a alejarse de la función zeta para centrarse más directamente en los números primos. Su éxodo matemático a los Estados Unidos fue acompañado por un retorno al lado más concreto del espejo de Riemann.

Tras la demostración del teorema de los números primos por parte de la Vallée-Poussin y Hadamard, los matemáticos habían intentado inútilmente hallar una forma más simple de demostrar la validez del nexo que Gauss había establecido entre logaritmos y números primos. ¿Sólo utilizando instrumentos altamente sofisticados como la función zeta de Riemann y su espacio imaginario era posible demostrar la exactitud de la estimación de los números primos dada por Gauss? Ahora los matemáticos estaban dispuestos a admitir que, con toda probabilidad, aquellos instrumentos eran necesarios para demostrar que la estimación de Gauss era tan buena como predecía la hipótesis de Riemann, es decir, que el error nunca sería mayor que la raíz cuadrada de N. En todo caso, creían que tenía que haber una forma más sencilla de obtener la primera estimación aproximada de Gauss. Habían esperado generalizar la aproximación elemental con la que Chebyshev había conseguido demostrar que en el peor de los casos la estimación de Gauss no iría más allá del once por ciento del valor correcto. Pero, a medida que pasaba el tiempo, después de cincuenta años intentando en vano una demostración más simple, empezaron a convencerse de que era inevitable recurrir a los instrumentos sofisticados que había introducido Riemann y que habían sido desarrollados por de la Vallée-Poussin y Hadamard.

Hardy no creía que existiera una demostración elemental. No es que no la deseara: los matemáticos buscan la simplicidad con la misma tenacidad con la cual persiguen las demostraciones; simplemente, Hardy se estaba volviendo pesimista y escéptico sobre la existencia de una demostración de aquel tipo. Había apreciado la contribución de Erdös y Selberg que, apenas unos meses después de su muerte en 1947, hallaron una argumentación elemental que probaba el nexo entre números primos y logaritmos. Pero la polémica que se desencadenó alrededor de la atribución del mérito de aquella demostración lo hubiera horrorizado. El caso ha sido narrado en varias ocasiones, y no sólo en las dos últimas biografías de Erdös. Considerando la gigantesca red de colaboradores y corresponsales que Erdös desarrolló, unida a las reticencias de Selberg, no sorprende que en la mayoría de estas crónicas prevalezca el punto de vista de Erdös. Sin embargo, merece la pena dedicar un poco de espacio a la posición de Selberg sobre la cuestión.

Fue Dirichlet quien explotó primero el sofisticado instrumento de la función zeta y lo utilizó para confirmar una de las intuiciones de Fermat: Dirichlet demostró que, si tomamos una calculadora de reloj con un cuadrante de N horas y le introducimos los números primos, entonces la calculadora indicará la una un número infinito de veces. En otras palabras, existen infinitos números primos que al dividirlos por N dan resto 1. La demostración de Dirichlet se basaba en un uso complicado de la función zeta. Su demostración jugó un papel de catalizador para los grandes descubrimientos de Riemann.

Pero en 1946, casi ciento diez años más tarde del descubrimiento de Dirichlet, Selberg concibió una demostración elemental del teorema de Dirichlet, una demostración más cercana en su espíritu a aquella con la que Euclides había demostrado la existencia de infinitos números primos. La demostración de Selberg, evitando la función zeta, supuso una importante inflexión psicológica en una época en la que muchos creían que era imposible realizar ningún progreso en la teoría de los números primos sin recurrir a las ideas de Riemann. A pesar de su sutileza, la demostración no requería ninguno de los sofisticados instrumentos de las matemáticas del siglo XIX, y es verosímil creer que los propios griegos de la antigüedad la habrían comprendido.

Paul Turán, un matemático húngaro que estaba invitado a Princeton, trabó amistad con Selberg durante la época que pasaron juntos. También era un buen amigo de Erdös: un artículo suyo escrito en colaboración con Erdös fue el único documento de identificación que pudo exhibir cuando una patrulla de militares soviéticos lo detuvo en las calles de la Budapest liberada, en 1945; los miembros de la patrulla quedaron comprensiblemente impresionados y Turán se ahorró una temporada en el Gulag. «Fue una aplicación inesperada de la teoría de los números», bromeó más tarde.

Turán quería saber algo sobre las ideas en que se basaba la demostración de Selberg del resultado de Dirichlet, pero tuvo que abandonar el instituto tras pasar allí una primavera. Selberg estuvo encantado de mostrarle algunos de los detalles, e incluso propuso a Turán que diera una conferencia sobre la demostración mientras Selberg renovaba su visado aprovechando una breve estancia en Canadá. Pero al discutirlo con Turán, Selberg mostró sus propias cartas un poco más de lo previsto.

Durante la conferencia, Turán citó una fórmula algo insólita que Selberg había demostrado, una fórmula que no tenía nada que ver directamente con la demostración del teorema de Dirichlet. Erdös, que se encontraba entre el público, comprendió que aquella fórmula era todo lo que necesitaba para perfeccionar el postulado de Bertrand, según el cual siempre hay un número primo en el intervalo comprendido entre N y 2N. Lo que Erdös intentaba era verificar si realmente era necesario ir desde N hasta 2N para estar seguro de hallar un número primo. ¿No sería posible, por ejemplo, hallar un número primo en el intervalo comprendido entre N y 1,01N? Era consciente de que ello no podía suceder para cualquier valor de N.

Al fin y al cabo, si tomamos N = 100, no existen números enteros, ni por tanto primos, comprendidos en el intervalo entre 100 y 101 (que es 100 multiplicado por 1,01). Sin embargo, Erdös pensaba que para valores suficientemente grandes de N, en el espíritu del postulado de Bertrand, siempre se encontraría un número primo comprendido entre N y 1,01N. Por otra parte, 1,01 no tiene nada de particular: la idea de Erdös era que lo mismo sería cierto para cualquier otro valor numérico que quisiéramos elegir comprendido entre 1 y 2. Al asistir a la conferencia de Turán, Erdös comprendió que la fórmula de Selberg le proporcionaba el elemento necesario para completar la demostración del postulado.

«Cuando volví, Erdös me dijo que pretendía usar mi fórmula para una demostración elemental de esta generalización del teorema de Bertrand, y me preguntó si tenía algún inconveniente». Se trataba de un resultado sobre el que el propio Selberg había pensado, pero que no le había llevado a ninguna parte. «Dado que no estaba ocupándome de aquel problema, le dije que no había inconveniente». En aquella época Selberg estaba distraído por una multitud de problemas prácticos: tenía que renovar su visado, encontrar alojamiento en Syracuse, donde había aceptado un trabajo para el siguiente curso académico, y preparar unas clases que debía impartir en una escuela de verano para ingenieros. «En cualquier caso, Erdös trabajaba siempre muy deprisa y consiguió hallar una demostración».

Ahora bien, había algunas cosa que Selberg no había revelado a Turán. En concreto, el motivo por el que también él había pensado en aquella generalización del postulado de Bertrand: había comprendido la manera de introducirla en un rompecabezas para obtener el cuadro completo de una demostración elemental del teorema de los números primos. Gracias al resultado de Erdös, ahora Selberg había entrado en posesión de la última pieza del rompecabezas.

Explicó a Erdös cómo había utilizado su resultado para completar una demostración elemental del teorema de los números primos. Erdös sugirió que presentaran juntos el trabajo al reducido grupo de colegas que había asistido a la conferencia de Turán, pero no consiguió frenar su propio entusiasmo y se puso a repartir invitaciones a diestro y siniestro para la que prometía ser una conferencia muy interesante. Selberg no esperaba en absoluto un público tan amplio.

Cuando llegué allí a última hora de la tarde, hacia las cuatro o las cinco, la sala estaba repleta. Subí a la tribuna y expuse la argumentación, pidiendo después a Erdös que expusiera su parte. Después volví a tomar la palabra para exponer el resto, es decir, lo necesario para completar la demostración. Por tanto, la primera demostración se obtuvo utilizando el resultado intermedio que él había obtenido.

Erdös le propuso escribir juntos un artículo sobre la demostración. Pero, como explica Selberg:

Nunca había publicado artículos escritos en colaboración. Hubiera querido que escribiéramos artículos separados, pero Erdös insistió en que deberíamos hacer las cosas como las habían hecho Hardy y Littlewood. Yo nunca había querido trabajar en colaboración. Antes de venir a los Estados Unidos había desarrollado toda mi actividad matemática en Noruega. La había desarrollado solo, sin siquiera hablar de ella con nadie… no, nunca había sido un colaborador en este sentido. Hablo con la gente pero trabajo solo, que es lo que se ajusta a mi temperamento.

La verdad es que allí se encontraban dos matemáticos con temperamentos opuestos: uno era un solitario enteramente autosuficiente que en toda su vida había escrito un sólo artículo con un colega, el indio Saravadam Chowla; el otro llevó la colaboración hasta tales extremos que hoy los matemáticos hablan de su «número de Erdös», el número de coautores que le separan de alguien que escribió un texto con Erdös. Mi número de Erdös es 3, lo que significa que he escrito un artículo con alguien que ha escrito un artículo con alguien que ha escrito un artículo con Erdös. Dado que Chowla fue uno de los 507 coautores de Erdös, el único artículo que Selberg había escrito en colaboración le confería un número de Erdös igual a 2. Los matemáticos con un número de Erdös igual a dos pasan de cinco mil.

Tras aquel rechazo, como actualmente admite Selberg: «las cosas se me fueron de las manos». Durante 1947, Erdös había construido una extensa red de colaboradores y de corresponsales; los mantenía informados sobre sus propios progresos matemáticos bombardeándolos de correo. Se dice que Selberg recibió un golpe mortal cuando, a su llegada a Syracuse, fue saludado por un miembro de la Facultad con estas palabras: «¿Ha oído la noticia? Erdös y un matemático escandinavo han ideado una demostración elemental del teorema de los números primos». Mientras tanto, Selberg había formulado una argumentación alternativa que evitaba la necesidad de recurrir al paso intermedio que Erdös había proporcionado. Decidió continuar y publicó los resultados de aquel trabajo individual. Su artículo apareció en los Annals of Mathematics, la publicación que se redacta en Princeton y que, por consenso general, está considerada una de las tres revistas matemáticas más importantes del mundo. Es en los Annals of Mathematics, por ejemplo, donde Andrew Wiles publicó su demostración del último teorema de Fermat.

Erdös estaba furioso: pidió a Hermann Weyl su arbitraje sobre la cuestión. Selberg cuenta: «Me satisface el hecho de que finalmente Hermann Weyl se inclinara sustancialmente de mi parte tras haber escuchado a ambos». Erdös publicó su demostración reconociendo el papel de Selberg, pero todo el episodio resultó bastante deplorable. A pesar de la naturaleza abstracta de las matemáticas, los matemáticos poseen un ego que necesita ser halagado. No hay nada que estimule tanto el proceso creativo de un matemático como el pensamiento en la inmortalidad que proporciona el hecho de poner el propio nombre en un teorema: la anécdota de Erdös y Selberg pone en evidencia la importancia que tienen en matemáticas —y, de hecho, en todas las ciencias— el reconocimiento de los méritos y la prioridad. Es por ello que Wiles pasó siete años encerrado en su ático trabajando secretamente sobre el último teorema de Fermat, por miedo a tener que compartir la gloria de la empresa.

Aunque los matemáticos son como corredores de una carrera de relevos que pasan el testigo de una generación a otra, anhelan siempre la gloria individual que recibirán pasando los primeros por la línea de meta: la investigación matemática es un difícil acto de equilibrio entre la necesidad de colaborar en proyectos que pueden mantenerse durante siglos y el deseo de inmortalidad.

Al cabo de algún tiempo fue claro que la demostración elemental del teorema de los números primos que Selberg había obtenido no era aquel extraordinario paso adelante que se esperaba. Algunos creían que aquella intuición podría abrir un camino simple para demostrar la hipótesis de Riemann; al fin y al cabo, aquella intuición podía confirmar que la diferencia entre la estimación de Gauss y la verdadera cantidad de números primos nunca fallaría la diana de una distancia mayor que la raíz cuadrada de N. Y se sabía que esto era equivalente a tener todos los ceros disciplinadamente colocados sobre la recta crítica de Riemann.

A finales de los años cuarenta, Selberg detentaba todavía el récord del mayor porcentaje de ceros cuya presencia sobre la recta mágica de Riemann se había demostrado. Este fue uno de los resultados por los que se le concedió la medalla Fields en 1950. Hadamard, que entonces tenía ochenta años, deseaba asistir al Congreso Internacional de Matemáticos que tendría lugar en Cambridge, Massachusetts, para celebrar la obtención del premio por Selberg. Sobre todo, estaba impaciente por encontrarse con el explorador que había descubierto un recorrido elemental para alcanzar el campo base que él y de la Vallée-Poussin habían instalado hacía cincuenta años. Sin embargo, tanto a él como a Laurent Schwartz, el otro matemático que debía recibir la medalla Fields, les negaron el visado de entrada en los Estados Unidos por sus contactos soviéticos: el maccarthismo empezaba a asomar su horrible cabeza. Hizo falta la intervención del presidente Truman para que se concediera a los dos matemáticos la autorización para entrar en los Estados Unidos, pocos días antes del congreso.

Más adelante, otros matemáticos, añadiendo sus propias ingeniosas variaciones, han extendido las argumentaciones de Selberg para aumentar el porcentaje de ceros de los cuales se puede demostrar su ubicación efectiva sobre la recta mágica de Riemann. Algunas demostraciones de teoremas matemáticos se desarrollan de manera muy natural una vez conseguida una idea general de la dirección que debe tomarse: lo difícil es encontrar el origen del recorrido. Mejorar la estimación de Selberg, sin embargo, es muy distinto. Las demostraciones necesitan un análisis muy delicado. No son el resultado de una única idea grandiosa, pero llevarlas a buen fin requiere mucha perseverancia. El recorrido está sembrado de trampas. Un movimiento en falso y el número que se creía mayor que cero puede transformarse de golpe en negativo. Cada paso debe realizarse con mucho cuidado y es fácil que se deslicen errores.

En los años setenta, Norman Levinson mejoró la estimación de Selberg y, en un momento dado, creyó que había conseguido capturar un 98,6 por ciento de los ceros. Levinson dio una copia del manuscrito con la demostración a Giancarlo Rota, del MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts), y le comentó bromeando que había demostrado que todos los ceros se encontraban sobre la recta: el manuscrito se refería al 98,6 por ciento, mientras que el otro 1,4 por ciento se dejaba para el lector. Rota creyó que hablaba en serio y empezó a hacer correr la voz de que Levinson había demostrado la hipótesis de Riemann. Naturalmente, aunque hubiera realmente llegado al 100 por ciento, no se deducía necesariamente que todos los ceros se hallaban sobre la recta ya que estamos habiéndonoslas con el infinito. Pero ello no bastó para acallar los rumores.

Finalmente, se descubrió un error en el manuscrito que redujo la proporción de los ceros determinados sobre la recta al treinta y cuatro por ciento. Fue un récord que se mantuvo durante algún tiempo, resultado aún más sorprendente si se tiene en cuenta que Levinson pasaba ya de los sesenta años cuando lo logró. Como dice Selberg: «tuvo que tener una gran valentía para seguir adelante con tal cantidad de cálculos numéricos, teniendo en cuenta que era imposible saber anticipadamente si lo llevarían a alguna parte». Se afirmaba también que Levinson tenía grandes ideas sobre cómo generalizar sus propios métodos, pero murió de un tumor cerebral antes de poder ponerlas en práctica. Actualmente el récord está en poder de Brian Conrey, de la Universidad de Oklahoma, que en 1987 demostró que el cuarenta por ciento de los ceros tiene que estar sobre la recta. Conrey tiene algunas ideas sobre cómo perfeccionar su propia estimación, pero pocos puntos porcentuales más no parecen valer la enorme cantidad de trabajo que requerirían: «Valdría la pena si pudiera llevar la estimación más allá del cincuenta por ciento, porque en tal caso al menos podría decir que la mayoría de los ceros se encuentra sobre la recta».

La polémica sobre la atribución del mérito por la demostración elemental dejó a Erdös profundamente dolido, pero continuó siendo prolífico durante toda su vida, desafiando los mitos sobre el envejecimiento y la capacidad de producción matemática. Como no consiguió obtener una plaza permanente en el Institute for Advanced Study, eligió la vida del matemático itinerante. Sin domicilio ni puesto de trabajo, prefería aparecer de repente en casa de alguno de sus muchos amigos diseminados por el mundo para permitirse su colaboración, quedándose a menudo durante varias semanas antes de volver a marcharse de repente. Murió en 1996, en el centenario de la primera demostración del teorema de los números primos. A los ochenta y tres años todavía estaba colaborando en publicaciones con sus colegas. Poco antes de morir dijo: «Pasará al menos otro millón de años antes de que consigamos comprender los números primos».

Hoy, cuando ya es un anciano de más de noventa años, con el cabello blanco, Selberg sigue leyendo las últimas novedades sobre la hipótesis de Riemann y dando conferencias en las que ofrece perlas de sabiduría a los jóvenes asistentes. En 1996 su discurso en el congreso que tuvo lugar en Seattle para celebrar el centenario de la demostración del teorema de los números primos se cerró con la ovación de más de seiscientos matemáticos.

Selberg opina que, a pesar de los importantes progresos que se han alcanzado, aún no tenemos ninguna idea concreta sobre cómo demostrar la hipótesis de Riemann:

No creo que nadie sepa con certeza si estamos o no cerca de una solución. Algunos creen que nos estamos acercando. Si hay una solución, es obvio que con el transcurso del tiempo nos estamos acercando a ella. Pero algunos opinan que poseemos los elementos esenciales de una solución. Yo discrepo absolutamente. Es muy probable que la hipótesis sobreviva a su bicentenario, en 2059, pero naturalmente yo no estaré para verlo. Es imposible predecir cuánto resistirá el problema. Creo que finalmente se hallará una solución. No creo que se trate de un resultado indemostrable. También podría suceder que la demostración fuera tan complicada que el cerebro humano no consiga nunca alcanzarla.

En la conferencia que pronunció en Copenhague después de la guerra, Selberg había despertado dudas sobre la existencia de pruebas concretas a favor de la certeza de la hipótesis de Riemann. En aquel tiempo, la posibilidad de demostrar la hipótesis le parecía un buen deseo, pero ahora ha cambiado de opinión: según Selberg, las pruebas aparecidas durante los cincuenta años transcurridos desde el final de la guerra son ya aplastantes. Pero en realidad fue la guerra, y particularmente los descifradores de códigos de Bletchley Park, lo que condujo al desarrollo de la máquina que generaría estas nuevas pruebas: el ordenador.