Apéndice 7

El axioma de Solovay

Nota del Editor

Entre los axiomas que engendran una teoría de conjuntos más fuerte que ZF, cabe mencionar el axioma de Solovay: «Todo subconjunto de números reales es mensurable para la medida de Lebesgue». R. M. Solovay demostró en 1964 (la demostración se publicó en 1970) que este axioma es consistente relativamente a la teoría ZF, módulo no obstante la hipótesis de que existen cardinales inaccesibles. Esta hipótesis es más fuerte que ZF y, por lo tanto, no puede demostrarse en ZF, pues su verdad implica la consistencia de ZF; ahora bien, el teorema de incompleción de Gödel (véase más arriba, R. Fraïssé, pág. 189) tiene como consecuencia que, si ZF es intuitivamente consistente (hipótesis metamatemática que siempre se hace), ZF no es capaz de demostrar formalmente su propia consistencia.

En términos precisos, el resultado de Solovay es el siguiente: «Si la teoría ZF+AC+existe un cardinal inaccesible es consistente (posee un modelo), entonces la teoría ZF+axioma de elección dependiente+axioma de Solovay es asimismo consistente (posee también un modelo)».

El axioma de elección dependiente es más débil que el axioma de elección general, pero implica al axioma de elección numerable. Se sabe (teorema de Vitali) que, gracias al axioma de elección, es posible demostrar que existen conjuntos de números reales que no son mensurables para la medida de Lebesgue. El resultado de Solovay pone de manifiesto que, de hecho, es indispensable un axioma suplementario, tal como el axioma de elección, para obtener conjuntos de números reales que no sean mensurables: sin axioma suplementario, no se puede demostrar que existan conjuntos no mensurables de números reales para la medida de Lebesgue.

El resultado de Solovay resuelve un problema interesante relativo a la teoría de la medida: la compatibilidad de la hipótesis de la mensurabilidad de todas las partes de ℝ con los axiomas de la teoría de conjuntos. La lección que cabe extraer de ello es la siguiente: es inútil gastar fuerzas y tiempo en demostrar que una parte dada de ℝ es mensurable para la medida de Lebesgue —demostración a menudo muy larga y fastidiosa—, puesto que si ZF y la hipótesis de la existencia de cardinales inaccesibles son simultáneamente no contradictorias, tampoco es contradictorio admitir que todas las partes de ℝ son mensurables (en el sentido de Lebesgue).

Pero, como la hipótesis de la existencia de cardinales inaccesibles es más fuerte que ZF, pudiera ser muy bien que esta última hipótesis, así como el axioma de Solovay, fueran contradictorios, sin que lo fuera la teoría ZF. Mientras que, si dicha hipótesis no es contradictoria, no existe en ZF medio ninguno para cerciorarse de ello.

Así pues, con la demostración de Solovay resultaba que existía un mayor riesgo en postular que todos los conjuntos de números reales son mensurables para la medida de Lebesgue, que no en la admisión pura y simple de la teoría ZF. La mayoría de matemáticos preocupados por este problema estaban convencidos de que el defecto que presentaba el teorema de Solovay no era ineluctable. Por esto, durante tiempo se procuró mejorar la demostración de Solovay y eliminar el uso de un cardinal inaccesible. A finales de 1979, S. Shelah demostró que dichas tentativas no podían conducir a ningún resultado, proporcionando una solución negativa para el problema de la eliminación de la hipótesis de un cardinal inaccesible en la construcción de un modelo que satisfaga al axioma de Solovay: «Si la teoría ZF+axioma de elección dependiente+axioma de Solovay es no contradictoria, entonces la teoría ZF+AC+existe un cardinal inaccesible es igualmente no contradictoria». Por lo tanto, y contrariamente a lo que se creía o se esperaba, el axioma de Solovay es más fuerte que la teoría ZF.

Además de su carácter incompatible, hay que señalar dos diferencias esenciales entre el axioma de elección y el axioma de Solovay; diferencias que no dejan de determinar la actitud de los matemáticos a su respecto.

• 1.ºEn primer lugar, el axioma de elección no tiene la misma fuerza que el axioma de Solovay. No hay más riesgo en admitir ZF+AC que en quedarse con ZF, pura y simplemente. En cambio, es mucho más arriesgado postular ZF+axioma de elección dependiente+axioma de Solovay, que suponer la verdad de ZF+AC.
• 2.ºEn segundo lugar, ¿tiene interés teórico postular el axioma de Solovay?

Indiscutiblemente, el axioma de Solovay posee consecuencias prácticas interesantes en cuanto que permite demostrar mucho más fácilmente determinadas propiedades que, en su ausencia, han de demostrarse a través de métodos mucho más largos: en el modelo de Solovay, la mensurabilidad (en el sentido de Lebesgue) de cualquier conjunto de números reales se cumple automáticamente. Pero tiene todo el aspecto de ser un axioma estéril o, al menos, no indispensable: hasta la fecha, no se conocen resultados verdaderamente originales, interesantes matemáticamente (el resultado de Shelah posee más bien un carácter metamatemático), que puedan demostrarse a partir del axioma de Solovay pero que sean indemostrables sin dicho axioma. Además, el axioma de Solovay no resulta demasiado utilizable para los grandes consumidores de mensurabilidad que, como es el caso de los estudiosos de la probabilidad, se interesan por medidas a las que no se aplica el axioma, bien porque sobre ℝ (o ℝⁿ) la medida sea diferente de la de Lebesgue, bien porque el propio espacio sobre el que se define la medida no admita representación en términos de números reales.

Con el axioma de elección, la situación es distinta: si se renuncia a este axioma, uno se ve obligado a abandonar todo un vasto campo matemático, aunque, en la mayoría de los casos, no sea necesario recurrir a toda la fuerza del axioma, como explica J. Dieudonné (véase pág. 16). En estas condiciones, se comprende el resultado del sondeo realizado por G. Müller con ocasión de un congreso de matemáticas en Japón, luego de que él mismo hubiera especificado a los matemáticos presentes las respectivas consecuencias de ambos axiomas (el resultado de Shelah no se conocía todavía). Todos contestaron que preferían el axioma de elección general en lugar del axioma de Solovay acompañado solamente del axioma de elección dependiente.

Pero esta posición desfavorable al axioma de Solovay quizás proviene del hecho de que aún no se han estudiado suficientemente las propiedades del modelo de Solovay. De hecho, cuando Gödel introdujo en 1938 el modelo de los conjuntos constructibles para demostrar la no contradicción relativa de la hipótesis del continuo, dicho modelo no poseía más interés que esa utilización metamatemática. Hasta los años sesenta no se cayó en la cuenta de que el modelo posee propiedades muy fuertes, que genera resultados matemáticos (y metamatemáticos) importantes, y que, por esas razones, merece ser estudiado por sí mismo. Podría ser muy bien que al axioma de Solovay le estuviera reservado un destino análogo.