A1 A2 A3 A4 A5...

Entonces los reordena en una única línea infinitamente larga, en el orden

A1 — A2 B1 — A3 B2 C1 — A4 B3 C2 D1 — A5 B4 C3 D2 E1...

(Para ver el patrón, mire a lo largo de sucesivas diagonales corriendo desde arriba a la derecha hasta abajo a la izquierda. Hemos insertado guiones para separarlas.) Lo que la mayoría de las personas haría ahora sería mudar a todos los huéspedes existentes a las habitaciones pares, y luego llenar las habitaciones impares con los nuevos, en el orden de la línea infinitamente larga. Eso funciona, pero hay un método más elegante, y el administrador, siendo un matemático, lo descubre inmediatamente. Carga a todo el mundo otra vez en un único coche de Infinity Tours, llenando los asientos en el orden de la línea infinitamente larga. Esto reduce el problema a uno que ya ha sido resuelto.

El hotel de Hilbert nos dice que tengamos cuidado cuando hacemos suposiciones sobre el infinito. No puede comportarse como un número finito tradicional. Si uno añade uno al infinito, no se agranda. Si uno multiplica infinito por infinito, todavía no se agranda. El infinito es así. A decir verdad, es fácil llegar a la conclusión de que cualquier suma que involucre infinito resulta infinita, porque uno no puede obtener nada más grande que infinito.

Eso es lo que todo el mundo pensaba, lo cual es bastante bueno si los únicos infinitos con los que alguna vez ha tropezado son los potenciales, a los cuales uno se acerca en una secuencia de pasos finitos, pero que en principio continúa tanto como desee. Pero en los 80, Cantor estaba pensando en verdaderos infinitos, y abrió una verdadera caja de Pandora de infinitos aun-más-grandes. Los llamó números trans-finitos, y tropezó con ellos cuando estaba trabajando en una área de análisis santificada y tradicional. Eran realmente cosas difíciles, técnicas, y lo condujeron hacia senderos inexplorados. Reflexionando profundamente sobre la naturaleza de estas cosas, Cantor se desvió de su trabajo en un área de análisis completamente respetable, y empezó a pensar en algo mucho más difícil.

Contar.

La manera acostumbrada en que empezamos los números es enseñando a los niños a contar. Aprenden que los números son ‘cosas que se usan para contar’. Por ejemplo, ‘siete’ es donde se llega si empieza a contar desde ‘uno’ el domingo y se detiene el sábado. De modo que la cantidad de días en la semana es siete. ¿Pero qué clase de bestia es siete? ¿Una palabra? No, porque se puede usar el símbolo 7 en su lugar. ¿Un símbolo? Pero entonces, hay la palabra... de todos modos, en japonés, el símbolo para 7 es diferente. Entonces, ¿qué es siete? Es fácil decir qué son siete días, o siete ovejas, o siete colores del espectro... ¿pero qué hay del mismo número? Uno nunca se tropieza con un ‘siete’ desnudo, siempre parece estar pegado a alguna colección de cosas.

Cantor decidió hacer una virtud de una necesidad, y declaró que un número era algo relacionado con un conjunto, o una colección, de cosas. Uno puede armar un conjunto de cualquier colección de cosas en absoluto. Intuitivamente, la cantidad que se obtiene contando le dice cuántas cosas pertenecen a ese conjunto. El conjunto de días de la semana determina el número ‘siete’. La maravillosa característica del enfoque de Cantor es ésta: uno puede determinar si cualquier otro conjunto tiene siete elementos sin contar ninguno. Para hacerlo, sólo tiene que hacer corresponder los miembros de los conjuntos, de modo que cada elemento de un conjunto coincida precisamente con uno del otro. Si, por ejemplo, el segundo es el conjunto de colores del espectro, entonces usted podría corresponder los conjuntos de esta manera:

Domingo Rojo

Lunes Naranja

Martes Amarillo

Miércoles Verde

Jueves Azul

Viernes Violeta

Sábado Octarino

El orden en que los artículos son listados no importa. Pero no se permite combinar Martes con Violeta y con Verde, o Verde con Martes y Domingo, en la misma correspondencia. O dejar fuera algún elemento de los conjuntos.

Por contraste, si se trata de combinar los días de la semana con los elefantes que sostienen el Disco, se tropieza con problemas:

Domingo Berilia

Lunes Tubul

Martes Gran T'Phon

Miércoles Jerakeen

Jueves?

Más precisamente, uno se queda sin elefantes. Incluso el legendario quinto elefante no nos permite pasar del jueves.

¿Por qué la diferencia? Bien, hay siete días en la semana, y siete colores del espectro, de modo que uno puede hacer coincidir esos conjuntos. Pero hay solamente cuatro (quizás alguna vez cinco) elefantes, y uno no puede hacer coincidir cuatro o cinco con siete.

La profunda idea filosófica aquí es que uno no necesita saber sobre los números cuatro, cinco o siete para descubrir que no hay manera de hacer coincidir los conjuntos. Hablar de los números equivale a ser sabio después del evento. Coincidir viene lógicamente antes que contar. Pero ahora, a todos los conjuntos que coinciden se les pueden asignar un símbolo común, o ‘cardinal’, que es efectivamente el número correspondiente. El cardinal del conjunto de días de la semana es el símbolo 7, por ejemplo, y el mismo símbolo es aplicable a cualquier conjunto que coincida con los días de la semana. De modo que podemos basar nuestro concepto de número en el más simple de coincidencia.

Hasta ahora, entonces, nada nuevo. Pero ‘coincidir’ tiene sentido para infinitos conjuntos, no sólo los finitos. Uno puede hacer coincidir los números pares con todos los números: