LOTERIE, s. f. (Arithmétique.) Espèce de jeu de hasard dans lequel différents lots de marchandises ou différentes sommes d’argent sont déposées pour en former des prix et des bénéfices à ceux à qui les billets favorables échoient. L’objet des loteries et la manière de les tirer, sont des choses trop communes pour que nous nous y arrêtions ici. Nos loteries de France ont communément pour objet de parvenir à faire des fonds destinés à quelques œuvres pieuses ou à quelque besoin de l’État ; mais les loteries sont très fréquentes en Angleterre et en Hollande, où on n’en peut faire que par permission du magistrat.
M. Leclerc a composé un traité sur les loteries, où il montre ce qu’elles renferment de louable et de blâmable. Grégorio Leti a donné aussi un ouvrage sur les loteries, et le P. Ménétrier a publié en 1700 un traité sur le même sujet, où il montre l’origine des loteries, et leur usage parmi les Romains ; il distingue divers genres de loteries, et prend de là occasion de parler des hasards et de résoudre plusieurs cas de conscience qui y ont rapport. Chambers.
Soit une loterie de n billets dans laquelle m soit le prix du billet, m fois n sera l’argent de toute la loterie ; et comme cet argent ne rentre jamais en total dans la bourse des intéressés pris ensemble, il est évident que la loterie est toujours un jeu désavantageux. Par exemple, soit une loterie de 10 billets à 20 livres le billet, et qu’il n’y ait qu’un lot de 150 livres, l’espérance de chaque intéressé n’est que de 150/10 liv. = 15 l. et sa mise est de 20 liv. ainsi il perd un quart de sa mise, et ne pourrait vendre son espérance que 15 liv. Voyez JEU, AVANTAGE, PROBABILITÉ, etc.
Pour calculer en général l’avantage ou le désavantage d’une loterie quelconque, il n’y a qu’à supposer qu’un particulier prenne à lui seul toute la loterie, et voir le rapport de ce qu’il a déboursé à ce qu’il recevra : soit m l’argent déboursé, ou la somme de la valeur des billets, et n la somme des lots qui est toujours moindre, il est évident que le désavantage de la loterie est : (m – n) / m. Voyez AVANTAGE, JEU, PARI, PROBABILITÉ, etc.
Si une loterie contient n billets et m lots, on demande quelle probabilité il y a qu’on ait un lot, si on prend r billets. Prenons un exemple : on suppose en tout 20 billets, 15 lots, et par conséquent 15 billets qui doivent sortir, et qu’on ait pris 4 billets : on représentera ces 4 billets par les quatre premières lettres de l’alphabet, a, b, c, d, et les 20 billets par les vingt premières lettres du même alphabet. Il est visible, 1o. que la question se réduit à savoir combien de fois 20 lettres peuvent être prises quinze à quinze ; 2o. quelle probabilité il y a que l’un des 4 billets se trouve dans les 15. Or l’article COMBINAISON apprend que vingt choses peuvent être combinées quinze à quinze au nombre de fois représenté par une fraction dont le dénominateur est 1. 2. 3. 4. etc. jusqu’à 15, et le numérateur 6. 7. 8… etc. jusqu’à 6 + 14 ou 20. À l’égard de la seconde question, elle se réduit à savoir combien de fois les 20 billets (excepté les quatre a, b, c, d,) peuvent être pris quinze à quinze, c’est-à-dire combien de fois 16 billets peuvent être pris quinze à quinze, ce qui s’exprime (Voyez l’article COMBINAISON) par une fraction dont le dénominateur est 1. 2. 3. 4. etc. jusqu’à 15. et le numérateur 2. 3. 4. etc. jusqu’à 2 + 14 ou 16. Donc la probabilité cherchée est en raison de la première de ces deux fractions, moins la seconde à la première ; car la différence des deux fractions exprime évidemment le nombre de cas où l’un des billets a, b, c, d, sortira de la roue. Donc cette probabilité est en raison de 6. 7. 8. . . . . 20 – 2. 3. 4. . . . . .16 à 6. 7. 8. . . . .20, c’est-à-dire de 17. 18. 19. 20 – 2. 3. 4. 5. à 17. 18. 19. 20.
Donc en général la probabilité cherchée est exprimée par le rapport de (n – m + 1. n – m + 2. . . . . .n) – (n – r – m + 1. n – r – m + 2. . . . . .n – r) à (n – m + 1. n – m + 2. . . . .n). D’où l’on voit que si n – r – m + 1 = 0 ou est négatif, on jouera à jeu sûr. Si, par exemple, dans le cas précédent au lieu de 4 billets on en prenait 6, alors on aurait n – r – m + 1 = 20 – 6 – 15 + 1 = 0 ; et il y aurait certitude d’avoir un lot, ce qui est évident, puisque si de 20 billets on en prend 6 et qu’il en doive sortir 15 de la roue, il est infaillible qu’il en sortira un des 6, les autres ne faisant ensemble que 14. Voyez JEU, etc. (O)