I

La Divina proporción

Una de las operaciones más sencillas que existen para afrontar el tema de la proporción consiste en dividir un segmento de línea de la forma asimétrica más simple:

a) Dado el segmento AB, se sitúa sobre BF, perpendicular a AB, un segmento BD = AB/2, y se une A con D. Con un compás, tomando como centro D, se obtiene DE = DB. Después tomando como centro A, se traza el arco de círculo EC, siendo C el punto buscado.

La longitud AB se ha dividido en dos partes iguales de forma que la mayor es a la menor como la suma de las dos es a la mayor.

AC/CB = AB/AC

a/b = (a + b)/a

Esta proporción, que corresponde a la partición más simple de una magnitud en dos partes desiguales o partición más lógica, es lo que Euclides en el libro VI, proposición 30, de los Elementos, plantea como «dividir una recta dada en extrema y media razón», y define así al inicio del mismo libro (def. 3): «Se dice que una recta está dividida en extrema y media razón, cuando la totalidad del segmento es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor»[7]. Cuando la totalidad del segmento constituye la unidad, la longitud del segmento mayor es 0,618 y la del segmento menor es 0,382.

Hay otra manera sencilla de encontrar esta proporción utilizando regla y compás, y que no parte de la totalidad del segmento sino del segmento mayor:

b) Dado el segmento AC, construir el cuadrado ACDE, buscar el punto medio h del lado AC, unir h con D. Con h como centro, trazar desde D, el arco de círculo que haga intersección con la prolongación de AC, con lo que se obtiene el punto B. Tenemos que:

AC/CB = AB/AC

a/b = (a + b)/a

La relación a/b resultante de la «división de una recta en media y extrema razón» ha recibido diferentes denominaciones en el transcurso del tiempo, pero las definitivas le fueron otorgadas en el Renacimiento. Luca Pacioli la calificó como Divina Proporción en su obra De Divina Proportione, publicada en Venecia en 1509[8], en la que justifica tal denominación en base a las correspondencias que encuentra entre esta proporción y la divinidad misma. Destaca cinco:

1- Ella es una y nada más que una y no es posible asignarle otras especies ni diferencias.

2- Así como in divinis hay una misma sustancia entre tres personas, Padre, Hijo y Espíritu Santo, de la misma manera una misma proporción de esta suerte siempre se encontrará entre tres términos.

3- Dios, propiamente, no se puede definir ni puede ser entendido por nosotros con palabras; de igual manera esta proporción no puede jamás determinarse con número inteligible ni expresarse con cantidad racional alguna sino que siempre es oculta y secreta y los matemáticos la llaman irracional.

4- Así como Dios jamás puede cambiar y es todo en todo, y está todo en todas partes, esta proporción es siempre la misma e invariable y de ninguna manera puede cambiarse.

5- Finalmente, así como Dios confiere al ser la virtud celeste, por ella a los cuatro elementos y a través de ellos a la naturaleza, esta proporción da el ser formal, aquí Pacioli cita a Platón y a su diálogo Timeo, al cielo mismo, atribuyéndole la figura del dodecaedro, sólido compuesto por doce cartas pentagonales que no es posible formar sin la divina proporción[9].

Según Pacioli, Leonardo da Vinci fue el ilustrador de De Divina Proportione[10], y es precisamente a él a quien se atribuye la otra denominación con que es conocida esta proporción: sectio aurea (sección áurea) de donde provienen los nombres de Sección de Oro, Golden Section, Goldene Schnitt, Section d’Or, etc.

La sección áurea, que corresponde a la relación a/b, también puede ser expresada por el número que de ella resulta, un número irracional cuyo valor aproximado en fracciones decimales es:

1,61803398875…

o, más simplemente,

1,618 = número de oro[11]

Veamos su construcción gráfica:

El cuadrado CDEF tiene el lado = 2 en relación a los ejes OA = OB = 1. La diagonal AC = a la diagonal del doble cuadrado CDAA' = √5, porque según el teorema de Pitágoras:

AC² = AA'²+ A'C²

AC²= 2²+ 1²= 5

AC = √5

El punto G donde la diagonal AC corta el eje OB, da:

AG = GC = √5/2

Desde el punto G, centro de OB, trazamos el círculo y tenemos que los radios

GO = GB = OB/2 = ½

El círculo corta la diagonal en dos puntos H y K de tal manera que

GK = GH = ½

Por tanto:

AK = AG + GK = √5/2 + ½ = √5 +½ = 1,618 = φ

La letra griega φ fue sugerida por Mark Barr y W. Schooling en los anexos matemáticos del libro de Theodore Cook The Curves of Life[12] para nombrar el número de oro, por ser la letra inicial de Fidias. El número de oro presenta una serie de características que lo convierten en un número realmente único. Matila Ghyka ha demostrado todas sus propiedades aritméticas y algebraicas, y afirma que «esta razón aparece como una invariante logística que procede del cálculo de relaciones y clases del que Peano, Bertrand Russell y Couturat han demostrado que se puede deducir toda la matemática pura partiendo del principio de identidad».[13]

La serie φ es una progresión geométrica cuya razón es φ con la siguiente propiedad: un término cualquiera de la serie es igual a la suma de los dos precedentes:

1, φ, φ², φ³,… φⁿ

La principal consecuencia práctica de esta propiedad es que partiendo de sus términos consecutivos se puede construir la serie ascendente o descendente de los otros mediante adiciones o sustracciones.

Se trata de una serie multiplicativa y aditiva a la vez, es decir, participa simultáneamente de la naturaleza de una progresión geométrica y de otra aritmética.

El cuadrado es especialmente interesante: el número de oro se eleva al cuadrado sumándole la unidad:

φ²= φ + 1

Propiedad que resulta notable desde el punto de vista aritmético:

φ = 1,618

en lugar de multiplicar:

φ²= 1,618 x 1,618

es suficiente escribir:

φ²= φ+ 1 = 2,618.

Suponiendo desconocido el valor de φ, éste podría ser hallado a partir de la igualdad

φ²= φ+ 1

Se trataría de encontrar un número tal que fuese sobrepasado por su cuadrado en una unidad; dicho de otra manera, consistirá en resolver la ecuación

x²= x + 1

o

x²- x - 1 = 0

cuyas raíces son, como hemos visto anteriormente

x = √5 + ½ = 1,618

x₁= √5 - ½ = 0,618

Pero es más notable aún desde el punto de vista algebraico, pues permite convertir las expresiones de φ en un binomio de primer grado.

Si se divide por φ la expresión

φ²= φ + 1

se obtiene

φ = 1 + 1/φ

o

1/φ = φ - 1 = 0,618

De lo que se deduce que la elevación al cuadrado del número de oro le añade la unidad y su inversa se la suprime. Si

φ²= φ + 1

las potencias sucesivas de φ se podrán escribir

φ³= φ²+ φ

o

φ³= φ + 1 + φ = 2φ + 1

con lo que resulta, por tanto, un binomio de primer grado. Y, para

φ⁴= φ³+ φ²

sustituyendo tendremos

φ⁴= 3φ + 2

Y esto se repetirá sucesivamente. Esta propiedad se formula algebraicamente así:

φn = un φ + u (n-1)

siendo u el término general de la serie de Fibonacci:

φ = 1φ

φ²= 1φ +1

φ³= 2φ +1

φ⁴= 3φ +2

φ⁵= 5φ + 3

φ⁶= 8φ + 5, etc…

Una construcción geométrica muy sencilla permite representar sobre una misma línea recta la serie φ (potencias positivas y negativas):

Tomando como unidad el segmento AB de la recta x, desde el punto B se traza la perpendicular BC = ½ AB; pasando por C se traza la recta Ay. Con C como centro y CE como radio se señala el arco BG; con A como centro y AG como radio trazar el arco GD. Se eleva desde el punto D la perpendicular DH; con H como centro y HD como radio, se señala el arco OK, y con A como centro y AK como radio, el arco KE. Se traza la perpendicular EL. Mediante el mismo método, se traza el arco EM, después el arco MF y así sucesivamente. Si

AB = 1

resulta que

AD = 1/φ ó φ - 1

AE = φ - 2

AF = φ - 3

La construcción de potencias positivas es igualmente sencilla: con C como centro y CE como radio se traza el arco BO; después, con A como centro y AO como radio, el arco ON, con lo que se determina el punto N. Resulta que: AC = √5/2, que CO = ½, y que AN = AO = AC + CO = √5+½= φ. Si se sigue el mismo procedimiento, se pueden trazar sobre el prolongamiento de Ax las longitudes correspondientes a φ², φ³, y sucesivas.

Una propiedad característica del número de oro es que, además de introducir la asimetría, introduce una continuidad al infinito, facultad de repetirse indefinidamente, lo que le convierte, en palabras de Matila Ghyka, en «el más interesante de los números algebraicos inconmensurables»[14]. Esta facultad se demuestra también en las propiedades geométricas de la sección áurea. Si, siguiendo el esquema inicial de «la división de una recta en media y extrema razón», trazamos el correspondiente rectángulo áureo, tendremos:

Un rectángulo en el cual se establecen las relaciones AE/EB = AB/AE = φ, y nos encontraremos con un primer ejemplo de recurrencia formal.

Efectivamente:

Si por E, punto áureo de AB, y siguiendo la perpendicular hasta F, retiramos el cuadrado AEFD, el rectángulo restante es un rectángulo áureo. Si retiramos el cuadrado EBGH, la figura restante, HGCF, también es un rectángulo áureo. Este proceso se podría repetir indefinidamente hasta el rectángulo límite O, que se confunde con un punto.

El ejemplo de recurrencia formal dentro del rectángulo áureo o rectángulo de oro nos permite trazar una de las más bellas curvas matemáticas: la espiral logarítmica, también denominada espiral equiangular:

Pero analicemos algunas particularidades notables de esta figura:

1) El punto límite O se denomina polo de la espiral equiangular, que pasa por los puntos áureos D, E, G, H… He ahí la conexión entre la espiral logarítmica y la sección áurea.

2) Se encuentran puntos áureos alternativos sobre la espiral rectangular ABCFH… sobre las diagonales AC y BF, lo que sugiere un método práctico para construir la figura.

3) Las diagonales AC y BF son mutuamente perpendiculares.

4) AO/AB = OB/OC = OC/OF = φ. Hay un número infinito de triángulos semejantes; cada uno de ellos es igual a la mitad del rectángulo áureo.

Otra propiedad interesante de esta espiral es, que sea cual fuere la diferencia de longitud entre dos segmentos de la curva, la forma se mantiene constante; la espiral no tiene punto final, se extenderá indefinidamente hacia el exterior o el interior, pero permanecerá homotética, es decir, semejante a sí misma. Esta propiedad peculiar de la espiral logarítmica, que no comparte con ninguna otra curva matemática, corresponde al principio biológico que rige el crecimiento de la concha del molusco: ésta crece a lo largo y a lo ancho para adaptarse al crecimiento del animal pero permanece siempre homotética[15]. Según D’Arcy Thompson, «la existencia de esta relación de crecimiento constante, de esta forma constante, constituye la esencia de la espiral equiangular y puede ser considerada como la base de su definición»[16]. Espirales como ésta han existido en la naturaleza desde hace millones de años. Es posible que éste sea el origen de la seducción que su belleza ejerce a la mirada humana. Theodore Cook[17] ha estudiado la presencia de la espiral en la botánica, tanto en lo que se refiere al perfil de una planta o de sus diferentes partes, como en el análisis matemático de los diagramas de crecimiento y la disposición de las hojas y los granos; también los ha estudiado en los organismos animales, en los cuernos de los antílopes y las cabras… y observa que una progresión geométrica como la serie φ se puede considerar como el esquema numérico de las pulsiones radiales de una espiral. «Toda espiral evoca una ley de crecimiento» afirma Ghyka[18], viendo en ello la causa del motivo de la espiral aplicado al arte o como detalle arquitectónico.

Pero el número de oro participa también en la construcción de otra figura geométrica, el pentágono, que subtiende esquemáticamente la morfología de los organismos vivos basados en la simetría dinámica pentagonal. La diferencia esencial entre la naturaleza orgánica y la inorgánica se debe al hecho de que mientras la inorgánica se inclina por el equilibrio perfecto inerte y sus estructuras están regidas por la simetría hexagonal estática, la orgánica en cambio, regida dinámicamente por su simetría pentagonal, introduce una pulsación en progresión geométrica que transcribe el crecimiento analógico u homotético.

La figura representa un pentágono regular convexo (de lado AB) y un pentágono regular estrellado (de lado AC), ambos inscritos en el mismo círculo. Se demuestra que AC / AB = AB / AG = AG / GH = φ. Es decir, la relación entre el lado del pentágono estrellado (o de la diagonal del pentágono convexo), y el lado del pentágono convexo, es igual al número de oro. También el pentagrama completo está formado por cinco triángulos isósceles sublimes (denominados así cuando el ángulo en el vértice es igual a 36°). Puesto que conocían las propiedades de esta figura en relación con la razón φ, los pitagóricos otorgaron al pentágono, especialmente al pentagrama, un lugar preferente entre las otras figuras planas y lo convirtieron en emblema simbólico por excelencia de la salud y la vida: el 5, simétrico respecto a la unidad central y asimétrico por impar, es el resultado de la suma del primer par y del primer impar, siendo 2 el primer número femenino y 3 el primer número masculino (de ahí que algunas veces se le denominara matrimonio)[19]. Por eso el pentagrama o pentalfa fue escogido como una contraseña de reconocimiento entre los integrantes de la secta pitagórica y también como símbolo universal de perfección, de belleza y amor. Cábala y alquimia, Medievo y Renacimiento, tuvieron en el pentagrama el símbolo del microcosmos, el hombre físico y astral, perfectamente ajustado a la imagen del macrocosmos como dodecaedro, pues este sólido, con sus doce caras pentagonales aludiendo a los doce signos del zodíaco, fue designado por Platón en el Timeo como símbolo del Universo. He aquí la representación del hombre-microcosmos-pentágono de Henri Corneille-Agrippa, consejero e historiógrafo del emperador Carlos V, tal como aparece en su tratado De Occulta Philosophia (1533), en el capítulo dedicado a la «Proporción, Medida y Armonía del Cuerpo humano», que se inicia con estas palabras:

Puesto que el Hombre es obra de dios, la más bella, la más perfecta, su imagen, y compendio del mundo universal, es llamado por ello el pequeño mundo, y por consiguiente encierra en su composición más completa, en su armonía… todos los números, las medidas, los pesos, los movimientos…[20]

El pentagrama, estrella de cinco puntas, es, aún hoy en día, un emblema reconocido mundialmente.

Pero hay otra figura relevante que aparece en el interior del pentágono.

La crónica explica que en tiempos de los griegos se construyó una maravillosa «taza de oro» compuesta de una copa y su pie. No se explica cuál era su perfil sino sólo que si se dibuja un pentágono convexo regular ABCDE y se trazan las diagonales BE, BD, EC, la parte sombreada da la armadura esquemática de la taza[21].

Matila Ghyka se hace eco de esta ley de la taza de oro que habría sido enunciada en Egipto y Babilonia y, recogida en Bizancio por los cruzados, habría sido utilizada por arquitectos y plateros de Occidente.

En cuanto al decágono regular, una figura emparentada con el pentágono, la presencia de φ se encuentra en la relación entre su lado y el radio, así como entre el lado del decágono estrellado y el radio correspondiente. Es decir:

AC/OA = OA/AB = φ

Pentágono y decágono han sido los dos polígonos regulares más utilizados en la arquitectura; por ejemplo, el pentágono ha conformado muchos rosetones del gótico, mientras que el decágono ha sido utilizado en los trazados de templos como el de Minerva Médica, en Roma, o el Mausoleo de Teodorico, en Rávena.

Después de haber analizado, muy sumariamente, las propiedades matemáticas de la sección áurea, se puede comprender mejor la admiración que siempre ha despertado. Se trata de una razón, un invariante algebraico, que nace de una operación muy sencilla: una progresión geométrica con unas características formales que la convierten en paradigma de la recurrencia, de la identidad en la variedad. Su presencia es constante en biología: el número de oro es un símbolo de la pulsación de crecimiento, un atributo por excelencia de la forma viva.

Las correspondencias que señala Pacioli son menciones de las propiedades matemáticas de esta proporción, desde la inexistencia de solución racional aritmética, de ahí su categoría de irracional e inconmensurable, hasta la presencia implícita en la construcción del pentágono. Por eso, es extremadamente importante el calificativo de «divina»: no se trata sólo de un síntoma, de la conclusión lógica resultante del saber renacentista, sino que supone el reconocimiento explícito de la larga tradición que desde sus orígenes ha rodeado a esta proporción y, por eso mismo, su futura revalidación.

I. I Fortuna histórica de la divina proporción

En los Elementos de Euclides, la obra en la que toda la matemática empírica contenida en las observaciones de babilonios y egipcios adquiere su carácter teórico y especulativo, es donde se encuentra la primera fuente documental importante sobre la sección áurea.

Euclides dedicó una veintena de proposiciones de cuatro libros de los Elementos a la «división de una recta en media y extrema razón», lo que atestigua de entrada el favor que le otorga. En el libro II, proposición 11 y en el libro VI, proposición 30, practica la sección con dos métodos diferentes; en el libro IV, proposiciones 10-14, la aplica a la construcción de un triángulo isósceles y al pentágono regular; en el libro XIII, que trata de los cinco sólidos regulares inscribibles en una esfera, dedica 12 proposiciones al enunciado y demostración de ciertas propiedades de sus segmentos y los aplica a la construcción de los poliedros y a la comparación de sus aristas[22].

En cuanto a la fortuna pre-euclidiana del problema, se supone iniciada con lo que se cree que fue su descubrimiento empírico, probablemente en la época prehistórica. Esta creencia se basa en la necesidad, para resolver problemas prácticos, de la división de un círculo en x partes iguales y, más precisamente, en la división por cinco, número que preside tanto el cuerpo humano como, por ejemplo, muchas variantes de flores en la naturaleza. De ahí a la construcción del pentágono regular convexo o estrellado, con el que se presenta la sección áurea bajo la mirada, seguramente atónita, del hombre primitivo, sólo hay un trazo. Y si se tiene en cuenta la comprobación, enunciada por Zeising[23], de que (como dato estadístico medio) el ombligo divide el cuerpo humano adulto según la razón φ, se puede explicar mejor la presencia de la sección áurea, o más bien de las figuras geométricas ligadas al número de oro, en las obras de arte, tanto pintura, escultura como arquitectura, de este amplio período que abarca desde la pintura neolítica hasta Grecia[24]. Pero en Grecia comienza propiamente la historia del número de oro. En cuanto a las fuentes de Euclides, Paul-Henri Michel establece dos tipos: las fuentes directas, fundamentalmente Eudoxo y Teeteto, las cuales se insertan entre las escuelas matemáticas anteriores a Platón, básicamente pitagóricas, y la escuela de Alejandría; y las fuentes más antiguas que, tratándose de la prehistoria del número de oro, forzosamente han de ser conjeturas más prudentes: éstas son, más que fuentes, pruebas de la antigüedad del tema que se basan en el lugar que ocupa el problema de la «división de una recta en media y extrema razón» en los Elementos y en la manera como es tratado. Y se basan, también, en las aplicaciones que se hacen en el libro IV y en el libro XIII. En síntesis, todas ellas permitirían afirmar que en la época de Platón el problema ya era antiguo, y que, como mínimo, era parte integrante del fondo de la matemática pitagórica[25]. Efectivamente, sus cualidades como sección implícita en el pentágono estrellado, así como el hecho de ser un número irracional, atrajeron la atención, la admiración y la veneración de los pitagóricos, que consideraron al pentagrama o pentalfa como su contraseña, guardando como un magno secreto su construcción. Desde entonces, si no viene de más lejos, crece una leyenda que atribuye a la sección áurea un valor místico y un interés estético.

En 1920, Jay Hambidge publicaba un estudio sobre el vaso griego[26] en el que constataba la utilización de los rectángulos «dinámicos» y sus múltiples divisiones armónicas —dynamic symmetry— como un método para establecer relaciones de áreas en el dibujo y la composición. Hambidge distinguía dos tipos de rectángulos: aquellos de módulo n en que n es un número entero o fraccionario, que denominaba «estáticos», y aquellos otros en que n es un número irracional que puede construirse gráficamente, a los √2, √3, √4 = 2, √5. Tanto el cuadrado como el doble cuadrado pertenecen a los dos tipos. A partir de ahí, Hambidge demostraba que los rectángulos «dinámicos» eran el fundamento de los métodos compositivos del arte griego. Un poco más tarde, en 1924, ampliaba este análisis al Partenón y a otros templos griegos[27], señalando el papel que los trazados geométricos ligados a la sección áurea jugaban en la arquitectura del siglo V a. C. Véase a la derecha la generación de los rectángulos «dinámicos» a partir del cuadrado en las dos versiones de Hambidge.

Después de Eudoxo y Euclides, el estudio de los problemas relativos a la sección áurea fue continuado entre otros por Hispidles; sin embargo, fue a partir de las traducciones de los Elementos realizadas por los árabes cuando alcanzó una amplia difusión. Por otra parte, la tradición pitagórica, en lo que se refiere a la teoría de los números, nos fue legada por medio de los tratados de Nicómaco de Gerasa, un pitagórico del siglo I a. C.; una gran parte de su tratado sobre aritmología y mística del número fue compilado por Jámblico en el siglo IV y traducido por Boecio un siglo más tarde, traducción que ejerció una gran influencia durante toda la Edad Media[28].

En el siglo XII destaca la figura de Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, autor de un importante tratado, el Liber Abaci, donde entre otros problemas teóricos y prácticos aparece una serie de números, la sucesión de Fibonacci, en la que cada término es igual a la suma de los dos precedentes, propiedad aditiva que comparte con la serie φ, con la que le unen otros lazos pues la razón entre dos de sus términos consecutivos tiende hacia un límite que es precisamente φ[29]. En el siglo XIII, el famoso álbum de croquis de Villard d’Honnecourt, que más que plantear problemas especulativos propone recetas prácticas, utiliza el pentagrama como trazado directriz tanto para la cabeza y el cuerpo humano como para animales o plantas, al tiempo que su autor recuerda a quien quiera obrar convenientemente que la geometría de las formas es absolutamente imprescindible[30].

El primer traductor latino y comentador de Euclides fue Johannes Campanus, de Novara, nacido a finales del siglo XIII. Su traducción a partir de una versión árabe, aunque terminada en 1354, se imprimió en Venecia en 1482. Entre otros numerosos fragmentos que hacen referencia a la sección áurea, se suele citar un pasaje que figura en esta traducción: «proportionem habentem medium duoque extrema»[31]. A partir de la obra de Campanus de Novara, se multiplican las ediciones de los Elementos en latín a lo largo del siglo XVI, mientras que en el siglo siguiente comienzan a aparecer ya las ediciones vulgares.

Pero en el siglo XVI es especialmente relevante la figura de Luca Pacioli, autor de la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita impresa en Venecia en 1494; y la ya citada De Divina Proportione, escrita en la corte de Ludovico el Moro, tratando «questione de secretissima scientia»[32].

En De Divina Proportione, destacan de forma predominante las concepciones místicas, pitagóricas y platónicas, en torno a las virtudes de la sección áurea. Después de unos primeros capítulos de dedicatoria al duque, pasa a especificar el «título que conviene al presente tratado»[33]: aquí es donde describe las cinco correspondencias, anteriormente citadas, que hacen a esta proporción parecida al mismo Dios. El capítulo sexto trata de la «digna alabanza» de la divina proporción y escribe: «Esta nuestra proporción, oh excelso Duque, es tan digna de prerrogativa y excelencia como la que más, con respecto a su infinita potencia, puesto que sin su conocimiento muchísimas cosas muy dignas de admiración, ni en filosofía ni en otra ciencia alguna, podrían venir a luz. Y, ciertamente, esto le es concedido como don por la invariable naturaleza de los principios superiores, según dice nuestro gran filósofo Campano, famosísimo matemático, a propósito de la décima del decimocuarto[34], máxime cuando se ve que ella hace armonizar sólidos tan diversos, ya por tamaño, ya por multitud de bases, y también por sus figuras y formas, con cierta irracional sinfonía, según se comprenderá de nuestras explicaciones, y presenta los estupendos efectos de una línea dividida según esa proporción, efectos que verdaderamente deben llamarse no naturales sino divinos»[35]. Los capítulos 7-23 tratan de los efectos de la sección áurea. Los que van del 24 al 47 tratan de los cinco cuerpos regulares, de la imposibilidad de que haya más, de la proporción de sus superficies y de la inserción de unos en otros. En los capítulos que siguen, 48-70, se analizan los cuerpos dependientes de los regulares, el cuerpo esférico, los cuerpos oblongos y, en el último capítulo, se explica qué quieren decir algunos vocablos utilizados por los matemáticos. Una segunda parte trata sobre la medida y proporciones del cuerpo humano, simulacro de la arquitectura, ya que «como dice nuestro Vitrubio, tenemos que dar proporción a todo edificio a semejanza de todo el cuerpo que está bien proporcionado con respecto a sus miembros»[36]; y, por tanto, Pacioli explicará a continuación algunas normas aplicables a las proporciones de edificios. La tercera parte es el Libellus de quinque corporibus regularibus que, según comentario de la época recogido por Vasari, era atribuido a Piero della Francesca y habría sido plagiado por Pacioli. Julius Schlosser desmiente esta versión argumentando que «como máximo se trata de un trabajo en común de los dos autores»[37].

De Divina Proportione trata, en definitiva, cuestiones que afectan a uno de los temas considerados en el Renacimiento del más alto interés, no sólo en relación a la matemática sino a las ciencias en general e, incluso, a la propia concepción del universo: la teoría de la proporción, tema que, por otra parte, Pacioli había tratado ya en la Summa. Un aspecto destaca en la obra de Pacioli, y es haber atribuido a la proporción aquel significado más general y filosófico que Platón recogió de los pitagóricos y transmitió en algunos Diálogos y especialmente en el Timeo. Por eso, Pacioli puede establecer correspondencias analógicas entre la divinidad y la sección áurea, porque también él se sitúa en el seno de una tradición en la que la matemática es considerada la ciencia de los principios superiores, a la vez sagrada y trascendente, la raíz del espíritu científico que rastrea el camino de la filosofía, y abarca la totalidad del conocimiento. Por eso también, Pacioli contó con una colaboración especial, la de Leonardo da Vinci. Respecto a este punto, para algunos biógrafos de Leonardo está claro que no sólo realizó las ilustraciones del texto sino que incluso participó en la redacción. De esta opinión es Kenneth Clark, que escribe: «(Pacioli) llegó a Milán en 1496 y sabemos por los cuadernos de Leonardo que los dos hombres intimaron muy pronto. Hacia 1497 estaban colaborando en De Divina Proportione. Podemos notar la influencia de Leonardo en algunas partes del texto, y no hay duda de que dibujó las figuras que ilustran la edición de 1509: Pacioli lo dice expresamente en más de una ocasión. Estas figuras son letras mayúsculas ejecutadas a base de un sistema de proporción, y una serie de cuerpos más elaborados de sólidos geométricos. El hecho de que Leonardo dedicase tanto tiempo a esos dibujos abstractos es una prueba de la forma en que sus dotes creativas estaban dominadas por su intelecto. Al hablar de la arquitectura de Leonardo, indicaba yo que resultaba extraño cómo siendo toscano parecía carecer del sentido de la armonía abstracta. Sin embargo, Pacioli, que había conocido a Piero della Francesca, nunca se cansa de alabar la habilidad de Leonardo. Mientras que para Piero della Francesca la proporción era una función del espíritu, para Leonardo era una función de la inteligencia»[38].

Parece que también Durero estuvo en contacto con Pacioli durante su segundo viaje a Italia. En el primero había conocido a Jacopo de Barbari, pintor veneciano que retrató a Pacioli explicando la geometría de Euclides al archiduque de Urbino, rodeado del compás y la regla, un transportador y un dodecaedro, mientras en el ángulo izquierdo del cuadro flota suspendido en el aire un sólido geométrico transparente[39]. Sabemos por el propio testimonio de Durero que Barbari fue el instigador de una investigación que duraría toda su vida: el secreto de las proporciones del cuerpo humano: «Jacopo no quería indicarme abiertamente sus relaciones, eso lo vi claro. Me hizo ver un hombre y una mujer que había realizado a partir de unas ciertas medidas. En aquella época que hubiera gustado menos ver reinos desconocidos que conocer sus teorías»[40]. Después, durante su segunda estancia en Venecia, Barbari dio a Durero una carta de presentación para visitar a Pacioli, que entonces enseñaba matemáticas en Bolonia; ésta es la opinión de Georges Jouven, quien escribe: «Conocemos bien el carácter particular de las matemáticas de Pacioli di Borgo para suponer lo que enseñó a Durero; le habló sin duda de las proporciones del Timeo, y particularmente de la Divina Proporción sobre la que iba a publicar su obra cuatro años más tarde»[41]. En la última carta desde Venecia, Durero escribe a Willibald Pirckheimer: «Después cabalgaré hasta Bolonia, por compromisos artísticos; en esta ciudad un hombre me enseñará los secretos de la perspectiva»[42]. Panofsky, en su obra sobre Durero, no menciona la visita a Pacioli y sólo asegura que «se ha dicho que hizo un viaje especial a Bolonia para que le enseñaran «el arte secreto» de la perspectiva»[43]. Pero Jouven, que ha analizado el grabado de 1514 Melencolia I, ha comprobado la presencia de la sección áurea en su composición[44].

Kepler, en su obra «sobre la maravillosa proporción de los orbes celestes y sobre las causas genuinas y verdaderas del número, magnitud y movimientos periódicos de los cielos, demostrado mediante los cinco sólidos geométricos regulares» que se publicó en 1596[45], se refiere a la sección áurea como «uno de los tesoros» que hay en la geometría, siendo el otro «la razón de la hipotenusa al lado en el rectángulo»[46], y en una nota en la que reitera la infinita utilidad y el gran valor de estos dos teoremas hace una distinción entre ellos comparando el primero a una «joya» y el segundo a «una masa de oro»[47]. Posteriormente, según Ghyka, la divina proporción «fue completamente olvidada hasta el momento de ser nuevamente descubierta y puesta de relieve como principio morfológico directriz por el alemán Zeising (hacia 1850)»[48]. Paul-Henri Michel, en cambio, opina que el olvido de la sección áurea es más aparente que real y se explicaría por el rápido progreso de las ciencias exactas; en todo caso se habría salvado definitivamente como parte del tesoro euclidiano, pues los Elementos continuaron siendo estudiados y comentados, y se sucedieron las ediciones vulgares: Michel cita la última en Francia, la de Peyrard, París 1816-1818.[49]

Diagrama de M. Ghyka que ilustra las teorías antropométricas de A. Zeising

En 1854 Adolf Zeising publica Neue Lehre von den Proportionem[50] y, en 1855, Aesthetische Forschungen[51] investigaciones estéticas en las que destaca las cualidades de la sección áurea y por ella explica ciertos fenómenos de la naturaleza, las plantas, las proporciones del cuerpo humano, de algunas especies de animales, y ciertos aspectos de la belleza del arte, algunos templos griegos, e incluso la música. Seguramente, es a Zeising a quien hay que atribuir el desvelamiento de un código de las proporciones (Proportional Gesetz) que, enfatizando el papel de la sección áurea y sus virtudes, genera una corriente de pensamiento que se materializa en una amplia bibliografía sobre el tema.

En este aspecto, es fundamental la aportación de Hermann Graf en su Bibliographie zum Problem der Proportionem[52] que deja constancia de ello, en especial en lo que se refiere a Alemania. Desde 1845, en que se publica la obra de Zeising, hasta 1914 en que se publica la obra de Theodore Cook, se editan sólo en Alemania unas doce obras sobre la sección áurea, destacando en esta corriente las teorías de Theodor Fechner[53], uno de los fundadores de la psicofísica y representante de la estética experimental, quien realizó en 1876 una serie de ensayos en los que aplicaba los métodos experimentales a la estética: uno de ellos consistía en hacer escoger a un grupo de personas entre una gama de rectángulos más o menos alargados el que les gustase más: el rectángulo que obtuvo mayor preferencia fue aquel cuyos lados se relacionaban entre sí como 34/21, lo que es igual a 1,619…, cifra próxima al número de oro, con lo que se demostró el efecto directo de su impresión estética. Estos ensayos fueron continuados por Witmar en 1894, por Lalo en 1908 y por Thorndike en 1917, con resultados muy próximos a los de Fechner[54].

Si para los comentadores de los Elementos de Euclides la sección áurea no representaba más que una solución geométrica de una ecuación, lo que caracteriza el retorno del número de oro en el siglo XIX es el hecho de reivindicarlo desde sus fuentes pre-euclidianas, desde el pitagorismo, para despertar su espíritu y descubrir nuevamente los principios de la naturaleza y del arte. Es así como desde el inicio del nuevo siglo se suceden una serie ininterrumpida de análisis; mientras unas obras presentan las cualidades del número de oro[55], otras lo aplican al estudio de la zoología y la botánica, por ejemplo, la ya citada The Curves of Life de Theodore Cook; otras, finalmente, intentan aclarar los procedimientos compositivos del arte de los clásicos: entre éstas cabe recordar las obras citadas de Hambidge, la de Caskey[56], que utiliza el método de Hambidge, y las de Macody Lund[57], y Ernest Moessel[58].

También en los ambientes artísticos, desde finales del siglo XIX, se renueva el interés por la sección áurea.

En el último tercio del siglo XIX, el artista francés Georges Seurat, iniciador de una corriente artística que él denominaba cromo-luninarismo o divisionismo pero que recibió el nombre histórico de neoimpresionismo, quiso superar las tentativas empíricas de los impresionistas y, al mismo tiempo, liberar a la materia cromática de toda contingencia anecdótica y pintoresca. Este ideal encontró una inmejorable asistencia en el carácter científico de la época: los tratados de Chevreul, Sutter, Blanc, Rood y Henry, le proporcionaron los argumentos para crear una regla cromática y estética basada en las leyes que gobiernan la luz y el color en el mundo físico[59]. El convencimiento de Seurat de que el arte no tiene por objeto reproducir cosas sino expresarlas mediante el lenguaje que le es propio fue lo que le hizo investigar las claves de este lenguaje; para hacerlo se respaldó en la cultura científica de su tiempo: dividió el tono en sus componentes elementales y los organizó sobre la tela basándose en reglas fijas. Igualmente dividió el espacio en unidades elementales: líneas verticales, horizontales, diagonales, organizándolas en un conjunto solidario, una estructura. Pero en esta estructura ya no contaba la relación entre interior y exterior, entre el cuadro y las apariencias fenoménicas, sino únicamente la relación interna de las unidades citadas. Y ahí tenía un papel fundamental la composición. En su obra, realizada en el breve periodo que va de 1881 a 1891, utilizó diferentes sistemas de composición. Respetó la simetría, tan estimada por los grandes clásicos especialmente por arquitectos como Philibert Delorme, Jules Hardouin-Mansart, Jacques-Ange Gabriel, Claude-Nicolas Ledoux…[60] Un eje central divide verticalmente la superficie en dos partes iguales. Muchas veces el eje es sólo aproximado, afirmándose al dibujar el elemento que ocupa el lugar central, aunque en otras ocasiones el centro queda vacío y la simetría es contrapuesta a través de masas laterales. En general, Seurat utiliza dos tipos de composición, la geométrica y la armónica. La primera se determina por la separación a través de un eje central de las partes laterales que, a su vez, se ordenan a partir de ejes secundarios. La composición armónica es una figura geométrica cuyo dibujo coincide con las líneas principales. Seurat divide los laterales de sus cuadros en «media y extrema razón» creando proporciones armónicas o secciones áureas, como lo ha querido demostrar, entre otros autores, L. Hautecœur, al analizar las líneas compositivas de algunas obras de Seurat[61]. Por ejemplo, en Le Chahut, considera en primer lugar los dos ejes AB y CD que dividen la tela simétricamente vertical y horizontalmente; a continuación, las divisiones según la sección áurea: EF, GH, IJ y KL; las líneas de los rectángulos secundarios ST, UV, MN, OP; finalmente, las diagonales GJ, AL, 1L, CH, que dan las inclinaciones de las cabezas de los bailarines, del movimiento de las piernas, y la dirección del mástil del contrabajo[62]. Por su parte, M. Marlais ha analizado la relación entre Seurat y sus compañeros de L’École des Beaux-Arts de París, Aman-Jean y Seon, muy influenciados por Puvis de Chavannes quien, afirma, construía su obra según la sección áurea[63]. Con su estética y su técnica, Seurat quiso extraer del impresionismo ciertas conclusiones; éstas no sólo le superaron sino que contribuyeron a sentar las bases de movimientos posteriores como el Cubismo o el Purismo[64].

Le Chahut. Análisis compositivo de L. Hautecœur.

A principios del siglo XX, un grupo de artistas reivindicarán clamorosamente la sección áurea. En octubre de 1912 se inaugura en la Galerie La Boétie de París una exposición que ha sido reconocida como la principal manifestación y la última de la vanguardia en Francia antes de la I Guerra Mundial: La Section d’Or. En ella se presentaban obras de Gleizes, Metzinger, Lhote, Duchamp, Duchamp-Villon, La Fresnaye, Marcoussis, Archipenko, Laurencin, Picabia Henri Valensi, Kupka, Villon, Léger, Gris… (pero no figuraba ninguna de Picasso o de Braque). Aunque para el público, la prensa y buena parte de la crítica, ésta era otra exposición «cubista», los organizadores enfatizaron el nombre de la exposición con la publicación de un primer, y único, número del Bulletin de la Section d’Or[65]. ¿Por qué precisamente esta divisa? Su promotor fue Jacques Villon y así lo corroboró años más tarde en una conversación con Dora Vallier: «De entrada, reclamo la paternidad de este título. En 1912, nuestras telas reunidas en una galería de la rue La Boétie formaron la primera exposición de la Section d’Or. En nuestras conversaciones hablábamos mucho de la organización de la tela. La idea de que una tela debía ser razonada antes de ser pintada había calado hondo en nosotros. No sabíamos nada del problema de la sección de oro en las concepciones de los antiguos griegos. Yo había leído el Tratado de la Pintura de Leonardo y había visto la importancia que le daba. Pero fue sobre todo hablando como fijamos nuestras ideas sin saturarnos demasiado de ciencia»[66]. Es importante el contexto de estas declaraciones de Villon puesto que, al evocar la formación de La Section d’Or, destacaba aquello que les definía y a la vez les separaba del cubismo. En realidad, Cubismo y Section d’Or habían partido de una premisa común: la insatisfacción frente a los medios de expresión plástica que los impulsaba a una búsqueda infatigable pero de direcciones opuestas; porque todo aquello que para Picasso era sólo pura literatura, «las matemáticas, la trigonometría, la química, el psicoanálisis, la música»[67], eran argumentos que, aún en un estadio intuitivo, nutrían las conversaciones y discusiones del grupo de artistas que se reunían en el taller suburbano de Villon, en Puteaux. Y marcan las distancias entre el cubismo de la práctica pura de Picasso y Braque del de quienes a pesar de ser denominados cubistas formaron La Section d’Or; éstos se inclinaban por una reflexión teórica, especialmente orientada hacia la recuperación del principio de armonía perfecta de la forma, con la introducción del concepto de proporción en la estructuración de la tela. Éste era en realidad un grupo de heterodoxos para quienes el cubismo no era tanto un estilo coherente que compartían sin vacilaciones como un potente estímulo para la génesis de una teoría estética. Y la clave de su intencionalidad está en la divisa que los agrupa, una referencia ineludible a la relación aritmética y geométrica que más ha intrigado desde la antigüedad.

Richard V. West, que ha analizado la historia de La Section d’Or, ha reconocido a Paul Sérusier como un antecedente de las teorías que habrían tenido un efecto inmediato en las ideas de los artistas de este grupo[68]. Efectivamente, Sérusier, un miembro del grupo de Pont-Aven, escribió ABC de la Peinture (en 1909, aunque se publicó en 1921)[69] tratando básicamente de aquel lenguaje universal sin el cual, dice el autor, no existe la obra de arte: el lenguaje que se afirma en la ciencia de los números y cuya aplicación práctica es la geometría. Sérusier era profesor en la academia Ranson, donde estudiaron muchos artistas, entre ellos Roger de la Fresnaye. Estuvo vinculado con el Père Pierre Lenz, fundador de una escuela de arte religioso en el monasterio benedictino de Beuron en Alemania, el enlace entre las teorías estéticas alemanas sobre las propiedades de las proporciones y el propio Sérusier, quien, después de visitar la escuela en 1895, tradujo al francés el libro de Lenz y lo publicó en París en 1905 con una introducción de Maurice Denis[70]. Una idea esencial de Lenz era que los principios matemáticos simbolizaban y reflejaban el orden divino del cosmos, idea que Sérusier retomaría posteriormente en su propio libro al escribir:

Orner une surface, c’est en souligner les bonnes proportions. Si celles-ci ne sont point bonnes, l’ornement ne sert qu’à les dissimuler; ce n’est plus que du camouflage, c’est-à-dire une tromperie, un mensonge. J’apelle bonnes proportions les proportions sur lesquelles est construit le monde extérieur, y compris notre corps; ce sont celles qui reposent sur les nombres premiers les plus simples, leurs produits, leurs carrés et leurs racines carrées[71].

Sérusier destaca a continuación la coupe d’or ou section d’or (las relaciones de los lados del pentágono regular y del pentágono estrellado inscrito), considerada «desde la más remota antigüedad como la más bella. Su fórmula es √5 + ½, que da aproximadamente 1,6180339…»[72]

En octubre de 1919, Archipenko, Gleizes y Survage fundaron una segunda Section d’Or con el fin de dar a conocer las obras de artistas innovadores de cualquier nacionalidad. Su comité estaba formado por Archipenko, Braque, Gleizes, Férat, Léger, Marcoussis y Survage. La sede estaba instalada en el 229 del boulevard Raspail en París. En marzo de 1920 realizaron la primera exposición en la Galerie La Boétie.

En este punto, podemos incluir una cuestión que, en lo que atañe a los artistas contemporáneos, se ha considerado controvertida: ¿Utilizaron los artistas de la Section d’Or la sección áurea como proporción geométrica en la composición de sus cuadros? Villon fue absolutamente categórico:

Comme au Moyen Age on faisait une prière avant de commencer à peindre, ainsi je m’appuie sur la section d’or pour avoir une assurance première.[73]

Otros dos comentarios del propio Villon podrían explicar un hipotético porqué:

Je sais bien que l’art est un jeu, je sais bien qu’il est périssable, mais j’aime tout de même aller jusqu’au bout de la création.

J’ai peur du hasard[74].

Frente al proceder modesto de Villon, encontramos la actitud siempre distanciada e irónica de Marcel Duchamp que, de entrada, anuncia que participará en la exposición de La Section d’Or con una obra titulada precisamente Section d’Or; obra que no presentó sino que expuso Mariée, realizada aquel mismo año y cuyas medidas eran 89 x 55 cm., cifras que divididas dan como resultado 1,618… el número de oro. Ulf Linde ha trazado un esquema de las proporciones del Grand Verre de Duchamp, que prueba el uso de la sección áurea en las dos partes en que se divide la composición[75]. Pero el interés de Duchamp en la aplicación de la sección áurea o su insistencia en el uso de la perspectiva podría no ser tan significativo si no tuviésemos referencias de su método de trabajo. En este sentido hay un documento curioso, raro: se trata de los apuntes manuscritos para una novela, nunca acabada, de Henri-Pierre Roché sobre Duchamp, de quien fue gran amigo y confabulador desde que Roché desembarcó en Nueva York en 1916. Entre los apuntes de la novela, que debía titularse Victor, el personaje de Duchamp, hay un capítulo dedicado al Grand Verre y otro sobre su actividad: «Victor trabaja lentamente, como desinteresado, dos horas. Es su dosis. Con un compás y una regla, traza una curva de caracol: no quiere que su gusto ni ninguna habilidad de su mano intervengan, le horroriza, pide ayuda a la geometría y a las matemáticas para aferrarse a un absoluto»[76]. Las palabras precisas, como todos los escritos de Roché, definen un procedimiento pero también un talante que, aun siendo muy diferentes, Duchamp compartía con Villon; este talante se muestra especialmente en el afán de eludir la repetición que engendra el gusto, tantas veces condenado por Duchamp y que Villon expresaba así: «Evito el gusto. Hago todo por evitarlo. No pongo un color o una línea sin que haya una razón, una razón interior que se une a la razón que está en el fondo de mí mismo. Si el gusto interviene, uno sólo puede sobreañadir elementos, mientras que, como lo he ido viendo, la previsión es la que completa una tela»[77]. Ansia por evitar lo accesorio, lo superfluo, todo lo que se dirige sólo a los sentidos, disposición para seguir la máxima de Leonardo «la pintura es cosa mental». Y Roché formula claramente el objetivo de este proceso: aferrarse a un absoluto.

M. Duchamp, Mariée, 1912

Trazado según la sección áurea del

Pero no son los hermanos Duchamp los únicos en respaldarse en la geometría. En 1965, William Camfield trataba de dilucidar en un artículo esta cuestión: ¿había utilizado Juan Gris la sección áurea en la composición de sus pinturas?[78] Evidentemente, Camfield relacionaba de inmediato la cuestión con los expositores y la exposición de La Section d’Or de 1912, destacando que pocas obras de las exhibidas estaban basadas en sistemas geométricos simples, y citaba expresamente Portrait de M. Robert G… una obra de Gleizes de 1910, y La Jeune femme de Villon de 1912, excepto las de Gris.

Dos aspectos sobresalen de la argumentación de Camfield: la formación matemática de Gris en sus años de estudiante en Madrid, corroborada por Kahnweiler, y su entorno en París entre personajes que podían haberlo interesado en la significación metafísica y estética de la matemática; no sería casual que las más obvias inquietudes de Gris por la composición geométrica coincidiesen con su asociación con el grupo de artistas que se reunía en el estudio de Villon en Puteaux, y que fueron el núcleo organizador de este Salón. Camfield también recuerda que uno de estos artistas, Lhote, afirmaría más tarde que Gris utilizaba la sección áurea en sus pinturas. En efecto, Lhote, en su Traités du Paysage et de la Figure, escribió que «los cubistas, en particular Juan Gris», construían sus cuadros basándose en la sección áurea[79]. Camfield, que reconoce las limitaciones de un análisis de este tipo, examina Le lavabo y Horloge et bouteille, dos obras de Gris de 1912, que con toda probabilidad fueron expuestas en La Section d’Or, y extrae como conclusión que Gris utilizó deliberadamente la sección áurea, así como el sistema modular —éste por su capacidad de coordinación con aquélla, para determinar las líneas principales de la composición. Esta argumentación ha sido refutada por Roger Fischler en dos artículos[80] en los que demuestra que, si bien Gris conocía los métodos de composición basados en el número de oro, no los utilizó nunca.

En 1921 se publica en París Du Cubisme au Classicisme, significativamente subtitulado Esthétique du compas et du nombre, de Gino Severini[81], un libro que fue escrito en un período de su vida en el que predomina una potente voluntad de superar lo que considera como una debilidad o falta de oficio, y que pretende sentar las bases de su estética y de la técnica necesaria para expresarla. Du Cubisme… se inicia constatando el estado de anarquía en que se encuentra el mundo artístico, una constatación muy generalizada en los textos teóricos de la posguerra en Francia; pero Severini define así la causa de esta anarquía: «Los artistas de nuestra época no saben utilizar el compás, el transportador y los números. Las leyes constructivas, desde el Renacimiento hasta nuestros días, han ido olvidándose (…) el arte ha caído definitivamente en el dominio de lo sensorial (…) y cada artista pretende solamente afirmar su individualidad fuera de toda regla o método»[82]. Severini puntualiza que cuando habla de reglas no se refiere a las «fórmulas muertas» que se enseñan en las escuelas de Bellas Artes sino a las leyes eternas de la construcción que están en la base del arte de todos los tiempos. Y en el capítulo III, dedicado a las «proporciones y a su aplicación en el arte», detalla la «división de una recta en media y extrema razón» así como la relación del número de oro con la serie de Fibonacci. Para Severini una estética basada en el número es verdadera porque es conforme a las leyes a través de las cuales nuestro espíritu ha comprendido y explicado el universo desde Pitágoras y Platón. El ritmo está presente en toda la creación según unas leyes que nos permiten recrear o reconstruir los equivalentes del equilibrio y la armonía universales. La finalidad del arte es «Reconstruir el universo según las mismas leyes que lo rigen»[83]. Du Cubisme au Classicisme se publicó con un prefacio de René Allendy, e inmediatamente provocó duras críticas por parte de los cubistas e incluso por parte de aquellos que, como Ozenfant, eran considerados por Severini como «compagni-di-strada»: en L’Esprit Nouveau apareció, firmado por De Fayet, un comentario que critica duramente el exceso de conciencia mística que parece presidir el libro[84]. Ese mismo año Severini recibió un encargo de Léonce Rosenberg que le iba a permitir llevar a la práctica el retorno al oficio y a la tradición clásica que preconizaba en el Du Cubisme… Se trataba de la decoración de una sala del castillo de Montefugoni, al lado de Florencia, propiedad de Sir George Sitwell. Severini escogió como motivo a los personajes de la Commedia dell’Arte, muy contento porque esto le «permitía mantenerse entre lo humano y lo abstracto, entre lo inventado y lo real»[85]. Dividió los muros en espacios limitados armónicamente, basando las composiciones en las propiedades geométricas de los triángulos rectángulos, con la exigencia de trazar sobre el muro, junto al motivo, las fases analíticas del proyecto; en lo que se refiere a la técnica y al color siguió las reglas extraídas de los antiguos tratados relativos al fresco. El interés de Severini por la sección áurea continuó a lo largo de los años, como lo prueban los artículos que escribió en 1941 sobre «la Divina Proporción», y en 1951 sobre «el Número de Oro y otras relaciones de armonía en el arte moderno»[86] (texto de la conferencia que presentó en el Primo Convegno Internazionale sulle Proporzioni nelle Arti, realizado en el marco de la IX Trienal de Milán en 1951, sobre el que volveremos más adelante).

En 1920, Amedée Ozenfant, Le Corbusier y Paul Dermée habían fundado L’Esprit Nouveau, una revista de estética que relacionaba el arte, la ciencia, la política, la economía… No es casual que en la presentación del primer número de la revista se exponga una declaración de principios como ésta: «El espíritu que preside los trabajos de esta revista es el que anima a toda investigación científica. Somos hoy ya bastantes los estéticos que creemos que el arte está sometido a leyes como ocurre con la fisiología o la física… Queremos aplicar a la estética los mismos métodos que la psicología experimental con toda la riqueza de medios de investigación que ésta posee hoy; queremos en definitiva trabajar para constituir una estética experimental»[87]. Como ejemplo de una ley estética citan la sección áurea y los resultados de la experiencia de laboratorio de Fechner, aunque sin mencionarlo; y añaden: «Por otra parte, la Sección de Oro es una de las medidas que se transmitían fielmente los artistas en otro tiempo. El hecho de conocerla dispensa al creador de recurrir al gusto continuamente. Ya no es una regla… es una ley estética que, por otra parte, no es más que una ley física y matemática que percibe nuestra sensibilidad. Nosotros extraeremos numerosas leyes semejantes y, a partir de ella misma, se constituirá una estética experimental»[88]. En el número 17 de L’Esprit Nouveau aparecieron publicados ejemplos de utilización de trazados basados en la sección áurea en dos obras puristas de 1920, Composition à la guitare et à la lanterne, de Charles-Edouard Jeanneret, y Guitare, verre et Bouteilles à la table grise, de Amedée Ozenfant.

Al interés demostrado por Roger Fischler en explicitar que «Ozenfant y Jeanneret no sólo no usaron el número de oro a principios de los años veinte sino que de hecho le eran hostiles»[89], se puede argumentar que nada es menos hostil que la cita explícita sobre la sección áurea del primer número de L’Esprit Nouveau. Pero en lo que se refiere a Ozenfant sus memorias son categóricas: al tratar el tema de la sección áurea, cita un fragmento del libro de Sérusier que se refiere a ésta, para pasar a comentar críticamente «la mística de la Sección de oro», considerada por algunos como «el Abracadabra de la Naturaleza y del Arte»[90]. Ozenfant glosa extensamente la doctrina de la «Divina Proporción», mencionando desde las teorías de Zeising y Fechner a los artistas que como Seurat, Severini y Lhote la han utilizado en sus obras. En este sentido, destacan algunos comentarios: «No nos hemos dado cuenta aún de lo peor: según creo, esta famosa Sección de Oro no puede funcionar visualmente, no más, por otra parte, que cualquier otro sistema de proporción calculado en abstracto… Hay incompatibilidad fundamental entre las proporciones calculadas que son realidades absolutas y el arte que está hecho de ilusiones relativas… Pensar en términos de Unidad Universal, es una filosofía alta y pura, y las matemáticas son el gran arte del pensamiento puro: no las rebajemos al nivel de los trucos ineficaces, aunque estén bautizados con una letra griega»[91].

Sin embargo, la actitud de Le Corbusier respecto a esta cuestión es evidentemente distinta. Siempre lo encontraremos oscilando entre una posible adaptación a las implicaciones de la ciencia moderna y la búsqueda obstinada de una forma de expresión más universal y, por tanto, más tradicional[92]. En su trayectoria artística, los sistemas de proporciones ocupan un lugar fundamental, de tal manera que, desde principios de la década de los veinte en adelante, lo llevarán al intento de concretar un único sistema para proporcionar la arquitectura. En febrero de 1921, L’Esprit Nouveau publicaba el artículo Les tracés regulateurs, donde el trazado es definido como «un seguro contra la arbitrariedad. Procura la satisfacción del espíritu»[93]. Se insistirá en especial en este carácter espiritualmente satisfactorio del trazado: «El trazado regulador es una satisfacción de orden espiritual que conduce a la búsqueda de relaciones ingeniosas y de relaciones armoniosas. Confiere euritmia a la obra»[94]. Presenta ejemplos de trazados, como la fachada del Arsenal del Pireo, el Capitolio de Roma o el Petit Trianon de Versalles; estos ejemplos sirven para demostrar que los trazados «han servido para hacer cosas muy hermosas y son la causa de que estas cosas sean muy hermosas»[95]. Si en un principio la definición de trazado como seguro contra lo arbitrario podía hacer pensar en su aspecto más funcional, una afirmación como ésta conduce a una consideración puramente estética. Paul V. Turner ha enfatizado, en contra de opiniones que presentan la teoría de los trazados de Le Corbusier y el posterior Modulor como periféricos dentro de su estética, la importancia central que tiene para él la creencia en la relación directa entre los sistemas de proporciones y la belleza arquitectónica[96]. Aquí, como en Après le cubisme y en otros textos suyos, el orden discernible de la matemática y la geometría tienen implicaciones psicológicas al aportar seguridad al hombre: «El trazado regulador aporta esta matemática sensible que conduce a la percepción beneficiosa del orden»[97]. Pero al mismo tiempo se puede constatar en los propios ejemplos de trazados sobre fachadas que presenta Le Corbusier la dificultad en ser captados por un posible espectador debido a su carácter de estructura geométrica totalmente abstracta y difícilmente visualizable. Precisamente este aspecto podía haber atraído especialmente a Le Corbusier: este tipo de trazados sólo eran inteligibles para el arquitecto que, a la manera del iniciado, podía introducir a otros en el secreto; pero sobre todo también por el hecho de que, siendo más abstractos, eran a la vez más precisos, más matemáticos y por tanto más próximos al origen de la belleza.

En una nota final del artículo Les tracés regulateurs, Le Corbusier, después de excusarse por presentar sólo ejemplos de trazados suyos, afirma: «…a pesar de mis investigaciones, no he tenido el placer de encontrar arquitectos contemporáneos que se hayan ocupado de esta cuestión; respecto a ella, sólo he provocado asombro, o encontrado oposición y escepticismo»[98]. Oposición y escepticismo: estas dos palabras definirían también la polémica que mantuvo con el artista y teórico del arte checo Karel Teige en 1929 a propósito del Mundaneum. Se trataba de crear en Ginebra «una institución que fuera a la vez Cuartel General para las Asociaciones, Congresos, Movimientos internacionales libres y Centro Científico, documental, educativo, realizando a nivel mundial y con la cooperación de organismos oficiales, las cinco grandes instituciones tradicionales del Trabajo intelectual: Biblioteca, Museo, Asociación Científica, Universidad e Instituto»[99].

El proyecto de Le Corbusier y Pierre Jeanneret preveía la disposición de los diferentes edificios sobre el terreno de acuerdo con un trazado áureo, mientras que asignaba al edificio principal, el Museo Mundial, la forma de un tronco de pirámide de base cuadrada.

Le Corbusier y Pierre Jeanneret, Trazado regulador del Mundaneum, 1929

La polémica iniciada por Teige[100] plantea la cuestión en unos términos próximos a lo que Kenneth Frampton ha definido como «el ideal humanista vs. el ideal utilitario»[101]. Teige ataca el «obvio historicismo y academicismo del Mundaneum» y la no viabilidad de la arquitectura entendida como arte, denunciando las teorías estéticas de Le Corbusier: las teorías de la sección áurea y de la proporción geométrica[102]. Términos que ni tan sólo ocultan entre líneas el carácter ideológico de la polémica. La respuesta de Le Corbusier da lugar a un texto clave desde su título Défense de l’architecture[103] que, tan ambiguo como pueda ser desde un punto de vista político, por contraste con la clara posición de Teige[104] es, en última instancia, la síntesis de unas ideas que estaban ya expresadas a lo largo de otros textos suyos: la de la arquitectura entendida como arte y la de la estética «como una función humana fundamental»[105]. En un texto inédito sobre los trazados reguladores que redactó para la reedición de L’Esthétique des Proportions dans la Nature et dans les Arts de Matila Ghyka[106], escribió: «Hay, en efecto, en la investigación sobre las leyes de la proporción, la manifestación más honesta y más leal la que un artista pueda dedicarse. Yo sitúo al arquitecto de hoy en el terreno de los artistas. Quiero expresar con esto que, más allá de las innumerables tareas de orden práctico que está obligado a cumplir, se inscribe como una necesidad imperativa crear belleza, es decir, proporción. Porque la proporción aporta la belleza»[107]. La búsqueda de lo invariable como pintor, la de la belleza como arquitecto, el interés por los trazados reguladores… no son más que elementos coordinando una idea única: encontrar certezas que liberen al individuo de los caprichos del azar. Y la base de estas certezas está en el reconocimiento de la universalidad de las leyes naturales que rigen el mundo exterior y que condicionan la obra de arte. Por eso Ozenfant y Jeanneret escribirán en Après le cubisme:

Vemos que el conocimiento y la observancia de las leyes generales que condicionan el arte no podrían coartar la libertad de nadie puesto que su uso ha permitido construir obras de una originalidad tan pura y tan diferente como las Pirámides, los palacios de Asiria, el Partenón, las cúpulas persas, las naves góticas, los monumentos de Blondel[108].

La confianza en unas leyes generales también alentaba aquel deseo de certidumbre que se encontraba entonces en lucha constante para integrar el nuevo espíritu propio de la época y aquellas tradiciones que, desde lejos, la distinguían. En ese sentido, Ozenfant y Jeanneret coinciden con Villon, con Gris, con Duchamp, con Severini, con Lhote… También coinciden con Joaquín Torres García: en la lección 1 del Universalismo constructivo, que supone la formulación definitiva de todas sus argumentaciones teóricas, después de insistir en la necesidad de realizar una obra personal y perfecta, reconoce que «nada hay más eficaz a este fin que la observancia de algunas reglas precisas», y a continuación presenta detalladamente su «sistema de proporciones basado en la llamada sección áurea (el segmento dividido en media y extrema razón)»: significativamente, esta primera lección lleva como título «La liberación del artista»[109].

Pero también podemos encontrar la presencia de la sección áurea o de su equivalente aritmético, el número de oro, en la composición musical; por ejemplo, en la obra de Béla Bartók. Aproximadamente en la época en que compone su Primer cuarteto de cuerdas en 1908, elabora un estilo definitivo que, en sus características esenciales, permanecerá intacto hasta sus últimas composiciones. Fiel a sus principios y profundamente convencido de que todas las músicas populares del mundo se pueden hacer derivar de algunas fuentes primitivas, creó un idioma musical basado en el «sistema de la sección de oro», un sistema que integra movimientos primitivos pentatónicos y afinidades primitivas. En palabras de Ernö Lendvai: «Se pueden hacer remontar los acordes de Bartók más característicos a simples intervalos pentatónicos fundamentales. Además, a partir del análisis estilístico de la música de Bartók, he podido llegar a la conclusión de que la característica principal de su técnica cromática es la obediencia a las leyes de la Sección de oro en todos sus elementos»[110]. Lendvai demostró, por ejemplo, que todas las unidades de la Sonata para dos pianos y percusión, desde el conjunto de la obra hasta las más pequeñas células, están divididas según la regla de la sección áurea. Así, la sección áurea del primer movimiento indica el centro de gravedad del movimiento: es el inicio de la repetición. Como el movimiento está constituido por 443 compases, y 443 x 0,618 = 274, la repetición empieza precisamente en el compás 274 (recordemos que cuando la distancia del segmento entero constituye la unidad, la longitud del segmento mayor es 0,618 y la del segmento menor es 0,382). Según Lendvai, la sección de oro es un elemento constitutivo no menos significativo en la creación de la forma, de la melodía y de la armonía en Bartók que la armonización y la construcción armónica en períodos de ocho o de cuatro compases en el estilo vienés clásico[111]. Entre otras obras de Bartók que permiten el mismo tipo de análisis, Lendvai cita expresamente el Castillo de Barba-azul (1911), la Música para cuerdas, percusión y celesta (1936) y el Concierto para Orquesta (1943).

Por todo ello, cuando en 1927 Matila Ghyka publica en París L’Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts[112], una obra de síntesis a la que seguirá en 1931, el definitivo Le Nombre d’Or[113], el terreno estaba decididamente abonado; Le Nombre d’Or es una brillante recapitulación matemático-histórica en la que el propio texto goza de las virtudes esotéricas que rodean a la sección áurea; se inicia con una carta de Paul Valéry en la que afirma: «Este libro faltaba. Ahora existe. Condensa lo que hay de preciso en estética. Me maravilla su amplitud de información. Admiro, sobre todo, el modelado personal que supo imprimir a una materia tan considerable y tan compleja. El eterno deseo de encadenar la morfología física y biológica a la ciencia de las formas creadas por la sensibilidad y el trabajo humano; la necesidad de comparar y de conjugar las estructuras y arquitecturas naturales y las construcciones del artista, la matemática que aparece o que asoma en las primeras, y las fórmulas, aparentemente arbitrarias, que sirven en las artes, es el tema, cuya extensión ha explorado, cuyas partes ha ordenado y cuyos problemas ha enunciado con tanto éxito»[114].

Estos libros de Ghyka ofrecen una amplia y bien documentada revisión de las investigaciones realizadas en el transcurso del último usados en la arquitectura del mundo mediterráneo desde la época clásica, enfatizando la recurrencia del tema de la sección áurea. Ésta, presente también en las formas naturales, en la formación de las conchas, en la disposición de los pétalos de las flores o en la configuración del cuerpo humano, es designada como portadora de verdades profundas que introducen al hombre a la comprensión tanto del microcosmos como del macrocosmos. En la década de los años treinta continua el interés por el tema con la obra de Charles Funk-Hellet[115], en la que aplica el número de oro al análisis de la pintura del Renacimiento; y la obra del escultor húngaro E. Beothy que trata La Serie d’Or[116] de una manera matemática, desarrollando un método claro para ser utilizado en todas las artes plásticas. En los años cuarenta destacan tres obras: la de Elisa Maillard[117] que presenta un conjunto de diagramas basados en la sección áurea con los que analiza pinturas de Fra Angelico, Botticelli o Durero, e iglesias bizantinas y romanas; Le Nombre d’Or de Don Neroman[118], un intento de hacer el tema accesible con aportaciones como la serie S y su aplicación a la atomística planetaria; también la obra de Otto Hagenmaier[119], y un importante artículo de Manning Robertson[120] sobre la sección áurea como matriz proporcional en la arquitectura y la pintura.

Finalmente, en 1950 se publica El Modulor , con el que Le Corbusier culmina una larga serie de estudios sobre los trazados reguladores y las propiedades de la sección áurea para encontrar «une mésure harmonique à l’échelle humaine applicable universellement à l’architecture et à la mécanique»[121]. Para entonces, Matila Ghyka había publicado un artículo sobre el Modulor[122] explicando los principios matemáticos que lo fundamentaban: la sección áurea, la serie de Fibonacci…, junto a unas ilustraciones que describían los mecanismos del sistema y que podrían haberle sido suministradas por el propio Le Corbusier[123].

Aunque es difícil precisar la relación directa de los escritos de Ghyka en el pensamiento de Le Corbusier, es fácil suponer cómo la insistencia del primero en evidenciar la presencia recurrente de la sección áurea en las formas del mundo natural, en la composición armónica del cuerpo humano por un lado, y por otro en el arte y la arquitectura del mundo mediterráneo, todo ello a la luz de un idealismo neo pitagórico, neoplatónico, vino a incidir en las reflexiones acerca del quehacer artístico del segundo, que había escrito en 1946:

La matemática no significa para el artista las matemáticas. No se trata obligatoriamente de cálculos, sino de la presencia de una realeza; una ley de infinita resonancia, consonancia, orden. Es tal el rigor, que se alcanza verdaderamente la obra de arte, bien se trate del dibujo de Leonardo, de la asombrosa exactitud del Partenón, comparable en la talla de su mármol a la precisión de la máquina-herramienta, del implacable e impecable juego constructivo de la catedral, de la unidad que hace a Cézanne, de la ley que determina el árbol, el esplendor unitario de las raíces, del tronco, de las ramas, de las hojas, de las flores, de los frutos. No existe el azar en la naturaleza. Si hemos entendido lo que es la matemática en el sentido filosófico la descubriremos, desde ahora, en todas sus obras[124].

Le Corbusier, ilustración de El Modulor, 1950.

La grille des proportions, fundamentada en l’homme-le-bras-levé que Le Corbusier estudia con la colaboración de Gerald Hanning y la supervisión de Elisa Maillard, desde 1943 y a través de sucesivas proposiciones, se basa en un cuadrado que genera un rectángulo áureo; de esta figura y mediante la instalación de un ángulo recto se llega a una figura compuesta por dos cuadrados contiguos iguales al cuadrado inicial. Hacia fines de 1945, las dos figuras geométricas, el rectángulo áureo y el doble cuadrado son consideradas como posibles modos de incrementar el elemento unitario, en este caso el cuadrado.

Le Corbusier y sus colaboradores especificaron un mecanismo bastante simple que enfatizando los valores dimensionales generados por la grille podían ser considerados como elementos de una serie de Fibonacci. Con objeto de individualizar las posibles correspondencias entre las particiones armónicas definidas por la grille y la estructura del cuerpo humano, se apoyan en los principios antropométricos divulgados por Matila Ghyka[125]: aplicando un enrejado geométrico a la fotografía de un desnudo se especifican una serie de relaciones fundadas en la sección áurea, de tal manera que la altura del cuerpo queda dividida por el ombligo en dos partes que están entre sí en relación áurea; la misma relación que se establece entre el pecho y la cabeza y entre el brazo y el antebrazo. El sistema de medidas resultante se compone de dos series de Fibonacci; la primera, denominada «serie roja», tiene como elementos generadores aquellos valores dimensionales del cuerpo humano definidos por el ombligo y la parte superior de la cabeza; la segunda, la «serie azul», está construida a partir de las dimensiones del hombre en pie con el brazo levantado.

En 1951, el matemático Le Lionnais escribe a Le Corbusier una carta (que éste reproduce en el segundo volumen de El Modulor) con estos términos: «Como ya sabe usted, reprocho a ciertos autores —de los cuales me apresuro a decir que usted no forma parte— un uso del número de oro que supone y alienta a un punto de vista más o menos emparentado con el ocultismo. Cada vez que se habla del número de oro, me parece necesario precisar bien la propia actitud personal sobre este punto. (…) En el plano de la técnica, considero que el número de oro no representa una noción particularmente excepcional o privilegiada; pero puede constituir una convención útil…» Le Corbusier responde:

He aquí el rectificado del arquitecto, urbanista, pintor, etc.…, que yo soy: … el matemático actúa con los números, es mensajero de los «dioses». Por definición, el hombre no es un dios. Y el poeta que soy yo declara: para tomar contacto con el universo, el hombre mira, empleando sus ojos que se encuentran a «1,60 m», aproximadamente, sobre el suelo. Sus ojos miran hacia adelante (Perogrullo). Para ver a izquierda y a derecha, necesita volver la cabeza. Su vida, pues sólo está formada de una hilera incansable, de una sucesión, de una acumulación de visiones. El hombre tiene un «cuerpo matemático», ocupa el espacio mediante el movimiento de sus miembros. El espacio humano no es el del pájaro ni el del pez (Perogrullo). (…) Es posible que el número de oro sea de una trivialidad aplastante para los matemáticos de los tiempos actuales. Con el auxilio de sus máquinas de calcular, han inventado combinaciones sensacionales (para ellos, mas no para nosotros, incapaces de comprenderlas). Mientras que el número de oro rige una parte de las cosas que constituyen nuestro espectáculo exterior, por ejemplo, la ramificación de una hoja, la estructura de un árbol gigante o de un zarzal, la osamenta de una jirafa o de un hombre, cosas que son el pan cotidiano o excepcional desde hace milenios y millones de milenios. Cosas que constituyen nuestro medio (mientras que las altas matemáticas no lo constituyen). Obreros de tareas procedentes del medio humano, ocupados en conservar, cuidar y modificar este medio, nosotros no nos sentimos nada entristecidos por una trivialidad matemática como el número de oro, sino que, en tanto que gentes de oficio (edificar, esculpir, pintar, organizar el espacio), nos sentimos deslumbrados por la riqueza de las combinaciones que proporciona el número de oro, consideradas aquí como materiales que hay que poner en acción[126].

En el espléndido paisaje de la Costa Azul, en Roquebrune-Cap Martin, justo encima de su cabanon[127], frente al mar Mediterráneo, Le Corbusier proyectó una pequeña obra, que puede considerarse como una síntesis de todas sus preocupaciones estéticas y simbólicas: la sepultura donde descansa junto a su mujer, Ivonne. Sobre una lápida cuadrada, dos formas geométricas oponen su concisión y rotundidad a unas plantas que crecen a su aire. En la base están las huellas de una cruz —geometría y símbolo[128]— y una concha —naturaleza y símbolo—. La lápida, proyectada en 1957 a raíz de la muerte de su esposa, está estructurada según la sección áurea, presente pero escondida.

Le Corbusier, sepultura, 1957. Cementerio de Roquebrune-Cap Martin. (Foto: C. Bonell).

Partiendo del cuadrado ABCD, se traza el eje GI; uniendo I con C y D se obtiene el triángulo isósceles DIC. Construir, abatiendo la diagonal GA del semicuadrado, el rectángulo áureo FBCE; al unir E con I se obtiene el punto H; éste se encuentra con el lado del triángulo DI en J, punto en el que se sitúa el rectángulo áureo interior JKLM, donde se ubican un cilindro hueco y una forma ortogonal frontalmente cuadrada: en ella, sobre un fondo de varios colores, está escrito: Ici repose Charles-Edouard Jeanneret, dit Le Corbusier, et Ivonne Le Corbusier.

Le Corbusier, planta de la sepultura.

Trazado regulador de C. Bonell.

La década de los cincuenta se inicia con una reivindicación internacional de la divina proporción. En septiembre de 1951, en el marco de la IX Trienal de Milán, se convoca el Primo Convegno Internazionale sulle Proporzioni nelle Arti con un título expresivo: De Divina Proportione. Participaron en ella los especialistas más destacados en el tema, como los historiadores Wittkower y Giedion; los arquitectos Nervi, Rogers y Le Corbusier; pintores como Severini y Vantongerloo y matemáticos como Speiser. Uno de los participantes, Salvatore Caronia (director del Instituto de Composición Arquitectónica y de Urbanística de la Universidad de Palermo), escribe las impresiones de este primer congreso internacional destacando la supervivencia del espíritu de Pitágoras y el rigor del número, al mismo tiempo que se pregunta: «¿Cómo este grupo selecto de artistas de exquisita sensibilidad moderna que ha presidido la organización de la Trienal puede haber pensado en esta Mostra degli Studi delle proporzioni? Es como si el artista comenzase a tener miedo de su propia libertad fuera de los límites de la tradición; con el temor de huir de aquella armonía universal que conforma y rige toda creación del hombre, ya sea artística o técnica, el artista busca una disciplina cuyas raíces se encuentran en el número y en la ininterrumpida tradición de estudios en el campo de la matemática y de la geometría, como han hecho los artistas de todos los siglos para deducir una guía, implícita o mediata, para su creación»[129].

De hecho, en el congreso estaban representadas tendencias muy diversas: desde los idealistas convencidos, los estudiosos del tema de las proporciones, hasta los intransigentes que no sólo negaban cualquier posible acuerdo entre teoría y arte sino que incluso cuestionaban la eficacia y la razón de ser del propio congreso. No obstante, se desprendía un resultado claro de la discusión general: si bien toda obra de arte es autónoma, irrepetible en su esencia, se pueden reconocer ciertos valores estructurales, como la presencia de un orden interno que estaría en el origen de esta experiencia que denominamos belleza.

La viveza del debate consiguió que el congreso de Milán tuviera continuidad. Unos meses más tarde, a mediados de marzo de 1952, se organizó un simposio, también bajo la advocación de la «Divina Proporción», en el MOMA de Nueva York, presidido por José Luís Sert y contando con la participación de Meyer Schapiro, Josef Albers, Philip Johnson y Herman Weyl entre otros. Se pretendía que fuese un congreso parecido al de Milán, pero, como explicaba Sert a Le Corbusier en una carta[130], la falta de recursos del Departamento de Arquitectura del museo hizo imposible invitar a participantes europeos. Una vez más surgía de las ponencias presentadas una hipótesis: si una obra de arte, un cuadro, un edificio, una ciudad, están en relación con el hombre y con el mundo que lo rodea, sus proporciones han de estar en relación con aquellas que gobiernan la estructura de este mundo; con el estudio y el conocimiento de cómo usar estas proporciones, el trabajo del artista se aproximará a las obras de la naturaleza y, consecuentemente, al hombre mismo. Y una vez más se repetía que la disciplina geométrica nunca ha truncado las grandes obras del pasado sino que, al contrario, su conocimiento proporcionó a los artistas una mayor libertad. No se puede decir que las leyes geométricas hayan limitado la variedad de conchas que encontramos junto al mar, ni tampoco las estructuras de las plantas.

Como consecuencia también del congreso de Milán, se organizó otro en Siena en septiembre de 1952, pero en este caso se decidió cambiar la denominación porque «si el Comité conservara su título puro y simple de Divina Proporción, se encontraría ligado exclusivamente a los trabajos del Renacimiento en particular»[131]; así que se optó por «Simetría, Armonía de los Tiempos Modernos».

En junio de 1957, en el RIBA de Londres, se celebró un debate sobre la proposición: los sistemas de proporciones hacen el buen diseño más fácil y el mal diseño más difícil. El título hacía referencia al comentario que Einstein escribió a Le Corbusier sobre El Modulor : «Es una gama de proporciones que hace lo malo más difícil y lo bueno fácil»[132]. Nikolaus Pevsner presentó la moción y participaron, entre otros, Maxwell Fry, Rudolf Wittkower, Peter Smithson, John Sumerson… Pevsner introdujo históricamente el tema, desde el Génesis hasta El Modulor , y abrió el debate con una pregunta: «¿Hay alguna garantía de producir belleza si nos atenemos a ciertas proporciones constantes?»[133].

Paralelamente, a lo largo de la década de los cincuenta continúa la producción literaria sobre la divina proporción: se publica la obra de Paul-Henri Michel[134]: desde Pitágoras a Euclides la sección áurea tiene un papel fundamental y es analizada con todo rigor; el estudio de Miloutine Borissavlievitch[135], que expone el punto de vista de la estética científica de la arquitectura sobre el número de oro; y los libros de Theo Koelliker[136] y de Fournier des Corats[137], que, enfatizando los aspectos simbólicos, analizan la presencia de las relaciones armónicas en la pirámide de Keops y en otras construcciones egipcias.

En los sesenta destacan Les Cahiers du Nombre d’Or de Elisa Maillard que, aplicando sus diagramas, analiza extensamente la obra de Durero[138], las iglesias bizantinas[139], las iglesias de los siglos XII al XV[140], la obra de Botticelli[141] y el Partenón[142]. En 1963, Charles Bouleau publica Charpentes, La géométrie secrète des peintres, definido por su autor como «un estudio sobre la construcción interna de las obras, una búsqueda de las fórmulas que han regido a lo largo de los siglos la distribución de los elementos plásticos»[143]; el análisis se extiende desde la composición melódica de los frisos del Partenón hasta el uso de la sección áurea por parte de artistas como Mondrian o Villon, quien escribe en el prefacio: «…este libro trata de reencontrar el espíritu de la geometría en el sentido en que la entendía Piero della Francesca; quiere revelar esta geometría secreta de la obra pintada que, en todos los tiempos, ha sido para los artistas uno de los componentes esenciales de la belleza; y las demostraciones que el autor propone de las obras modernas, de Mondrian, por ejemplo, son una prueba evidente de su objetividad»[144]. También los artículos ya mencionados de William Camfield[145] y de Roger Fischler[146] tratan de investigar la presencia de la sección áurea en la pintura contemporánea.

En 1970 se publica la obra de Huntley[147], un verdadero tratado sobre la belleza matemática de la divina proporción; poco después, en la Sorbona se presenta una tesis doctoral de Nicolae Opritescu[148] sobre el problema de la organización plástica de las imágenes, en una estructura rítmica basada en la sección áurea, en las películas de Eisenstein; y en 1973 Marius Cleyet-Michaud[149] publica una síntesis rigurosa de los diferentes aspectos del número de oro. Pero lo que caracteriza la segunda mitad de los años setenta y la década de los ochenta son las sucesivas reediciones de las obras consideradas como clásicas sobre el tema: los libros de Matila Ghyka han sido reeditados en casi todos los países europeos y, por ejemplo, en París se ha reeditado el libro de Neroman[150] y una versión francesa del de Huntley[151]; en 1987 se publica el de Claude-Jacques Willard[152] sobre la utilización del número de oro en las matemáticas y en las bellas artes. Por otro lado, Christian Langlois, miembro de la Section d’Architecture de l’Institut de France, presenta el 28 de abril de 1982 un comunicado que trata de desmitificar las virtudes estéticas que se atribuyen al número de oro, así como los argumentos de Matila Ghyka acerca de su presencia en la gran arquitectura de la antigüedad o en el arte; la conclusión de Langlois es que «si l’œuvre est belle, ce n’est nullement en vertu d’une recette arithmétique mais grâce à la puissance créative, au talent, voire au génie de l’auteur»[153]. En 1985, C. J. Snijders[154] publica en Italia un estudio sobre la sección áurea, abarcando la naturaleza, la arquitectura, el arte y la música.

La bibliografía más reciente[155] evidencia un renovado interés por la sección áurea desde diversas disciplinas. En lo que se refiere al arte, los escritos tienen en cuenta el pasado tanto como el presente. Algunos ejemplos: el artículo de Michael Marlais ya citado[156], que examina la relación entre Seurat y sus compañeros de L’École des Beaux-Arts de París; Uwe Haupenthal[157] analiza el círculo formado alrededor de Adolf Holzel, con Pellegrini, Schlemmer, Baumeister, etc., con quienes no sólo intercambió ideas y técnicas sino también las teorías del ritmo, composición y color de Goethe y, especialmente, el uso de la sección de oro. Por su parte, Harold J. McWhinnie[158] examina la presencia de la sección áurea en la música, las matemáticas, las formas biológicas, las proporciones del cuerpo humano y el arte clásico; pero también estudia el impacto en el diseño industrial y en la pintura del sistema de simetría dinámica formulado por Jay Hambidge. El catálogo de la exposición de Martin Barre[159], que recorrió diversos museos y galerías franceses entre 1989 y 1990, contiene un conjunto de ensayos que analizan la obra de este artista desde 1954 hasta 1987, enfatizando cómo a partir de 1973 Barre utiliza un sistema de división asimétrica de sus pinturas basado en la sección áurea.

Otros estudios relacionan el número de oro con la obra de determinados poetas o músicos, por ejemplo el artículo de L. M. Johnson[160] sobre la divina proporción en la obra de Milton; o el de T. F. Earle[161] acerca de la obra de Camões; o la tesis doctoral de Pekka Kuokkala[162] que examina cómo la composición basada en la sección áurea de «The Last Temptations», de Joonas Kokkonen, se desarrolla en cinco fases, relacionando el simbolismo de la ópera con su estructura interna. Otros artículos vuelven a revivir las virtudes de la sección áurea, al tiempo que presentan una panorámica histórica; éste es el caso del artículo de Mark Gardner[163]. También deben destacarse aquellos estudios que relacionan la sección áurea con determinados presupuestos de las matemáticas[164]; de la psicología[165]; o de la educación[166]. Y un artículo de Mike Jones[167] acerca del proyecto de estudio para un violinista profesional, realizado por el arquitecto Toby Lewis, con un título expresivo: Building a golden section for just 35 thousand pounds.

El arte de la geometría a partir de la proporción áurea constituye el tema de la obra de Jacques Thomas[168], editada en 1993. Dos años más tarde, Huntley publica de nuevo su monográfico sobre la divina proporción precedido por un estudio de Marguerite Neveux, historiadora del arte, que es una reevaluación crítica del número de oro desde la tradición pitagórica hasta las obras de Seurat y Le Corbusier, con un énfasis especial en las aportaciones de la estéticas científicas alemanas y francesas del último tercio del siglo XIX[169]. Por su parte, Aldo Scimove traza la «historia cultural de un leitmotiv de la matemática» en su obra publicada en 1997[170].