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Si se continuase de este modo difundiéndose el rumor por la ciudad, es decir, si cada uno que lo oiga logra comunicárselo a tres ciudadanos más en el cuarto de hora siguiente, la ciudad irá enterándose de la noticia de acuerdo con el horario que sigue:

9.00 h 40+(3*27) =121

9.15 h 121+(3*81) =364

9.30 h 364+(3*243) =1.093

A la hora y media de haber aparecido la noticia en la ciudad, la conocen, como vemos, unas 1.100 personas en total. Puede parecer poco para una población de 50.000 habitantes y cabe pensar que la noticia no llegará pronto a ser conocida de todos los habitantes. Sin embargo, observemos la difusión futura del rumor:

9.45 h 1. 093+(3*729) =3.280

10.00 h 3.280+(3*2.187) =9.841

10.15 h 9.841+(3*6.561) =29.524

9.00 h: 40+(3*27) =121

Esto indica que antes de las diez y media de la mañana, absolutamente todos los ciudadanos de la populosa ciudad conocerán la noticia que a las 8 de la mañana sabía sólo una persona. Examinemos ahora cómo se ha resuelto el cálculo anterior. Nos hemos limitado a sumar la siguiente serie de números:

1 + 3 + (3 x 3) + (3 x 3 x 3) + (3 x 3 x 3 x 3), etc.

¿No puede averiguarse esta suma más brevemente, como hemos hecho antes con la suma de los números de la serie 1 + 2 + 4 + 8, etcétera? Es posible si tomamos en consideración la siguiente propiedad de los sumandos:

En otras palabras, cada número de esta serie es igual al doble de la suma de todos los números anteriores más una unidad. De aquí se deduce que para encontrar la suma de todos los términos de la serie, desde uno hasta cualquier término, basta agregar a este número su mitad (habiendo restado previamente el último término de la unidad).

Por ejemplo la suma de los números

es igual a 729 más la mitad de 728; es decir, 729 + 364 = 1.093. En el caso concreto a que nos referíamos, cada vecino que sabía la noticia la comunicaba sólo a tres ciudadanos. Pero si los habitantes de la ciudad hubieran sido más locuaces y hubieran comunicado la noticia escuchada, no a tres, sino por ejemplo, a cinco o a otros diez, está claro que el rumor se hubiera difundido con mucha mayor rapidez todavía. Si, por ejemplo, se transmitiera cada vez a cinco personas, la información de la ciudad presentaría el siguiente cuadro:

Antes de las 9.45 de la mañana era ya conocida por los 50.000 habitantes de la ciudad.

El rumor se difunde todavía con mayor rapidez si cada uno de los que lo escuchan transmite la noticia a 10. Entonces resulta la curiosa serie de números:

El número siguiente de esta serie será evidentemente 111.111; lo que indica que toda la ciudad conoce la noticia poco después de las nueve de la mañana.