Resolver problemas y teorizar sobre ellos
Gian-Carlo Rota[1]
Los matemáticos se pueden dividir en dos clases: los que resuelven problemas y los que teorizan sobre ellos. La mayoría de los matemáticos es una mezcla de ambos tipos.
Para quienes resuelven problemas, el mayor logro matemático consiste en solucionar un problema que se haya dado por imposible. Poco importa si se trata de una solución chapucera; lo único que cuenta es que pueda ser la primera y que la demostración sea correcta. Cuando el resolvente de problemas da con la solución, pierde para siempre el interés por ella y oirá otras demostraciones nuevas y más simples con aires de condescendencia teñidos de aburrimiento.
Quien se dedica a resolver problemas es, en el fondo, un conservador. Para él las matemáticas consisten en una sucesión de retos a los que enfrentarse, una carrera de obstáculos consistentes en problemas. Los conceptos matemáticos necesarios para formular problemas matemáticos se aceptan tácitamente como eternos e inmutables.
La exposición matemática se considera una tarea inferior. Las teorías nuevas se reciben con grandes recelos, como intrusos que deben demostrar su valía planteando problemas provocadores antes de merecer atención. Al resolvente de problemas le molestan las generalizaciones, en especial aquellas cuyo triunfo pudiera trivializar la solución de uno de sus problemas.
Quienes resuelven problemas son un modelo que anhelan imitar los jóvenes matemáticos en ciernes. Cuando exponemos ante el público las conquistas de las matemáticas, nuestros flamantes héroes son los que resuelven problemas.
Para el teórico, el logro supremo de las matemáticas estriba en una teoría que de repente arroje luz sobre algunos fenómenos incomprensibles. El triunfo de las matemáticas no consiste en resolver problemas, sino en trivializarlos. El instante de gloria llega con el descubrimiento de una teoría nueva que, sin resolver ninguno de los viejos problemas, los convierta en irrelevantes.
El teórico es, en el fondo, un revolucionario. Los conceptos matemáticos heredados del pasado se contemplan como ejemplos imperfectos de otros más generales pero aún por descubrir. La exposición matemática se considera un cometido más difícil que la investigación matemática.
Para el teórico, las únicas matemáticas que sobrevivirán son las definiciones. Las grandes definiciones constituyen la aportación de las matemáticas al mundo. Los teoremas se toleran como un mal necesario porque desempeñan un papel de apoyo (o más bien, tal como admitiría a regañadientes un teórico, un papel esencial) para comprender las definiciones.
Es habitual que a los teóricos les cueste conseguir el reconocimiento de la comunidad matemática. Su consuelo reside en la certeza, confirmada o no por la historia, de que sus teorías perdurarán mucho tiempo después de que los problemas del día hayan caído en el olvido.
Si fuera ingeniero espacial y buscara un matemático para enviar un cohete al espacio, elegiría un resolvente de problemas. Pero si buscara un matemático para darle una buena formación a un hijo, optaría sin dudarlo por un teórico.