16. Las Matemáticas en la encrucijada

¿Reflejan la realidad, las matemáticas?

"El hecho que nuestro pensamiento subjetivo y el mundo objetivo estén sujetos a las mismas leyes, y por lo tanto, también, que en último análisis no se contradigan entre ellos en sus resultados, sino que tienen que coincidir, gobierna absolutamente todo nuestro pensamiento teórico". (Engels.)

El contenido de las matemáticas "puras" en última instancia se deriva del mundo material. La idea de que las verdades matemáticas son un tipo de conocimiento especial que es innato o de inspiración divina no resiste ningún análisis serio. Las matemáticas tratan sobre las relaciones cuantitativas del mundo real. Los llamados axiomas solo nos parecen auto evidentes por que son producto de un largo período de observación y experimentación de la realidad. Desafortunadamente muchos de los matemáticos de hoy en día parecen haberlo olvidado. Se engañan pensando que su tema "puro" no tiene nada que ver con el crudo mundo de las cosas materiales. Este es un ejemplo claro de las consecuencias negativas de llevar la división del trabajo a su extremo.

Desde Pitágoras en adelante, se han hecho todo tipo de planteamientos extravagantes en nombre de las matemáticas, que han sido consideradas como la reina de las ciencias, la llave mágica que abre todas las puertas del universo. Liberándose de todo contacto con el mundo físico, las matemáticas parecían planear por los cielos, donde adquirieron una existencia cuasi-divina, no obedeciendo más que sus propias leyes. Así, el gran matemático Henri Poincaré, a principios de este siglo, podía afirmar que las leyes de la ciencia no se relacionaban de ninguna manera con el mundo material, sino que representaban convenciones arbitrarias con el objetivo de promover una descripción más conveniente y "útil" de los fenómenos correspondientes. Muchos físicos hoy en día declaran abiertamente que sus modelos matemáticos no dependen de la comprobación empírica, sino de las calidades estéticas de sus ecuaciones.

Las teorías matemáticas han sido, por una parte, fuente de enormes avances científicos, y, por la otra, el origen de numerosos errores malentendidos que han tenido, y siguen teniendo, consecuencias profundamente negativas. El error central es intentar reducir el funcionamiento complejo, dinámico y contradictorio de la naturaleza a fórmulas cuantitativas estéticas y ordenadas. Se presenta la naturaleza de una manera formalista, como un punto unidimensional que se convierte en una línea, que se convierte en un plano, un cubo, una esfera, etc. Sin embargo, la idea de que las matemáticas puras son pensamiento absoluto, inmaculado y sin contacto con el mundo material, está bastante lejos de la realidad. Utilizamos el sistema decimal, no por deducción lógica o "libre albedrío", sino porque tenemos diez dedos. La palabra "digital" vine de la palabra latina que significa dedos. Y hasta hoy en día, un niño cuenta sus dedos a escondidas debajo de la mesa antes de llegar a la solución de un problema matemático abstracto. Al hacerlo, el niño está recorriendo inconscientemente el camino que los primeros humanos siguieron para aprender a contar.

Los orígenes materiales de las abstracciones matemáticas no eran ningún secreto para Aristóteles: "El matemático", escribió, "investiga abstracciones. Elimina todas las cualidades sensatas como peso, densidad, temperatura, etc., dejando sólo las cuantitativas y continuas (en una, dos o tres dimensiones) y sus atributos esenciales". En otra parte dice, "Los objetos matemáticos no pueden existir aparte de las cosas sensatas (es decir materiales)". Y, "No tenemos experiencia de nada que consista en líneas o planos o puntos, como deberíamos tener si estos objetos fuesen sustancias materiales, líneas, etc., pueden ser anteriores en definición al cuerpo, pero no son a priori en sustancia".

El desarrollo de las matemáticas es el resultado de necesidades humanas bien materiales. El hombre primitivo sólo tenía diez sonidos para los números, precisamente porque contaba, como los niños pequeños, con los dedos. La excepción eran los mayas en Centro América que tenían un sistema numérico basado en veinte en lugar de diez, probablemente porque contaban con los dedos de los pies además de los de las manos. Viviendo en una sociedad simple de cazadores-recolectores, sin dinero ni propiedad privada, nuestros antecesores no tenían ninguna necesidad de números más grandes. Para contar un número mayor que diez, simplemente combinaban algunos de los sonidos conectados con sus dedos. Esto una vez más se expresa en el "uno-diez" (undécimo en latín, que se transforma en once en castellano, o ein-lifon ó"uno por encima"ó en teutón antiguo, que se transforma en eleven en inglés moderno). Todos los demás números son sólo combinaciones de los diez sonidos originales, con la excepción de cinco añadidos cien, mil, un millón, un billón y un trillón .

Thomas Hobbes, el gran filósofo materialista inglés del siglo XVII ya había comprendido el auténtico origen de los números: "Y parece, que había un tiempo en el que esos nombres de números no se utilizaban; y los hombres se veían obligados a aplicar sus dedos de una o dos manos, a aquellas cosas de las que querían llevar la cuenta; y que de allí se deduce, que nuestras palabras numerales no son más que diez, en cualquier nación, y en algunas no son más que cinco, y entonces empiezan de nuevo".

Alfred Hooper explica: "Por la simple razón de que el hombre primitivo inventó el mismo número de sonidos-número como dedos tenían, nuestra escala numeral hoy en día es decimal, es decir, una escala basada en diez , y consistente en una repetición inacabable de los diez primeros sonidos-número (é) Si los hombres hubiesen tenido doce dedos en lugar de diez, sin duda hoy en día tendríamos una escala numeral duodecimal, basada en doce, consistente en una repetición inacabable de los doce primeros sonidos-número". De hecho, un sistema duodecimal tiene ciertas ventajas comparado con el sistema decimal. Mientras que diez sólo es divisible por dos y cinco, doce se puede dividir exactamente por dos, tres, cuatro y seis.

Los números romanos son representaciones pictóricas de los dedos. Probablemente el símbolo del cinco representa el espacio entre el pulgar y los demás dedos. La palabra "calculus" (de la que se deriva calcular) significa "guijarro" en latín, en relación al método de contar piedras ensartadas en un ábaco. Estos, y otros muchos ejemplos sirven para ilustrar cómo las matemáticas no surgen de la libre operación de la mente humana, sino que son el producto de un proceso prolongado de evolución social, de pruebas y errores, observación y experimentación, que gradualmente empieza a separarse como un cuerpo de conocimiento de carácter aparentemente abstracto. De igual manera, nuestros sistemas de pesos y medidas se derivan de objetos materiales. El origen de las unidades de medida inglesas, como el pie, es evidente, o como la pulgada. La palabra castellana pulgada significa pulgar. El origen de los símbolos matemáticos más básicos + y ñ no tiene nada que ver con las matemáticas. Eran signos utilizados en la Edad Media por los mercaderes para calcular el exceso o falta de cantidades de productos en los almacenes.

La necesidad de construir viviendas para protegerse de los elementos obligó a los hombres primitivos a encontrar la manera más práctica de cortar madera de tal forma que los extremos encajasen unos con otros. Esto llevó al descubrimiento del ángulo recto y de la escuadra. La necesidad de construir casas en terreno llano llevó a la invención del tipo de niveles que se han encontrado en tumbas egipcias y romanas, formados de tres piezas de madera unidas en un triángulo isósceles, con una cuerda colgando del ápice. Estas herramientas simples se utilizaron en la construcción de las pirámides. Los sacerdotes egipcios acumularon gran cantidad de conocimientos matemáticos derivados en última instancia de este tipo de actividad práctica.

La misma palabra "geometría" traiciona sus orígenes. Simplemente significa "medir la tierra". La virtud de los griegos fue el dar una expresión teórica acabada a estos descubrimientos. Sin embargo, al presentar sus teoremas como el producto puro de la deducción lógica, se estaban engañando y engañando a las futuras generaciones. En última instancia las matemáticas se derivan de la realidad material, y de hecho, no podrían tener ninguna aplicación sino fuese así. Incluso el famoso teorema de Pitágoras, que todo estudiante conoce, de que el cuadrado del lado más largo de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados, había sido aplicado en la práctica por los egipcios.

Contradicciones en matemáticas

Engels, y antes de él Hegel, planteó las numerosas contradicciones implícitas en las matemáticas. Esto ha sido así siempre a pesar de la perfección e infalibilidad casi papal que los matemáticos han atribuido su "ciencia sublime". Los pitagóricos iniciaron esta tendencia, con su concepción mística del Número, y de la armonía del universo. Sin embargo, muy pronto se encontraron con que su mundo armonioso y ordenado estaba lleno de contradicciones, la solución de las cuales les desesperó. Por ejemplo se dieron cuenta de que era imposible expresar la longitud de la diagonal de un cuadrado en números.

Los últimos pitagóricos descubrieron que muchos números, como la raíz cuadrada de dos, no se pueden expresar en números. Es un "número irracional". Pero a pesar de que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como una fracción, es útil para encontrar la longitud del lado de un triángulo. Las matemáticas de hoy en día contienen toda una colección de este tipo de animales extraños, todavía en estado salvaje a pesar de todos los esfuerzos que se han hecho por domesticarlos, pero que una vez que se aceptan tal y como son, son bastante útiles. Así tenemos, números irracionales, números imaginarios, números trascendentales, números transfinitos, todos con características contradictorias y extrañas, y todos indispensables para el funcionamiento de la ciencia moderna. (pi) era bien conocido por los antiguos. El misterioso griegos, y generaciones de estudiantes han aprendido a identificarlo como la ratio entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Sin embargo, no se puede calcular su valor exacto. Arquímedes calculó su valor aproximado con el método conocido como "exhaustivo". Era entre 3,14085 y 3,14286. Pero si =nintentamos escribir su valor exacto tenemos el extraño resultado de) que sen3,14159265358979323846264338327950é y así hasta el infinito. Pi (conoce como un número trascendental, es absolutamente necesario para encontrar la circunferencia de un círculo, pero no se puede expresar como la solución de una ecuación algebraica. Después tenemos la raíz cuadrada de menos uno, que no es un número aritmético en absoluto. Los matemáticos lo denominan un "número imaginario", porque no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo de como resultado menos uno, ya que dos menos dan como resultado un más. Una criatura de lo más peculiar pero no una creación de la imaginación, a pesar de su nombre . En el Anti-Dühring Engels plantea que:

"Es una contradicción que una magnitud negativa tenga que ser el cuadrado de algo, pues toda magnitud negativa tenga que ser el cuadrado de algo, pues toda magnitud negativa, multiplicada por sí misma, da un cuadrado positivo. La raíz cuadrada de menos uno es, por tanto, no sólo una contradicción, sino un verdadero contrasentido. Y, sin embargo, La raíz cuadrada de -1 es un resultado en muchos casos necesario de correctas operaciones matemáticas; aún más: ¿Qué sería de la matemática, elemental o superior, si se le prohibiera operar con la raíz cuadrada de -1?" 4 La observación de Engels es todavía más relevante hoy en día. Esta combinación contradictoria de un más y un menos juega un papel totalmente decisivo en la mecánica cuántica, en la que aparece en toda una serie de ecuaciones, fundamentales para la ciencia moderna.

No hay duda que las matemáticas implican toda una serie de contradicciones de partida. Esto es lo que Hoffman tiene que decir sobre esto:

"El hecho de que una fórmula de ese tipo tuviera cualquier conexión con ese mundo de estricta experimentación que es el mundo de la física es en sí mismo difícil de creer. Ésa iba a ser la fundación profunda de la nueva física, e iba a investigar más profundamente que nada que se hubiese hecho anteriormente hacia el mismo centro de la ciencia y la metafísica, lo que es tan increíble como en su tiempo tenía que haber parecido la doctrina de que la tierra es redonda".

Hoy en día la utilización de números "imaginarios" se da por supuesta. La raíz cuadrada de menos uno se utiliza en toda una serie de operaciones necesarias, como la construcción de circuitos eléctricos. A su vez, los números transfinitos son necesarios para entender la naturaleza del tiempo y el espacio. La ciencia moderna, y especialmente la mecánica cuántica, no puede funcionar sin utilizar conceptos matemáticos de características francamente contradictorias. Paul Dirac, uno de los fundadores de la mecánica cuántica, descubrió los números "Q", que desafían las leyes de las matemáticas normales que plantean que a multiplicado por b es igual a b multiplicado por a.

¿Existe el infinito?

La idea del infinito parece difícil de captar, ya que, a primera vista, está más allá de toda experiencia humana. La mente humana está acostumbrada a tratar con cosas finitas, reflejadas en ideas finitas. Todo tiene un principio y un final. Este es un pensamiento familiar. Pero lo que es familiar no tiene necesariamente que ser cierto. La historia del pensamiento matemático contiene algunas lecciones altamente instructivas al respecto. Durante un largo período de tiempo los matemáticos, al menos en Europa, intentaron abolir el concepto de infinito. Sus motivos eran bastante obvios. Aparte de la dificultad evidente a la hora de conceptualizar el infinito, en términos puramente matemáticos implica una contradicción. Las matemáticas tratan con magnitudes definidas. El infinito, por su propia naturaleza no se puede contar ni medir. Esto quiere decir que hay un auténtico conflicto entre los dos. Por este motivo, los grandes matemáticos de la antigua Grecia evitaban el infinito como la plaga. A pesar de eso, desde los principios de la filosofía, el hombre especuló sobre el infinito. Anaximandro (610 - 547 a. de J.C.) lo tomó como base de su filosofía.

Las paradojas de Zenón (nacido hacia el 450 a. de J.C.) plantean la dificultad inherente en la idea de una cantidad infinitesimal como componente de magnitudes continuas intentando demostrar que el movimiento es una ilusión. Zenón "refutaba" el movimiento de diferentes maneras. Planteaba que un cuerpo en movimiento, antes de alcanzar un punto dado tenía que recorrer la mitad de la distancia. Pero antes de eso tiene que recorrer la mitad de esa mitad, y así hasta el infinito. Por lo tanto, cuando dos cuerpos se mueven en la misma dirección y el de atrás, a una distancia dada del otro, se mueve a velocidad mayor del de delante, asumimos que le alcanzará. No, dice Zenón. "El más rápido nunca adelantará al lento". Esta es la famosa paradoja de Aquiles el veloz. Imaginémonos una carrera entre Aquiles y una tortuga. Supongamos que Aquiles puede correr diez veces más rápido que la tortuga que sale con 1000 metros de ventaja. Cuando Aquiles haya cubierto los 1000 metros, la tortuga estará 100 metros más adelante; cuando Aquiles haya recorrido los 100 metros, la tortuga estará 10 metros más adelante; cuando Aquiles haya recorrido estos 10 metros la tortuga habrá avanzado otro metro, y así hasta el infinito.

Las paradojas de Zenón no demuestran que el movimiento sea una ilusión, o que Aquiles en la práctica no alcanzará la tortuga, pero revelan brillantemente las limitaciones del método de pensamiento conocido como lógica formal. El intento de eliminar toda contradicción de la realidad, como hicieron los eleáticos, inevitablemente conduce a este tipo de paradojas insolubles, o antinomias como las llamó Kant más tarde. Para demostrar que una línea no se podía componer de un número infinito de puntos, Zenón planteó que si fuese así, Aquiles nunca alcanzaría la tortuga. Realmente aquí tenemos un problema lógico. Como explica Alfred Hopper:

"Esta paradoja sigue dejando perplejos incluso a aquellos que saben que es posible encontrar la suma de una serie infinita de números formando una progresión geométrica cuya ratio común sea menos de 1, y cuyos términos se hagan consecuentemente más y más pequeños y de esta manera "convergiendo en algún valor límite".6

De hecho, Zenón había revelado una contradicción del pensamiento matemático que todavía tendría que esperar dos mil años para encontrar su solución. La contradicción está relacionada con la utilización del infinito. Desde Pitágoras hasta el descubrimiento del cálculo diferencial e integral en el siglo XVII, los matemáticos dieron grandes rodeos para evitar utilizar el concepto de infinito. Sólo el gran genio Arquímedes estudió el tema, pero siguió evitándolo con un rodeo. Los primeros atomistas, empezando con Leucipo, que podría haber sido un discípulo de Zenón, plantearon que los átomos "indivisibles e infinitos en número, se mueven incesantemente en un espacio vacío de dimensiones infinitas".

La física moderna acepta que el número de instantes entre dos segundos es infinito, igual que el número de instantes en un período de tiempo que no tenga principio ni fin. El propio universo se compone de una cadena infinita de causas y efectos, en constante cambio, movimiento y desarrollo. Esto no tiene nada en común con la cruda y unilateral noción de infinito como una serie infinita de números de la aritmética simple, en la que el "infinito" tiene siempre un "principio" en el número uno. Esto es lo que Hegel denominó el "Mal Infinito".

El más grande matemático griego, Arquímedes (287-212 a. de J.C.) utilizó efectivamente los indivisibles en geometría, pero consideraba que la idea de números infinitamente grandes o pequeños carecía de fundamento lógico. De forma parecida, Aristóteles planteó que en la medida en que un cuerpo tiene que tener una forma, tiene que estar limitado, y por lo tanto no puede ser infinito. Aunque aceptaba que había dos tipos de infinitos "potenciales" adición sucesiva aritméticamente (infinitamente grande) y sucesivas subdivisiones geométricamente (infinitamente pequeño)ó polemizó con otros geómetras que sostenían que un segmento de una línea se compone de una cantidad infinita de infinitesimales fijos, o indivisibles.

Esta negación del infinito constituía una barrera real al desarrollo de las matemáticas en la Grecia clásica. En contraste, los matemáticos de la India no tenían este tipo de escrúpulos e hicieron grandes avances, que llegaron posteriormente a Europa a través de los árabes. El intento de abolir la contradicción del pensamiento, de acuerdo con los rígidos esquemas de la lógica formal retrasó el desarrollo de las matemáticas. Pero el espíritu aventurero del Renacimiento abrió las mentes de los hombres a nuevas posibilidades que eran, de hecho, infinitas. En su libro La nueva ciencia publicado en 1638, Galileo planteo que cada entero (número entero) sólo tiene un cuadrado perfecto, y que cada cuadrado perfecto es el cuadrado de un sólo entero positivo. Así, en cierto sentido hay tantos cuadrados perfectos como enteros positivos. Esto nos lleva inmediatamente a una contradicción lógica. Contradice el axioma de que el todo es mayor que cualquiera de sus partes, puesto que no todos los enteros positivos son cuadrados perfectos, y todos los cuadrados perfectos forman parte de todos lo enteros positivos.

Esta es sólo una de las numerosas paradojas que han llenado las matemáticas desde el renacimiento, cuando los hombres empezaron a someter sus pensamientos y suposiciones a un análisis crítico. Como resultado de esto, lentamente, y enfrentándose a la tozuda resistencia de las mentes conservadoras, los axiomas supuestamente inabordables y las "verdades eternas" de las matemáticas han sido derrocados uno por uno. Llegamos a un punto en que se ha demostrado que todos los cimientos del edifico son inseguros y que necesita una reconstrucción a fondo sobre bases más firmes, y a la vez más flexibles, que ya están en proceso de construcción, y que inevitablemente tendrán un carácter dialéctico.

El cálculo

Muchos de los llamados axiomas de las matemáticas griegas clásicas ya habían sido minados por el descubrimiento del cálculo diferencial e integral, el mayor punto de inflexión en las matemáticas desde la Edad Media. Así, uno de los axiomas de la geometría plantea que recto y curvo son absolutamente opuestos, y que los dos son inconmensurables, es decir, que uno no se puede expresar en términos del otro. Sin embargo, en última instancia, recto y curvo se consideran iguales en el cálculo diferencial. Como Engels señala, las bases para esto ya se habían puesto mucho antes de que fuera elaborado por Leibniz y Newton: "El punto de viraje en las matemáticas fue la magnitud variable de Descartes. Con ella vino el movimiento, y por lo tanto la dialéctica en las matemáticas, y en el acto, además, por necesidad, el cálculo diferencial e integral, que además, empieza en seguida, y que en general fue completado por Newton y Leibniz, no descubierto por ellos".

El descubrimiento del cálculo abrió un nuevo horizonte para las matemáticas y para la ciencia en general. Una vez que se levantaron los viejos tabúes y prohibiciones, los matemáticos se sintieron libres para investigar áreas completamente nuevas. Pero utilizaron números infinitamente pequeños y grandes de manera acrítica, sin considerar sus implicaciones lógicas y conceptuales. La utilización de cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes se consideraba como una especie de "ficción útil" que, precisamente porque no estaba clara del todo, siempre daba los resultados correctos. En la sección sobre Cantidad en el primer volumen de La ciencia de la Lógica, Hegel plantea como, mientras que la introducción del infinito matemático abrió nuevos horizontes para las matemáticas, y llevó a resultados importantes, siguió sin explicarse porque chocaba con las tradiciones y métodos existentes:

"Pero en el método del infinito matemático la matemática encuentra una contradicción radical al mismo método que le es característico, y en el que se basa como ciencia. Porque el cálculo del infinito admite, y exige, métodos de procedimiento que las matemáticas, cuando operan con magnitudes finitas, tienen que rechazar de plano, y al mismo tiempo trata estas magnitudes infinitas como Cuantos finitos, intentando aplicar a los primeros los mismos métodos que son válidos para estos últimos".8

El resultado fue un largo período de controversia en relación a la validez del cálculo. Berkeley lo denunció ya que estaba en contradicción abierta con las leyes de la lógica. Newton, que utilizó el nuevo método en su Principia, se sintió obligado a esconder este hecho del público, por miedo a una reacción adversa. A principios del siglo XVIII, Bernard Fontenelle finalmente tuvo el coraje de afirmar categóricamente que ya que existe una cantidad infinita de números naturales, existe un número infinito tan ciertamente como que existen números finitos, y que el recíproco de infinito es infinitesimal. Sin embargo Georges de Buffon le contradjo, planteando que el infinito era una ilusión. Incluso el gran intelecto de DíAlambert fue incapaz de aceptar esta idea. En el artículo de su Encyclopaedia sobre el Diferencial, negaba la existencia del infinito, excepto en el sentido negativo de un límite a cantidades finitas.

De hecho, el concepto de "límite" fue introducido en un intento de salvar la contradicción inherente al infinito. Fue especialmente popular en el siglo XIX cuando los matemáticos ya no se conformaban con aceptar a ciegas el cálculo como se había contentado con hacer la generación anterior. El cálculo diferencial planteaba la existencia de magnitudes infinitesimalmente pequeñas de órdenes variables un primer diferencial, un segundo diferencial, y así hasta el infinito . Con la introducción del concepto de "límite" crearon la idea de que no se planteaba un infinito real. La intención era hacer que la idea de infinito pareciese subjetiva, negar su objetividad. Se decía que las variables eran potencialmente infinitamente pequeñas, en la medida en que eran menos que cualquier cantidad dada, como potencialmente infinitas en la medida en que eran mayores que cualquier magnitud preasignada. En otras palabras, ¡"tan grande o pequeño como quieras"! Este juego de manos no solucionaba la dificultad, sino que sólo proporcionaba una hoja de parra para cubrir las contradicciones lógicas implicadas en el cálculo.

El gran matemático alemán Karl Frederick Gauss (1777-1855) estuvo dispuesto a aceptar el infinito matemático, pero se horrorizó ante la idea de la infinitud real. Sin embargo, su contemporáneo Bernhard Bolzano, partiendo de la paradoja de Galileo, empezó un estudio de las paradojas implícitas en la idea de un "infinito completo". Este trabajo fue desarrollado por Richard Dedekin (1813-1914) que caracterizó el infinito como algo positivo, y planteó que, de hecho, el conjunto de números positivos se puede considerar como negativo (es decir, como no infinito). Finalmente George Cantor (1845-1918) fue más allá de la definición de conjuntos infinitos y desarrollo una aritmética totalmente nueva de "números transfinitos". Las comunicaciones de Cantor, empezando en 1870, son una reseña de toda la historia del infinito, empezando por Demócrito. A partir de aquí se desarrolló toda una nueva rama de las matemáticas basada en la teoría de los conjuntos.

Cantor demostró que los puntos de una área, independientemente de lo grande que sea, o en un volumen o en un continuo de dimensión incluso mayor, se pueden aparejar con los puntos de una línea o un segmento, independientemente de lo pequeña que sea. De la misma manera que no hay ningún último número finito, no puede haber ningún último número transfinito. Por lo tanto después de Cantor no se puede discutir el papel central del infinito en las matemáticas. Es más, su trabajo reveló una serie de paradojas que han llenado las matemáticas modernas y todavía están pendientes de resolución.

Todo análisis científico moderno se basa en el concepto de continuidad, es decir, que entre dos puntos en el espacio existe un número infinito de otros puntos, y también que entre dos puntos en el tiempo hay un número infinito de otros momentos. Sin estas afirmaciones las matemáticas modernas simplemente no podrían funcionar. Sin embargo estos conceptos contradictorios hubieran sido rechazados indignadamente, o por lo menos observados con sospecha por las generaciones anteriores. Sólo el genio dialéctico de Hegel (que por cierto era un gran matemático) fue capaz de anticipar todo esto en su análisis de lo finito e infinito, tiempo, espacio y moción.

A pesar de todas las evidencias muchos matemáticos modernos siguen negando la objetividad del infinito, aunque aceptan su validez como fenómeno de las matemáticas "puras". Este tipo de división no tiene ningún sentido. Por que a menos que las matemáticas sean capaces de reflejar el mundo objetivo y real, ¿de qué servirían? Hay cierta tendencia entre los matemáticos modernos (y por extensión, increíblemente, los físicos teóricos) a recurrir al idealismo en su forma más mística, alegando que la validez de una ecuación es puramente una cuestión de su valor estético, sin ninguna relación con el mundo material.

El mismo hecho de que las operaciones matemáticas se puedan aplicar al mundo real y obtener resultados que tengan un significado indica que existe una afinidad entre ambos. Si fuese de otra forma, las matemáticas no tendrían una aplicación práctica, lo cual no es el caso. La razón por la que se puede utilizar el infinito, y se debe de utilizar, en las matemáticas modernas, es porque se corresponde con la existencia del infinito en la propia naturaleza, que se ha impuesto sobre las matemáticas, como un huésped al que nadie ha invitado, a pesar de todos los intentos de cerrarle la puerta.

La razón por la que les llevó tanto tiempo a los matemáticos para aceptar el infinito la explica Engels:

"Está claro que la infinitud que tiene un final, pero no tiene un comienzo, no es ni más ni menos infinita que la que tiene un comienzo y no tiene un final. La más modesta comprensión dialéctica habría debido decir al señor Dühring que el comienzo y el final van necesariamente juntos como el Polo Norte y el Polo Sur, y que cuando se prescinde del final el comienzo se convierte en final, es decir, en un final de la sucesión, y a la inversa. Toda esa ilusión sería imposible sin la costumbre matemática de operar con sucesiones infinitas. Como en la matemática hay que partir de lo determinado y finito para llegar a lo indeterminado y desprovisto de final, todas las sucesiones matemáticas, positivas o negativas, tienen que empezar con un uno para poder calcular con ellas. Pero la necesidad ideal del matemático está muy lejos de ser una ley necesaria y constrictiva del mundo real".

Crisis de las matemáticas

Desde nuestros días de escuela se nos ha enseñado a ver las matemáticas con sus "axiomas" evidentemente verdaderos y sus deducciones rigurosamente lógicas como la última palabra de la exactitud científica. En 1900 todo esto parecía cierto, aunque en el Congreso Internacional de matemáticos que se celebró ese año, David Hilbert planteó una lista de los 23 problemas matemáticos no resueltos más importantes. Desde ese momento las cosas se han ido complicando hasta el punto en que es posible hablar de una auténtica crisis en las matemáticas teóricas. En su libro ampliamente leído Mathematics: The Loss of Certainty (matemáticas: la pérdida de la certeza), publicado en 1980, Morris Klein describe la situación así:

"Las creaciones del siglo XIX, extrañas geometrías y extrañas álgebras, obligaron a los matemáticos, a regañadientes, a reconocer que los exactos matemáticos y las leyes matemáticas de la ciencia no eran verdades. Descubrieron, por ejemplo, que muchas geometrías diferentes encajaban igualmente bien con la experiencia espacial. No puede ser que todas ellas sean ciertas. Aparentemente el diseño matemático no era inherente a la naturaleza, o si lo era, las matemáticas del hombre no eran necesariamente la descripción de ese diseño. Se había perdido la llave de la realidad. El darse cuenta de eso fue la primera de las calamidades que iban a caer sobre las matemáticas.

"La creación de estas nuevas geometrías y álgebras hizo que los matemáticos experimentasen una conmoción de otro tipo. Se habían quedado tan embelesados con el convencimiento de que estaban consiguiendo verdades que se habían lanzado impetuosamente a asegurar estas verdades aparentes a costa de un razonamiento con una base sólida. El darse cuenta que las matemáticas no eran un cuerpo de verdades hizo tambalear su confianza en lo que habían creado, y se comprometieron a reexaminar sus creaciones. Estaban consternados por haberse dado cuenta que la lógica de las matemáticas estaba en mala forma".

A principios del siglo XX intentaron resolver los problemas no resueltos, despejar las contradicciones, y elaborar un nuevo e infalible sistema de matemáticas. Como explica Klein:

"Hacia 1900 los matemáticos creyeron que ya habían conseguido su objetivo. Aunque tenían que conformarse con las matemáticas como una descripción aproximada de la naturaleza y muchos incluso habían abandonado la creencia en el diseño matemático de la naturaleza, gozaban con la contemplación de su reconstrucción de la estructura lógica de las matemáticas. Pero antes de que hubieran acabado de brindar por su supuesto éxito, se descubrieron contradicciones en las matemáticas reconstruidas. Normalmente se referían a estas contradicciones como paradojas, un eufemismo que evita enfrentarse al hecho de que las contradicciones viciaban la lógica de las matemáticas.

"Los más brillantes matemáticos y filósofos de la época emprendieron casi inmediatamente la tarea de resolver estas contradicciones. De hecho se concibieron, formularon y avanzaron cuatro métodos matemáticos diferentes, cada uno de los cuales congregó a numerosos adherentes. Todas estas escuelas fundacionales intentaron no sólo resolver las contradicciones conocidas sino asegurar que nunca más iban a surgir nuevas contradicciones, es decir, establecer la consistencia de las matemáticas. En estos esfuerzos fundacionales surgieron nuevas cuestiones. La aceptabilidad de algunos axiomas y algunos principios de lógica deductiva se convirtieron en los puntos de discusión sobre los que las múltiples escuelas adoptaron diferentes posiciones".

El intento de eliminar las contradicciones de las matemáticas sólo llevó a nuevas e insolubles contradicciones. El golpe final lo dio Kurt Gsdel en 1930, cuando publicó sus famosos teoremas, que provocaron una crisis, poniendo en cuestión incluso los métodos fundamentales de las matemáticas clásicas:

"Tan tarde como en 1930 un matemático quizás se hubiera contentado con aceptar una u otra de las múltiples fundaciones de las matemáticas y declarar que sus pruebas matemáticas estaban por lo menos de acuerdo con los principios de esa escuela. Pero el desastre atacó de nuevo, en forma de la conocida comunicación de Kurt Gsdel en la que demostraba, entre otros resultados significativos e inquietantes, que los principios lógicos aceptados por varias escuelas no podían demostrar la consistencia de las matemáticas. Esto no se podía hacer, demostró Gsdel, sin invocar principios lógicos tan dudosos como para cuestionar lo que se conseguía. Los teoremas de Gsdel provocaron una debacle. Los desarrollos posteriores trajeron nuevas complicaciones. Por ejemplo, se vio que incluso el método axiomático-deductivo tan altamente considerado en el pasado como el método para el conocimiento exacto, era defectuoso. El efecto resultante de este nuevo desarrollo fue el de añadir a la variedad de posibles métodos matemáticos y dividir a los matemáticos en un número de fracciones divergentes todavía mayor".

El impasse de las matemáticas ha creado toda una serie de escuelas y facciones diferentes, ninguna de las cuales acepta las teorías de las otras. Hay platónicos (sí, es cierto), que consideran las matemáticas como una verdad absoluta ("Dios es un matemático"). Hay conceptualistas, cuya concepción de las matemáticas es completamente diferente de los platónicos, pero es meramente la diferencia entre idealismo subjetivo y objetivo. Ven las matemáticas como una serie de estructuras, modelos y simetrías que la gente se ha inventado para sus propios fines en otras palabras , las matemáticas no tienen base objetiva, ¡sino que son simplemente el producto de la mente humana! Esta teoría parece ser popular en Gran Bretaña.

También tenemos la escuela formalista, que se formó a principios del siglo XX, con el propósito declarado de acabar con las contradicciones en las matemáticas. David Hilbert, uno de los fundadores de esta escuela, veía las matemáticas simplemente como la manipulación de símbolos según unas reglas específicas para producir un sistema de afirmaciones tautológicas, que tienen una consistencia interna, pero ningún tipo de sentido. Aquí las matemáticas se reducen a un juego intelectual, como el ajedrez otra vez un punto de vista totalmente subjetivo . La escuela intuicionista también se propone separar las matemáticas de la realidad objetiva. Según esta gente, una fórmula matemática no se supone que represente nada que exista independientemente del propio acto de la computación. Esto se ha comparado al intento de Bohr de utilizar los descubrimientos de la mecánica cuántica para introducir nuevos puntos de vista de cantidades matemáticas y físicas divorciadas de la realidad objetiva.

Todas estas escuelas tienen en común una visión totalmente idealista de las matemáticas. La única diferencia es que los neoplatónicos son idealistas objetivos, que piensan que las matemáticas se originaron en la mente de Dios y el resto intuicionistas, formalistas y conceptualistas cree que las matemáticas son una creación subjetiva de la mente humana, vacía de cualquier significado objetivo. Este es el triste espectáculo que nos ofrecen las principales escuelas matemáticas en la última década del siglo XX. Pero este no es el fin de la historia.

Caos y complejidad

En los últimos años, la limitación de los modelos matemático a la hora de expresar el funcionamiento real de la naturaleza ha sido objeto de una intensa discusión. Las ecuaciones diferenciales por ejemplo, representan la realidad como un continuo, en el que los cambios de tiempo y lugar se producen uniforme e ininterrumpidamente. No queda lugar para cambios cualitativos o rupturas bruscas. Y sin embargo estos tienen lugar en la naturaleza. El descubrimiento del cálculo diferencial e integral en el siglo XVIII representó un gran avance. Pero incluso los modelos matemáticos más avanzados son solamente una vasta aproximación a la realidad, válida solamente dentro de ciertos límites. El reciente debate sobre caos y anti-caos se ha centrado en aquellas áreas que implican rupturas de la continuidad, cambios "caóticos" repentinos que no se pueden expresar correctamente con las fórmulas matemáticas clásicas.

La diferencia entre orden y caos tiene que ver con relaciones lineales y no-lineales. Una relación lineal es aquella que se puede describir fácilmente de forma matemática: se puede expresar de una u otra manera como una línea continua en un gráfico. Las matemáticas pueden ser complejas, pero se pueden predecir y calcular las soluciones. Sin embargo, una relación no-lineal, es aquella que no se puede resolver fácilmente matemáticamente. No hay ninguna línea continua en un gráfico que la describa. Las relaciones no-lineales históricamente han sido difíciles o imposibles de resolver, y a menudo han sido ignoradas como errores experimentales. Refiriéndose al famoso experimento del péndulo, James Gleick escribe que la regularidad observada por Galileo era solamente una aproximación. El ángulo cambiante del cuerpo en movimiento crea una ligera no-linealidad en las ecuaciones. A baja amplitud, el error es prácticamente inexistente. Pero está ahí. Para obtener sus resultados exactos, Galileo tuvo que descartar no-linealidades que conocía: la fricción y la resistencia del aire.

La mayor parte de las matemáticas clásicas se basan en relaciones lineales abstraídas de la vida real como leyes científicas. Pero en la medida en que el mundo real está gobernado por relaciones no-lineales, estas leyes a menudo no son más que aproximaciones que se van refinando constantemente mediante el descubrimiento de "nuevas" leyes. Estas leyes son modelos matemáticos, construcciones teóricas cuya única justificación reside en la visión que nos dan de las fuerzas naturales y su utilidad a la hora de controlarlas. En los últimos veinte años la revolución en la tecnología de los ordenadores ha transformado la situación haciendo accesibles las matemáticas no-lineales. Por este motivo en una serie de facultades separadas y centros de investigación, matemáticos y otros científicos han podido llegar a calcular sistemas "caóticos" que en el pasado eran imposibles de calcular.

El libro de James Gleick, Caos, la creación de una ciencia, describe como los diferentes investigadores han estudiado a fondo sistemas caóticos utilizando toda una serie de modelos matemáticos diferentes, y sin embargo todos los estudios apuntan en una misma dirección: que existe un "orden" en lo que antes se creía que era un puro "desorden". La historia empieza con los estudios sobre modelos del tiempo meteorológico, en una simulación por ordenador, del meteorólogo americano Edward Lorenz. Utilizando doce variables al principio y luego solamente tres en un sistema de relaciones no-lineales, Lorenz fue capaz de producir en su ordenador una serie continua de condiciones en constante cambio, pero sin repetir dos veces las mismas condiciones. Utilizando reglas matemáticas relativamente simples había creado "caos".

Empezando con cualquier tipo de parámetros elegidos por Lorenz, su ordenador repetiría los mismos cálculos una y otra vez, y sin embargo sin llegar nunca al mismo resultado. Esta "aperiodicidad" (es decir, la ausencia de ciclos regulares) es característica de todos los sistemas caóticos. Al mismo tiempo, Lorenz se dio cuenta de que a pesar de que los resultados eran perpetuamente diferentes, por lo menos se podía sugerir que afloraban ciertos "modelos": condiciones que se aproximaban a las que ya se habían observado previamente, aunque nunca eran exactamente las mismas. Eso se corresponde con la experiencia que todos tenemos sobre el tiempo meteorológico real, en contraposición a las simulaciones por ordenador: hay ciertos "modelos", pero no hay dos días ni dos semanas en que el tiempo sea el mismo.

Otros científicos también han descubierto "modelos" en sistemas aparentemente caóticos, tan diferentes como el estudio de las órbitas galácticas y la modelación matemática de osciladores electrónicos. Gleick observa que en estos y otros casos, se "sugerían estructuras en medio de comportamientos aparentemente casuales". Cada vez se fue haciendo más obvio que los sistemas caóticos no eran necesariamente estables, ni tenían por que prolongarse por un período indefinido. La conocida "mancha roja" en la superficie de Júpiter es un ejemplo de un sistema continuamente caótico que es estable. Es más, se ha simulado en estudios por ordenador y en modelos de laboratorio. Así, "un sistema complejo puede dar paso a turbulencias y cohesión al mismo tiempo". Mientras, otros científicos utilizaron diferentes modelos matemáticos para estudiar fenómenos aparentemente caóticos en biología. Uno en concreto realizó un estudio de los cambios de población bajo una serie de condiciones. Se utilizaron variables estándar familiares para los biólogos, junto con ciertas de las relaciones computerizadas no-lineales, tal y como serían en la naturaleza. Esta no-linealidad podría corresponder, por ejemplo, a una característica única de la especie que se podría definir como una propensión a propagarse, su "supervivencialidad".

Estos resultados se expresaron en un gráfico con el tamaño de la población en el eje vertical, contra el valor de los componentes no-lineales en el eje horizontal. Se observó que en la medida en que la no-linealidad se hacía más importante incrementando ese parámetro particular la población proyectada pasaba por una serie de fases distintivas. Por debajo de cierto nivel crucial no habría población viable, e independientemente del punto de partida, el resultado sería la extinción. La línea del gráfico simplemente seguiría un trazo horizontal correspondiente a población cero. La siguiente fase era un estado estacionario, representado gráficamente por una sola línea curva creciente. Este es el equivalente a una población estable, a un nivel que dependía de las condiciones iniciales. En la siguiente fase habría dos poblaciones diferentes pero fijas, dos estados estacionarios. Esto se representaba como una ramificación en el gráfico, o una "bifurcación". Sería el equivalente en las poblaciones reales a una oscilación periódica regular, en un ciclo bianual. En la medida en que se incrementaba más el grado de no-linealidad, se producía un rápido aumento de las bifurcaciones, primero correspondiendo a cuatro estados estacionarios (un ciclo de cuatro años) y después muy rápidamente 8, 16, 32 y sucesivamente.

De aquí que, con un pequeño aumento de valores del parámetro no-lineal, se desarrollaba una situación que, a todos los efectos prácticos no tenía ningún estado estacionario ni ninguna periodicidad reconocible la población había pasado a ser "caótica" . También se observó que si se incrementaba más la no-linealidad, a través de la fase "caótica", aparecían periodos en los que se recuperaban estados aparentemente estacionarios, basados en ciclos de 3 o 7 años, pero en cada caso dando paso, en la medida en que se incrementaba la no-linealidad, a nuevas bifurcaciones representando ciclos de 6, 12 y 24 años en el primer caso, o ciclos de 14, 28 y 56 años en el segundo. De esta manera, con precisión matemática, era posible modelar un cambio de la estabilidad con un sólo estado estacionario o regular, comportamiento periódico, a uno que era, a todos los efectos de mediciones, casual o aperiódico.

Esto puede indicar una posible solución a los debates en el campo de la ciencia de la población entre los teóricos que creen que las variaciones de población impredecibles son una aberración respecto a la "norma de estado estacionario", y otros que creen que el estado estacionario es una aberración respecto de la "norma caótica". Estas diferentes interpretaciones pueden surgir porque diferentes investigadores hayan tomado una "rebanada" del gráfico creciente que se corresponda a un sólo valor de la no-linealidad. Así, una especie podría tener como norma una población estacionaria o una periódicamente oscilante y otra puede exhibir una variabilidad caótica. Estos desarrollos en biología son otra indicación, como explica Gleick, de que "el caos es estable; está estructurado". Se empezaron a descubrir resultados similares en una amplia gama de fenómenos diferentes. "Se encontró caos determinístico en los registros de epidemias de sarampión en Nueva York y en 200 años de oscilación de la población de linces en Canadá, según los registros de los cazadores de la Hudsonís Bay Company". En todos estos casos de procesos caóticos existe la "duplicación de periodos" característica de este modelo matemático concreto.

Las fractales de Mandelbrot

Otro de los pioneros de la teoría del caos, Benoit Mandelbrot, un matemático de la IBM, utilizó otra técnica matemática. En su capacidad de investigador de la IBM buscó y encontró "modelos" en toda una serie de procesos naturales "casuales". Descubrió, por ejemplo, que el "ruido" de fondo de las transmisiones telefónicas sigue un modelo completamente impredecible, o caótico, pero que sin embargo se puede definir matemáticamente. Utilizando un ordenador en la IBM, Mandelbrot fue capaz de producir sistemas caóticos gráficamente, utilizando solamente las más simples reglas matemáticas. Estos dibujos, conocidos como los "conjuntos de Mandelbrot", demostraban una complejidad infinita, y cuando se planteó aumentar el detalle en el ordenador que los estaba dibujando, la vasta y aparentemente infinita variedad continuaba.

Los conjuntos de Mandelbrot han sido descritos como el objeto o modelo matemático posiblemente más complejo nunca visto. Y sin embargo en su estructura existían modelos. Aumentando repetidamente la escala y observándolos cada vez con mayor detalle (algo que el ordenador puede hacer indefinidamente porque toda la estructura se basaba en un conjunto dado de reglas matemáticas) se podía observar que había repeticiones sistemáticas similitudes a diferentes escalas. El "grado de irregularidad" era el mismo a diferentes escalas. Mandelbrot utilizó la expresión "fractal" para describir los modelos que eran evidentes en la irregularidad. Fue capaz de construir toda una serie de formas fractales alterando ligeramente las reglas matemáticas. Así fue capaz de crear una simulación por ordenador de una línea costera que a cualquier escala (a cualquier aumento) tenía siempre el mismo grado de "irregularidad" o "ondulación".

Mandelbrot comparó sus sistemas inducidos por ordenador con ejemplos de geometría que también tienen formas fractales, repitiendo el mismo modelo una y otra vez a diferentes escalas. En la llamada esponja de Menger, por ejemplo, el área de su superficie tiende al infinito, mientras que el volumen real de la esponja tiende a cero. Aquí es como si el grado de irregularidad se correspondiera a la "eficacia" de la esponja a la hora de ocupar espacio. Estos ejemplos no están tan traídos por los pelos como puede parecer porque, como Mandelbrot explicó, hay muchos ejemplos de geometría fractal en la naturaleza. La ramificación de la tráquea para hacer dos bronquios y su sucesiva ramificación hasta el nivel de estrechas ranuras por donde pasa el aire en los pulmones, sigue un modelo que se puede demostrar que es fractal. De la misma manera se puede demostrar que la ramificación de los vasos sanguíneos es fractal. en otras palabras existe una "auto-similitud", un modelo geométrico repetitivo de ramificación, no importa a que escala lo observemos.

Los ejemplos de geometría fractal en la naturaleza casi no tienen fin, y en su libro The Fractal Geometry of Nature (La geometría fractal de la naturaleza) Mandelbrot trató de demostrarlo. Se ha descubierto que el ritmo del latido normal del corazón sigue leyes fractales, quizás debido a la disposición fractal de las fibras nerviosas en el músculo del corazón. Lo mismo se aplica a los rápidos movimientos involuntarios de los ojos característicos de la esquizofrenia. Así, hoy en día se utilizan las matemáticas fractales en una amplia gama de campos científicos, incluyendo la fisiología y disciplinas tan separadas como el estudio de los terremotos y la metalurgia.

Se han encontrado otros indicios de bases determinísticas del caos en los estudios de transiciones de fase y en lo que los modelistas matemáticos llaman "atractores". Hay muchos ejemplos de transiciones de fase. Puede ser el paso del fluido uniforme y "laminar" a un flujo turbulento, la transición de sólido a líquido o de líquido a gas, o el cambio en un sistema de conductividad a "superconductividad". Estas transiciones de fase pueden tener consecuencias cruciales en el diseño tecnológico y la construcción. Un avión por ejemplo perdería fuerza de sustentación si el flujo laminar del aire sobre el ala pasase a ser turbulento; de la misma manera en que la presión necesaria para bombear agua dependerá de si el flujo en la tubería es o no turbulento.

La utilización de diagramas de fase-escala y atractores representa otra herramienta matemática que ha encontrado gran variedad de aplicaciones en sistemas aparentemente fortuitos. Como en el caso de otros estudios del caos, se han descubierto modelos comunes, en este caso "atractores extraños" en diferentes programas de investigación, incluyendo osciladores eléctricos, dinámica de fluidos e incluso la distribución de las estrellas en los cúmulos globulares. Todas estas herramientas matemáticas duplicación de períodos, geometría fractal, atractores extraños se desarrollaron en momentos diferentes por diferentes investigadores examinando la dinámica caótica. Pero todos sus resultados apuntan en la misma dirección: existen unas leyes matemáticas subyacentes en lo que siempre se había considerado casual.

Un matemático, Mitchell Feigenbaum, uniendo una serie de cabos, ha desarrollado lo que él llama una "teoría universal" del caos. Como Gleick afirma: "creyó que esta teoría expresaba una ley natural sobre sistemas en el punto de transición entre el orden y la turbulencia (é) su universalidad no era sólo cualitativa, era cuantitativa (é) se extendía no sólo a modelos sino a números concretos".

Los marxistas reconocerán aquí la ley dialéctica conocida como de la transformación de cantidad en calidad. Esta idea describe la transición entre un período de desarrollo más o menos gradual, en el que el cambio se puede medir o "cuantificar", y el siguiente en el que el cambio ha sido tan "revolucionario", ha habido tal "salto", que se ha alterado toda la "calidad" del sistema. La utilización que hace Gleick de términos en un sentido similar es una indicación más de la manera en que la ciencia moderna se está deslizando hacia el materialismo dialéctico.

El punto central sobre la nueva ciencia es que estudia el mundo tal y como es en realidad: como un sistema dinámico en constante cambio. Las matemáticas clásicas, lineales son como la lógica formal que estudia las cosas en categorías fijas e inmutables. Son suficientes como aproximaciones, pero no reflejan la realidad. Sin embargo, la dialéctica es la lógica del cambio, de los procesos y como tal representa un avance respecto al formalismo. De la misma manera, las matemáticas del caos son un paso adelante respecto a la ciencia bastante "irreal" que ignoraba cómodamente las irregularidades de la vida.

Cantidad y calidad

La idea de la transformación de la cantidad en calidad se encuentra implícita en las matemáticas modernas, en el estudio de la continuidad y discontinuidad. Esto ya estaba presente en la nueva rama de la geometría, topología, inventada a principios de siglo por el gran matemático francés, Jules Henri Poincaré (1854-1912). La topología son las matemáticas de la continuidad. Como la explica Ian Steward: "La continuidad es el estudio de los cambios uniformes, graduales, la ciencia de lo continuo. Las discontinuidades son repentinas, dramáticas: sitios en los que un cambio minúsculo en causa provoca un cambio enorme en efecto".

Los libros de texto normales de matemáticas nos dan una idea errónea de cómo es el mundo en realidad, de cómo funciona la naturaleza. "La intuición matemática, que tanto se cultiva", escribió Robert May, "equipa mal al estudiante para enfrentarse con el extravagante comportamiento del más sencillo de los sistemas no lineales". Mientras que la geometría elemental de escuela nos enseña a considerar cuadrados, círculos, triángulos y paralelogramos como cosas totalmente separadas, la topología ("la geometría de la tela de goma"), los trata como lo mismo. La geometría tradicional nos enseña que no se puede cuadrar el círculo, sin embargo en la topología este no es el caso. Las líneas rígidas de demarcación se rompen: un cuadrado se puede transformar ("deformar") en un círculo. A pesar de los adelantos espectaculares de la ciencia en el siglo XX, es sorprendente ver como gran cantidad de fenómenos que parecerían bastante simples no se comprenden correctamente y no se pueden expresar en términos matemáticos, por ejemplo el tiempo meteorológico, el flujo de los líquidos, la turbulencia. Las formas de la geometría clásica son inadecuadas para expresar las superficies extremadamente irregulares y complejas que podemos encontrar en la naturaleza, como explica Gleick:

"La topología estudia las propiedades que siguen inalteradas cuando las formas se desfiguran por torsión, extensión o comprensión. No se interesa en si la forma es cuadrada o redonda, grande o pequeña, porque la deformación cambia tales atributos. Los tocólogos se preocupan de si está acoplada, tiene agujeros o está anudada o enredada. Conciben las superficies, no en los universos euclidianos unidimensional, bidimensional y tridimensional, sino en espacios de dimensiones múltiples, imposibles de imaginar de manera visible. La topología es la geometría en trozos de goma. Se preocupa de lo cualitativo más que de lo cuantitativo".

Las ecuaciones diferenciales tratan de la tasa de cambio de posición. Esto es más difícil de expresar de lo que podría parecer a primera vista. Muchas ecuaciones diferenciales no se pueden resolver. Estas ecuaciones pueden describir el movimiento, pero sólo como un cambio uniforme de posición, de un punto a otro, sin saltos repentinos ni interrupciones. Sin embargo, en la naturaleza el cambio no se produce de esta manera. Períodos de cambio gradual e ininterrumpido se ven interrumpidos por giros bruscos, rupturas de la continuidad, explosiones, catástrofes. Este hecho se puede ilustrar con numerosos ejemplos de la naturaleza orgánica e inorgánica, la historia de la sociedad y el pensamiento humano. En una ecuación diferencial, se presupone que el tiempo se divide en una serie de "escalones de tiempo" muy pequeños. Esto nos da una aproximación a la realidad, pero en la realidad no existen estos "escalones". Tal y como dijo Heráclito "todo fluye".

La incapacidad de las matemáticas tradiciones de tratar con cambios cualitativos en oposición a los meramente cuantitativos, supone una severa limitación. Dentro de ciertos límites puede ser suficiente. Pero cuando el cambio gradual cuantitativo se rompe de repente, y se vuelve "caótico" para utilizar la expresión en boga, las ecuaciones lineales de las matemáticas clásicas no son suficientes. Este es el punto de partida para las nuevas matemáticas lineares, cuyos pioneros fueron Benoit Mandelbrot, Edward Lorenz y Mitchell Feigenbaum. Sin darse cuenta seguían los pasos de Hegel, cuya línea nodal de medida expresa la misma idea, vital para la dialéctica.

La nueva actitud hacia las matemáticas se desarrolló como reacción al callejón sin salida de las escuelas matemáticas existentes. Mandelbrot había pertenecido a la escuela matemática francesa del formalismo, conocida como el grupo de Bourbaki, que planteaba un punto de vista puramente abstracto, empezando por principios fundamentales y deduciendo todo lo demás a partir de estos. De hecho se vanagloriaban de que su trabajo no tuviese nada que ver con la ciencia o el mundo real. Pero la llegada de los ordenadores introdujo un elemento completamente nuevo en la situación. Este es otro ejemplo de cómo el desarrollo de las condiciones técnicas condiciona el desarrollo de la ciencia. La gran cantidad de cálculos que se podían hacer simplemente apretando un botón posibilitó el descubrimiento de modelos y leyes donde antes parecía que solamente había fenómenos casuales y caóticos.

Mandelbrot empezó investigando fenómenos no explicados del mundo natural, como las ráfagas aparentemente casuales de interferencias en las emisiones de radio, las crecidas del Nilo, y las crisis de la Bolsa de valores. Se dio cuenta de que las matemáticas tradicionales eran incapaces de expresar adecuadamente este tipo de fenómenos. A finales del siglo pasado, George cantor, investigando el infinito inventó un conjunto que lleva su nombre. Este implica una línea dividida en un número infinito de puntos (el "polvo" de Cantor) cuya longitud total es 0. Esta contradicción manifiesta inquietó a muchos matemáticos del siglo XX, y sin embargo sirvió de punto de partida para la nueva teoría de Mandelbrot de las matemáticas fractales, que jugaron un papel decisivo en la teoría del caos:

"Discontinuidad, ruidos súbitos, polvos de cantaré", explica Gleick, "fenómenos como ellos no habían tenido acogida en la geometría de los dos milenios anteriores. Las figuras de la geometría clásica son líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos. Representan una abstracción poderosa de la realidad, e inspiran una atractiva filosofía de armonía platónica. Euclides hizo de ellas una geometría que duró dos mil años, la única que estudia todavía la inmensa mayoría de los seres humanos. Aristóteles encontró la belleza ideal en ellas. Mas, para entender la complejidad, su abstracción resulta inconveniente".

Toda ciencia implica un grado de abstracción respecto al mundo real. El problema con las mediciones euclidianas clásicas, que trabajaban con longitud, profundidad y anchura, es que eran incapaces de expresar la esencia de las formas irregulares que se encuentran en el mundo real. La ciencia de las matemáticas es la ciencia de magnitud. Por lo tanto, las abstracciones de la geometría euclidiana dejan de lado todo lo que no sea el aspecto cuantitativo de las cosas. La realidad queda reducida a planos, líneas y puntos. Sin embargo, las abstracciones de las matemáticas, a pesar de las exageradas afirmaciones que se han hecho sobre ellas, son sólo una vasta aproximación al mundo real, con sus formas irregulares y cambios constantes y abruptos. En palabras del poeta romano Horacio: "Puedes echar a la naturaleza con una horca, pero volverá constantemente". James Gleick describe así la diferencia entre las matemáticas clásicas y la teoría del caos:

"Mandelbrot suele decir que las nubes no son esferas. Ni los montes conos. Ni el rayo fulmina en línea recta. La nueva geometría refleja un universo áspero, no liso, escabroso, no suave. Es la geometría de lo picado, ahondado y quebrado, de lo retorcido, enmarañado y entrelazado. La comprensión de la complejidad de la naturaleza convenía a la sospecha de que no era fortuita ni accidental. Exigía fe en que el interesante fenómeno de la trayectoria del rayo, por ejemplo, no dependía de su dirección, sino de la distribución de zigzag. La obra de Mandelbrot era una reivindicación del mundo, la exigencia de que formas tan raras gozaban de significado. Los hoyos y marañas eran algo más que distorsiones que afeaban las figuras de la geometría euclidiana. Con frecuencia servían de clave de la esencia de una cosa".

Estas cosas era vistas como aberraciones monstruosas por los matemáticos tradicionales. Pero a un dialéctico le sugieren que la unidad de lo finito e infinito, como en la infinita divisibilidad de la materia, también se pueden expresar en términos matemáticos. El infinito existe en la naturaleza. El universo es infinitamente grande. La materia se puede dividir en partículas infinitamente pequeñas. Así, todas las discusiones sobre "el origen del universo" y la búsqueda de los "ladrillos de la materia" y la "última partícula" se basan en presupuestos totalmente erróneos. La existencia del infinito en matemáticas es simplemente un reflejo de este hecho. Al mismo tiempo, es una contradicción dialéctica que éste universo infinito este compuesto de cuerpos finitos. Así, finito e infinito forman una unidad dialéctica de contrarios. El uno no puede existir sin el otro. La cuestión por lo tanto, no es si el universo es finito o infinito. Es finito e infinito a la vez, como ya explicó Hegel hace tiempo.

Los adelantos de la ciencia moderna nos han permitido penetrar cada vez más profundamente en el mundo de la materia. En cada etapa, se han hecho intentos de parar el proceso, de erigir una barrera, más allá de la cual supuestamente no se podía ir. Pero en cada etapa se superó el límite, revelando nuevos y sorprendentes fenómenos. Cada acelerador de partículas nuevo y más potente ha descubierto partículas nuevas y más pequeñas, con una existencia todavía más fugaz. No hay motivo para pensar que la situación será diferente en relación a los quarks, que por ahora se nos presentan como la última de las partículas.

De manera parecida, el intento de establecer el principio del universo y el "tiempo" se convertirá en una búsqueda inútil. El universo material no tiene límites, y todos los esfuerzos para imponérselos fracasarán inevitablemente. Lo más alentador de las nuevas matemáticas de la teoría del caos es que representan un rechazo de las abstracciones estériles y del reduccionismo de la torre de marfil, y un intento de volver a la naturaleza y al mundo de la experiencia diaria. En la medida en que las matemáticas reflejen la naturaleza, tienen que empezar a perder su carácter unilateral y adquirir una nueva dimensión que exprese el carácter dinámico, contradictorio, en una palabra, dialéctico del mundo real.